9.1.2 线性回归方程课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦线性回归分析，核心涵盖线性回归方程（含随机误差、最小二乘法）及非线性回归转化，通过实例散点图导入，先判断变量相关关系，再学习方程求解，为非线性问题转化搭建学习支架。 其亮点是结合口罩生产、旅游收入等实例，用数学眼光从现实问题抽象模型，通过公式推导培养数学思维，以回归方程预测体现数学语言。助力学生提升数据分析与建模能力，教师可依托系统题型与训练高效教学。

9.1 线性回归分析 9.1.2 线性回归方程 1 【课标要求】 1.了解随机误差,并能分析判断线性回归模型的拟合效果. 2.结合实例,根据散点图,判断两个变量是否具有相关关系； 3.了解最小二乘法原理,会求线性回归方程,并能根据线性回归方程进行预测. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.线性回归问题 1.随机误差 具有线性相关关系的两个变量的取值,，的值不能由完全确定,将, 之间的关 系表示为,其中是确定性函数, 称为随机误差. 称为线性回归模型. 2.回归直线和线性回归方程 直线 称为回归直线,此直线方程即为线性回归方程. 其中称为回归截距,称为回归系数, 称为回归值. 4 名师点睛 1.随机误差产生的主要原因 （1）所用的确定性函数不恰当引起的误差; （2）忽略了某些因素的影响; （3）存在观测误差. 2.线性回归模型中, 值的求法 （1）,的估计值为,,则, . （2）线性回归方程必经过样本点的中心 . 5 知识点2.非线性回归问题 解非线性回归分析问题的一般步骤 有些非线性回归分析问题并不给出函数,这 时我们可以根据已知数据画出散点图,把它与学 过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数 等）的图象进行比较,挑选一种跟这些散点拟合 得最好的函数,然后用适当的变量进行变换,把 问题转化为线性回归分析问题,使之得到解决. 一般步骤为 6 名师点睛 由于涉及的数据比较多,考虑可操作性,相关题目往往会给出散点图,或将画散点图这 一步骤省略,只需要选一些数据,画一下草图,作出判断即可,并且相关数据都会直接给出. 7 题型分析·能力素养提升 8 【题型一】求线性回归方程 例1 某研究机构对高三学生的记忆力和判断力 进行统计分析,得下表数据: 6 8 10 12 2 3 5 6 9 （1）请根据上表数据画出散点图; 解 散点图如图: 10 （2）请根据上表提供的数据,建立关于 的线性回归方程. 相关公式:, ） 解 由（1）中散点图可推断出与 线性相关. 因为,, , ,代入公式，求得回归系数 , , 所以线性回归方程为 . 11 规律方法 （1）求线性回归方程: ①利用公式,求出,的最小二乘估计, . ②待定系数法:利用线性回归直线过求, . （2）利用线性回归方程进行预测:把线性回归方程看作一次函数,求函数值. （3）利用线性回归直线判断正、负相关:决定正相关还是负相关的是 的值. 12 跟踪训练1 为缓解医疗用品的短缺，各医疗单 位都加紧了医疗用品的生产.某医疗器械厂统计 了口罩生产车间每名工人的生产速度,并将所得 数据分成五组,绘制出如图所示的频率直方图. 13 （1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数（结果写成分数的形式）; 解 由频率直方图可知, , 解得 . , , 中位数位于 之间. 设中位数为 , 则,解得 . 14 （2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作年限有关,现从车间所有工人中 随机调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限）,所得数据如下: 工龄 年 4 6 8 10 12 生产速度 （件/小时） 42 57 62 62 67 根据上表数据求每名工人的生产速度关于他的工龄的线性回归方程 . 附:, . 15 解 由题意得 , , , , 关于的线性回归方程为 . 【题型二】利用线性回归方程对总体进行估计 例2 某市从2017年起每年在国庆期间都举办一届国际水上狂欢节，该市旅游部门将前 五届水上狂欢节期间外地游客到该市旅游的人数统计如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 水上狂欢节编号 1 2 3 4 5 外地游客人数 （单位:十万） 0.6 0.8 0.9 1.2 1.5 17 （1）求关于的线性回归方程 ; 解 因为，,, ,所以 , . 综上，线性回归方程为 . 18 （2）该市旅游部门估计，每位外地游客可为该市增加100元旅游收入，请利用（1） 的线性回归方程，预测2023年第七届国际水上狂欢节期间外地游客可为该市增加多少 旅游收入. 参考公式：,,, 为样本平均值. 解 由（1）中线性回归方程可知，当时， ，即增 加18.8万人，所以2023年第七届国际水上狂欢节期间外地游客可为该市增加的旅游收 入为1 880万元. 规律方法（1）判断两个变量是否线性相关:可以利用经验,也可以画散点图. （2）求线性回归方程,注意运算的正确性. （3）根据线性回归方程进行预测估计:估计值不是实际值,两者会有一定的误差. 19 跟踪训练2 假设关于某种设备的使用年限（单位:年）与所支出的维修费用 （单位:万元）有如下统计资料: 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 已知,,,, . 20 （1）计算与之间的相关系数（精确到 ）,并求出线性回归方程; 解 由题知，,,,, , 根据相关系数 的计算公式,得 . 又 , , 所以线性回归方程为 . 21 （2）根据线性回归方程,预测假设使用年限为10年时,维修费用约是多少万元? 解 由（1）中线性回归方程可知,当时, （万元）, 即假设使用10年时,维修费用约为12.38万元. 【题型三】非线性回归分析 例3 某公司近5年产品研发年投资额（单位：百万元）与年销售量 （单位：千件） 的数据统计表如下： 年投资额 1 2 3 4 5 年销售量 0.5 1 1.5 3 5.5 23 （1）根据上表数据画出年投资额与年销售量 的散点图； 解 散点图如下: 24 （2）该公司计划用非线性经验回归方程作为年销售量关于年投资额 的 回归分析模型,并对年销售量取对数,得到如下数据表： 年销售量 0.5 1 1.5 3 5.5 0 0.4 1.1 1.7 请根据表格数据、参考数据和公式,求出该非线性经验回归方程. 25 解 由得,由于令,即 , 由已知得 , , 则 , , 所以,即 , 故年销售量关于年投资额的非线性经验回归方程为 . 26 规律方法 非线性回归问题的处理方法 （1）指数函数型<m></m> ①函数<m></m>的图象如图所示. ②处理方法:两边取对数得,即.令 ,把原始数据 转化为,再根据线性回归模型的方法求出, 的值. 27 （2）对数函数型 ①函数 的图象如图所示. ②处理方法:设,原方程可化为 ,再根据线性回归模型的方法求 出, 的值. 型 处理方法:设,原方程可化为,再根据线性回归模型的方法求出 , 的值. 28 跟踪训练3 某企业新研发了一种产品,产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件 产品的非原料成本（单位：元）与生产该产品的数量 （单位：千件）有关,经统计 得到如下数据: 1 2 3 4 5 6 7 8 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据,绘制了如下散点图. 29 观察散点图,两个变量之间不具有线性相关关系,现考虑用反比例函数模型 和 指数函数模型 分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的 回归方程为,与的相关系数 . 参考数据其中 : 183.4 2.72 1.53 360 489.47 0.135 30 （1）用反比例函数模型求关于 的回归方程; 解 令 , 则可转化为 , 因为 , 所以 , 则 , 所以 , 所以关于的回归方程为 31 （2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 ）,并用其估计 产量为10千件时每件产品的非原料成本. 参考公式:对于一组数据,, ,,其回归直线 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为, ,相关系数 . 32 解 与 的相关系数为 . 因为 ,所以用反比例函数模型拟合效果更好, 由（1）中线性回归方程可知,当时, （元）, 所以当产量为10千件时,每件产品的非原料成本为21.1元. 33 $