9.1.2 第2课时 非线性回归模型及拟合效果的判断（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦非线性回归模型及拟合效果判断核心知识点，系统梳理残差分析（残差、残差图、残差分析）、拟合效果判断方法（残差图法、残差平方和法、决定系数R²法）及非线性回归方程转化步骤，构建从线性回归延伸至非线性问题的完整学习支架。 以红铃虫产卵数与温度等真实案例驱动，通过问题引导培养用数学眼光观察现实世界的意识，借助残差分析与模型选择发展数学思维中的推理能力，结合数据处理与模型表达提升数学语言中的数据观念和模型意识。课中助力教师引导探究，课后习题与跟踪训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　非线性回归模型及拟合效果的判断 　　一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）有关.现收集了7组观测数据列表如下： 温度x/℃ 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325 画出散点图如图. 【问题】　（1）温度与产卵数是正相关关系吗？散点图是否分布在某条直线附近？ （2）连接这些散点图后曲线类似于哪一种函数变换后的图象？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　残差分析 1.残差：一般地，我们将　　　　与对应的估计值　　　　称为残差.残差是随机误差ε的估计结果. 2.残差图：以观测值为横坐标，残差为纵坐标作点，可以画出残差图. 3.残差分析：通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 知识点二　对模型刻画数据效果的分析 1.残差图法：在残差图中，如果残差点比较均匀地分布在横轴的两边，则说明回归方程较好地刻画了两个变量的关系，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高. 2.残差平方和法*：残差平方和（yi－）2越小，模型的拟合效果越好. 3.决定系数R2法*：可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，R2越小，模型的拟合效果越差. 知识点三　非线性经验回归方程 1.非线性回归分析的思想 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系. 2.非线性经验回归方程 当回归方程不是形如＝x＋（，∈R）时，称之为非线性经验回归方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程. 3.求非线性经验回归方程的一般步骤 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）残差平方和越接近0， 线性回归模型的拟合效果越好.（　　） （2）R2越小， 线性回归模型的拟合效果越好.（　　） （3）在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号.（　　） 2.已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的是从左到右第几个（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 3.某校数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，由试验数据得到如图所示的散点图.由此散点图，可以得出最适宜作为发芽率y和温度x的回归模型的是（　　） A.y＝a＋bx B.y＝a＋bln x C.y＝a＋bex D.y＝a＋bx2 题型一｜残差与残差分析 【例1】　某运动员训练次数x与成绩y的数据如表： 次数x 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩y 30 34 37 39 42 46 48 51 （1）建立成绩y关于次数x的经验回归方程（结果精确到0.001）； （2）用残差分析的方法判断用线性回归模型是否合理. 参考数据：＝12 656，xiyi＝13 180. 通性通法 1.残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高. 2.残差是随机误差的估计值，＝yi－. 【跟踪训练】 1.对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是（　　） 2.已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的经验回归方程为＝2x＋，若样本点（r，1）与（1，s）的残差相同，则有（　　） A.r＝s B.s＝2r C.s＝－2r＋3 D.s＝2r＋1 题型二｜残差平方和法*与决定系数R2法* 【例2】　已知某种商品的价格x（单位：元）与需求量y（单位：件）之间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 （1）求y关于x的经验回归方程； （2）借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏. （参考公式及数据：＝，＝－，＝1 660，xiyi＝620，（yi－）2＝53.2） 通性通法 刻画回归效果的三种方法 （1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适； （2）残差平方和法：残差平方和（yi－）2越小，模型的拟合效果越好； （3）决定系数法：R2＝1－越接近1，表明模型的拟合效果越好. 【跟踪训练】 1.一组数据（xi，yi）经过分析，提出了四种回归模型①②③④，四种模型残差平方和的值分别是1.23，0.80，0.12，1.36.则拟合效果最好的是（　　） A.模型① B.模型② C.模型③ D.模型④ 2.在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，则表明气温解释了　　　　的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的　　　　，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多. 题型三｜求非线性经验回归方程 【例3】　某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yi（i＝1，2，…，10）的数据，得到散点图如图所示. （1）利用散点图判断y＝a＋bx和y＝c·xd（其中c，d均为大于0的常数）哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）； （2）对数据作出如下处理，令ui＝ln xi，vi＝ln yi，得到相关统计量的值如下表： vi ui （ui－）（vi－） （ui－）2 15 15 28.25 56.5 根据（1）的判断结果及表中数据， 求y关于x的回归方程. 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其经验回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 通性通法 非线性回归问题的处理方法 （1）指数函数型y＝ebx＋a：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据（x，y）转化为（x，z），再根据线性回归模型的方法求出a，b； （2）对数函数型y＝bln x＋a：设x'＝ln x，原方程可化为y＝bx'＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b； （3）y＝bx2＋a型：设x'＝x2，原方程可化为y＝bx'＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 【跟踪训练】 1.若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），将y转化为t的经验回归方程，则需做变换t＝（　　） A.x2 B.（x＋a）2 C.（x＋）2 D.以上都不对 2.已知变量y关于x的非线性经验回归方程为y＝ebx－0.5，若对y＝ebx－0.5两边取自然对数，可以发现ln y与x线性相关，现有一组数据如下表所示，x＝5时，预测y值为　　　　. x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 1.某种产品的投入x（单位：万元）与收入y（单位：万元）之间的关系如下表所示： x/万元 2 4 5 6 8 y/万元 30 40 60 50 70 若y与x的经验回归方程为＝6.5x＋17.5，则相应于点（4，40）的残差为（　　） A.－4.5 B.4.5 C.－3.5 D.3.5 2.用模型y＝aebx＋1（a＞0）拟合一组数据时，令z＝ln y，将其变换后得到经验回归方程z＝2x＋a，则＝（　　） A.e　　　 B.　　　 C.　　　 D.2 提示：完成课后作业　第九章　9.1　9.1.2　第2课时 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　非线性回归模型及拟合效果的判断 【基础落实】 知识点一 1.观测值　之差 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√ 2.B　原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，即偏离平衡位置过大. 3.B　由散点图可知，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加越来越缓慢.A中，y＝a＋bx是直线型，均匀增长，不符合要求；B中，y＝a＋bln x是对数型，增长越来越缓慢，符合要求；C中，y＝a＋bex是指数型，爆炸式增长，增长越来越快，不符合要求；D中，y＝a＋bx2是二次函数型，图象既有上升，又有下降，不符合要求. 【典例研析】 【例1】　解：（1）∵＝39.25，＝40.875， ∴＝ ＝≈1.041， ＝－≈0.016. ∴经验回归方程为＝1.041x＋0.016. （2）某运动员训练次数与成绩之间的数据及相应的残差数据为 x 30 33 35 37 y 30 34 37 39 ε＝y－ －1.246 －0.369 0.549 0.467 x 39 44 46 50 y 42 46 48 51 ε＝y－ 1.385 0.18 0.098 －1.066 残差图如图所示. 由图可知，残差比较均匀地分布在横轴的两边，说明该线性回归模型比较合理. 跟踪训练 1.A　用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高. 2.C　样本点（r，1）的残差为1－2r－，样本点（1，s）的残差为s－－2，依题意得1－2r－＝s－－2，故s＝－2r＋3. 【例2】　解：（1）＝×（14＋16＋18＋20＋22）＝18， ＝×（12＋10＋7＋5＋3）＝7.4， 所以＝＝＝－1.15， ＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求经验回归方程是＝－1.15x＋28.1. （2）列出残差表为 yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 所以（yi－）2＝0.3，且（yi－）2＝53.2， R2＝1－≈0.994， 所以回归模型的拟合效果很好. 跟踪训练 1.C　残差平方和越小则拟合效果越好，而模型③的残差平方和最小，所以C正确.故选C. 2.85%　15%　解析：由决定系数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%. 【例3】　解：（1）由散点图可知，选择回归方程类型y＝c·xd更适合. （2）对y＝c·xd两边取对数，得ln y＝ln c＋dln x，即v＝ln c＋du. 由表中数据求得＝＝＝， ＝＝＝. 令ln c＝m， 则＝－＝－×＝，即c＝， 所以年销售量y与年研发费用x的回归方程为＝. 跟踪训练 1.C　y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋）2＋（a≠0），可令t＝（x＋）2，则y＝at＋为y关于t的经验回归方程. 2.e7.5　解析：对y＝ebx－0.5两边取对数，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y则z＝bx－0.5，列表如下： x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 z 1 3 4 6 ＝＝2.5，＝＝3.5 ，代入＝b－0.5得3.5＝b·2.5－0.5，故b＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，y＝e1.6×5－0.5＝e7.5. 随堂检测 1.C　＝4×6.5＋17.5＝43.5，ε＝40－43.5＝－3.5. 2.D　对y＝aebx＋1（a＞0）两边同时取自然对数，得ln y＝ln（aebx＋1）＝ln a＋bx＋1，令z＝ln y，则z＝bx＋ln a＋1，所以解得所以＝2.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $