9.1.2.1 线性回归方程课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

9.1.2.1 线性回归方程 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据： 年龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 画出人体脂肪含量和年龄关系散点图. 年龄 脂肪 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 5 10 15 20 25 30 35 40 从整体上看，大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线. 怎样得到这条回归直线的方程呢? 方案1：在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同. 年龄 脂肪 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 5 10 15 20 25 30 35 40 方案2：如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距，而得回归方程. 年龄 脂肪 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 5 10 15 20 25 30 35 40 方案3：先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最小时，测出它的斜率和截距，得回归方程. 年龄 脂肪 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 5 10 15 20 25 30 35 40 具有线性相关关系的两个变量x，y，其中y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，其中a＋bx是确定性函数，ε称为随机误差. 随机误差产生的主要原因： ①所用的确定性函数不恰当引起的误差； ②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差. 年龄 脂肪 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 5 10 15 20 25 30 35 40 方案4:(待定系数法)回归直线的方程是一次函数, 即设为 y = bx+a 的形式, 关键是求出斜率 b和截距 a. 年龄 脂肪 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 5 10 15 20 25 30 35 40 (x1, y1) (x2, y2) (xi, yi) 所有点到直线的距离的和最小时，此时的斜率b和截距a，得回归方程. 表示各点到回归线 若所有纵距离之和最小， 则从整体上看, 各点与直线的距离最小. 的纵距离， =|y1-bx1-a|+|y2-bx2-a|+…+|yn-bxn-a| 由于绝对值不易计算, 就改用平方, 即 = (y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2 经过推导可得: 即要使 Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2最小, a, b 应取什么值? 求出 a, b 的值, 就得到回归方程 这种使样本数据各点到回归直线的距离的平方和最小来得到回归直线的方法叫做最小二乘法. 取得最小值， 则 称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线). 一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i=1，2，3，…，n.任意给定一个一次函数y=bx+a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值 最小二乘法. 方法 如果一次函数 能使残差平方和即 最小二乘法确定回归直线方程 给定两个变量y与x的一组数据之后，回归直线方程 总是存在的， 其中称为回归系数.它实际上也就是回归直线方程的斜率. 而且 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据： 年龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 预测37岁时的脂肪含量. 如某人37岁，将 x = 37 代入回归方程 即这个人的体内脂肪含量为20.90%左右. 例1 某地区积极响应“节能减排，低碳生活”的号召，采取了一系列的措施控制碳排放.环保部门收集到2020年至2024年内新增碳排放量的一组数据，如表所示，其中 表示年份代号， (单位：万吨)表示新增碳排放量. (1)请计算样本相关系数，并说明与 之间具有较强的线性相关程度(若，则与 之间具有较强的线性相关程度)； 年份 2020 2021 2022 2023 2024 1 2 3 4 5 6.1 5.2 4.9 4 3.8 解：(1)依题意得 ， 因为，所以与 之间具有较强的线性相关程度. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 1 2 3 4 5 6.1 5.2 4.9 4 3.8 (2)求关于 的经验回归方程，并据此估计该地区2025年的新增碳排放量. 参考数据：，，， ，，， . 年份 2020 2021 2022 2023 2024 1 2 3 4 5 6.1 5.2 4.9 4 3.8 (2) ， ， 所以 .当时， (万吨)， 所以估计该地区2025年新增碳排放量为3.06万吨. 例2 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市的A区开设分店.为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格，记 x 表示在各区开设分店的个数， y 表示这 x 个分店的年收入之和. x/个 2 3 4 5 6 y/百万元 2.5 3 4 4.5 6 (1)该公司经过初步判断，可用线性回归模型来拟合 y 与 x 的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程 ＝ x ＋ ； (2)假设该公司在A区获得的总年利润 z （单位：百万元）与 x ， y 之间的关系为 z ＝ y －0.05 x2－1.4，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大. 参考公式： ＝ x ＋ ， ＝ ＝ ， ＝ － . x/个 2 3 4 5 6 y/百万元 2.5 3 4 4.5 6 解：(1)由表中数据得 ＝4， ＝4， xiyi ＝88.5， ＝90. ∴ ＝ ＝ ＝0.85， ＝ － ＝4－4×0.85＝0.6， 故 y 关于 x 的线性回归方程为 ＝0.85 x ＋0.6. x/个 2 3 4 5 6 y/百万元 2.5 3 4 4.5 6 (2)由题意可知总年利润 z 的估计值 与 x 之间的关系为 ＝－0.05 x2＋0.85 x －0.8. 设A区平均每个分店的年利润为 t ，则 t ＝ ， 故 t 的估计值 与 x 之间的关系为 ＝－0.05 x － ＋0.85＝－0.01 ＋0.85， 则当 x ＝4时， 取得最大值， 故该公司应在A区开设4个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大. (1)画出散点图．从直观上分析数据间是否存在线性相关关系． (2)计算 等相关数据． (3)代入公式求出 中参数 的值． (4)写出回归方程并对实际问题作出估计． 求线性回归方程的步骤： 归纳总结 根据本节课所学，回答下列问题： 1.用什么方法求回归直线方程中，，公式是什么？ 2.求回归直线方程的步骤是什么？ 1.(多选)有关线性回归的说法，正确的是( ) A.相关关系的两个变量是一种不确定关系 B.散点图能直接反映数据的相关程度 C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D.任意一组数据都有回归方程 ABC 2.变量与 之间的一组数据如表所示. 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为 .据此计算出样本点(的残差为，则表中 的值为( ) A.1 B.1.2 C.2.2 D.2.5 A 3 4 5 6 7 4 2.5 2 1.5 3.某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据： 据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是_________________. x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 ＝0.7x＋0.35 $