专题 6.2 平行四边形的判定（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦初中数学平行四边形的判定核心知识点，系统梳理5个判定定理（两组对边平行或相等、两组对角相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分）及平行线间的距离，构建从基础定义到性质应用的学习支架。 资料通过分层题型设计（基础篇巩固判定理解与证明，培优篇结合图形变换和一次函数综合），培养学生几何直观与推理能力。同步检测含选择、填空、解答题，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题 6.2 平行四边形的判定（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】平行四边形的判定定理 1 【知识点二】平行线间的距离 2 二.题型精析 2 【基础篇】 2 【题型 1】平行线四边形的判定理解 2 【题型 2】添加条件证明四边形是平行四边形 5 【题型 3】平行四边形的证明 8 【题型 4】利用平行四边形判定与性质求值 12 【题型 5】利用平行四边形判定与性质证明 16 【培优篇】 19 【题型 6】平行四边形性质与判定综合与图形变换综合 19 【题型 7】平行四边形性质与判定与一次函数综合 26 三.同步检测 32 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 32 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 40 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 46 一.知识梳理 【知识点一】平行四边形的判定定理 平行四边形的判定定理1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 符号语言：，四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形的判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 符号语言：四边形ABCD是平行四边形 平行四边形的判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 符号语言：四边形ABCD是平行四边形 平行四边形的判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 符号语言：，四边形ABCD是平行四边形 平行四边形的判定定理5：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 符号语言：，四边形ABCD是平行四边形 【知识点二】平行线间的距离 定理与推论 符号语言 图示 平行线性质定理：夹在两条平行线间的平行线段相等。 平行线性质定理推论：夹在两条平行线间的垂线段相等。 平行线之间的距离：如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫作这两条平行线之间的距离。 二.题型精析 【基础篇】 【题型 1】平行线四边形的判定理解 【例题1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】判定平行四边形主要有五种方法：两组对边分别平行或相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分． 解：A、，， ， ∴ ， ， 即： ， ∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题根据平行四边形的判定定理对每个选项逐一判断即可． 解：A选项中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故不符合题意； B选项中， 四边形内角和为，，， ， ，可得，同理可得， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意； C选项中，，，无法推出四边形对边平行或相等，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； D选项中，，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）已知四边形中，交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，需逐一分析各条件能否判定四边形为平行四边形，最终得到正确选项． 解：选项A：当时，四边形可以是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故A错误． 选项B：当时，无法推出对角线互相平分或两组对边平行相等，不能判定是平行四边形，故B错误． 选项C：当 时，无法推出两组对边分别平行，不能判定是平行四边形，故C错误． 选项D：， ． ， ， ， 四边形中两组对边分别平行，因此四边形是平行四边形，故D正确． 【变式3】（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．①③④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可求解． 解：①，，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理，故①可判定四边形是平行四边形； ②，，四边形可能为等腰梯形，无法判定是平行四边形，故②不能判定四边形是平行四边形； ③ ，， 符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故③可判定四边形是平行四边形； ④仅，，无法证明对边平行或相等，也无法证明对角线互相平分，故④不能判定四边形是平行四边形； ⑤因为，所以，又因为，，所以 ，得，符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故 ⑤可判定四边形是平行四边形； 综上，可判定的条件是①③⑤． 【题型 2】添加条件证明四边形是平行四边形 【例题2】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． （1）请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． （2）选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 【答案】（1）①②；（2）①，证明见分析（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质和判定解答即可． 解：（1）解：符合条件的选项有：①②； （2）解：我选择①，证明过程如下： ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 我选择②，证明过程如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式1】（上海市天山初级中学等2025-2026学年第二学期八年级数学学科期中练习）如图，在四边形中，对角线交于点O，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于D，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 解：A、B、C均不能证明四边形为平行四边形，D可以， ∵， ∴ ∵， ∴四边形为平行四边形． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 【答案】E，F分别是，的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 解：添加的条件：E，F分别是，的中点 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 【变式3】（2025·江苏宿迁·三模）如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【答案】①，证明见分析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先证明，得到，，推出，添加①，得到，可证明四边形是平行四边形；添加③， 由，可证明四边形是平行四边形． 解：点为的中点，， 在和中， ， ， ，， ， 添加①，理由如下， ， ， 四边形是平行四边形； 添加③，理由如下， ， 四边形是平行四边形． 【题型 3】平行四边形的证明 【例题3】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见分析 【分析】先证，则，，可得，可证四边形是平行四边形． 解：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ． 在和中 ，． ． 四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见分析 【分析】连接，交于点O．利用平行四边形的性质得到，，则可得，然后利用平行四边形的判定可证得结论． 解：证明：连接，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别在上，已知，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）证明，即可证明； （2）可证明，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明结论． 解：（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，． （1）若，，求证：四边形为平行四边形； （2）若，，四边形________平行四边形；（填“是”或“不是”） （3）若，（为大于的正整数），四边形________平行四边形．（填“是”或“不是”） 【答案】（1）证明见分析；（2）是；（3）是 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）（3）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形分别判定即可． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形； （2）解：， ， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， 即若，，四边形是平行四边形； （3）解：∵，，， ， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， 即若，，四边形为平行四边形． 【题型 4】利用平行四边形判定与性质求值 【例题4】（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． （1）求证；四边形是平行四边形； （2）若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到且，结合推出，从而证明四边形是平行四边形； （2）先求出、，利用中位线性质求出，进而求出，利用求面积即可． 解：（1）证明：∵， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴， 又∵、、三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接．若，，，则的面积为（   ） A．6 B．7.5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，得，，利用勾股定理，可求，从而，，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形，进而可得，，最后根据三角形的面积公式计算即可． 解：在中，对角线，交于点，， ，， ，， ， ， ，即， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，按以下步骤尺规作图：①以点C为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点G，H；②分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，交于点P；③连接并延长交于点E；④过点E作交于点F．，，则四边形的周长为________． 【答案】12 【分析】由平行四边形的性质得，，，证明得，从而，再证明四边形是平行四边形，即可求解． 解：∵中，，， ∴，，， ∴． 由作图可知，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 【变式3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，．求的长． 【答案】（1）平行四边形，理由见分析；（2）2 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意得即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 解：（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 【题型 5】利用平行四边形判定与性质证明 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，E，F是对角线BD上的两点，且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见分析 【分析】本题考查平行四边形的判定．连接交于点，利用平行四边形对角线互相平分得到，，再结合推出，从而证明四边形的对角线互相平分． 解：证明：连接交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即 ， ，， 四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，点，分别在边，上，线段，相交于点，且互相平分．若，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与交于点且互相平分，得，证明，再证出四边形是平行四边形，根据等量关系，得，即可求出四边形的周长． 解：线段与交于点且互相平分， 得， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为 ． 【变式2】（24-25八年级下·全国·期中）如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查平行四边形的判定与性质，和等（同）底等高的两个平行四边形面积相等，和同底等高的两个三角形的面积相等．由已知可得，四边形和四边形都是平行四边形，可推出4个结论是否成立． 解：， 四边形是平行四边形，故①正确； ， 四边形是平行四边形， ，故②正确； ， 四边形和四边形等底等高， ，故③正确； 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，故④错误； 故答案为：①②③． 【变式3】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，点，在对角线上，．求证： （1）； （2）连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）四边形为平行四边形，理由见分析 【分析】（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到与平行且相等，由与平行得到内错角与相等，再由已知的，根据得到与全等； （2）由（1）证出的全等，根据全等三角形的性质得到与相等且与相等，由内错角相等两直线平行得到与平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形的形状． 解：（1）证明：是平行四边形， ，， ， ， ，即， ； （2）四边形是平行四边形， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 【培优篇】 【题型 6】平行四边形性质与判定综合与图形变换综合 【例题6】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． （1）如图1，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试猜想线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为12，，直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见分析；（2），证明见分析；（3） 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角 形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的 数量关系； （3）首先，由四边形是平行四边形，得，再由，，得，由折叠可知：，易知为等腰直角三角形，延长交于M，可知 ，由平行四边形的性质可得，，，进而可知，由平行四边形的面积为12，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 解：（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴ ，，则， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，证明如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为边的三等分点， ∴， 由折叠可知，，则， ∴， 由三角形外角性质可知，， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则 ， ∴ ； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由折叠可知， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ，，即， ∴， ∵平行四边形的面积为12，，即， ∴ ，则， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意，得，过点D作于点G，根据题意，得，故的面积为：． 解：根据题意，得直线向右平移3个单位长度时，直线经过点A， 此时直线的解析式为， 设直线与x轴的交点为M，与y轴的交点为N， 则， 故， ， 当直线经过点D，点B时，设过点D的直线与的交点为E，过点B的直线与的交点为F， 根据，得，又因为, 故四边形是平行四边形， 故， 根据函数图象，得， 设直线分别与x轴交于点H，点Q， 则四边形是平行四边形， 故， ， ，， ， 过点D作于点G， 根据题意，得， 故的面积为： 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·期中）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．  （1）如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 （2）如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3） 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案； （2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论； （3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，． 解：（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）解：由折叠可知：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 如图所示，延长交于点，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型 7】平行四边形性质与判定与一次函数综合 【例题7】（25-26八年级下·上海·期中）小海在探究平面直角坐标系中线段长的时候发现，如果已知两点，，则线段的中点M的坐标可以是．例如已知，，则线段的中点坐标是，即中点坐标是． （1）已知两点，，那么线段中点M的坐标是________． （2）据此，他进一步探究：已知平面直角坐标系中三个点的坐标，可以找出第四个点和已知三个点构成平行四边形．例如：已知、、，如果以A、B、C、D四点为顶点可以构成平行四边形，就可以求出D的坐标． 小海的求法： 设 如果以、为对角线，则的中点与的中点重合． 即与重合 得 解得，， 写出小海的求法是依据了平行四边形的判定定理：________． （3）乐乐觉得用这种方法做，应该还有其他位置的D点，请用此方法求出其他位置D点的坐标 【答案】（1）；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）或 【分析】（1）直接利用题干给出的中点坐标公式计算即可得到结果； （2）根据小海利用平行四边形对角线中点重合的性质，对应平行四边形的判定定理即可得出结论； （3）分两种情况讨论，分别以、为对角线和、为对角线，通过构造第四个点D，利用平行四边形对角线中点重合的性质列方程求解，即可得到其余D点的坐标． 解：（1）解：由题意知，中点M的坐标是， 即中点坐标是． （2）解：小海的方法中，说明两条对角线的中点重合，即对角线互相平分，依据的平行四边形判定定理为：对角线互相平分的四边形是平行四边形． （3）解：设， 此时分两种情况讨论： ①以，为对角线， ∴的中点坐标为，即，的中点为， 由中点重合可得：，， 解得，， 此时； ②以，为对角线， ∴的中点坐标为，即，的中点为， 由中点重合可得：，， 解得，， 此时， 综上所述，其他位置D点的坐标为或． 【变式1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，通过中点坐标公式分三种情况讨论点的坐标：①以为对角线；②以为对角线；③以为对角线，计算出所有可能的点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标． 解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 【变式2】（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． （1）请求出直线的解析式； （2）平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； （3）点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）平行四边形，；（3）当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 解：（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A、由不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、由不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、由能判定四边形是平行四边形，符合题意； D、由不能判定四边形是平行四边形，不符合题意． 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，四边形中，交于点，添加下列选项中的一个条件，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 解：因为，所以四边形是平行四边形，则A符合题意； 因为，所以，不能说明四边形是平行四边形，则B不符合题意； 因为，所以四边形可能是等腰梯形，则C不符合题意； 因为，不能说明四边形是平行四边形，则D不符合题意． 3．（2024·贵州遵义·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，能推出四边形是平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】A 解：由题意可知，，， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，为边上的中线，延长到点D，使，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据对角线互相平分得四边形是平行四边形，则，，即可求解． 解：如图，连接， ∵为边上的中线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26八年级下·山西晋中·期中）五一假期将至，某风景区为迎接游客，在相互平行的小溪两岸分别设有休息区与娱乐区．现计划在小溪上修建一座桥梁，要求桥梁与河岸垂直，欲使从休息区到娱乐区的通行路程最短，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把点（或点）沿着它们垂直于河岸的方向平移，使平移的距离等于河宽，再作两点间的线段，再结合图形分析即可得出结果． 解：根据题意，应先把点（或点）沿着它们垂直于河岸的方向平移，使平移的距离等于河宽，再作两点间的线段，如图： ． 6．（2026八年级下·上海·专题练习）如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．当，时，四边形可能为等腰梯形， 所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意； D．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 7．（25-26八年级下·河南开封·期中）四边形中，，要判定是平行四边形，那么还需要满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知四边形中，根据平行四边形的判定规则，只需再推出另一组对边，即可判定该四边形是平行四边形，结合平行线的判定定理验证各选项即可． 解：（已知）， ，（两直线平行，同旁内角互补）， A选项：是的已有结论，无法推出，不能判定四边形为平行四边形，故A错误； B选项：， （同旁内角互补，两直线平行）， 又， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故B正确； C选项：是的已有结论，无法推出，不能判定四边形为平行四边形，故C错误； D选项：等腰梯形满足，此时，结合可得，但等腰梯形不是平行四边形，故D错误． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）小刘在长方形台球桌面上击球，球的运动轨迹形成四边形，台球每次撞击桌面时，入射方向与桌面的夹角等于反射方向与桌面的夹角（如），下列关于四边形的推理中，说法错误的是（   ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的判定及性质．根据题意，入射角等于反射角，结合直角三角形的两个锐角互余，得到四边形相邻两角互补，再利用同旁内角互补，两直线平行，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，判定选项即可． 解：， ， （同旁内角互补，两直线平行）， 同理可证， 四边形是平行四边形． 选项A，平行四边形的对角相等，所以，不符合题意； 选项B，平行四边形的对角线，不一定相等，不正确，符合题意； 选项C，两直线平行，同旁内角互补，正确，不符合题意； 选项D，平行四边形对边平行且相等，且正确，不符合题意． 9．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交，于点，，连接、，若已知，且，则的面积为（   ） A．3 B．12 C．15 D．24 【答案】B 【分析】证明四边形是平行四边形，即可求解． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，且， ∴， ∵点在上， ∴． 10．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，等腰梯形中，，，与交于点，下列四个结论中①；②；③；④．正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】过点A作于点E，过点D作于点F，证明四边形为平行四边形，得出，证明，得出，，根据，得出，即，判断①正确；证明，得出，，再证明，判定④正确；根据与不全等，得出，判定②错误；根据与不一定相等，，说明与不一定相等，判定③错误． 解：过点A作于点E，过点D作于点F，如图所示： 则，， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即，故①正确； ∵，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴与中三个内角都对应相等， ∵的对边，的对边，且， ∴与不全等， ∴，故②错误； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， ∵， ∴与不一定相等，故③错误； 综上，正确的个数为2个． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）梦梦拿出两段长度相等的木棒平行摆放，然后顺次连接四个端点，得到的图形一定是______，理由是_______． 【答案】 平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】将两段平行且相等的木棒对应为四边形的一组对边，利用平行四边形的核心判定条件分析． 解：设两段木棒为线段和，由题意得且，顺次连接四个端点得到四边形． ∵，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 12．（2026·河北邯郸·一模）如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为______． 【答案】 【分析】根据已知条件结合平行线的判定得出，要使四边形为平行四边形，则需满足，即可求解． 解：当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． 13．（25-26八年级下·上海松江·月考）如图，点A、B在的对角线所在的直线上且．若，则_________． 【答案】/35度 【分析】利用平行四边形的性质证明即可． 解：∵中， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，对角线交于点O，点E在线段上（不与点A，O重合），点F在线段O，C上（不与点O，C重合），当E，F的位置满足__________条件时，四边形是平行四边形． 【答案】如，答案不唯一 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形． 当时四边形是平行四边形；根据四边形是平行四边形，可得，，再由条件可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形． 解：当时，四边形是平行四边形，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点．下列条件：①，②，③，④．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是__________． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法．常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论． 解：①∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②∵，， ∴无法得出四边形是平行四边形，故②不正确； ③∵，， 不能得出四边形是平行四边形，故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④正确； 故答案为：①④． 16．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 17．（25-26八年级下·内蒙古·月考）如图所示，在中，，，，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】运用平行四边形的性质以及，求出，再证明四边形是平行四边形，故，，最后运用勾股定理得，把数值代入计算，即可作答． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 则 ∴ 过点M作交于点，交于点，如图所示： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 则． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． （1）添加的一个条件是：______； （2）说明理由． 【答案】（1），答案不唯一；（2）见分析 【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 解：（1）解：从对角线的角度思考，可以添加， 故答案为：．不唯一 （2）证明：∵的对角线与相交于点O，     ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河南焦作·期中）如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，若．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见分析 【分析】证明得出，即可证明，结合，即可得证． 解：证明：∵， ∴，即， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， （1）探究与的数量关系，并说明理由． （2）设，求S关于t的关系式； （3）Q在内部，当时，求t的值． 【答案】（1），理由见分析;（2）;（3） 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，设点P到的距离为，利用三角形面积公式和平行四边形面积公式求出和，进而探究二者的数量关系即可； （2）过点D作于点E，根据勾股定理求出长，利用“等面积法”求出长，进而求出，由（1）知，，据此解答即可； （3）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，利用求出，进而求出长，利用，列方程求解即可． 解：（1）解：，理由如下： ，垂直于D， ， 设点P到的距离为， 、， ； （2）解：如图，过点D作于点E， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 由（1）知，， ； （3）解：设交于点M， 四边形是平行四边形， 、， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 在内部， ， ， 整理得：， 解得． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·浙江·期中）如图，E，F分别是平行四边形边，上的点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理； （1）根据平行四边形的性质得到，，再利用，即可得到四边形是平行四边形，进而得到，根据线段的和差解答即可； （2）根据平行四边形的性质得到，再根据三角形的内角和定理解答即可． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点F，E，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见分析 【分析】根据平行四边形的性质得出相等的边和角，证明，得出，即可得出结论． 解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，于点，，连接交于点． （1）如图1所示，，，求的值． （2）如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． ①证明：． ②直接写出的等量关系． 【答案】（1）；（2）①证明见分析；② 【分析】（1）在中，用勾股定理求出；由算出，进而求出底边；过作延长线，利用平行四边形性质得、；求出，再在中用勾股定理求． （2）①由、，得两个直角；利用同角的余角相等，推出一组对应角相等；结合已知，用证三角形全等．②利用平行四边形对角线中点性质，结合直角三角形斜边中线得、；借用前一问全等结论，得、，推一组夹角相等；用证，得、；由等腰直角三角形三边关系，推出数量关系． 解：（1）解：∵， 在中，，， 由勾股定理得： 又， ， ． 四边形是平行四边形， ，，且， ， ，即． 过点作，交的延长线于点， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴， 在中： ； （2）解：①在▱中，， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ②连接， 在中，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.2 平行四边形的判定（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】平行四边形的判定定理 1 【知识点二】平行线间的距离 2 二.题型精析 3 【基础篇】 3 【题型 1】平行线四边形的判定理解 3 【题型 2】添加条件证明四边形是平行四边形 3 【题型 3】平行四边形的证明 4 【题型 4】利用平行四边形判定与性质求值 5 【题型 5】利用平行四边形判定与性质证明 7 【培优篇】 8 【题型 6】平行四边形性质与判定综合与图形变换综合 8 【题型 7】平行四边形性质与判定与一次函数综合 9 三.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.知识梳理 【知识点一】平行四边形的判定定理 平行四边形的判定定理1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 符号语言：，四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形的判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 符号语言：四边形ABCD是平行四边形 平行四边形的判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 符号语言：四边形ABCD是平行四边形 平行四边形的判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 符号语言：，四边形ABCD是平行四边形 平行四边形的判定定理5：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 符号语言：，四边形ABCD是平行四边形 【知识点二】平行线间的距离 定理与推论 符号语言 图示 平行线性质定理：夹在两条平行线间的平行线段相等。 平行线性质定理推论：夹在两条平行线间的垂线段相等。 平行线之间的距离：如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫作这两条平行线之间的距离。 二.题型精析 【基础篇】 【题型 1】平行线四边形的判定理解 【例题1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． ， B．， C．， D．， 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）已知四边形中，交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D．且 【变式3】（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．①③④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【题型 2】添加条件证明四边形是平行四边形 【例题2】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． （1）请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． （2）选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 【变式1】（上海市天山初级中学等2025-2026学年第二学期八年级数学学科期中练习）如图，在四边形中，对角线交于点O，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 【变式3】（2025·江苏宿迁·三模）如图，是四边形的对角线，点为的中点，．从①，②，③等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【题型 3】平行四边形的证明 【例题3】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别在上，已知，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是平行四边形． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，． （1）若，，求证：四边形为平行四边形； （2）若，，四边形________平行四边形；（填“是”或“不是”） （3）若，（为大于的正整数），四边形________平行四边形．（填“是”或“不是”） 【题型 4】利用平行四边形判定与性质求值 【例题4】（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． （1）求证；四边形是平行四边形； （2）若，，，直接写出四边形的面积． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接．若，，，则的面积为（   ） A．6 B．7.5 C．8 D．10 【变式2】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，按以下步骤尺规作图：①以点C为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点G，H；②分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，交于点P；③连接并延长交于点E；④过点E作交于点F．，，则四边形的周长为________． 【变式3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，．求的长． 【题型 5】利用平行四边形判定与性质证明 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，E，F是对角线BD上的两点，且，求证：四边形为平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，点，分别在边，上，线段，相交于点，且互相平分．若，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·期中）如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有________．（填序号） 【变式3】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，点，在对角线上，．求证： （1）； （2）连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【培优篇】 【题型 6】平行四边形性质与判定综合与图形变换综合 【例题6】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． （1）如图1，当点恰好落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试猜想线段与的数量关系，并加以证明； （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为12，，直接写出线段的长． 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．10 B． C．5 D． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·期中）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．  （1）如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 （2）如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【题型 7】平行四边形性质与判定与一次函数综合 【例题7】（25-26八年级下·上海·期中）小海在探究平面直角坐标系中线段长的时候发现，如果已知两点，，则线段的中点M的坐标可以是．例如已知，，则线段的中点坐标是，即中点坐标是． （1）已知两点，，那么线段中点M的坐标是________． （2）据此，他进一步探究：已知平面直角坐标系中三个点的坐标，可以找出第四个点和已知三个点构成平行四边形．例如：已知、、，如果以A、B、C、D四点为顶点可以构成平行四边形，就可以求出D的坐标． 小海的求法： 设 如果以、为对角线，则的中点与的中点重合． 即与重合 得 解得，， 写出小海的求法是依据了平行四边形的判定定理：________． （3）乐乐觉得用这种方法做，应该还有其他位置的D点，请用此方法求出其他位置D点的坐标 【变式1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． （1）请求出直线的解析式； （2）平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； （3）点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，四边形中，交于点，添加下列选项中的一个条件，能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州遵义·模拟预测）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，能推出四边形是平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，为边上的中线，延长到点D，使，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山西晋中·期中）五一假期将至，某风景区为迎接游客，在相互平行的小溪两岸分别设有休息区与娱乐区．现计划在小溪上修建一座桥梁，要求桥梁与河岸垂直，欲使从休息区到娱乐区的通行路程最短，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026八年级下·上海·专题练习）如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河南开封·期中）四边形中，，要判定是平行四边形，那么还需要满足（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）小刘在长方形台球桌面上击球，球的运动轨迹形成四边形，台球每次撞击桌面时，入射方向与桌面的夹角等于反射方向与桌面的夹角（如），下列关于四边形的推理中，说法错误的是（   ） A． B． C． D．且 9．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交，于点，，连接、，若已知，且，则的面积为（   ） A．3 B．12 C．15 D．24 10．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，等腰梯形中，，，与交于点，下列四个结论中①；②；③；④．正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）梦梦拿出两段长度相等的木棒平行摆放，然后顺次连接四个端点，得到的图形一定是______，理由是_______． 12．（2026·河北邯郸·一模）如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为______． 13．（25-26八年级下·上海松江·月考）如图，点A、B在的对角线所在的直线上且．若，则_________． 14．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，对角线交于点O，点E在线段上（不与点A，O重合），点F在线段O，C上（不与点O，C重合），当E，F的位置满足__________条件时，四边形是平行四边形． 15．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，，对角线、相交于点．下列条件：①，②，③，④．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是__________． 16．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 17．（25-26八年级下·内蒙古·月考）如图所示，在中，，，，，，则的长为__________． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． （1）添加的一个条件是：______； （2）说明理由． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河南焦作·期中）如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，若．求证：四边形为平行四边形． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， （1）探究与的数量关系，并说明理由． （2）设，求S关于t的关系式； （3）Q在内部，当时，求t的值． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·浙江·期中）如图，E，F分别是平行四边形边，上的点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，的对角线相交于点O，过点O且与分别相交于点F，E，连接．求证：四边形是平行四边形． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，于点，，连接交于点． （1）如图1所示，，，求的值． （2）如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． ①证明：． ②直接写出的等量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $