专题 6.8 平行四边形复习专题——平行四边形与存在性问题（知识梳理+题型精析+同步检测）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

该初中数学讲义以平行四边形存在性问题为核心，通过坐标法和平移法两大知识模块构建复习体系，用框架图清晰呈现中点坐标公式、平移量计算等知识要点及解题步骤，突出平行四边形性质与坐标几何的内在联系，明确中考高频考点分布。 讲义亮点在于“知识方法-例题精析-变式训练”的递进设计，如中点坐标法例题结合一次函数背景，引导学生通过列方程求动点坐标，培养推理意识与几何直观。同步检测6道解答题分层设置，基础题巩固步骤规范，综合题融合图形变换与函数知识提升模型观念，助力教师精准分层教学，学生自主复习有明确路径与方法支撑。

专题 6.8 平行四边形复习专题——平行四边形与存在性问题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识储备与题型分类精析 1 【知识与方法一】坐标法 1 【知识与方法二】平移法 2 【题型 1】平行四边形存在性问题——中点坐标法 2 【题型 2】平行四边形存在性问题——平移法 9 二.同步检测 18 解答题6题 18 一.知识储备与题型分类精析 平行四边形存在性是初中数学的重要内容，也是综合压轴题常考热点，本专题以一次函数与平行四边形存在性进行探究问题，供大家参考使用！ 【知识与方法一】坐标法 （1）知识要点 平行四边形对角线互相平分，即两条对角线中点坐标完全相同。 设四点中，、、、.则有： ； （2）解题步骤 （1）标出已知三点坐标，设出动点坐标； （2）按三种对角线情况分别列中点等式； （3）解方程求出动点横、纵坐标； （4）检验舍去重合、共线无效点，写出全部答案。 【知识与方法二】平移法 （1）知识要点 平行四边形一组对边平行且相等，即线段平移后重合。平移规律：横向平移量、纵向平移量完全一致。 即设平移到:右移、上移，则，反之左移减，下称减。 （2）解题步骤 （1）算出一组定点之间横、纵坐标差值（平移量）； （2）把相同平移量作用在第三个定点上； （3）直接写出第四个点坐标； （4）汇总三组结果，去重整理答案。 【题型 1】平行四边形存在性问题——中点坐标法 【例题1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，经过点的另一条直线与轴交于点． （1）求点、的坐标和直线的函数解析式； （2）在平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，平行四边形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）在中，求出函数值为0时自变量的值，自变量的值为0时的函数值即可得到点B和点C的坐标，再设出直线的函数解析式，并利用待定系数法求解即可； （2）分为对角线和为对角线两种情况，根据平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 解：（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入到中得：， ∴， ∴直线的函数解析式为； （2）解：设， 当为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可得，的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可得，的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线l2：y＝4x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点D，直线l1，l2交于点P．若x轴上存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标是 _____． 【答案】（4，0） 【分析】根据一次函数的性质分别求得点A、点C、点P的坐标，然后结合平行四边形的性质求解． 解：在y=x+2中，当y=0时，x+2=0， 解得：x=-2， ∴点A的坐标为（-2，0）， 在y=4x-4中，当x=0时，y=-4， ∴C点坐标为（0，-4）， 联立方程组， 解得：， ∴P点坐标为（2，4）， 设Q点坐标为（x，0）， ∵点Q在x轴上， ∴以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，AQ和PC是对角线， ∴， 解得：x=4， ∴Q点坐标为（4，0）， 故答案为：（4，0）． 【点拨】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，理解一次函数的图象性质，掌握平行四边形对角线互相平分，利用数形结合思想解题是关键． 【变式2】（25-26八年级下·广东广州·期中）已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，． （1）是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （2）求平行四边形的面积． 【答案】（1）存在，点D的坐标为或或；（2） 【分析】（1）设，然后根据题意分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质和平移的性质求解即可； （2）利用割补法求解即可． 解：（1）解：存在，设 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点D是对应点，点B和点C是对应点， ∴， ∴， ∴； 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点C是对应点，点B和点D是对应点， ∴， ∴， ∴； 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点D是对应点，点C和点B是对应点， ∴， ∴， ∴； 综上所述，存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或； （2）解：∵平行四边形的顶点坐标分别为，，，，如图 ∴平行四边形的面积． 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线过点，交轴于点，且为线段的中点． （1）求、的值； （2）点为线段延长线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当时，若点是直线上一点，轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点和点的坐标，然后求出点的坐标，用待定系数法求出和的值即可； （2）根据的面积的面积的面积得出结论即可； （3）分类讨论，以为边或对角线，利用平行四边形性质对边平行且相等，对角线互相平分解答即可求． 解：（1）解：当时，， ， ， 为线段的中点， ， 当时，， ， 将点、代入， ， 解得； （2）解：， ； （3）解：当时， ， 解得， 代入解析式得， ∴， 由题意以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 当以为边时， 则， ∴ 代入得， ∴， 则， ∵， ∴或； 当以为对角线时， 则中点重合， 设，， 由中点公式知， 解得 ∴， 综上所述或或． 【题型 2】平行四边形存在性问题——平移法 【例题2】（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，且． （1）求点的坐标． （2）求直线的函数解析式，并判断点是否在直线上． （3）在平面直角坐标系内是否存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），点在直线上；（3）存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质等知识点． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，然后根据全等三角形的性质即可求解； （2）先由待定系数法求直线表达式，求出与坐标轴的交点，然后根据，求出点坐标，再由待定系数法求直线表达式，即可判断点是否在直线上； （3）分三种情况讨论，根据平行四边形和平移的性质求解即可． 解：（1）解：过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：设直线， 代入点，，则， 解得：， ∴直线， 当， ∴，即， 当，则， 解得：， ∴，即， ∵， ∴，， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 当时，， ∴点在直线上； （3）解：存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形， 如图，当时，则， ∴点向点的平移方式与点向的平移方式一样， ∵，，， ∴点向左平移8个单位，向下平移6个单位至点， ∴； 当时，则，同理可求：； 当时，则，同理可求：， 综上：存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 【变式1】（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点A和点B，将沿直线l对折，使点A与点B重合，直线l与x交于点C，与交于点D，连接． （1）求的面积； （2）求OC的长度； （3）在x轴上方是否存在点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）16；（2）3；（3）存在，点P的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图像及性质、平行四边形的性质． （1）先分别求出A、B两点的坐标，然后根据三角形的面积公式即可求解； （2）设，则，再根据题意可得，最后根据勾股定理列方程求解即可； （3）分别以、、为对角线的三种情况解答即可． 解：（1）解：一次函数的解析式为与轴和轴分别交于点A和点 令，得， 解得， 令，得， ． ∴； （2）解：设，则 沿直线对折，点与点重合， ∴ 在中，， ∴， 解得 ∴； （3）解：设， ∵ ∴ ①当以为对角线时 ∵， ∴A点相当于C点向右平移了5个单位 ∴点P相当于点B向右平移了5个单位 ∵ ∴ ②当以为对角线，点P在第四象限，不符合题意，舍去； ③当以为对角线时 ∵， ∴C点相当于A点向左平移了5个单位 ∴P点相当于点B向左平移了5个单位 ∵ ∴． 综上，P点坐标为或． 【变式2】（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且．在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 【答案】或或 【分析】先分别求出，和点坐标，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①，为边，②，为边，③，为边，根据平行四边形的判定方法求出点坐标即可 解：∵函数的图象分别交轴，轴于，两点， 当时，， ∴， ∵，且点位于轴正半轴， ∴， ∴ 当时，，解得， ∴， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： 如图所示： ①，为边， ∴，， ∵，，， ∴线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段， 则点的对应点为点，点的对应点为点， ∴； ②，为边， ∴，， ∵，，， ∴线段向右平移3个单位，再向下平移6个单位得到线段， 则点的对应点为点，点的对应点为点， ∴； ③，为边， ∴，， ∵，，， ∴线段向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到线段， 则点的对应点为点，点的对应点为点， ∴． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点拨】本题考查了一次函数与平行四边形的综合，涉及到图形的平移及平移特征，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征与平行四边形的判定是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． （1）求点，点的坐标； （2）若直线与线段交于点，与轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出，的长，再根据点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，即可得出点的坐标； （2）分两种情况：当时 ， 当时，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 解：（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∵点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，． （2）解：∵， ∴， 当时 ， ， 当时， ， 综上，． （3）解：如图，连接， 由（1）知，，， 由（2）知，， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当为边时，，， 或； ②当为对角线时，点向下平移4个单位，再向右平移2个单位， 点向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点的坐标， ， 即：点的坐标为或或． 【点拨】本题考查非负数的性质，坐标与图形，求一次函数解析式，三角形的面积，平行四边形的性质，平移的坐标变换．熟练掌握绝对值与二次根式的非负性，根据三角形的列一次函数解析式，平行四边形的性质是解题的关键．注意分类讨论． 二.同步检测 解答题6题 1.（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，两个一次函数的图象相交于点． （1）求，的解析式； （2）若直线上存在一点，使，求符合条件的点的坐标； （3）若点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）点的坐标为或；（3）的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、解含绝对值符号的一元一次方程以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程；（3）利用平行四边形的性质求解． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，得到，，然后根据列方程求解即可； （3）首先得到，，，然后分3种情况讨论：①当为对角线时；②当为对角线时；③当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 解：（1）将代入，得， 解得． 将代入，得， 解得． ，的解析式分别为，； （2）对于，当时，；当时，． 点的坐标为，点的坐标为． 对于，当时，；当时，． 点的坐标为，点的坐标为． ，． ． 设点的坐标为． 则． ， ， 解得或 符合条件的点的坐标为或； （3）存在，点的坐标为或或． 如解图，由（1）（2）可知，，， 设点的坐标为． ①当为对角线时，，， 解得，． ∴点的坐标为； ②当为对角线时，，， 解得，． ∴点的坐标为； ③当为对角线时，，， 解得，． ∴点的坐标为． 综上所述，当点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 2.（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且面积为15． （1）求点C的坐标及直线的解析式； （2）若M为线段上一点，且满足，求直线的解析式； （3）若E为直线上一个动点，在x轴上是否存在点D，使得以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出A、B坐标，进而根据面积为15求出点C的坐标，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （2）先求出的面积，即求出的面积，再由求出点M的纵坐标，进而求出点M的坐标，据此利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （3）设，再分当为对角线时， 当为对角线时，当为对角线时，三种情况由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 解：（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴，， ∵面积为15， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 同理可知直线解析式为； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 3．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，经过点的直线交轴于点，直线：交轴于点，交于点． （1）填空： ，点的坐标为 ，的面积为 ； （2）是直线上的一点，过点作轴于点，交直线于点，若，求点的坐标； （3）点是轴上一点，直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2，，；（2）或；（3）存在，点E的坐标为E或或 【分析】本题考查了一次函数综合问题，面积问题，平行四边形的性质，中点坐标公式，平移的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键； （1）将点代入待定系数法求解析式，得，则，联立解析式求得点，进而求得，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）分两种情况：当点在点右侧时，当点在点左侧时，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）分以为边和以为对角线两种情况，分别画出图形，根据平移的性质求得点的坐标，即可求解． 解：（1）解：将点代入 得 解得：，则 ∴直线解析式为， 联立 解得： ∴ 直线：交轴于点，当时， ∴ 又∵ ∴ ∴的面积为 故答案为：2，，． （2）轴， 轴， 设，， 分两种情况： ①如图，当点在点右侧时， ，， 由得，， 解得，， 此时，点的坐标为， ②如图，当点在点左侧时， ，， 由得，， 解得，， 此时，点的坐标为， 综上，点的坐标为或，； （3）存在点的坐标为或或 在轴上， 点的纵坐标为 分以为边和以为对角线两种情况： ①以为边时，又分为边和为边两种情况： ⅰ当为边时，如图，由平移可知，当点平到点时，纵坐标减小个单位，点平移到点纵坐标也减小个单位， 的纵坐标为， 由得，， ； ⅱ当为对角线时，如图，同理可得； 或 ②以为对角线时，，互相平分， ， ， ， 由得，， 综上，直线上存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． （1）求直线的表达式； （2）在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由； （3）点P在直线上，在直线上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或或或；（3）或 【分析】（1）由直线：经过点，再利用待定系数法可得答案； （2）设，先求解，可得，，，结合是等腰三角形，再分类讨论即可； （3）如图，设，，当为对角线时，如图，当为对角线时，如图，当为对角线时，再利用平行四边形的性质建立方程求解即可； 解：（1）解：∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图，设， ∵， 解得：， ∴， ∴，，， ∵是等腰三角形， 当时，， 解得：， ∴或， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：（舍去），， ∴， 综上：或或或； （3）解：如图，∵点P在直线上，Q在直线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴， 综上：或； 【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，一次函数的几何应用，清晰的分类讨论是解本题的关键. 5．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，已知直线经过、两点． （1）求直线的解析式； （2）若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上． ①求点和点的坐标； ②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出所有满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由； （3） 点为直线上异于点的一点，是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． （4） 【答案】（1）；（2）①，②存在，，或；（3） 【分析】（1）由题意根据点，的坐标，利用待定系数即可求出直线的解析式； （2）①根据题意过点作于点，利用全等三角形的判定先证，可求出、的长，进而即可得出点和点的坐标； ②根据题意设点的坐标为，分为边和为对角线两种情况考虑：当为边时，由，的坐标及点的横坐标可求出值，进而可得出点，的坐标；当为对角线时，由，的坐标及点的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出值，进而可得出点的值； （3）在轴上取一点，使得，则，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，延长交于点，勾股定理求得，同（2）①得出，进而得出直线的解析式为，联立解析式，即可求解． 解：（1）解：将，代入得： 解得 直线得表达式为． （2）①过点作于点，    ，， ．又， ， ，． 设，则点得坐标为， 点在直线上， ， ， 点得坐标为，点得坐标为． ②存在点得坐标为，或． 理由如下： 设点的坐标为． 分两种情况考虑，如图2所示：    当为边时， 点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为， 或， 或， 点的坐标为，点的坐标为； 当为对角线时， 点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为， ， ， 点的坐标为 综上所述：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，或 （3）解：存在，， 如图所示，在轴上取一点，使得，则，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，延长交于点， ∵ ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： ∴， 同（2）①可得 ∴，， ∴ 设直线的解析式为，将，代入 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得： ∴ 【点拨】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（2025八年级下·吉林长春·专题练习）如图，直线与直线相交于点，交轴于点，动点M在直线上运动，过点M作轴交直线 于点 N，设点M的横坐标为． （1）求直线的解析式； （2）设线段的长为（），求与之间的函数关系式； （3）当＝________时，以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形； （4）在轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）；（4）点或点 【分析】（1）利用待定系数法求解解析式即可； （2）先利用待定系数法求得直线的解析式，结合题意可知点M和点N的横坐标，代入求得对应的点坐标，再利用两点之间的距离求解即可； （3）结合坐标系的性质和平行四边形的性质即可得到，结合点坐标即可求得对应的m； （4）根据题意可得或为直角，当为直角时，则，求得和，可证明为等腰直角三角形，那么为等腰直角三角形，再利用等腰三角形的性质和点坐标的性质求得点；当为直角时，同理可得为等腰直角三角形，，求得，进一步求得，即可利用得到． 解：（1）解：设直线的解析式为， ∵直线与直线相交于点，交轴于点， ∴，解得， 则直线的解析式； （2）解：设直线的解析式为， ∵直线与直线相交于点， ∴，解得， 则直线的解析式为， ∵点M的横坐标为． ∴， ∵过点M作轴交直线 于点 N， ∴， 则， 那么，当时，；当时，； （3）解：∵直线的解析式， ∴， ∵以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形 ∴， 则当时，，解得（舍去）； 当时，，解得， 那么，当时，以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形； （4）解：存在，理由如下， ∵是以为直角边的直角三角形 ∴或为直角， 如图， 当为直角时， 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 则点； 当为直角时，同理可得为等腰直角三角形，， ∵点，， ∴， 则， ∴， 则点； 故点或点． 【点拨】本题主要考查一次函数和三角形的结合，涉及待定系数法求解析式、一次函数的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、两点之间的距离等知识点，解题的关键是分类讨论思想的应用． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.8 平行四边形复习专题——平行四边形与存在性问题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识储备与题型分类精析 1 【知识与方法一】坐标法 1 【知识与方法二】平移法 2 【题型 1】平行四边形存在性问题——中点坐标法 2 【题型 2】平行四边形存在性问题——平移法 4 二.同步检测 5 解答题6题 6 一.知识储备与题型分类精析 平行四边形存在性是初中数学的重要内容，也是综合压轴题常考热点，本专题以一次函数与平行四边形存在性进行探究问题，供大家参考使用！ 【知识与方法一】坐标法 （1）知识要点 平行四边形对角线互相平分，即两条对角线中点坐标完全相同。 设四点中，、、、.则有： ； （2）解题步骤 （1）标出已知三点坐标，设出动点坐标； （2）按三种对角线情况分别列中点等式； （3）解方程求出动点横、纵坐标； （4）检验舍去重合、共线无效点，写出全部答案。 【知识与方法二】平移法 （1）知识要点 平行四边形一组对边平行且相等，即线段平移后重合。平移规律：横向平移量、纵向平移量完全一致。 即设平移到:右移、上移，则，反之左移减，下称减。 （2）解题步骤 （1）算出一组定点之间横、纵坐标差值（平移量）； （2）把相同平移量作用在第三个定点上； （3）直接写出第四个点坐标； （4）汇总三组结果，去重整理答案。 【题型 1】平行四边形存在性问题——中点坐标法 【例题1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，经过点的另一条直线与轴交于点． （1）求点、的坐标和直线的函数解析式； （2）在平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线l2：y＝4x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点D，直线l1，l2交于点P．若x轴上存在点Q，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标是 _____． 【变式2】（25-26八年级下·广东广州·期中）已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，． （1）是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （2）求平行四边形的面积． 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线过点，交轴于点，且为线段的中点． （1）求、的值； （2）点为线段延长线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当时，若点是直线上一点，轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型 2】平行四边形存在性问题——平移法 【例题2】（24-25八年级下·云南丽江·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，且． （1）求点的坐标． （2）求直线的函数解析式，并判断点是否在直线上． （3）在平面直角坐标系内是否存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点A和点B，将沿直线l对折，使点A与点B重合，直线l与x交于点C，与交于点D，连接． （1）求的面积； （2）求OC的长度； （3）在x轴上方是否存在点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且．在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． （1）求点，点的坐标； （2）若直线与线段交于点，与轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 二.同步检测 解答题6题 1.（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）如图，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，两个一次函数的图象相交于点． （1）求，的解析式； （2）若直线上存在一点，使，求符合条件的点的坐标； （3）若点为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2.（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且面积为15． （1）求点C的坐标及直线的解析式； （2）若M为线段上一点，且满足，求直线的解析式； （3）若E为直线上一个动点，在x轴上是否存在点D，使得以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，经过点的直线交轴于点，直线：交轴于点，交于点． （1）填空： ，点的坐标为 ，的面积为 ； （2）是直线上的一点，过点作轴于点，交直线于点，若，求点的坐标； （3）点是轴上一点，直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． （1）求直线的表达式； （2）在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由； （3）点P在直线上，在直线上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，已知直线经过、两点． （1）求直线的解析式； （2）若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上． ①求点和点的坐标； ②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出所有满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由； （3） 点为直线上异于点的一点，是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． （4） 6．（2025八年级下·吉林长春·专题练习）如图，直线与直线相交于点，交轴于点，动点M在直线上运动，过点M作轴交直线 于点 N，设点M的横坐标为． （1）求直线的解析式； （2）设线段的长为（），求与之间的函数关系式； （3）当＝________时，以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形； （4）在轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $