专题 6.6 平行四边形复习专题——平行四边形与图形变换（知识梳理+题型精析+同步检测）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

该初中数学讲义以“平行四边形与图形变换”为核心，通过知识框架系统梳理图形的对称与折叠、平移、旋转三大变换的概念及性质，用对比表格呈现变换前后图形的全等关系，思维导图串联平行四边形与各变换的综合应用，突出知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，如折叠问题通过例题及变式训练培养几何直观，旋转综合题结合中点条件提升推理能力，同步检测包含选择、填空、解答题，适配不同层次学生。教师可依此实施精准教学，学生能自主巩固基础并突破压轴题，有效发展空间观念与创新意识。

专题 6.6 平行四边形复习专题——平行四边形与图形变换（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识储备与题型分类精析 1 【知识点一】图形的对称与图形的折叠 1 【题型 1】平行四边形与折叠问题 1 【知识点二】图形的平移 6 【题型 2】平行四边形与平移问题 6 【知识点三】图形的旋转 12 【题型 3】平行四边形与旋转问题 12 【题型 4】平行四边形与平移、折叠、旋转综合（综合压轴） 19 二.同步检测 29 （一）单选题（6题） 29 （二）填空题（6题） 35 （三）解答题（6题） 41 一.知识储备与题型分类精析 【知识点一】图形的对称与图形的折叠 图形的对称包括轴对称和中心对称，而图形的折叠是指把某个图形或部分沿某条直线翻折，这条直线为对称轴，折叠问题的实质就是对称问题遇到图形称与折叠问题，首先要想到变换前后的两个图形的大小、形状都不发生改变，即两个图形全等，其对应边相等，对应角相等；其次对称轴垂直平分对应点所连的线段解决这类问题时，常用到全等知识、勾股定理以及分类讨论思想。 【题型 1】平行四边形与折叠问题 【例题1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，平行四边形纸片中，折叠纸片使点落在上的点处，得折痕，再折叠纸片使点落在上的点，得折痕．  （1）请说明：； （2）请说明：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，根据平角的定义即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，求得，得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，于是得到结论． 解：（1）解：∵折叠纸片使点落在上的点处， ， 折叠纸片使点落在上的点， ， ， ， ． （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 由折叠的性质的，， ， ． 【点拨】本题主要考查了翻折变换折叠问题、平行四边形的判定和性质等知识点，正确的识别图形是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级下·海南·期中）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠前后对应角相等可得，，由平行四边形的性质可得，，根据四边形内角和为360度列方程即可求解． 解：由折叠知，， ， 中， ， 在四边形中，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【变式2】（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质，由平行四边形的性质得，，再由由折叠的性质得，，，，根据平行线的性质得，进而得，再根据，利用等量代换求得，进而求解即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，点D，E分别是上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点F落在上． （1）如图1，若点E是的中点，求证： （2）如图2，若，且点F是的中点．，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，折叠的性质及勾股定理，解题的关键是结合图形，熟练运用相关的判定和性质求解； （1）由折叠及点是的中点得到，得到，利用三角形外角性质即可得到，继而得证； （2）取的中点M，连接，则，则由中位线定理得到，长，设，由勾股定理得长，即可求出的长． 解：（1）证明：∵点是的中点， ． ∵将沿直线折叠得到， ∴． ， ． 是的一个外角， ． ， ， ； （2）解：如图所示，取的中点M，连接，则是的中位线，    ∴，，， ， 设， ∵将沿直线折叠得到， ∴， 在，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 【知识点二】图形的平移 （1）概念：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。 （2）性质：①平移不改变图形的形状和大小；②一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等。 【题型 2】平行四边形与平移问题 【例题2】（24-25八年级下·重庆江津·期末）如图1，直线分别交x轴和y轴交于点且． （1）求直线的解析式； （2）若点P为x轴上一动点，且，求此时的P点坐标； （3）如图2，将直线向上平移4个单位得到直线，平移后的直线经过点，若点M为平面内一点，且以A，B，C，M四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b值，从而求得A、B的坐标，再用待定系数法求解好戏可； （2）根据，得，即，求出即可求解； （3）先根据一次函数平移规律求得直线的解析式为，从而可求出点，再根据平行四边形的性质，根据平移的坐标变换规律求解即可． 解：（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∴，， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式． （2）解：∵，， ∴，， ∵ ∴ 解得：，， ∴点P的坐标为或． （3）解：∵直线的解析式，将直线向上平移4个单位得到直线， ∴直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴， 当以为对角线的平行四边形时， ∵， ∴向左平移4个单位，向上平移1个单位，可以得到， ∵ ∴点M的坐标为； 当以为对角线的平行四边形时， 同理可得点M的坐标为； 当以为对角线的平行四边形时， 同理可得点M的坐标为； 综上，点M的坐标为或或． 【点拨】本师考查非负数的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，一次函数图象的平移，平行四边形的性质，平移坐标变换，熟练掌握算术平方根的非负性、待定系数法求一次函数解析式、平移坐标变换规律是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将▱放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，则▱的面积为（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】先从函数图象获取直线平移距离与平行四边形顶点的关系，得出的长度；再利用直线的性质（与轴夹角为 ），结合截得线段长度求出平行四边形的高，最后根据平行四边形面积公式计算面积．本题考查一次函数图象与图形结合问题，解题关键是掌握时直线与x轴所夹锐角为45° 解：由图象可知，直线经过时移动距离为，经过时移动距离为，经过时移动距离为， ∴． 如图，当直线经过点时，交于点，作垂直于于点，由图可知 ∵直线与夹角为， ∴， ∴面积为． 故选；． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为_____． 【答案】 【分析】由题意可知，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，如图，，代入函数关系式，可得，则，所以，线段扫过的面积为平行四边形的面积． 解：∵，，点A、B的坐标分别为、， ∴，， 将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，如图， 根据平移的性质得：，，， ∴四边形是平行四边形， 把代入直线， 解得，即， ∴， ∴平行四边形的面积； 故答案为：． 【点拨】此题考查了一次函数的性质、平移的性质、勾股定理以及平行四边形的判定，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【变式3】（24-25八年级下·山西忻州·期中）综合与实践 在学习了平行四边形的有关知识后，慎思小组进行了下面的实践活动：将两个完全相同的含的直角三角板按如图1摆放，使长直角边落在同一条直线上，其中，，．固定直角三角板不动，将另一个直角三角板沿长直角边BC所在直线平移，连接，． （1）如图2，判断四边形的形状，并证明你的结论． （2）如图3，在平移的过程中，连接，当时，线段与有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图4，连接，若的长为，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是平行四边形，见分析；（2），理由见分析；（3） 【分析】（1）根据平行线的判定定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形； （2）根据平行线的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到，连接交于O，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得到，得到，求得； （3）设与交于O，根据平行四边形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，得到，根据勾股定理得到，据此求解即可． 解：（1）解：四边形是平行四边形， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设与交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，的长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【知识点三】图形的旋转 （1）概念：一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转这个固定的点叫做旋转中心。 （3）性质：①图形经过旋转所得的图形和原图形全等；②对应点到旋转中心的距离相等任何一 对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 【题型 3】平行四边形与旋转问题 【例题3】（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，在边长为6的等边中，点为边上任意一点，连接将线段绕点逆时针旋转，点的对应点是点，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在旋转过程中，取、的中点、，连接和，当时，试猜想与的大小关系，写出你猜想的关系式，并证明； （3）如图2，在整个旋转过程中，的长度是否发生变化，若不变化，直接写出的值，若变化，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）见分析；（2）FG=FC，证明见分析；（3）变化，． 【分析】（1）根据SAS证△ABE≌△ACD，即可得证CD=BE，又AB=BC，即可得证结论； （2）取AD的中点H，连接HF，HG，BF，根据三角形的中位线定理得HG=AC，FH=ED，根据SAS证△BEF≌△GHF，得出FB=FG，又FB=FC，故FG=FC； （3）先判断当E点与B点重合时FG有最大值，当E点与C点重合时FG有最小值求出FG的取值范围即可． 解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC=BC， 由旋转可知，AE=AD，∠EAD=60°， ∴∠BAC=∠EAD， ∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD， ∴∠BAE=∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE=CD， ∴BC=BE+EC=CD+EC， ∴AB=EC+CD； （2）FG=FC， 理由：取AD的中点H，连接HF，HG，BF， ∵等边三角形ABC，AE⊥BC，点E是BC的中点， ∴∠CAE=∠BAC=30°，∠FEB=90°，FB=FC， ∵∠EAD=60°，AD=AE， ∴∠CAD=30°，△ADE是等边三角形， ∴DE=AE，∠ADE=60°， ∵点H是AD的中点，点F是AE的中点，点G是CD的中点，   ∴HG∥AC，HG=AC，FH∥ED，FH=ED， ∴∠DHG=∠DAC=30°，∠AHF=∠ADE=60°，FH=EF，GH=BE， ∴∠FHG=∠BEF=90°， 在△BEF和△GHF中， ， ∴△BEF≌△GHF（SAS）， ∴FB=FG， ∵AE⊥BC，点E是BC的中点， ∴FB=FC，   ∴FG=FC； （3）FG长度发生变化，3≤FG≤3， 理由：当点E与点B重合时，则点G与点C重合，此时FG最长，如下图， ∵△ABC是等边三角形，点F是AE的中点， ∴AF=AB=×6=3， ∴， 当点E与点C重合时，此时FG最短，如下图， ∵点F是AE的中点，点G是CD的中点， ∴FG=AD=AC=×6=3， ∴． 【点拨】本题主要考查图形的旋转变换，涉及全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质是解题的关键． 【变式1】（2024·安徽合肥·三模）一副三角板如图所示放置，，，，，F为的中点，将绕点B旋转过程中，的最大值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中位线定理，含30 度角的直角三角形，勾股定理，取的中点，连接，勾股定理求出的长，三角形的中位线定理，求出的长，根据，进行求解即可． 解：∵，，， ∴， 取的中点，连接，则：， ∴， ∵F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴的最大值为； 故选A． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，线段，点为线段延长线上一点，将线段绕点旋转得到线段，连接为的中点，连接，则线段的最小值为 _________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线，等腰三角形的性质，的直角三角形的性质．取的中点F，连接，，可以得到是的中位线，即，然后根据等边对等角和平行线的性质得到，进而得到点E在过点F且的射线上运动，即当时，长最小，根据的直角三角形的性质求解即可． 解：取的中点F，连接，， 则， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点E在过点F且的射线上运动，即当时，长最小， 即， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·湖北·月考）在和中，，，． （1）如图①，当点D在内部时，求证：． （2）将绕点A旋转，当点D落在线段上时，若． ①如图②，连接，若，求线段的长； ②如图③，M，N分别为，的中点，连接，判断线段与的关系并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）①；②， 【分析】（1）证明，根据全等三角形的对应边相等可得结论； （2）①同理证明得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，，进而得到，结合已知可得，然后再利用等腰直角三角形的性质证得，在中，利用勾股定理求得即可求解； ②连接，取中点F，连接、，根据三角形的中位线的性质得到，，证明四边形为平行四边形得到，，再根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的判定与性质证明四边形是平行四边形，得到，，进而可得结论． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①同（1），证明， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 解得，则； ②连接，取中点F，连接、， ∵M，N分别为，的中点， ∴为的中位线，， ∴，，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由①知，，， ∵点F是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【题型 4】平行四边形与平移、折叠、旋转综合（综合压轴） 【例题4】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，即的三个顶点分别是，，． （1）将以点O为旋转中心旋转，画出旋转后对应的． （2）将作一次平移运动，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的，求线段在平移过程中扫过的面积； （3）若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是________． 【答案】（1）图见分析；（2）图见分析，8；（3）、或 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据点A的对应点的坐标，可知平移方式为向左2个单位长度，再向下4个单位长度，再根据平移的性质画出；线段在平移过程中扫过的面积为四边形的面积，再根据割补法即可求解； （3）设点D的坐标为，分3种情况讨论：是对角线、是对角线、是对角线，利用平行四边形的性质列出方程组，求出的值即可． 解：（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： 线段在平移过程中扫过的面积为四边形的面积， ， ∴线段在平移过程中扫过的面积为8； （3）解：设点D的坐标为， 若是对角线， 则， 解得， ∴； 若是对角线， 则， 解得， ∴； 若是对角线， 则， 解得， ∴； ∴综上，点D的坐标为、或． 【变式1】（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，在中，已知，点分别在边上，现将沿直线折叠，使点恰好落在点处，若将线段向左平移刚好可以与线段重合，连接，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质及平移的性质可知四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可知即可解答． 解：∵现将沿直线折叠，使点恰好落在点处， ∴由折叠的性质可得：， ∵将线段向左平移刚好可以与线段重合， ∴由平移的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选． 【点拨】本题考查了折叠的性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，线段和差倍关系，掌握折叠的性质及平移的性质是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，在平面内放置一副三角板，，M，N分别是的中点，如果经平移、旋转，则的最大值是___________．    【答案】5 【分析】连接，并取的中点O，连接，根据三角形中位线的性质可得，再利用三角形三边关系进行求解即可． 解：连接，并取的中点O，连接， ∵分别为的中位线， ∴， 在中，， 即， ∴（仅当且M、O、N三点共线时取等号） 故答案为：5．      【点拨】本题主要考点是三角形的中位线性质，难点是通过题目已有的中点，构造出三角形的中位线，再转化为两点之间线段最短，从而求出最大值． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）等腰直角三角形是我们学习几何的基本图形，在学完平移，旋转，轴对称三种几何变换后，数学活动课上老师想利用图1中的等腰直角三角形为背景展开有关图形的平移，旋转，轴对称的探究活动．如图1，已知和是共顶点的两个等腰直角三角形，，，．老师首先给了如下一道题，请你完成（1）的详细解题过程． （1）如图2，在图1的条件基础上，分别连接，将绕点A旋转至点B在线段上时． ①求证：； ②求线段的长． （2）数学活动小组的同学解答完对上述问题后，又对这个图形进行了观察和测量，并发现了新的问题，该活动小组小聪，小明，小慧三名同学分别提出下面的问题，请你在小聪，小明，小慧三名同学所提出的问题中选择一道题进行解答，并直接写出答案．（如果选择多道题解答，按所选答题中得分最高的题给分，（2）问满分3分） ①小聪提出的问题：如图3，在图1的条件基础上，分别连接，．点F是线段的中点，连接，将绕点A在平面内自由旋转，则的最大值是______． ②小明提出的问题：如图4，在图1的条件基础上，将绕点A旋转至，且点C在线段上方时，位置不变．连接，，将沿射线方向平移，得到，连接，，则的最小值是______． ③小慧提出的问题：如图5，在图1的条件基础上，将绕点A在平面内自由旋转，当以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，______． 【答案】（1）①见分析；②；（2）①；②；③2或 【分析】（1）①证明，即可得； ②过点作于点，在等腰直角中求出，再利用勾股定理求出，即可求解； （2）①取中点，连接，得出， 可知点的运动轨迹为以为圆心， 为半径的圆上运动，由圆外一定点到圆上一点的最大距离可知，当、、依次共线时最大，此时点为如图，最大值为，求出即可； ②证明，，得出，，，由为定点，沿方向平移，作直线，作点关于直线的对称点，连接，，则，当、、依次共线时，的最小值为，此时设直线交于，得出点、、共线，求出，利用勾股定理求解即可； ③由,当和为边时，只需，则以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：情况一：当在左侧时，四边形是平行四边形；情况二：当在右侧时，四边形是平行四边形；当和为对角线时，四边形是平行四边形，分别求解即可． 解：（1）解：①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴； ②如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①取中点，连接， ∵点F是线段的中点，， ∴， ∵固定，绕点A在平面内自由旋转， ∴点固定，点在运动， ∴点的运动轨迹为以为圆心， 为半径的圆上运动， 由圆外一定点到圆上一点的最大距离可知，当、、依次共线时最大， 此时点为如图，最大值为， ∵为中点，， ∴， ∴， 即最大值为； ②∵，和是共顶点的两个等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵将沿射线方向平移，得到， ∴，， ∵， 由为定点，沿方向平移，如图，作直线，作点关于直线的对称点，连接，， 则，当、、依次共线时，的最小值为， 此时设直线交于， 由对称性得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∴， ∴， 即的最小值是； ③∵, 当和为边时，只需，则以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形， 情况一：如图，当在左侧时，四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴点在上， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 情况二：如图，当在右侧时，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 当和为对角线时，如图，四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在上， ∴； 综上，或． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线的性质，勾股定理，轴对称，定点定长轨迹圆，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 二.同步检测 （一）单选题（6题） 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标依次为，，将线段向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段，则四边形的周长为（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，坐标平移，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据，，求出，过点D作轴于点E，根据勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，得出答案即可． 解：∵，， ∴，， ∴， 过点D作轴于点E， ∵将线段向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段， ∴，， ∴， ∵线段平移后得到线段， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 故选：C． 2．（2024·云南·模拟预测）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A 落在点 处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果． 解：∵平行四边形中，， ∴． 由折叠可得． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴中，． ∴． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键． 3．（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点的坐标分别为，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2026次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，平行四边形、矩形的判定和性质，图形规律等知识，根据题意得到，结合图形找出旋转规律即可求解． 解：∵风车图案的中心为正方形， ∴， 如图所示，作于点， ∴， ∵风车图案的四片叶片为全等的平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∵每次旋转， ∴旋转第一次时，点对应点为，点对应点为，则， 旋转第二次时，点对应点为，点对应点为，则， 旋转第三次时，点对应点为，点对应点为，则， 旋转第四次时，点对应点为，点对应点为，则， ∵， ∴经过第2026次旋转后，点的坐标为 ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，含30°角的三角板的直角边靠在直尺上平移得到．已知，，平移距离为12，则四边形的面积是（   ） A．96 B． C．192 D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，根据平移的性质求出，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案． 解：在中，， 由平移的性质可知： ∴四边形为平行四边形， 平移距离为， ， ， 故选：B． 【点拨】本题考查的是平移的性质、平行四边形的判定和性质以及解直角三角形，解题的关键是得出四边形为平行四边形. 5．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，．将绕点B旋转得到，分别取的中点P、Q，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线的性质、三角形三边关系及勾股定理，由点的位置确定最大值和最小值是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线的性质求出，，可得当、F、三点共线时，取到最大值和最小值，然后结合三角形三边关系得出答案． 解：取的中点F，连接， ∵旋转， ∴， 根据勾股定理得：， 、分别是、的中点， ，， 当、F、三点共线时，取到最大值和最小值， 的最小值为，的最大值为， 再根据三角形的三边关系，可得取值范围是. 故选：D． 6．（17-18八年级下·云南文山·期末）如图，将沿对角线折叠，使点C落在处，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质求出，再根据折叠的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案． 解：∵四边形是平行四边形，, ∴， ∴． 根据折叠的性质得， 在中，， ∴． （2） 填空题（6题） 7．（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）如图，在坐标平面内，的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移m（）个单位．若平移后的直线与边有交点，则m的取值范围是____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移等知识．熟练掌握平行四边形的性质，一次函数的平移是解题的关键． 设平移后的直线解析式为，由，、、，可得，，当直线过时，，可求，当直线过时，，可求，由平移后的直线与边有交点，可得． 解：设平移后的直线解析式为． ∵，、、， ∴，． 当直线过时，， 解得：， 当直线过时，， 解得：， ∵平移后的直线与边有交点， ∴， 故答案为：． 8．（2024·浙江·模拟预测）在平行四边形中，点，在边上，把沿直线折叠，沿直线折叠，使点，落在对角线上的点处，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及折叠的性质，熟悉掌握折叠图形边相等的性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质和折叠的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和平行线的性质进行角的等量代换求解即可． 解：∵四边形是平行四边形，且沿直线折叠，沿直线折叠， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 9．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在和中，，，．连接，取的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，当点，，在同一直线上时，的长为______． 【答案】或/或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质判定和性质，勾股定理，中位线的性质定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．分两种情况进行讨论，即点C在线段上和点C在线段得延长线上，分别延长，交于点F，证明为等腰直角三角形，及为中位线，进而求解即可． 解：①当点C在线段上时，如图所示，分别延长，交于点F， ∵，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴； ②当点C在线段的延长线上时，如图所示，分别延长，交于点F， ∵，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于__________． 【答案】2 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，根据平移的性质推出四边形为平行四边形，利用平行四边形的面积公式进行求解即可． 解：∵平移， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积， ∴，即平移距离为2； 故答案为：2 11．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，是相交的两条线段，分别为它们的中点．当绕点旋转时，连接，，，所得到的四边形始终为______形（与不重合）． 【答案】平行四边 12．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．改变E点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，则的长是______． 【答案】或或 【分析】分和两种情况，分别作出相应图形，进行讨论求解即可． 解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长是或或． （三）解答题（6题） 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移2格，再向上平移4格． （1）请用无刻度的直尺在图中画出平移后的； （2）利用网格及无刻度的直尺在图中画出的高； （3）图中能使的格点P的个数是______．（点P异于点A）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）4． 【分析】本题考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）取格点J，连接交于点D，结合网格特征证明，得出，因为三角形内角和性质以及，故，所以，线段即为所求， （3）结合网格特征得，再利用等高模型作出点P即可． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，点P的个数为4． 故答案为：4． 14．（25-26八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，直线分别交轴，轴于，两点，与相交于点． （1）求和的值； （2）如图1，动点在上且在第二象限，连接，动点，在上，，连接，，当时，求点的坐标和的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，将点沿射线方向平移个单位，平移后的点记为，过点作的角平分线交线段于点，在平移中，直线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】（1），；（2），最小值；（3）或 【分析】（1）根据以及点在上求的值，得到点的坐标，将点的坐标代入得到的值； （2）先根据面积关系列方程求点坐标，再利用平移和对称法求折线段最小值； （3）先求点坐标，再根据平行四边形对边平行且相等的性质，分三种情况讨论点坐标． 解：（1）解：点位于上， ， ， 点位于上， ， ， ，． （2）解：连接，，，， ， 设 ，由， ， 解得，则， 设， ，则，取点，连接，如图所示， 则， 且， 过点作关于的对称点， ，， 当且仅当，，三点共线时，原式取最小值． （3）解：， ， 又， ， 过点作的角平分线交线段于点， ∵平分， ， ， ， ∴， ， 又将点沿射线方向平移，， ， ∴， 将代入，得，解得， ， 同理可求得：，，， 设，， ①当为对角线时：有，，，， 可列方程组，解得， ； ②当为对角线时：有，，，， 可列方程组，解得， ； ③当为对角线时：有，，，， 可列方程组，解得， ，（舍）． 综上点坐标为或． 【点拨】本题考查一次函数的综合应用，涉及点与直线的关系，代入法求参数；三角形面积计算、平移与对称法求折线段最小值；角平分线定理、平行四边形存在性问题的分类讨论．解题关键是利用坐标法、几何性质转化问题，结合平移、对称思想简化计算． 15．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，是的对角线，将边沿折叠，使A点落在上的点G处，将边沿折叠，使点C落在上的点H处． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，平行线的判定与性质． 由平行四边形的性质得，，则，由折叠得，，则，所以，而，则四边形是平行四边形． 解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 16．（2026·江苏无锡·一模）问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； （1）独立思考：请解答老师提出的问题； （2）实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； （3）问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A′，使于点H，连接，交CD于点N，若此的面积为20，边长AB=5，BC=，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积． 【答案】（1），见分析；（2），证明见分析；（3）图中阴影部分的面积为． 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形．解题核心是利用平行四边形对边平行且相等的特性，结合折叠的“全等性”转化线段与角度关系，再通过勾股定理、三角函数等工具计算线段长度与面积． （1） 要确定 与 的数量关系，可通过构造辅助线，结合平行四边形对边平行且相等、直角三角形斜边中线性质来推导； （2） 判断 与 的数量关系，需利用折叠性质（对应边、角相等），结合平行四边形对边平行且相等，证明相关四边形为平行四边形或三角形为等腰三角形； （3） 求阴影部分面积，先由平行四边形面积公式求高，再通过勾股定理、三角函数、折叠性质确定各线段长度，进而计算三角形面积差得到阴影面积． 解：（1）（1）解：． 证明：如图中，过点作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）（2）解：． 证明：如图中，连接， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）（3）如图中，过点作于，过点作于． ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 设则 ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 17．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 （1）如图1，为等边三角形，将绕点A旋转得到，连接，F是的中点，连接，图1中与的数量关系是 ；图1中的角有 个． 【迁移探究】 （2）如图2，将等边绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，求线段的长． 【答案】（1）；4；（2），理由见分析；（3） 【分析】本题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，图形旋转的性质以及直角三角形的相关性质，解题的关键是利用旋转前后图形的全等性和特殊性，结合中点、角度关系推导线段关系． （1）由等边三角形旋转的性质，得，F是中点，故是的中位线，因此．通过角度计算，得出均为，共4个． （2）根据等边三角形旋转的性质，得，，则是等腰直角三角形．F是中点，故为等腰直角三角形，由勾股定理得，又因，所以． （3）在等腰直角中，由，得．结合 ，算出 ，因F是中点且，故． 解：（1）∵为等边三角形，将绕点A旋转，得到， ∴，且点在同一条直线上． ∵F是的中点，则是的中位线， ∴．且， ∵ 则， 又 ∴， ∴，， 由知，， ∴图1中的角有4个． 故答案为：；4． （2），理由如下： 如图所示： 等边绕点逆时针旋转，得到， ，，， ， ， 为中点，，则， 是等腰直角三角形， ， ； （3）如图所示： ∵则 ∵ ∴，则， ，， ；     的长为． 18．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）已知：和均为等腰三角形，，连接，取的中点分别为，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当点在边上，点在边上时，则是_____三角形； 【类比探究】 （2）把绕点在平面内旋转得到图2，判断的形状是否改变？请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，当时． ①判断的形状，并说明理由； ②把绕点在平面内任意旋转，若，，直接写出面积的最大值与最小值． 【答案】（1）等腰；（2）的形状不变，理由见分析；（3）①是等腰直角三角形，理由见分析；②最大值为，最小值为2． 【分析】（1）根据线段的和差关系得出，根据三角形中位线定理得出，即可得答案； （2）连接，，利用证明，得出，根据三角形中位线定理可得答案； （3）①连接，，延长，交于，交于，交于，由（2）知，，根据全等三角形的性质，结合三角形内角和定理得出，根据三角形中位线定理，结合平行线的性质得出即可得答案； ②根据勾股定理求出，，根据三角形三边关系得出，根据三角形中位线定理，利用三角形面积公式即可得答案． 解：（1）∵，， ∴，即， ∵的中点分别为， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰 （2）的形状不改变，理由如下： 如图，连接，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵的中点分别为， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形． （3）①是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接，，延长，交于，交于，交于， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∵的中点分别为， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ②如图，连接， ∵，，，，， ∴，， 解得：（负值舍去），（负值舍去）， ∴，即， ∴的最小值为，最大值为， ∵， ∴的最小值为，最大值为， ∴面积的最大值为，最小值为． 【点拨】本题是一道三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，平行线的性质等知识，构造合理的辅助线，灵活运用三角形中位线性质，是解答本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.6 平行四边形复习专题——平行四边形与图形变换（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识储备与题型分类精析 1 【知识点一】图形的对称与图形的折叠 1 【题型 1】平行四边形与折叠问题 1 【知识点二】图形的平移 2 【题型 2】平行四边形与平移问题 3 【知识点三】图形的旋转 4 【题型 3】平行四边形与旋转问题 4 【题型 4】平行四边形与平移、折叠、旋转综合（综合压轴） 6 二.同步检测 8 （一）单选题（6题） 8 （二）填空题（6题） 10 （三）解答题（6题） 11 一.知识储备与题型分类精析 【知识点一】图形的对称与图形的折叠 图形的对称包括轴对称和中心对称，而图形的折叠是指把某个图形或部分沿某条直线翻折，这条直线为对称轴，折叠问题的实质就是对称问题遇到图形称与折叠问题，首先要想到变换前后的两个图形的大小、形状都不发生改变，即两个图形全等，其对应边相等，对应角相等；其次对称轴垂直平分对应点所连的线段解决这类问题时，常用到全等知识、勾股定理以及分类讨论思想。 【题型 1】平行四边形与折叠问题 【例题1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，平行四边形纸片中，折叠纸片使点落在上的点处，得折痕，再折叠纸片使点落在上的点，得折痕．  （1）请说明：； （2）请说明：． 【变式1】（25-26八年级下·海南·期中）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 【变式3】（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，点D，E分别是上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点F落在上． （1）如图1，若点E是的中点，求证： （2）如图2，若，且点F是的中点．，，求的长． 【知识点二】图形的平移 （1）概念：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。 （2）性质：①平移不改变图形的形状和大小；②一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等。 【题型 2】平行四边形与平移问题 【例题2】（24-25八年级下·重庆江津·期末）如图1，直线分别交x轴和y轴交于点且． （1）求直线的解析式； （2）若点P为x轴上一动点，且，求此时的P点坐标； （3）如图2，将直线向上平移4个单位得到直线，平移后的直线经过点，若点M为平面内一点，且以A，B，C，M四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【变式1】（24-25九年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将▱放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，则▱的面积为（    ） A．10 B． C．5 D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为_____． 【变式3】（24-25八年级下·山西忻州·期中）综合与实践 在学习了平行四边形的有关知识后，慎思小组进行了下面的实践活动：将两个完全相同的含的直角三角板按如图1摆放，使长直角边落在同一条直线上，其中，，．固定直角三角板不动，将另一个直角三角板沿长直角边BC所在直线平移，连接，． （1）如图2，判断四边形的形状，并证明你的结论． （2）如图3，在平移的过程中，连接，当时，线段与有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图4，连接，若的长为，当时，请直接写出的长． 【知识点三】图形的旋转 （1）概念：一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转这个固定的点叫做旋转中心。 （3）性质：①图形经过旋转所得的图形和原图形全等；②对应点到旋转中心的距离相等任何一 对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 【题型 3】平行四边形与旋转问题 【例题3】（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，在边长为6的等边中，点为边上任意一点，连接将线段绕点逆时针旋转，点的对应点是点，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在旋转过程中，取、的中点、，连接和，当时，试猜想与的大小关系，写出你猜想的关系式，并证明； （3）如图2，在整个旋转过程中，的长度是否发生变化，若不变化，直接写出的值，若变化，请直接写出的取值范围． 【变式1】（2024·安徽合肥·三模）一副三角板如图所示放置，，，，，F为的中点，将绕点B旋转过程中，的最大值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，线段，点为线段延长线上一点，将线段绕点旋转得到线段，连接为的中点，连接，则线段的最小值为 _________． 【变式3】（24-25九年级上·湖北·月考）在和中，，，． （1）如图①，当点D在内部时，求证：． （2）将绕点A旋转，当点D落在线段上时，若． ①如图②，连接，若，求线段的长； ②如图③，M，N分别为，的中点，连接，判断线段与的关系并说明理由． 【题型 4】平行四边形与平移、折叠、旋转综合（综合压轴） 【例题4】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，即的三个顶点分别是，，． （1）将以点O为旋转中心旋转，画出旋转后对应的． （2）将作一次平移运动，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的，求线段在平移过程中扫过的面积； （3）若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是________． 【变式1】（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图，在中，已知，点分别在边上，现将沿直线折叠，使点恰好落在点处，若将线段向左平移刚好可以与线段重合，连接，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，在平面内放置一副三角板，，M，N分别是的中点，如果经平移、旋转，则的最大值是___________．    【变式3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）等腰直角三角形是我们学习几何的基本图形，在学完平移，旋转，轴对称三种几何变换后，数学活动课上老师想利用图1中的等腰直角三角形为背景展开有关图形的平移，旋转，轴对称的探究活动．如图1，已知和是共顶点的两个等腰直角三角形，，，．老师首先给了如下一道题，请你完成（1）的详细解题过程． （1）如图2，在图1的条件基础上，分别连接，将绕点A旋转至点B在线段上时． ①求证：； ②求线段的长． （2）数学活动小组的同学解答完对上述问题后，又对这个图形进行了观察和测量，并发现了新的问题，该活动小组小聪，小明，小慧三名同学分别提出下面的问题，请你在小聪，小明，小慧三名同学所提出的问题中选择一道题进行解答，并直接写出答案．（如果选择多道题解答，按所选答题中得分最高的题给分，（2）问满分3分） ①小聪提出的问题：如图3，在图1的条件基础上，分别连接，．点F是线段的中点，连接，将绕点A在平面内自由旋转，则的最大值是______． ②小明提出的问题：如图4，在图1的条件基础上，将绕点A旋转至，且点C在线段上方时，位置不变．连接，，将沿射线方向平移，得到，连接，，则的最小值是______． ③小慧提出的问题：如图5，在图1的条件基础上，将绕点A在平面内自由旋转，当以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，______． 二.同步检测 （一）单选题（6题） 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标依次为，，将线段向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段，则四边形的周长为（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 2．（2024·云南·模拟预测）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A 落在点 处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点的坐标分别为，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2026次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，含30°角的三角板的直角边靠在直尺上平移得到．已知，，平移距离为12，则四边形的面积是（   ） A．96 B． C．192 D． 5．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，．将绕点B旋转得到，分别取的中点P、Q，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（17-18八年级下·云南文山·期末）如图，将沿对角线折叠，使点C落在处，若，则为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（6题） 7．（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）如图，在坐标平面内，的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移m（）个单位．若平移后的直线与边有交点，则m的取值范围是____________． 8．（2024·浙江·模拟预测）在平行四边形中，点，在边上，把沿直线折叠，沿直线折叠，使点，落在对角线上的点处，若，则的度数为______． 9．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在和中，，，．连接，取的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，当点，，在同一直线上时，的长为______． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于__________． 11．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，是相交的两条线段，分别为它们的中点．当绕点旋转时，连接，，，所得到的四边形始终为______形（与不重合）． 12．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．改变E点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，则的长是______． （三）解答题（6题） 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移2格，再向上平移4格． （1）请用无刻度的直尺在图中画出平移后的； （2）利用网格及无刻度的直尺在图中画出的高； （3）图中能使的格点P的个数是______．（点P异于点A）． 14．（25-26八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，直线分别交轴，轴于，两点，与相交于点． （1）求和的值； （2）如图1，动点在上且在第二象限，连接，动点，在上，，连接，，当时，求点的坐标和的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，将点沿射线方向平移个单位，平移后的点记为，过点作的角平分线交线段于点，在平移中，直线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标． 15．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，是的对角线，将边沿折叠，使A点落在上的点G处，将边沿折叠，使点C落在上的点H处． 求证：四边形是平行四边形． 16．（2026·江苏无锡·一模）问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； （1）独立思考：请解答老师提出的问题； （2）实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； （3）问题解决：智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A′，使于点H，连接，交CD于点N，若此的面积为20，边长AB=5，BC=，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积． 17．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 （1）如图1，为等边三角形，将绕点A旋转得到，连接，F是的中点，连接，图1中与的数量关系是 ；图1中的角有 个． 【迁移探究】 （2）如图2，将等边绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，求线段的长． 18．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）已知：和均为等腰三角形，，连接，取的中点分别为，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当点在边上，点在边上时，则是_____三角形； 【类比探究】 （2）把绕点在平面内旋转得到图2，判断的形状是否改变？请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，当时． ①判断的形状，并说明理由； ②把绕点在平面内任意旋转，若，，直接写出面积的最大值与最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $