专题 6.5 平行四边形复习专题——平行四边形二级结论（结论梳理+题型精析+同步检测）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

该初中数学讲义通过表格系统梳理平行四边形的五个二级结论，涵盖角平分线、面积、边与对角线关系等核心要点，每个结论均匹配基本图形与结论表述，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“结论-题型-变式”的递进设计，如“平行四边形+双角平分线”题型结合尺规作图与证明推理，培养几何直观与推理意识。同步检测分选择、填空、解答题分层设置，基础题巩固结论应用，综合题提升问题解决能力，助力教师实施精准教学，学生自主复习时可按需突破。

专题 6.5 平行四边形复习专题——平行四边形二级结论专题（结论梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.二级结论梳理与题型分类精析 1 【结论一】平行四边形+角平分线 1 【题型 1】平行四边形+单角平分线 2 【题型 2】平行四边形+双角平分线 3 【结论二】平行四边形+面积 5 【题型 3】平行四边形+等面积 6 【题型 4】平行四边形+面积一半+乘积相等 7 【结论三】平行四边形的边与对角线数量关系 8 【题型 5】平行四边形边与对角线平方和关系 8 【结论四】平行四边形边的对称性等分面积 8 【题型 6】平行四边形边与等分面积关系 10 【结论五】平行四边形四个顶点坐标关系 12 【题型 7】平行四边形顶点坐标 12 二.同步检测 13 （一）单选题（6题） 13 （二）填空题（6题） 15 （三）解答题（6题） 16 一.二级结论梳理与题型分类精析 【结论一】平行四边形+角平分线 条件 基本图形1 结论 基本图形2 结论 单角平分线 双角平分线 EF=AB-AF AB=CD=DF=AF AB=CD=AE=DF BC=2AB+EF 四边形BEDF是平行四边形 四边形BHDG 是平行四边形 【题型 1】平行四边形+单角平分线 【例题1】（2025·广西南宁·模拟预测）【情境】中考尺规作图的专题复习课上，老师让同学们按要求作图： 在中，作的角平分线. 小南说：“这简单！我学过用尺规作图作角平分线的方法，我来试试。” 小宁说：“我还有别的方法可以实现作的角平分线！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分.” （1）按照小南的方法，在图中用尺规作的平分线； （2）小宁按照自己的方法作出了的角平分线，如图2所示，请你判断小宁的做法是否正确？若正确，请说明理由. 【变式1】（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·天津西青·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DE＝______cm． 【变式3】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E，求证：． 【题型 2】平行四边形+双角平分线 【例题2】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的角平分线，交于E；作的角平分线，交于F；（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，经过学习小组讨论发现，请给出以下证明，请将证明过程补充完整． 证明：平分， ， 平分， ① ， 四边形为平行四边形， ② ，，， 即， ③ ，， ，， ，， ， ④ ， ． 【变式1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，，和的角平分线分别交于点和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江西宜春·期末）如图，四边形是平行四边形，与的角平分线相交于点，若点恰好在线段上，，，则__________． 【变式3】（24-25八年级下·山西太原·期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 当平行四边形的一边是邻边的两倍时，平行四边形可以分割成两个等腰三角形和一个直角三角形．小明发现了一种分割方法，其思考、探究过程如下： 已知：如图1，在▱中，，点是边的中点，连接． 求证：． 证明：四边形为平行四边形， （依据：①___________） 点是边的中点， ． 又， ． ． 中，， ． 同理． 四边形为平行四边形， ②___________． 任务： （1）分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①___________；②___________． （2）问题解决： ①将图1中的某个三角形进行适当的全等变换，可以将平行四边形变形为一个等腰三角形．请写出该三角形变换的过程，并在图2中画出变换后的图形； ②如图1，边上还存在不同于点的点，使得．请用尺规在图3的边上作出点．（保留作图痕迹，不写作法） （3）联系拓广： 已知：在中，的角平分线交边于点的角平分线交边于点，若．请直接写出的值． 【结论二】平行四边形+面积 条件 基本图形 结论 条件 基本图形 结论 【题型 3】平行四边形+等面积 【例题3】（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． （1）若，，求的度数和的长． （2）若的面积是，求四边形的面积． 【变式1】（24-25七年级上·河北秦皇岛·开学考试）如图，平行线间的三个图形，下列说法正确的是（    ）    A．平行四边形的面积大 B．三角形的面积大 C．梯形的面积大 D．三个图形的面积相等 【变式2】（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，，B，C，D是上的三点，且，A，E是上的两点，三角形的面积记作，三角形的面积记作，三角形的面积记作，则_________（填入“”、“”、“”） 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． （1）如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； （2）如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【题型 4】平行四边形面积一半+等面积 【例题4】（2025·陕西西安·三模）如图，已知四边形是平行四边形，请用尺规作图法在边上求作一点，连接、，使得的面积等于面积的一半．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】（2024九年级下·广西·专题练习）如图，平行四边形中阴影部分的面积是，这个平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，点E是内任意一点．若的面积是6，则涂色部分的面积是______．    【变式3】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，四边形是面积为S的平行四边形． （1）如图①，点为边上任意一点，则的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系是______； （2）如图②，设交于点，则的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系是______； （3）如图③，点为内任意一点时，试猜想的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系，并加以证明； （4）如图④，已知点为内任意一点，的面积为2，的面积为8，连接，求的面积． 【结论三】平行四边形的边与对角线数量关系 条件 基本图形 结论 备注 利用勾股定理证明即可 【题型 5】平行四边形边与对角线平方和关系 【例题5】（25-26八年级下·山东日照·月考）求证：平行四边形的对角线长的平方和等于四条边长的平方和．即． 【变式1】（2024·河南驻马店·二模）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为_____ ．    【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·月考）给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．如图所示，将绕顶点B按顺时针方向旋转得到，连接，，，已知． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：，即四边形是勾股四边形． 【变式3】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）（1）【问题发现】学习矩形后，小明发现：矩形两条对角线的平方和，等于它四边的平方和，即：如图1，在矩形中，有，请你证明小明的发现的正确性． （2）【一般探究】如图2，在中，小明的发现还成立吗？请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在中，为的中点，，，，求的长． 【结论四】平行四边形边的对称性等分面积 条件 基本图形 结论 备注 利用平行四边形是中心对称图形即可得出结论 【题型 6】平行四边形边与等分面积关系 【例题6】（24-25九年级下·吉林长春·月考）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形的顶点均在格点上，仅用无刻度直尺，分别按下列要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图①中的线段上找到一点，连结，使得将四边形的面积分成两部分． （2）在图②中一条直线，使得直线，且直线上任意一点与点、构成三角形的面积是四边形的面积的． 【变式1】（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图：的对角线交于点O．    （1）基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： （2）拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． （3）观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    （4）实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    【变式2】（25-26七年级上·重庆·自主招生）如图，请过平行四边形内一点P画一条直线，将平行四边形分成面积相等的两部分（画图并说明方法）． 【变式3】（24-25八年级下·山西长治·期中）综合与实践 【问题背景】课上，老师布置了一个探究任务：请画一条直线，把分成面积相等的两部分． 【操作发现】同学们思考后，给出了以下方法： 如图1，过平行四边形一组对角顶点画直线，可以把分成面积相等的两部分； 如图2，过平行四边形一组对边的中点画直线，可以把分成面积相等的两部分． 同学们进一步观察、对比、分析，联想平行四边形的对称性，发现：平分平行四边形面积的直线都经过平行四边形对角线的交点． 【问题解决】 （1）如图3，在中，对角线相交于点O，过点O任意作一条直线，分别交于点E，F．求证：． （2）如图4是一块空地，，现要用一条直线将其等分成两块地种植不同品种的花卉，请你画出两块地的分界线． 【结论五】平行四边形四个顶点坐标关系 条件 基本图形 结论 备注 利用中点坐标公式即可得出结论 【题型 7】平行四边形顶点坐标 【例题7】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线向下平移4个单位长度得到直线，直线与x轴交于点B，与相交于点C． (1)直线的解析式为 ； (2)求点C的坐标； (3)在坐标平面内是否存在一点N，使以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，已知．若第一象限内的点M与A，B，C构成平行四边形，则M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 【变式3】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且面积为10． (1)求点C的坐标及直线的解析式； (2)若M为线段上一点，且满足，求直线的解析式； (3)若E为直线上一个动点，在x轴上是否存在点D，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 二.同步检测 （一）单选题（6题） 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，在中，、的角平分线交于边上一点，且，线段的长为（　　） A． B． C． D．3 3．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，已知平行四边形，的角平分线交边于点．交延长线于点，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·山西太原·期末）如图，在中，，四个角的角平分线分别相交于点E，F，G，H，则四边形对角线的长为（    ） A．3 B． C． D． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A．红花，白花种植面积一定相等 B．红花，蓝花种植面积一定相等 C．蓝花，黄花种植面积一定相等 D．紫花，橙花种植面积一定相等 6．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，点在边上移动（不与点，重合），以为一边作，连接，则下列为定值的是（    ） A．的面积 B．四边形的面积 C． D． （二）填空题（6题） 7．（2025·广东广州·二模）如图，在平行四边形中，的角平分线交边于点，，则的度数是___________． 8．（23-24八年级下·浙江温州·月考）如图，在平行四边形ABCD中，，，和的角平分线分别交AD于点E和F，______． 9．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，，的面积是，则的面积是_______ 10．（23-24八年级下·重庆渝中·开学考试）如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是_____． 11．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）如图，是内部的任意一点，连接，，，．若的面积为，的面积为，且，则的面积是______． 12．（23-24九年级上·山西运城·期中）在平行四边形中，对角线相交于点O，过O的两条直线分别交边,，于点E、F，G，H．且，，当______，使直线把四边形的面积四等分． （三）解答题（6题） 13．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，是中的角平分线，交于点． (1)作的角平分线，交于点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)证明：． 14．（24-25八年级下·重庆·阶段检测）学习了平行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线所形成的两夹角的角平分线，与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： (1)如图，用直尺和圆规，过点D作的角平分线，交于点F．（不写做法，保留作图痕迹） (2)已知：四边形是平行四边形，连接，若平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ① ∴ ② ∵平分，平分， ∴， ③ ∴ ④ ∴， ∵ ⑤ ∴四边形是平行四边形． 15．（24-25九年级下·江西抚州·期中）如图，在中，点E为的中点，请只用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，在上找点F，使得四边形的面积是面积的； (2)如图2，作（点G在上），使得的面积是面积的． 16．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，． (1)求点的坐标和的对称中心的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 17．（24-25九年级上·吉林·开学考试）实践与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点坐标为，直线与直线相交于点，点的横坐标为1．    (1)求直线的解析式； (2)若点是轴上一点，且的面积是面积的，求点的坐标； (3)在轴右侧是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 18．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）【模型建立】如图1，在中，点E为边上一动点，连接．设，，的面积分别为，，．写出，，之间的数量关系，并用两种不同的方法证明； 【模型应用】 如图2，在中，，，，点E为边上的一动点，连接．过点B作．求的值； 【模型拓展】 如图3，点P为内一点（点P不在上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），写出的面积，并说明理由．（用含，的代数式表示） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.5 平行四边形复习专题——平行四边形二级结论专题（结论梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.二级结论梳理与题型分类精析 1 【结论一】平行四边形+角平分线 1 【题型 1】平行四边形+单角平分线 2 【题型 2】平行四边形+双角平分线 5 【结论二】平行四边形+面积 11 【题型 3】平行四边形+等面积 12 【题型 4】平行四边形+面积一半+乘积相等 15 【结论三】平行四边形的边与对角线数量关系 19 【题型 5】平行四边形边与对角线平方和关系 19 【结论四】平行四边形边的对称性等分面积 19 【题型 6】平行四边形边与等分面积关系 24 【结论五】平行四边形四个顶点坐标关系 30 【题型 7】平行四边形顶点坐标 30 二.同步检测 37 （一）单选题（6题） 37 （二）填空题（6题） 42 （三）解答题（6题） 47 一.二级结论梳理与题型分类精析 【结论一】平行四边形+角平分线 条件 基本图形1 结论 基本图形2 结论 单角平分线 双角平分线 EF=AB-AF AB=CD=DF=AF AB=CD=AE=DF BC=2AB+EF 四边形BEDF是平行四边形 四边形BHDG 是平行四边形 【题型 1】平行四边形+单角平分线 【例题1】（2025·广西南宁·模拟预测）【情境】中考尺规作图的专题复习课上，老师让同学们按要求作图： 在中，作的角平分线. 小南说：“这简单！我学过用尺规作图作角平分线的方法，我来试试。” 小宁说：“我还有别的方法可以实现作的角平分线！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分.” （1）按照小南的方法，在图中用尺规作的平分线； （2）小宁按照自己的方法作出了的角平分线，如图2所示，请你判断小宁的做法是否正确？若正确，请说明理由. 【答案】（1）见分析；（2）正确，理由见分析． 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角的平分线、平行四边形的性质、圆的基本性质． 根据尺规作图作一个角的平分线作图即可； 根据小宁作图的方法可知，根据等边对等角可知，根据平行四边形的性质可知，根据平行线的性质可知，等量代换可知，所以可知平分． 解：（1）解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点， 作射线，射线即为的平分线； （2）解：小宁的作法正确， 理由如下： 以为圆心，为半径作弧， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 平分， 小宁的作法正确． 【变式1】（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得，由平行四边形的性质可知，则，即可得答案． 解：∵平分，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·天津西青·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DE＝______cm． 【答案】3 【分析】利用平行四边形的性质得出ADBC，进而得出∠AEB=∠CBF，再利用角平分线的性质得出∠ABF=∠CBF，进而得出∠AEB=∠ABF，即可得出AE的长，即可得出答案． 解：∵在平行四边形ABCD中， ∴ADBC， ∴∠AEB=∠CBF， ∵∠ABC的角平分线交AD于点E， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠AEB=∠ABF， ∴AB=AE， ∵AB=4cm，AD=7cm， ∴DE=3cm． 故答案为：3． 【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出∠AEB=∠ABF是解题关键． 【变式3】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E，求证：． 【答案】见分析 【分析】由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和等角对等边推出，则，据此可证明． 解：证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵的角平分线交于点F，交的延长线于点E， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型 2】平行四边形+双角平分线 【例题2】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的角平分线，交于E；作的角平分线，交于F；（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，经过学习小组讨论发现，请给出以下证明，请将证明过程补充完整． 证明：平分， ， 平分， ① ， 四边形为平行四边形， ② ，，， 即， ③ ，， ，， ，， ， ④ ， ． 【答案】（1）见详解；（2）①； ②；③；④四边形为平行四边形 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质以及判定，熟记相关定理内容是解题关键． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧与、相交，再以两交点为圆心，任意长为半径画弧即可作出的角平分线；同法可作出的角平分线； （2）根据推理过程即可求解； 解：（1）解：如图，、为所作；    （2）证明：平分， ， 平分， ， 四边形为平行四边形， ，，， 即， ，， ，， ，， ， 四边形为平行四边形， ． 故答案为：①； ②；③；④四边形为平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，，和的角平分线分别交于点和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质得到，，，，结合角平分线的性质可推出，，则，，根据，即可求解． 解：在中，，，， ，，，， 和的角平分线分别交于点和， ，， ，， ，， ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江西宜春·期末）如图，四边形是平行四边形，与的角平分线相交于点，若点恰好在线段上，，，则__________． 【答案】 【分析】根据角平分线与平行线的性质可得，进而根据平行四边形的性质可得，在中，勾股定理即可求解． 解：∵四边形是平行四边形，与的角平分线相交于点， ∴， ， ， ， ， ，同理可得， ， ， 则， 中，， 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等角对等边，角平分线的定义，证明是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·山西太原·期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 当平行四边形的一边是邻边的两倍时，平行四边形可以分割成两个等腰三角形和一个直角三角形．小明发现了一种分割方法，其思考、探究过程如下： 已知：如图1，在▱中，，点是边的中点，连接． 求证：． 证明：四边形为平行四边形， （依据：①___________） 点是边的中点， ． 又， ． ． 中，， ． 同理． 四边形为平行四边形， ②___________． 任务： （1）分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①___________；②___________． （2）问题解决： ①将图1中的某个三角形进行适当的全等变换，可以将平行四边形变形为一个等腰三角形．请写出该三角形变换的过程，并在图2中画出变换后的图形； ②如图1，边上还存在不同于点的点，使得．请用尺规在图3的边上作出点．（保留作图痕迹，不写作法） （3）联系拓广： 已知：在中，的角平分线交边于点的角平分线交边于点，若．请直接写出的值． 【答案】（1）①平行四边形的对边相等；②；（2）①见分析；②见分析；（3）或 【分析】（1）根据平行四边形及，即可解答； （2）如图；将绕点顺时针旋转，可得是等腰三角形，即可证； （3）设 ，根据图形不同，分类讨论分析即可解答. 解：（1）证明：四边形为平行四边形， （依据：①平行四边形的对边相等） 点是边的中点， ． 又， ． ． 中，， ． 同理． 四边形为平行四边形， ②． 故答案为：①平行四边形的对边相等；②； （2）①∵ ∴ 如图；将绕点顺时针旋转， ∵ ∴ ∴是等腰三角形 ②如图，为直径，交于点；则 （3）设 ∵平分 ∴ ，则 同理，平分 有两种情况： ①若在的右边，如图； ∴ ∵ ∴ ，解得：， ∴； ②若在的左边，如图； ∴ ∵ ∴ ，解得：， ∴； 综上所述：的值为或 【点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定，角平分线的性质，平行线的性质，分类讨论的方法，解题关键在于熟练掌握各个知识点的内容和辅助线的解题技巧. 【结论二】平行四边形+面积 条件 基本图形 结论 条件 基本图形 结论 【题型 3】平行四边形+等面积 【例题3】（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． （1）若，，求的度数和的长． （2）若的面积是，求四边形的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了平移的性质以及平移的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移性质，得，则，结合条件，即可作答； （2）作平行交于点D．根据平移性质，得、与平行四边形相等，可求解． 解：（1）解：沿着方向平移至， ． ， ． 平移的距离是边的1.5倍， ． ． （2）解：作平行交于点D． 沿着方向平移至， ，． 、与平行四边形等高，． ． 平移的距离是边的倍， ． 设的高为h， ， 平行四边形  的面积三角形的面积， 四边形的面积为． 【变式1】（24-25七年级上·河北秦皇岛·开学考试）如图，平行线间的三个图形，下列说法正确的是（    ）    A．平行四边形的面积大 B．三角形的面积大 C．梯形的面积大 D．三个图形的面积相等 【答案】D 【分析】设该组平行线间的距离为h，根据各个图形的面积公式将各个图形面积表示出来即可解得． 解：设该组平行线间的距离为h， 平行四边形的面积， 三角形的面积， 梯形的面积， ∴三个图形的面积相等， 故选：D． 【点拨】本题主要考查了平行线间的距离处处相等，解题的关键是熟练掌握该性质． 【变式2】（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，，B，C，D是上的三点，且，A，E是上的两点，三角形的面积记作，三角形的面积记作，三角形的面积记作，则_________（填入“”、“”、“”） 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的面积计算，掌握同底等高的两个三角形面积相等是解题的关键．设两平行线之间的距离为h，可得，再求解即可得到答案． 解：设两平行线之间的距离为h， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． （1）如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； （2）如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【答案】（1），同底等高的两个三角形的面积相等；（2）与，与 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线之间的距离等知识点，掌握“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”是解题的关键． （1）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答； （2）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答． 解：（1）解：∵直线，, ∴点P和点C到直线n的距离相等． 又∵在和中，， ∴（同底等高的两个三角形的面积相等）． 故答案为：，同底等高的两个三角形的面积相等． （2）解：设直线m和n之间的距离为h ∵, ∴． ∴,即． 故答案为：与，与． 【题型 4】平行四边形面积一半+等面积 【例题4】（2025·陕西西安·三模）如图，已知四边形是平行四边形，请用尺规作图法在边上求作一点，连接、，使得的面积等于面积的一半．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见分析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，作线段的垂直平分线，交于点，可得，由平行四边形的性质得，，即得，和间的距离相等，由三角形的面积公式可得，故点即为所求，掌握以上知识是解题的关键． 解：如图所示，点即为所求． 【变式1】（2024九年级下·广西·专题练习）如图，平行四边形中阴影部分的面积是，这个平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质解答即可． 解：∵平行四边形中阴影部分的面积是平行四边形面积的一半， ∴这个平行四边形的面积是． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，点E是内任意一点．若的面积是6，则涂色部分的面积是______．    【答案】3 【分析】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式=底×高．过E作，交BC于M，交于N，的面积+的面积平行四边形的面积，即可得出阴影部分的面积． 解：过E作，交BC于M，交于N，如图所示：    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴ 平行四边形的面积 ， ∴阴影部分的面积， 故答案为：3． 【变式3】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，四边形是面积为S的平行四边形． （1）如图①，点为边上任意一点，则的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系是______； （2）如图②，设交于点，则的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系是______； （3）如图③，点为内任意一点时，试猜想的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系，并加以证明； （4）如图④，已知点为内任意一点，的面积为2，的面积为8，连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见分析；（4） 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的性质、等高模型的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据平行四边形的性质可知：，即可解决问题； （2）理由平行四边形的性质可知：，即可解决问题； （3）结论：．如图③中，作于，延长交于．根据； （4）设的面积为，的面积为，则，推出，可得的面积． 解：（1）解：如图①中，∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ． 故答案为． （2）如图②中，四边形是平行四边形， ，， ， ． 故答案为： （3）结论：． 理由：如图③中，作于，延长交于．    ∵，， ， ． （4）设的面积为，的面积为， 则， ， 的面积． 【结论三】平行四边形的边与对角线数量关系 条件 基本图形 结论 备注 利用勾股定理证明即可 【题型 5】平行四边形边与对角线平方和关系 【例题5】（25-26八年级下·山东日照·月考）求证：平行四边形的对角线长的平方和等于四条边长的平方和．即． 【答案】证明见分析 【分析】作，作，再根据平行四边形的性质证明，可得，然后根据勾股定理得，，再将两式相加可得，接下来根据，可得，最后根据可得答案． 解：如图所示，过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式1】（2024·河南驻马店·二模）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为_____ ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，延长到，使，连接，，证明四边形是平行四边形，由阿波罗尼奥斯定理得，即可求解，掌握平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键． 解：如图所示，    延长到，使，连接，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由阿波罗尼奥斯定理得，， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·月考）给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．如图所示，将绕顶点B按顺时针方向旋转得到，连接，，，已知． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：，即四边形是勾股四边形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）首先证明△ABC≌△DBE，得出BC＝BE，进一步得出△BCE为等边三角形； （2）利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解． 解：（1）由旋转的性质可得△ABC≌△DBE， ∴BC＝BE， ∵∠CBE＝60°， ∴△BCE是等边三角形； （2）∵△ABC≌△DBE， ∴BE＝BC，AC＝ED； ∵△BCE为等边三角形， ∴BC＝CE，∠BCE＝60°， ∵∠DCB＝30°， ∴∠DCE＝90°， ∴在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2， ∴DC2+BC2＝AC2． 即四边形ABCD是勾股四边形． 【点拨】此题主要考查旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目．解决本题的关键是证明△BCE是等边三角形． 【变式3】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）（1）【问题发现】学习矩形后，小明发现：矩形两条对角线的平方和，等于它四边的平方和，即：如图1，在矩形中，有，请你证明小明的发现的正确性． （2）【一般探究】如图2，在中，小明的发现还成立吗？请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在中，为的中点，，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）成立，理由见分析；（3） 【分析】本题主要考查矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，掌握矩形的性质，平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质，勾股定理即可证明结论； （2）分别过点作的垂线，垂足分别为，利用勾股定理得到，，即可证明结论； （3）延长到，使，连接，得到四边形是平行四边形，由（2）可知：，即可得出，即可得出． 解：（1）证明：四边形是矩形， ，， ，， ； （2）在中，小明的发现还成立，即：， 理由如下： 如图：分别过点作的垂线，垂足分别为， 四边形是平行四边形， ，，， ， 又， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， 同理，在直角三角形中，由勾股定理得： ， ； （3）如图，延长到，使，连接， ，， 四边形是平行四边形， 由（2）可知：， ， ． 【结论四】平行四边形边的对称性等分面积 条件 基本图形 结论 备注 利用平行四边形是中心对称图形即可得出结论 【题型 6】平行四边形边与等分面积关系 【例题6】（24-25九年级下·吉林长春·月考）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形的顶点均在格点上，仅用无刻度直尺，分别按下列要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图①中的线段上找到一点，连结，使得将四边形的面积分成两部分． （2）在图②中一条直线，使得直线，且直线上任意一点与点、构成三角形的面积是四边形的面积的． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）根据网格特点和等面积法，找到CD的中点E即可解答； （2）根据网格特点和面积比值，直线l与AB的距离是个单位长度即可． 解：（1）如图①，点E和线段AE即为所求作； （2）如图②，直线l即为所求． 【点拨】本题考查基本作图、三角形的中位线、平行四边形的性质与面积等知识，解答的关键是熟悉网格特点，学会利用转化的思想方法，结合图象解决问题，属于中考常考题型，难度适中． 【变式1】（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图：的对角线交于点O．    （1）基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： （2）拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． （3）观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    （4）实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    【答案】（1）见分析；（2）成立，图和证明见分析；（3）；（4）见分析 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，可得； （2）画出图形，同（1）的方法证明即可； （3）根据全等三角形的性质得到，，等量代换可得，即可证明； （4）分别找出两个平行四边形对角线的交点，再连接即可． 解：（1）解：在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立，理由是： 在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；    （3）同（1）可证：，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：； （4）能，如图，直线即为所求．    【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用平行四边形的性质得到线段，面积之间的关系． 【变式2】（25-26七年级上·重庆·自主招生）如图，请过平行四边形内一点P画一条直线，将平行四边形分成面积相等的两部分（画图并说明方法）． 【答案】作图见详解；说明见分析 【分析】本题考查了平行四边形的中心对称性，利用平行四边形对角线互相平分，O为对称中心即可画出对应直线． 解：如图所示，过点P的直线即为所求， 连接，两点交于点O，过点P作过点O的直线交，于点E，F， ∵四边形为平行四边形， ∴点O平分对角线，， 即点O为平行四边形的中心， ∴过点O的直线将平行四边形的面积分成相等的两部分． 【变式3】（24-25八年级下·山西长治·期中）综合与实践 【问题背景】课上，老师布置了一个探究任务：请画一条直线，把分成面积相等的两部分． 【操作发现】同学们思考后，给出了以下方法： 如图1，过平行四边形一组对角顶点画直线，可以把分成面积相等的两部分； 如图2，过平行四边形一组对边的中点画直线，可以把分成面积相等的两部分． 同学们进一步观察、对比、分析，联想平行四边形的对称性，发现：平分平行四边形面积的直线都经过平行四边形对角线的交点． 【问题解决】 （1）如图3，在中，对角线相交于点O，过点O任意作一条直线，分别交于点E，F．求证：． （2）如图4是一块空地，，现要用一条直线将其等分成两块地种植不同品种的花卉，请你画出两块地的分界线． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据平行四边形的性质证明，再根据全等三角形面积相等，即可证明； （2）延长交于点，连接交于点，连接于点，连接交和分别于点，即为所求答案． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ． （2）延长交于点，连接交于点，连接于点，连接交和分别于点． ， ∴四边形都是平行四边形， ∵是两个平行四边形对角线的交点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 根据（1）中结论即可得出， ， 即可以将其等分成两块地种植不同品种的花卉． 【结论五】平行四边形四个顶点坐标关系 条件 基本图形 结论 备注 利用中点坐标公式即可得出结论 【题型 7】平行四边形顶点坐标 【例题7】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线向下平移4个单位长度得到直线，直线与x轴交于点B，与相交于点C． (1)直线的解析式为 ； (2)求点C的坐标； (3)在坐标平面内是否存在一点N，使以A、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点N的坐标为或或 【分析】本题考查一次函数图像的平移，求一次函数的解析式，两条直线的交点问题，平行四边形存在性问题等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）根据“左右平移，x左加右减；上下平移，b上加下减”即可求解； （2）将直线与解析式联立，解二元一次方程组，即可得到点C的坐标； （3）设点N的坐标为，分为对角线，为对角线，为对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解． 【详解】（1）解：直线：向下平移4个单位长度得到直线：， 故答案为：； （2）解：将直线与解析式联立， 得：， 解得， 点C的坐标为； （3）解：存在，点N的坐标为或或． 理由如下： 直线：中，令，得， 解得， 点A的坐标为， 直线：中，令，得， 解得， 点B的坐标为． 设点N的坐标为， 如图，分三种情况： 当为对角线时，， 得， 解得， 点N的坐标为； 当为对角线时，， 得， 解得， 点N的坐标为； 当为对角线时，， 得， 解得， 点N的坐标为． 综上可知，点N的坐标为或或． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，已知．若第一象限内的点M与A，B，C构成平行四边形，则M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行四边形的性质求点的坐标，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式求解，筛选出第一象限内的点M的坐标． 【详解】解：设点M的坐标为 ∵平行四边形的对角线互相平分，分三种情况分析： ①以、为邻边时，A与M的中点和B与C的中点重合， ∴，， 解得，， 该点不在第一象限，舍去； ② 以、为邻边时，A与C的中点和B与M的中点重合， ∴，， 解得，， 该点在第一象限，符合条件； ③ 以、为邻边时，A与B的中点和C与M的中点重合， ∴，， 解得，， 该点不在第一象限，舍去； 综上，M的坐标为， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形性质、平行四边形的性质等知识，掌握中点坐标公式是解题的关键；连接、交于点，设，，由平行四边形的性质可知点是▱的对称中心，进而根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接、交于点， 设，， 四边形是平行四边形， 点是的对称中心， ，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且面积为10． (1)求点C的坐标及直线的解析式； (2)若M为线段上一点，且满足，求直线的解析式； (3)若E为直线上一个动点，在x轴上是否存在点D，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质： （1）先求出A、B坐标，进而根据面积为10求出点C的坐标，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （2）先求出的面积，即求出的面积，再由求出点M的纵坐标，进而求出点M的坐标，据此利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （3）设，再分当为对角线时， 当为对角线时，当为对角线时，三种情况由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴，， ∵面积为10， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 同理可知直线解析式为； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得 ， 解得， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 二.同步检测 （一）单选题（6题） 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在平行四边形中，是的角平分线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，由是的角平分线可得，由三角形的内角和定理可得，进而可得，解方程即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的角平分线， ， ， ， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，两直线平行同旁内角互补，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 2．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，在中，、的角平分线交于边上一点，且，线段的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．由平行四边形的性质可得，，，，由角平分线的性质和平行线的性质可得，，易证，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， 、的角平分线交于边上一点， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， 故选：D． 3．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，已知平行四边形，的角平分线交边于点．交延长线于点，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， 是的角平分线， ， 又， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 4．（22-23九年级上·山西太原·期末）如图，在中，，四个角的角平分线分别相交于点E，F，G，H，则四边形对角线的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交于，依据平行四边形的性质，即可得到，进而得出的长．再判定四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】解：如图所示，延长，交于， ∵，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵平分，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是做辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A．红花，白花种植面积一定相等 B．红花，蓝花种植面积一定相等 C．蓝花，黄花种植面积一定相等 D．紫花，橙花种植面积一定相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，，，，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ，，， ， A、C、D正确，B不正确； 故选：B． 6．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，点在边上移动（不与点，重合），以为一边作，连接，则下列为定值的是（    ） A．的面积 B．四边形的面积 C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，由已知可得，、、、、、的值不定，分别表示出的面积、的面积，再根据四边形的面积的面积的面积的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于， ∵点在边上移动（不与点，重合），以为一边作， ∴，、、、、、的值不定， ∵的面积，的面积， ∴的面积、、不是定值， 四边形的面积的面积的面积的面积， 四边形的面积为定值． 故选：B． （二）填空题（6题） 7．（2025·广东广州·二模）如图，在平行四边形中，的角平分线交边于点，，则的度数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得，再由平行四边形的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·浙江温州·月考）如图，在平行四边形ABCD中，，，和的角平分线分别交AD于点E和F，______． 【答案】1 【分析】利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得AB=AE＝３、CD=DF＝３，结合分别求出DE和AF的长，即可求得EF的长度． 【详解】∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD=3， ∴∠AEB=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE=3， 同理可得CD=DF=3． ， ，， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的性质和平行线的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 9．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，，的面积是，则的面积是_______ 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质及三角形面积公式，利用线段比例关系求出平行四边形面积，再根据中点性质求解目标三角形面积． 【详解】解：设平行四边形的面积为S，边上的高为，边上的高为 ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， 解得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 10．（23-24八年级下·重庆渝中·开学考试）如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是_____． 【答案】S1=S2． 【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、GPFD，证△ABD≌△CDB，得出△ABD和△CDB的面积相等；同理得出△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，相减即可求出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB， ∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC， ∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形， 在△ABD和△CDB中；， ， ∴△ABD≌△CDB（SSS）， 即△ABD和△CDB的面积相等； 同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等， 故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1=S2． 故答案为：S1=S2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABD和△CDB的面积相等，△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等． 11．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）如图，是内部的任意一点，连接，，，．若的面积为，的面积为，且，则的面积是______． 【答案】30 【分析】过点P作，延长交的延长线于点E，由平行四边形的性质可得，，可得，则，，再根据可得，然后根据平行四边形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点P作，延长交的延长线于点E， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴的面积是30． 12．（23-24九年级上·山西运城·期中）在平行四边形中，对角线相交于点O，过O的两条直线分别交边,，于点E、F，G，H．且，，当______，使直线把四边形的面积四等分． 【答案】 【分析】过O作于点K，交于点L，过点O作于点Q，交于点P，则，由平行四边形的面积求出，再证，然后由三角形面积得，即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质以及三角形、四边形的面积问题，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键． 【详解】解：如图，过O作于点K，交于点L，过点O作于点Q，交于点P， 由平行四边形是中心对称图形可知，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，直线，把四边形的面积四等分， 故答案为：． （三）解答题（6题） 13．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，是中的角平分线，交于点． (1)作的角平分线，交于点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法，平行四边形的对边相等，对角相等，是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法，作图即可； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所作． （2）∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级下·重庆·阶段检测）学习了平行四边形的知识后，实践小组进行了以下研究：作平行四边形一组对边与一条对角线所形成的两夹角的角平分线，与另一组对边所围成的四边形是一个平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： (1)如图，用直尺和圆规，过点D作的角平分线，交于点F．（不写做法，保留作图痕迹） (2)已知：四边形是平行四边形，连接，若平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ① ∴ ② ∵平分，平分， ∴， ③ ∴ ④ ∴， ∵ ⑤ ∴四边形是平行四边形． 【答案】(1)作图见解析 (2)；；；；． 【分析】此题考查了角平分线的作图、平行四边形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）根据平行四边形的性质，得到两组对边分别平行，利用内错角及角平分线，得出，进而证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 故答案为：；；；；． 15．（24-25九年级下·江西抚州·期中）如图，在中，点E为的中点，请只用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，在上找点F，使得四边形的面积是面积的； (2)如图2，作（点G在上），使得的面积是面积的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、两点确定一条直线等知识： （1）根据题意即作点是的中点，连接、交于点，作直线交于，点即为所求； （2）根据题意即作点与点D重合，在图1的基础上，连接，点即为所求． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； 作法：连接、交于点，作直线交于，点即为所求； 由作法可得点是的中点，则， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 设中边上的高为，则四边形的面积为， ∴四边形的面积是面积的； （2）解：如图所示，点即为所求； ∵的面积是面积的，由（1）知四边形的面积是面积的，且四边形是平行四边形， ∴两点重合， 作法：在图1的基础上，连接，点即为所求． 16．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，． (1)求点的坐标和的对称中心的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为； (2)当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半； (3)点M的坐标为或或 【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标；平行四边形的对称中心即是对角线的中点； （2），根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可， （3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可， 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 点A的坐标为，点B的坐标为，； ∴点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为， （2）解：根据题意得：， ∴， 即：， ，解得：， 故答案为：当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半， （3）解时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示，    此时轴，轴，，，，， 根据平行四边形的性质，可知，， ∴，即，，即：，，即：， 故答案为：点M的坐标为或或． 17．（24-25九年级上·吉林·开学考试）实践与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点坐标为，直线与直线相交于点，点的横坐标为1．    (1)求直线的解析式； (2)若点是轴上一点，且的面积是面积的，求点的坐标； (3)在轴右侧是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，利用三角形的面积公式结合，可求出的长，进而可得出点的坐标； （3）设点的坐标为，分为对角线、为对角线及为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：当时，，解得：， 点的坐标为． ，即， ，   点的坐标为或； （3）解：设点的坐标为，分三种情况考虑（如图2）    ①当为对角线时，，，， ，解得：， 点的坐标为； ②当为对角线时，，，， ，解得：， 点的坐标为（不合题意）； ③当为对角线时，，，， ，解得：， 点的坐标为． 综上所述：平面内存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）利用两三角形面积间的关系，求出的长；（3）分为对角线、为对角线及为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点的坐标． 18．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）【模型建立】如图1，在中，点E为边上一动点，连接．设，，的面积分别为，，．写出，，之间的数量关系，并用两种不同的方法证明； 【模型应用】 如图2，在中，，，，点E为边上的一动点，连接．过点B作．求的值； 【模型拓展】 如图3，点P为内一点（点P不在上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），写出的面积，并说明理由．（用含，的代数式表示） 【答案】[模型建立]详见解析 [模型应用] [模型拓展] 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和应用，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． [模型建立]方法一，利用平行线间的距离相等，结合平行四边形面积公式和三角形的面积公式即可得解；方法二，如图1，过点作交于点，利用平行四边形对角线将平行四边形分为面积相等的两个三角形的性质，进行等量代换即可得解； [模型应用]如图2，过作交的延长线于点，连，由[模型建立]的结论可得出，再利用三角形面积公式即可得解； [模型拓展]如图3中，连接，利用前面的结论进行恒等变形即可得解． 【详解】[模型建立] 解：方法一，设平行四边形的高为（与之间的距离）， ∵平行四边形， ∴， ∴以为底，高就是平行四边形的高， ∴根据三角形面积公式可得， 同理可得，， ∵， ∴； 方法二，如图1，过点作交于点， ∵， ， ∴四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∵， ∴； [模型应用] 解：如图2，过作交的延长线于点，连， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得，， ∵， ∴， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴； [模型拓展] 如图3中，连接， 在中，点是的中点， 可设， 同理，， ， ， ， ∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $