专题 6.4 平行四边形全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

该初中数学平行四边形全章复习讲义通过表格梳理与分层整合构建知识体系，知识储备部分以表格呈现平行四边形性质定理，包含文字语言、符号语言及图示，清晰对比对边相等、对角相等、对角线互相平分等核心性质，同时系统整合判定定理与三角形中位线定义、定理，形成“性质-判定-中位线”的逻辑脉络，突出重点知识间的内在联系。 讲义亮点在于“基础-综合”分层题型设计，夯实基础篇通过性质理解题（如判断平行四边形中线段关系）、判定条件补充题（如添加条件使四边形为平行四边形），培养抽象能力与推理意识，综合压轴篇融入折叠问题（如折叠平行四边形探究线段长度）、存在性问题（如坐标系中构造平行四边形），发展几何直观与创新意识。同步检测包含选择、填空、解答题，基础学生可巩固知识，优秀学生能提升综合应用能力，为教师实施分层教学提供精准素材，支持学生自主复习与能力进阶。

专题 4.13 平行四边形全章复习讲义（知识储备+题型精析+同步检测） 目录 一.知识储备 1 【知识点一】平行四边形及其性质 2 【知识点二】平行四边形的判定 2 【知识点三】三角形的中位线 2 二.题型精析——夯实基础篇 3 【题型 1】平行四边形性质的理解 3 【题型 2】利用平行四边形性质求值证明 6 【题型 3】平行四边形判定的理解 11 【题型 4】选择合适的判定定理，补充条件使四边形成为平行四边形 14 【题型 5】平行四边形性质与判定综合求值证明 17 【题型 6】利用三角形中位线定理求值证明 21 【题型 7】利用三角形中位线定理求值证明 25 三.题型精析——综合压轴篇 28 【题型 8】利用平行四边形性质综合证明与求值 28 【题型 9】中位线与平行四边形判定、性质结合的综合证明题 35 【题型 10】平行四边形与折叠问题综合 43 【题型 11】平行四边形与最值问题综合 50 【题型 12】平行四边形与存在性问题 55 四.同步检测 62 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 62 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 71 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 79 一.知识储备 【知识点一】平行四边形及其性质 性质定理 文字语言 符号语言 图示 平行四边形的性质定理1 平行四边形对边相等 四边形ABCD是平行四边形 AD=BC，AB=CD 平行四边形对角相等 四边形ABCD是平行四边形 ， 平行四边形的性质定理2 平行四边形对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形 对称性 是中心对称图形，对角线交点是对称中心 AC与BD的交点O是ABCD的对称中心 【知识点二】平行四边形的判定 平行四边形的判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定5：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【知识点三】三角形的中位线 1、 三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。 如右图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC中点，DE是△ABC一条中位线。 2、 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言：如右图，DE是△ABC的中位线， 且 二.题型精析——夯实基础篇 【题型 1】平行四边形性质的理解 【例题1】（24-25八年级下·广东江门·月考）在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，，，，即可得出结论． 解：如图，四边形是平行四边形， ，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；证，得，，则，得，再证出四边形是平行四边形，得，故②③正确，不一定等于，故①不正确，不一定成立，故④不正确，即可得出结论． 解：四边形是平行四边形， ，， ， 又E、F分别是、的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，，，故②正确 ， ， 四边形是平行四边形，故③正确 ， 而不一定成立，故④不正确． 不一定等于， 不正确，故①不正确， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点O；③作射线，分别交于点E，交的延长线于点；若，，则下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行四边形的性质，由作图过程可知，为的平分线，可得．由平行四边形的性质可得，，则，，进而可得，则．结合，可得，则，可得，从而可得答案． 解：由作图过程可知，为的平分线， ， 故A选项正确，不符合题意； 四边形为平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故B，C选项正确，不符合题意； 结合已知条件不能得出， 故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）如图，在平行四边形中（），直线经过其对角线的交点，且分别交，于点，，交，的延长线于点，．下列结论：①；②；③．其中一定正确的是______（填序号）．    【答案】② 【分析】根据平行四边形的性质可得， 则不一定等于；再证明，可得，即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵不一定等于， 故①不一定正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 根据题意得：和不全等， ∴与不全等，故③不正确， ∴ 综上所述，②正确． 故答案为：② 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【题型 2】利用平行四边形性质求值证明 【例题2】（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，平分，交边于点E，，垂足为点F，交于点G，已知． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2）2 【分析】（1）由角平分线的定义和垂线的定义求出的度数，再由直角三角形两锐角互余求出的度数即可得到答案； （2）求出，，，则可推出；由平行四边形的性质得到，，再证明，得到，则． 解：（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点；③作射线，交于点，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用平行四边形对边平行得出内错角相等，结合角平分线的定义得到等腰三角形，进而求出的长度，再根据计算得出结果. 解：由作图步骤①②③可知， 平分，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴. 【变式2】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，在中，对角线与相交于点O，，，，，则的面积为________． 【答案】 【分析】易得为等腰直角三角形，为含30度角的直角三角形，进而求出的长，得到的长，进而求出的面积，根据的面积为的面积的2倍，即可得出结果． 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【变式3】（25-26八年级下·重庆开州·期中）如图，平行四边形中，，，点E是线段的中点，点F是线段延长线上一点，连接，且． （1），，，求线段的长； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）过点作于点，根据平行四边形的性质，求出，进而得到，得到，求出，利用勾股定理求出，即可解答； （2）延长交的延长线于点，根据平行四边形的性质，推出，，结合，证明，得到；再证明，即可证明结论． 解：（1）解：过点作于点， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴； （2）证明：延长交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即，， ∴，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型 3】平行四边形判定的理解 【例题3】（25-26八年级下·广东东莞·期中）四边形的对角线、相交于点O，不能判定四边形是平行四边形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 解：选项A中符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，能判定四边形是平行四边形，此项不符题意； 选项B中，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，能判定四边形是平行四边形，此项不符题意； 选项C中，，符合“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，能判定四边形是平行四边形，此项不符题意； 选项D中，满足该条件的四边形可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形，此项符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）根据图形中所标数据判断，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可． 解：A、根据题意，得，， 故，，不平行，不是平行四边形，不符合题意； B、根据题意，得，， 故，无法判定是平行四边形，不符合题意； C、根据题意，得， 故无法判定是平行四边形，不符合题意； D、根据题意，得，， 故，，是平行四边形，符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列条件中，能确定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 解：A． ，，如下图所示， ， ， ， ， 只有一组对边平行，不能说明四边形是平行四边形，故不符合题意． B：， ∵四边形内角和为， ∴，即； 这只能推出一组对角互补，无法证明两组对边平行或两组对角相等，比如等腰梯形也可能满足、， ∴四边形不是平行四边形，故不符合题意． C：， 如下图所示， ∵四边形内角和为， ∴； ∴，即 ， ； 同理，， ∴， ∴四边形是平行四边形；✅ D： ∵四边形内角和为， ； ∴四个角分别为，，，既不满足两组对角相等，也不满足两组对边平行， ∴四边形不是平行四边形，故不符合题意． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法、熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等可以判定平行四边形． 解：对于①，，，不能保证另一组对边平行或相等，故不能判定； 对于②，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于③，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于④，， 又 ∴四边形是平行四边形，故能判定． 故答案为：②③④． 【题型 4】选择合适的判定定理，补充条件使四边形成为平行四边形 【例题4】（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． （1）添加的一个条件是：______； （2）说明理由． 【答案】（1），答案不唯一；（2）见分析 【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 解：（1）解：从对角线的角度思考，可以添加， 故答案为：．不唯一 （2）证明：∵的对角线与相交于点O，     ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·上海·期中）如图，在四边形中，对角线交于点O，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于D，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 解：A、B、C均不能证明四边形为平行四边形，D可以， ∵， ∴ ∵， ∴四边形为平行四边形． 【变式2】（25-26八年级下·上海·期中）探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 【答案】①② 【分析】根据平行四边形的判定定理，分别判断三种作图方法得到的四边形是否满足平行四边形的判定条件即可． 解：①由作图可得，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故①正确； ②由作图可得，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故②正确； ③由作图可得四边形是平行四边形，故③错误． 故答案为：①②． 【变式3】（2025·江苏宿迁·三模）如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【答案】①，证明见分析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先证明，得到，，推出，添加①，得到，可证明四边形是平行四边形；添加③， 由，可证明四边形是平行四边形． 解：点为的中点，， 在和中， ， ， ，， ， 添加①，理由如下， ， ， 四边形是平行四边形； 添加③，理由如下， ， 四边形是平行四边形． 【题型 5】平行四边形性质与判定综合求值证明 【例题5】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． （1）求证：； （2）若时，的面积为，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）12 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质及三角形中线的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）先利用证明，得出，，再利用即可证明； （2）根据等腰三角形的性质及角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质得出，，即可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质及三角形中线的性质即可得答案． 解：（1）证明：， ， 在和中， ， ， ∴，， 在和中，， ∴． （2）解：， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，，，连接，作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则的长是（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由平行四边形的性质可得，，，由邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由可得，再结合，可证得四边形是平行四边形，于是可得，则，求出的长，即可求出的长． 解：， ， 四边形是平行四边形，，， ，，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，已知的对角线，相交于点，，．若，，则四边形的周长为________． 【答案】16 【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出、的长，再证明四边形是平行四边形即可得出结果． 解：∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，将此三角形沿方向平移得到，点A、B、C的对应点分别为点、、，此时边与边AC相交于点D，连接． （1）若，试求和的度数； （2）若点落在BC的中点处，且，求四边形的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定及性质等；掌握平移的性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键． （1）由平移的性质得，，结合平行线的性质，即可求解； （2）由平移的性质得，，，结合平行四边形的判定及性质，即可求解． 解：（1）解：由平移得： ，， ， ， ； （2）解：由平移得： ， ，， 四边形是平行四边形， 点落在的中点处， ， 四边形的面积为： ． 【题型 6】利用三角形中位线定理求值证明 【例题6】（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、． （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据线段的中点以及三角形中位线定理，得出，，，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，，将四边形的周长转化为，即可得解． 解：（1）解：点、、分别是、、的中点， ，，，、是的中位线， ，， ，， ． （2）解：由（1）可知，，， ，， 四边形的周长． 【变式1】（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，点、分别为的边、的中点，连接、，点、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（    ） A．15 B．12 C．10 D．3 【答案】D 【分析】由条件可知是的中位线，可得，再由线段的中点定义得到进一步可得． 解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， 点是边的中点， ， 是的中点， ． 【变式2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于______． 【答案】/37度 【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可．本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 解：如图，延长交于点， ，、、分别是，，的中点， ， ∵，， ，， ∴， ， 解得． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）20 【分析】（1）根据三角形中位线定理证明，由已知即可证明结论； （2）先求出，，，然后根据三角形面积公式即可求出答案． 解：（1）证明：∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积． 【题型 7】利用三角形中位线定理求值证明 【例题7】（25-26八年级下·重庆江津·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动：点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，若运动时，求运动时间的值？ 【答案】的值为或 【分析】本题考查平行四边形和等腰梯形的性质，当，存在两种情况：（1）四边形是平行四边形；（2）四边形是等腰梯形． 解：由题意可知：，，， 若，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时， ， ， 解得：， ②当四边形是等腰梯形时， 过点作于， , , 解得：, 综上所述，当的值为或时，． 【变式1】（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了梯形，三角形的面积公式，解题的关键是找到的面积关系和等高的三角形面积间的关系． 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰梯形的性质证明，进而可以解决问题． 解：四边形是等腰梯形，， ，， 在和中， ∵， ， ， 结论一定成立的是． 故选D． 【点拨】本题考查了等腰梯形的性质和全等三角形判定和性质，熟练掌握等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质证明线段或角相等是解题的关键． 【变式3】（2024·上海嘉定·二模）如图，在梯形中，，，点在四边形内部，，连接、． （1）求证：是等腰三角形； （2）已知点在上，连接，如果，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明梯形是等腰梯形，再，即可证明； （2）先证明，再证明，即可证明． 解：（1）证明 ∵， ∴梯形是等腰梯形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即是等腰三角形； （2）证明：由（1）得 ∴ ∵ ∴ ∵四边形是等腰梯形 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形． 三.题型精析——综合压轴篇 【题型 8】利用平行四边形性质综合证明与求值 【例题8】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在中，垂直平分，点F是线段上的一点，连接并延长交边于点G，过点A作于点H，满足． （1）求证：①； ②； （2）若，，求的长． 【答案】（1）①见分析；②见分析；（2） 【分析】（1）①：因为垂直平分，所以；又因为，所以；结合平行四边形中，再利用，判定，进而得到． ②：由，设，则 ，即得． （2）可得，证明，得，求出，设，由勾股定理得，解方程可得． 解：（1）证明：①， ，， ，， 和是直角三角形， 又， ∴， ． ②， ∴设，， 又， ， ， ． （2）解：连接， ， ， 垂直平分，， ， 又， ， ∴在和中， ， ∴， ， 在中，， ∴， 设， 在中，， ， 解得， ． 【变式1】（2026·天津河西·一模）如图，在平行四边形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，若点恰为的中点，则下列结论一定错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由作图方法可知垂直平分，则，根据线段中点的定义可推出，再由平行四边形的性质和已知条件可证明，则可证明是等边三角形，得到，由平行四边形的性质和平行线的性质可推出，据此可判断D；由等边对等角和三角形外角的性质可证明，据此可判断B；证明是等边三角形，得到， 进而可证明，据此可判断A、C． 解：如图所示，连接， 由作图方法可知垂直平分， ∴， ∵点恰为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故D选项中的结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B选项中的结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，故C选项中的结论错误，符合题意； ∴， ∴， ∴，故A选项中的结论正确，不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平行四边形中，，平分交于点，平分交于点，且，则的长为_____． 【答案】8或12 【分析】分两种情况：当与在平行四边形内部有交点时，当与在平行四边形外部有交点时，分别证明，，即可得到答案． 解：如图1所示，当与在平行四边形内部有交点时， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 如图2所示，当与在平行四边形外部有交点时， 则； 综上所述，的长为8或12 【变式3】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A，点B，直线与x轴相交于点． （1）求直线的解析式； （2）点P在直线上，过点P作轴交直线于点Q，当以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标； （3）点D在直线上，若，求点D的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或；（3）点的坐标为或 【分析】（1）先由确定与轴交点的坐标，再用待定系数法求解析式； （2）由条件知，根据平行四边形的判定方法，再添加，以点，，，为顶点的四边形就是平行四边形，所以根据解析式设出点P、的坐标，根据点P的位置分情况表示线段长度，再根据列方程求解，最终确定点P的坐标； （3）根据点D在直线上的位置进行分类讨论，结合，构造全等三角形，确定线段长，进而确定点G（或H）的坐标，表示直线解析式，直线和直线两个解析式联立求点D的坐标． 解：（1）解：∵直线与轴，轴分别相交于点，点， 当时，， ． 设直线的解析式为，代入， ，解得， ∴直线的解析式为； （2）轴，，当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 设点， ，当时，， ， ， ． 当时，， ； 当时，， ， ， ． 当时，， ． 综上所述，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或； （3）在中，当时，，， ． 如图1，当点在轴上方时，设交轴于点， ，，， ， ， ． 设直线的解析式为，代入， ，解得， ∴直线的解析式为，联立，解得， ； 如图2，当点在轴下方时，设交轴于点．同理可得，， ． 设直线的解析式为，代入， ， ． ∴直线的解析式为，联立，解得． ． 综上所述，点的坐标为或． 【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴交点、待定系数法求解析式、平行四边形的判定、全等三角形的性质和判定、联立解析式求交点．解题关键是根据点的位置进行分类讨论． 【题型 9】中位线与平行四边形判定、性质结合的综合证明题 【例题9】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知在中，点E为边的中点． （1）如图1，若，求证：平分； （2）如图2，点F为延长线上一点，且， ①求证：； ②若，，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）①见分析；② 【分析】（1）延长交于点，先证明，再得到垂直平分，然后由等腰三角形的性质以及平行线的性质证明即可； （2）①延长交于点，过点作于点，连接，根据等腰三角形的判定结合等量代换即可证明；②可设，则，则，那么，由题意可得，，则由勾股定理得，列出方程求解得到，则，，再由三角形的中位线定理得到，即可求解平行四边形的面积． 解：（1）证明：延长交于点， ∵中，， ∴， ∵点E为边的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴平分； （2）证明：①如图，延长交于点，过点作于点，连接， 由（1）得， ∵ ∴ ∴ ∴； ②由（1）得， ∴ ∵平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设，则 ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得， ∴， 由（1）知，而， ∴ ∴ ∴的面积． 【变式1】（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，中，，．，分别是，上的动点（不含端点），分别是，的中点．则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先连接，根据中位线的性质可知，要求最小，即求最小，当时，取得最小值，再根据勾股定理求出答案． 解：连接， ∵点G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 当时，取最小值，即最小． 在中，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式2】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，点分别是的中点，于且交于点，若，则的长是___________． 【答案】 【分析】取的中点，连接、，则、是的中位线，可证四边形是平行四边形，再证明出，得到，进而得出，即可得解． 解：如图，取的中点，连接、， 点分别是的中点， 、是的中位线， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； （3）如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）2；（3） 【分析】（）根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到平分，平分，通过即可求证． （）延长交于,通过，点为中点，平分，平分，求得，，再根据，证得；同理可证,得到是的中点，最后证明为的中位线即可． （）过作交于，先证出四边形是平行四边形，再结合，得到，最后证出即可． 解：（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴∠， ∴． （2）解：延长交于, 由（）知，点为中点，， ∴， ∴, ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， ∴∠，， ∴，， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴； 同理可证, ∴是的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）解：如图， 过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴,,， 由（）知， ∴， ∴， ∵, ∴， 由（）可知，，,， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中点的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 【题型 10】平行四边形与折叠问题综合 【例题10】（25-26八年级下·浙江丽水·期中）如图，在中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形，连接交于点O，连接． （1）求证：． （2）若点落在平行四边形的边上，求的长． （3）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到结论； （2）作交的延长线于点，易得为含30度角的直角三角形，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，根据，进行求解即可； （3）过D作于H，同（2）可得，连接交于G，根据折叠的性质得到，，根据中位线定理得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到结果． 解：（1）证明：在中，，， ， ，即， ， ，， ， ； （2）解： 当在边上时，如图1，作交的延长线于点， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知，，则， ∴， ∵， ． ∴； （3）解：过D作于H， 同（2）可得，， 连接交于G， 由折叠可知，， 又， 是的中位线， ， 是的中垂线， ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，掌握翻折前和翻折后对应角相等是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，再由，可得，再由折叠的性质和平行线的性质即可求解． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在中，，为的中点，为上的点，将沿着折叠，点恰好落在上点处，且．若，则的长为_________． 【答案】/ 【分析】连接，由折叠的性质可得，，结合，可判定是等边三角形．由于为的中点，因此是直角三角形，使用勾股定理计算出．结合，可证明是等腰直角三角形，则，进而求出． 解：如图，连接， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·山东济南·期末）已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处． （1）求的长及点A，点B的坐标； （2）求的长度； （3）点N在第二象限，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标； （4）取的中点M，点P在y轴上，若点Q在直线上，如果存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）或；（4）或或 【分析】（1）首先由直线，计算即可得出点A，B的坐标；；将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处，则，即可求解； （2）设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案； （3）当为直角边时，证明，则，，即可求解；当为直角边时， 同理可解； （4）求得，，设，，分当是对角线、是对角线、是对角线时，利用中点坐标公式即可求得点Q的坐标． 解：（1）解：对于直线，令，则， 令，则， ∴； 由勾股定理得，， ∵将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处， ∴，， ∴； （2）解：∵，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴； （3）解：当为直角边时，如下图：过点N作轴于点M，连接， ∵为等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 点； 如图，当为直角边时， 同理可得：点； 综上，或； （4）解：∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，， 当是对角线时，则有， 解得，， ∴； 当是对角线时，则有， 解得，， ∴； 当是对角线时，则有， 解得，， ∴； 综上，点Q的坐标为或或． 【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，折叠性质、坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键熟练掌握相关知识的联系与运用，同时注意分类讨论思想的运用． 【题型 11】平行四边形与最值问题综合 【例题11】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    【答案】2.4 【分析】连接，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理求出，再根据三角形等面积法求出，即可得出结果． 解：如图，连接．    ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小． 根据题意可知，当时，最小，即最小． 在中，，，， 则． 当时，， 即， 解得， 的最小值是2.4． 【点拨】题目主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，平行四边形的周长为24，点、分别是边、上的两个动点，若线段长的最大值为10，最小值为6，则平行四边形的面积为（    ） A．33 B．30 C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作，交的延长线于点，根据题意可得，，设，在中和在中，运用两次勾股定理即可求解． 解：连接，过点作，交的延长线于点，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由题意得，的最小值就是与之间的距离，即平行四边形的高， ∴， 当P与重合、与重合时，取到最大值， ∴， ∵平行四边形周长为24， ∴，即， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 在中， 解得， ∴． 【变式2】（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是_____，最小值是_____． 【答案】 【分析】连接，过A作于M；由题意得，则可求得的长，从而由勾股定理求得；由三角形中位线定理得，当G与C重合时，最长；当G与M重合时，最短，从而可求得的最大值与最小值的差． 解：如图，连接，过A作于M； 则； ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得； ∵点为的中点，点为的中点， ∴； 当G与C重合时，最长且为，此时； 当G与M重合时，最短且为，此时； 故答案为：；． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理．连接利用三角形中位线定理是关键． 【变式3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，点D是延长线上一点，以，为邻边作． （1）连接，则面积为___________． （2）连接，则的周长最小值为___________． 【答案】 3 / 【分析】（1）连接，利用平行四边形的性质可得，的面积相等，求出的面积即可得解； （2）作，且，连接，证明点直线上运动，由勾股定理可得为定值，结合的周长为，得出当最小时，的周长最小，过点作的对称点，连接、，则，，则当点在线段上时，有最小值为的长，此时的周长最小，再由勾股定理计算即可得解． 解：（1）如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，等底等高， ∴，等底等高， ∴，的面积相等， ∵，，， ∴的面积为 ∴面积为：3； 故答案为3； （2）作，且，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∵，，， ∴为定值， ∵的周长为， ∴当最小时，的周长最小， 过点作的对称点，连接、，则：，， ∴， ∴当点在线段上时，有最小值为的长，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴，，三点共线， ∵到的距离为， ∴， 在中， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称求最小值．能够正确做出辅助线是解题的关键． 【题型 12】平行四边形与存在性问题 【例题12】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B、C都在x轴上，，，，点C是线段的中点，直线交线段于点F，交x轴于点E． （1）写出点D的坐标________，点E的坐标________； （2）求直线的表达式； （3）平面内是否存在一点G，使以A、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），（2）；（3）或或 【分析】（1）结合四边形是平行四边形，，，，可得，，求解，可得． （2）设直线的关系式为：，再利用待定系数法可得直线的关系式：； （3）求解直线为，，分三种情况讨论：①如图所示，当为平行四边形的对角线时，②如图所示，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，进一步求解即可． 解：（1）解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，，， ∴，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：设直线的关系式为：， ∵直线经过点A，点E， ∴， 解得，， ∴直线的关系式：； （3）解：∵，设直线为， ∴， 解得：，即直线为， ∴，解得：， ∴， ①如图所示，当为平行四边形的对角线时， ，， ∴结合平移的性质可得：， ②如图所示，当为平行四边形的对角线时， 则，轴， 即点的坐标为：， ③当为平行四边形的对角线时， 同理可得：． 综上，点G的坐标为：或或． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面而直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，若存在一点，使组成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标，即可得出答案． 解：设，分三种情况： ①为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； ②为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； ③为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标是或或， 则点的坐标不可能为． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·月考）定义：在平面直角坐标系中，若点M关于直线的对称点在的内部（不包含边界），则称点M是关于直线的“伴随点”．如图，已知，，三点，连接，以，为边作．若在直线上存在点N，使得点N是关于直线的“伴随点”，则n的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质及平行四边形的性质．直线过点和，它们关于直线的对称点分别是和，从而利用待定系数法求出直线关于直线的对称直线，然后代入临界点求出n的取值范围． 解：对于直线， 当时，， 当时，， ∴直线过点和，它们关于直线的对称点分别是和， 设直线关于直线的对称直线是， 将和分别代入，得 ， 解得， ∴直线关于直线的对称直线是， 当在直线上时，有， 解得； 当在直线上时，有， 解得． ∵对称点在的内部（不包含边界）， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点． （1）不等式的解集为______． （2）在轴上是否存在一点，使得是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）若D，E分别是直线和轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，或或；（3）存在，或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）直接利用图象法求出不等式的解集即可； （2）分两种情况进行讨论求解即可； （3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，两种情况进行讨论求解即可． 解：（1）解：∵直线与直线交于点， 由图象可知：的解集为：； （2）存在； 当时，， ∴， ∵， ∴； 当时，则：或； 当时，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上：或或； （3）把代入，得：， 解得：， ∴， 设， ∵以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点， 当四边形为平行四边形时， ∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴， ∴； 当四边形为平行四边形时， ∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴， ∴ 综上：或． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 1．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等、对角线互相平分，对各个选项进行逐一判断即可得出答案． 解：A、与不一定相等，故A错误； B、由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得，故选项B正确； C、只有当四边形是菱形时，才成立，故C错误； D、只有当四边形是菱形时，平分，即才成立，故D错误； 故选：B． 2．（2026·山西晋中·一模）如图，中，平分交边于点．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到、，结合角平分线的性质得到，进而得到，根据等量代换得到，据此解答即可． 解：四边形是平行四边形， 、， ， 平分， ， ， ， ， 故选项B一定成立． 3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则下底角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰梯形的性质的掌握情况．如图，梯形中，过点作，则四边形是平行四边形，根据等腰三角形中三线合一的性质知，点是的中点，即可求解. 解：如图，梯形中，，，，，， 过点作，则四边形是平行四边形 根据等腰三角形中三线合一的性质知，点是的中点，有 ∵ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 4．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意． 5．（25-26八年级下·山西晋中·期中）五一假期将至，某风景区为迎接游客，在相互平行的小溪两岸分别设有休息区与娱乐区．现计划在小溪上修建一座桥梁，要求桥梁与河岸垂直，欲使从休息区到娱乐区的通行路程最短，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把点（或点）沿着它们垂直于河岸的方向平移，使平移的距离等于河宽，再作两点间的线段，再结合图形分析即可得出结果． 解：根据题意，应先把点（或点）沿着它们垂直于河岸的方向平移，使平移的距离等于河宽，再作两点间的线段，如图： ． 6．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】先得出垂直平分，则，根据勾股逆定理得出，然后利用勾股定理求解． 解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 7．（2026·浙江绍兴·一模）如图，在平行四边形中，，，，点E在边上，D是线段的中点，若，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，根据平行四边形的性质可得，再证明，可得，，即可求解． 解：如图，延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵D是线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 即． 8．（2026·陕西渭南·二模）如图，在和中，，，点、分别为、的中点，连接，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据中位线定理可知，由等角对等边可知，再结合即可得解． 解：∵， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴， 又∵， ∴． 9．（2026·山东淄博·一模）如图，已知在平行四边形中，，点P为的中点，点Q为的中点，且．记的长为m，的长为n，当平行四边形的形状变化时，m，n的值也随着变化，但代数式的值始终为定值，则这个定值是（    ） A．72 B．81 C．90 D．91 【答案】C 【分析】连接，过点作于点，根据线段垂直平分线的性质得出，利用勾股定理和完全平方公式表示出，代入计算即可． 解：连接，过点作于点，如图， ，为的中点， 垂直平分， ． 四边形是平行四边形， ． 为的中点， ， 设，． 在中，， ，， ； ， ． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，连结，若，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，过点E作于点G，由平分线得出，由平行四边形的性质得出，，，，证出，则，，证出，则，由勾股定理得出，证明四边形为平行四边形，得出，，最后根据勾股定理求出结果即可． 解：过点作于，过点E作于点G，如图所示： 是的平分线， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·北京顺义·期中）如图，是对角线上的两点，请你加一个适当的条件：__________，使四边形是平行四边形．（只需填一个你认为正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】可添加，使得，得到，，可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得证，同理，可添加，，，等，答案不唯一． 解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， 添加， ∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴四边形是平行四边形； 添加， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴； ∴四边形是平行四边形； 添加， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 添加， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 添加， ∵， ∴， 同理可证四边形是平行四边形． 添加， ∵， ∴， 同理可证四边形是平行四边形． （答案不唯一）． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，中，D、E是边上的两点，且，；若，，那么______． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质．过点作交于点，先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，得到，据此求解即可． 解：过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，然后测出的中点D，E，并测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约_____m． 【答案】36 解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线． ∴根据三角形的中位线定理，得． 14．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为___． 【答案】28 【分析】先将平行四边形的面积转化为两倍的面积，问题随之转化为求面积的最小值；再根据，确定点D的轨迹是以C为圆心、半径为2的圆；接着在中用勾股定理算出的长，再通过面积法求出点C到的高；根据垂线段最短，点D到的最短距离为该高减去圆的半径；最后将最短距离代入，即可算出平行四边形面积的最小值． 解：如图，过点C作，以C为圆心，2为半径画一段弧分别交于G，交于H， 设h是的边上的高． 由勾股定理得， 是边上的高， ， ， 以，为边， ， 当h最小时，四边形面积最小． 由垂线段最短可知，当时，h最小， 此时C，D，F三点共线， ， ． 15．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形的性质，画出可能的三种情况，即可得出答案． 解：在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，， 分别过三个顶点作对边平行线，交点即为点，如图， 当四边形是平行四边形时，即图中，此时中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， ∴点D的坐标为， 同理可得其他两个点D的坐标为，， 故答案为：或或． 16．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为___________． 【答案】2 【分析】根据三角形中位线定理可得，，，由平行线的性质可得 ，由角平分线定义得到，因此，可得，求出和的长，即可得的长． 解：是的中位线， ，，， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ． 17．（25-26八年级下·山东日照·期中）如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，涉及到了平行四边形的性质，轴对称的性质，勾股定理等内容． 先根据轴对称的性质得到点的坐标为，，求得，，利用勾股定理得到，从而得到，再根据三角形全等得到，即可求解． 解：设与的交点为，如图， ∵点C与点E关于x轴对称，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴， 在平行四边形中，，， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴，即． 18．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，，，，，则线段的长为________．    【答案】 【分析】过点作，且，连接，，根据平行四边形的判定和性质可得，，根据平行线的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据等角对等边可得，根据勾股定理求得，即可求解． 解：过点作，且，连接，，如图：    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∵，， ∴三角形是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 解得：，即． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在中，是对角线与交点，，垂足分别为点和点． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，再由，可得，证明，可得结论； （2）先求出，再由角平分线的定义可得，由平行四边形的性质可得，最后求出． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·广西玉林·期中）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形第三边，并且等于第三边的一半．【探究发现】下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明． 如图，在中，，分别为边，的中点，连接．求证：，且． 方法一：证明：如图，延长至点，使得，连接，，． 方法二：证明：如图，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点． 【答案】见分析 【分析】选择方法一：延长至点，使得，连接，，，先证明四边形是平行四边形，故，，即可证四边形是平行四边形，有，，从而可得结论； 选择方法二：过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，证明，得到，，证明四边形是平行四边形，得到，；证明四边形是平行四边形，从而得结论． 解：选择方法一： 证明：如图，延长至点，使得，连接，，． 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，； 选择方法二： 证明：如图，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点． ， ，， 是的中点， ， ，，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，． ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，． 21．（本小题满分10分）（2026·北京通州·一模）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，进而证明，，则可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出，再由平行四边形的性质求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 解：（1）证明：∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵点是的中点，， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·四川遂宁·期中）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，与DC的延长线交于F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求的周长． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合即可得到，从而得到为等边三角形，即可得到答案． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等边三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长是：． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且与轴交于点A．直线，交于点 （1）求直线的解析式； （2）在轴上是否存在一点E，使与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 【答案】（1）；（2）存在，点E的坐标为或；（3）存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）先求出直线的解析式为，再求出点，利用待定系数法即可求解； （2）求出点的坐标，得到，设点，得到，再根据，求解即可； （3）分两种情况：当为平行四边形的边，当为平行四边形的对角线，分别求解即可． 解：（1）解：把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 把点代入，得：， ∴点， 把点代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 如图： 当时，， ∴， ∴点， 当时，， ∴， ∴点， ∴， 设点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 如图： 当为平行四边形的边时，， ∴点的横坐标为或，纵坐标为， ∴点的坐标为或， 当为平行四边形的对角线时，， ∵，， ∴点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点，则点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点， ∴点的坐标为，即， 综上，点的坐标为或或． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B的坐标为，点C的坐标为，且满足，，点P由点C出发，以m个单位的速度沿线段向点B运动，点Q由点A出发，以n个单位的速度沿x轴向点O运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）求点A的坐标； （2）如图1，若，，从运动开始，需经过多长时间，才能使？ （3）如图2，若点，当为等边三角形时，直接写出的值______． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可得到点B的坐标；过点B作轴于点R，求出，得到，则，据此求出的长即可得到答案； （2）设运动时间为，可证明轴，求出，根据，即，得到，解方程即可得到答案； （3）取点，过点P作交x轴于点K，连接，可证明是等边三角形，得到，可证明四边形是平行四边形，，得到，则可证明，得到，据此可求出，，则相同时间内点P所走的路程为4个单位长度，点Q所走的路程为3个单位长度，故． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点B作轴于点R， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：设运动时间为， 由（1）可得， ∴轴， 由题意得，，则， ∴ ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴从运动开始，需经或，才能使； （3）解：如图所示，取点，过点P作交x轴于点K，连接， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵轴，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴相同时间内点P所走的路程为4个单位长度，点Q所走的路程为3个单位长度， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.13 平行四边形全章复习讲义（知识储备+题型精析+同步检测） 目录 一.知识储备 1 【知识点一】平行四边形及其性质 2 【知识点二】平行四边形的判定 2 【知识点三】三角形的中位线 2 二.题型精析——夯实基础篇 3 【题型 1】平行四边形性质的理解 3 【题型 2】利用平行四边形性质求值证明 4 【题型 3】平行四边形判定的理解 4 【题型 4】选择合适的判定定理，补充条件使四边形成为平行四边形 5 【题型 5】平行四边形性质与判定综合求值证明 6 【题型 6】利用三角形中位线定理求值证明 7 【题型 7】利用三角形中位线定理求值证明 8 三.题型精析——综合压轴篇 9 【题型 8】利用平行四边形性质综合证明与求值 9 【题型 9】中位线与平行四边形判定、性质结合的综合证明题 10 【题型 10】平行四边形与折叠问题综合 12 【题型 11】平行四边形与最值问题综合 13 【题型 12】平行四边形与存在性问题 14 四.同步检测 15 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 15 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 18 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 20 一.知识储备 【知识点一】平行四边形及其性质 性质定理 文字语言 符号语言 图示 平行四边形的性质定理1 平行四边形对边相等 四边形ABCD是平行四边形 AD=BC，AB=CD 平行四边形对角相等 四边形ABCD是平行四边形 ， 平行四边形的性质定理2 平行四边形对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形 对称性 是中心对称图形，对角线交点是对称中心 AC与BD的交点O是ABCD的对称中心 【知识点二】平行四边形的判定 平行四边形的判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 平行四边形的判定5：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【知识点三】三角形的中位线 1、 三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。 如右图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC中点，DE是△ABC一条中位线。 2、 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言：如右图，DE是△ABC的中位线， 且 二.题型精析——夯实基础篇 【题型 1】平行四边形性质的理解 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【变式2】（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点O；③作射线，分别交于点E，交的延长线于点；若，，则下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）如图，在平行四边形中（），直线经过其对角线的交点，且分别交，于点，，交，的延长线于点，．下列结论：①；②；③．其中一定正确的是______（填序号）．    【题型 2】利用平行四边形性质求值证明 【例题2】（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在中，平分，交边于点E，，垂足为点F，交于点G，已知． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点；③作射线，交于点，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式2】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，在中，对角线与相交于点O，，，，，则的面积为________． 【变式3】（25-26八年级下·重庆开州·期中）如图，平行四边形中，，，点E是线段的中点，点F是线段延长线上一点，连接，且． （1），，，求线段的长； （2）求证：． 【题型 3】平行四边形判定的理解 【例题3】（25-26八年级下·广东东莞·期中）四边形的对角线、相交于点O，不能判定四边形是平行四边形的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）根据图形中所标数据判断，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列条件中，能确定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【题型 4】选择合适的判定定理，补充条件使四边形成为平行四边形 【例题4】（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． （1）添加的一个条件是：______； （2）说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·上海·期中）如图，在四边形中，对角线交于点O，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·上海·期中）探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 【变式3】（2025·江苏宿迁·三模）如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【题型 5】平行四边形性质与判定综合求值证明 【例题5】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． （1）求证：； （2）若时，的面积为，求的面积． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，，，连接，作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则的长是（    ） A．6 B．3 C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，已知的对角线，相交于点，，．若，，则四边形的周长为________． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，将此三角形沿方向平移得到，点A、B、C的对应点分别为点、、，此时边与边AC相交于点D，连接． （1）若，试求和的度数； （2）若点落在BC的中点处，且，求四边形的面积． 【题型 6】利用三角形中位线定理求值证明 【例题6】（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、． （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 【变式1】（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，点、分别为的边、的中点，连接、，点、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（    ） A．15 B．12 C．10 D．3 【变式2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于______． 【变式3】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的面积． 【题型 7】利用三角形中位线定理求值证明 【例题7】（25-26八年级下·重庆江津·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动：点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，若运动时，求运动时间的值？ 【变式1】（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为______． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·上海嘉定·二模）如图，在梯形中，，，点在四边形内部，，连接、． （1）求证：是等腰三角形； （2）已知点在上，连接，如果，，求证：四边形是平行四边形． 三.题型精析——综合压轴篇 【题型 8】利用平行四边形性质综合证明与求值 【例题8】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在中，垂直平分，点F是线段上的一点，连接并延长交边于点G，过点A作于点H，满足． （1）求证：①； ②； （2）若，，求的长． 【变式1】（2026·天津河西·一模）如图，在平行四边形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，若点恰为的中点，则下列结论一定错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平行四边形中，，平分交于点，平分交于点，且，则的长为_____． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A，点B，直线与x轴相交于点． （1）求直线的解析式； （2）点P在直线上，过点P作轴交直线于点Q，当以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标； （3）点D在直线上，若，求点D的坐标． 【题型 9】中位线与平行四边形判定、性质结合的综合证明题 【例题9】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知在中，点E为边的中点． （1）如图1，若，求证：平分； （2）如图2，点F为延长线上一点，且， ①求证：； ②若，，，求的面积． 【变式1】（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，中，，．，分别是，上的动点（不含端点），分别是，的中点．则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式2】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，点分别是的中点，于且交于点，若，则的长是___________． 【变式3】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； （3）如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【题型 10】平行四边形与折叠问题综合 【例题10】（25-26八年级下·浙江丽水·期中）如图，在中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形，连接交于点O，连接． （1）求证：． （2）若点落在平行四边形的边上，求的长． （3）若，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在中，，为的中点，为上的点，将沿着折叠，点恰好落在上点处，且．若，则的长为_________． 【变式3】（24-25八年级下·山东济南·期末）已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处． （1）求的长及点A，点B的坐标； （2）求的长度； （3）点N在第二象限，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标； （4）取的中点M，点P在y轴上，若点Q在直线上，如果存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 【题型 11】平行四边形与最值问题综合 【例题11】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，平行四边形的周长为24，点、分别是边、上的两个动点，若线段长的最大值为10，最小值为6，则平行四边形的面积为（    ） A．33 B．30 C． D． 【变式2】（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是_____，最小值是_____． 【变式3】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，点D是延长线上一点，以，为邻边作． （1）连接，则面积为___________． （2）连接，则的周长最小值为___________． 【题型 12】平行四边形与存在性问题 【例题12】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B、C都在x轴上，，，，点C是线段的中点，直线交线段于点F，交x轴于点E． （1）写出点D的坐标________，点E的坐标________； （2）求直线的表达式； （3）平面内是否存在一点G，使以A、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面而直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，若存在一点，使组成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·月考）定义：在平面直角坐标系中，若点M关于直线的对称点在的内部（不包含边界），则称点M是关于直线的“伴随点”．如图，已知，，三点，连接，以，为边作．若在直线上存在点N，使得点N是关于直线的“伴随点”，则n的取值范围是__________． 【变式3】（24-25八年级下·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点． （1）不等式的解集为______． （2）在轴上是否存在一点，使得是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）若D，E分别是直线和轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 1．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西晋中·一模）如图，中，平分交边于点．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则下底角的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山西晋中·期中）五一假期将至，某风景区为迎接游客，在相互平行的小溪两岸分别设有休息区与娱乐区．现计划在小溪上修建一座桥梁，要求桥梁与河岸垂直，欲使从休息区到娱乐区的通行路程最短，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 7．（2026·浙江绍兴·一模）如图，在平行四边形中，，，，点E在边上，D是线段的中点，若，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．（2026·陕西渭南·二模）如图，在和中，，，点、分别为、的中点，连接，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2026·山东淄博·一模）如图，已知在平行四边形中，，点P为的中点，点Q为的中点，且．记的长为m，的长为n，当平行四边形的形状变化时，m，n的值也随着变化，但代数式的值始终为定值，则这个定值是（    ） A．72 B．81 C．90 D．91 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，连结，若，则的长为（    ） A．5 B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·北京顺义·期中）如图，是对角线上的两点，请你加一个适当的条件：__________，使四边形是平行四边形．（只需填一个你认为正确的条件即可） 12．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，中，D、E是边上的两点，且，；若，，那么______． 13．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，然后测出的中点D，E，并测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约_____m． 14．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为___． 15．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 16．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为___________． 17．（25-26八年级下·山东日照·期中）如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称，若点的坐标为，则点的坐标是______． 18．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，，，，，则线段的长为________．    （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，在中，是对角线与交点，，垂足分别为点和点． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·广西玉林·期中）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形第三边，并且等于第三边的一半．【探究发现】下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明． 如图，在中，，分别为边，的中点，连接．求证：，且． 方法一：证明：如图，延长至点，使得，连接，，． 方法二：证明：如图，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点． 21．（本小题满分10分）（2026·北京通州·一模）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·四川遂宁·期中）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，与DC的延长线交于F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求的周长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且与轴交于点A．直线，交于点 （1）求直线的解析式； （2）在轴上是否存在一点E，使与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知在平面直角坐标系中，点A为x轴上一点，点B的坐标为，点C的坐标为，且满足，，点P由点C出发，以m个单位的速度沿线段向点B运动，点Q由点A出发，以n个单位的速度沿x轴向点O运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）求点A的坐标； （2）如图1，若，，从运动开始，需经过多长时间，才能使？ （3）如图2，若点，当为等边三角形时，直接写出的值______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $