期末重难点检测卷（提高卷）（考试范围：6～11章）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

**基本信息** 八年级下册期末提高卷，通过27题（100分）覆盖6-11章知识，融合道路抢修车、中国结等真实情境，突出数学眼光（空间观念）、思维（推理意识）与语言（模型意识）的应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|分式、二次根式、因式分解|密码解码（第4题）考查因式分解应用| |填空题|8/16|样本容量、新定义运算|谢尔宾斯基三角形（第15题）体现规律探究| |解答题|11/68|方程应用、统计分析、几何证明|中国结编制（21题）、睡眠调查（22题）、动点几何（27题）突出模型意识与推理能力|

期末重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：6~ 11章（八年级下册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）已知，则整式应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知两个整式的乘积和其中一个因式，求另一个因式，可通过提取公因式分解因式得到结果. 【详解】解：∵ ∴. 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）若在实数范围内有意义，则实数应满足的条件是（） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】要使含二次根式的分式在实数范围内有意义，需同时满足二次根式被开方数非负，以及分式分母不为0，据此列不等式组，然后求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴需同时满足二次根式和分式有意义的条件，可得， 解不等式得， 解不等式得， ∴应满足的条件是且． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）分式中字母的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【详解】解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式的值不变， 所以同时改变③（分式本身的符号）和④（分母的符号），分式的值不变． 4．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是熟练应用知识点解题；通过提取公因式法和平方差公式对密文进行因式分解，再对应密码手册得到明文． 【详解】解：∵原式= = = ∵根据密码手册：对应“我”，对应“施”，对应“爱”，对应“恩”， ∴组合后明文可能为“我爱恩施”， 故选：B． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：输入， 第一步运算：， ， ， 选择“是”的分支进行运算， 输出值为： ． 6．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理，将四边形的边长与原四边形的对角线和的长度建立联系，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． 【详解】解：如图，连接，， 点，，，分别是四边形的各边中点， ，， ， 同理可得，， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ，即， 故选：． 7．（2026·江苏南京·模拟预测）我国JX-300型道路抢修车，采用智能施工技术，能快速修复破损路面．该抢修车每小时修复路面的速度是一名工人人工修复速度的3倍，它修复120公里路面比一名工人修复90公里路面所用时间少10个小时，求该型号道路抢修车每小时修复路面多少公里．设该型号道路抢修车每小时修复路面公里，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，先根据抢修车速度得到工人的修复速度，再利用公式表示出两者的用时，最后根据时间差列出方程． 【详解】解：∵设该型号道路抢修车每小时修复路面公里，则一名工人每小时修复速度为公里．依题意得： ． 8．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度向点B运动，动点H从点B出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q从点C出发沿方向以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另外两点也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒，当时，t的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据速度时间路程，得到线段长，结合等腰三角形三线合一构造辅助线，计算出、的长，根据矩形的判定和性质得到线段，根据等量关系列方程求解． 【详解】解：过点Q作，交于点M， 点Q的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 点P的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 点H的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 四边形是矩形，， ，， ， ，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查矩形性质和判定、等腰三角形三线合一、动点问题中速度、时间和路程的关系，解决本题的关键是利用速度×时间=路程来表示线段长，根据线段相等建立等量关系，列方程求解． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）某学校为了了解七年级同学的视力情况，从七年级的10个班共500名学生中，每班随机抽取了6名进行分析，在这个问题中样本容量是________． 【答案】60 【分析】计算抽取的总个体数即可得到结果． 【详解】解：由题意得，共抽取了名学生，则样本容量为． 10．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【答案】()() 【分析】利用拼图前后面积相等，将多项式因式分解为长方形的长乘宽． 【详解】解：据图可知，左边图形的面积为， 右边图形的面积为， 故． 11．（2026·江苏南京·一模）定义新运算：对于正实数a，b，定义．若，则__________． 【答案】/ 【分析】根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 12．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）平行四边形的对角线，相交于点．若，，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】利用平行四边形对角线互相平分求出，，再根据三角形周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形的对角线，相交于点， ∴，， ∵， ∴的周长为． 13．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在菱形中，，，，则周长的最小值为_____． 【答案】 【分析】作点F关于的对称点，在中，过点F作，求得，当E，G，三点共线时，最小，此时，据此求解即可． 【详解】解：如图，作点F关于的对称点， ∴，且，为定点， 在菱形中，，， ∵， ∴， ∴在中，过点F作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵周长为， 且， 当E，G，三点共线时，最小，此时， ∵，且菱形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴周长的最小值为． 14．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲热门是世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即：．人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”请你依照苏菲热门的做法，对下列多项式进行因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用完全平方公式和平方差公式． 原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 15．（25-26八年级下·江苏南京·期中）谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形图形．初始三角形（分形次数为0）是1个边长为1的等边三角形，每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形．如图，经过第一次分形得到3个边长为的黑色等边三角形，经过第二次分形得到9个边长为的黑色等边三角形…按此规律，第5次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为_____________． 【答案】 【分析】先根据中位线定理推出第次分形的等边三角形的边长是，再通过规律得到第次分形图形中黑色三角形的个数，从而得结论． 【详解】解：∵每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形， ∴根据中位线定理可知每进行一次分形得到的三角形边长是上一次分形三角形边长的， ∴第一次分形图形中等边三角形的边长是，第二次分形图形中等边三角形的边长是，第三次分形图形中等边三角形的边长是，第次分形图形中的等边三角形的边长是， ∵每进行一次分形，黑色三角形的个数是上一次分形中黑色三角形个数的三倍， ∴第一次分形图形中黑色的三角形的个数为3个，第二次分形图形中黑色的三角形的个数为个，第三次分形图形中黑色的三角形的个数为个，第次分形图形中黑色的三角形的个数为个， ∴第次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为 ， ∴第5次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为． 16．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度匀速运动，当点运动到点时，点、点同时停止运动．过点作交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为_____． 【答案】或 【分析】先设时间为，结合题意得出，，根据点运动到点时，点、点同时停止运动，推出，再根据和，，推出，然后根据以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，推出，最后分类讨论①在线段上，②在线段的延长线上，根据即可求出的值． 【详解】解：设时间为， ∵点从点出发沿方向以的速度匀速运动，点从点出发沿方向以的速度匀速运动， ∴，， ∵当点运动到点时，点、点同时停止运动，， ∴，即， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 分类讨论： ①在线段上，即，解得， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得：； ②如图，在线段的延长线上，即，解得， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得：； 综上，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为或． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代入数值计算即可． 【详解】解： ． ， ， 原式． 18．（2026·江苏泰州·一模）已知整式（a，c为常数）． (1)若，且A为完全平方式，直接写出c的值并将整式A因式分解； (2)若，则；若，则，求a和c的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据完全平方式可得，进而问题可求解； （2）由题意可代值进行求解即可． 【详解】（1）解：由可得， ∵A为完全平方式，且， ∴， ∴； （2）解：当，时，则有，① 当，时，则有，② 由①②可得：． 19．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）小明用计算器计算的近似值，得到 (1)请用这个近似值计算的近似值（结果保留三位小数）； (2)请用这个近似值，计算的近似值（结果保留三位小数）． 【答案】(1)3.464 (2)17.493 【详解】（1）解： （2）解： 20．（2026·江苏苏州·一模）如图，在中，点E、F分别在、边上，连接，有下列三个选项：①，②，③．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，选择一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法） (1)你选的补充条件为________、________，结论为________；（填序号即可） (2)根据第（1）问的选择，证明你的结论． 【答案】(1)①，②；③；（②，③；①） (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据全等三角形的判定选择即可 （2）根据选择的条件进行证明，即可求证． 【详解】（1）解：解法一，选的条件为①，②，结论为③； 解法二，选的条件为②，③，结论为①． （2）解：解法一，选的条件为①，②，结论为③， 证明，四边形为平行四边形， ， 在和中， ， ， ； 解法二，选的条件为②，③，结论为①， 证明，四边形为平行四边形， ， 在和中， ， ， ． 21．（2026·江苏南京·二模）在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、团圆、美满等美好的祝愿．已知校园手工社团编制两种中国结，其中A种中国结每人每小时能编制1个，B种中国结每人每小时能编制2个，该社团计划在“六一”儿童节期间向福利院捐赠这两种中国结各120个，已知该社团共有18名学生． (1)若两种中国结同时完成，则应该如何安排编制A，B两种中国结的人数？ (2)若想在周六利用半天时间完成任务，学校另安排老师与同学们一起编制，老师的编制速度是学生编制速度的2倍，其中已经安排4位老师与同学们一起编制A种中国结，且刚好完成A种任务，至少还需要安排几位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务？ 【答案】(1)应安排12人编制A种中国结，6人编制B种中国结 (2)至少还需要安排5位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务 【分析】（1）设安排编制A种中国结的有x人，则编制B种中国结的有人，根据“两种中国结同时完成”列分式方程求解即可； （2）设安排有m位同学编制A种中国结，n位老师与同学们一起编制B种中国结，先列方程求得完成A种中国结任务的学生人数m，再根据题意，得到n位老师与2位同学一起编制B种中国结，5小时至少完成120个列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设安排编制A种中国结的有x人，则编制B种中国结的有人， 根据题意，可列，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴编制B种中国结的有（人）， 答：应安排12人编制A种中国结，6人编制B种中国结； （2）解：设安排有m位同学编制A种中国结，n位老师与同学们一起编制B种中国结， 老师的编制速度为A种每人每小时2个，B种每人每小时4个， A种任务：，整理得，解得， 即16位同学参与A种任务，剩余位同学参与B种任务； B种任务：n位老师与2位同学一起编制B种中国结，5小时至少完成120个， 则，整理得，解得， 答：至少还需要安排5位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务． 22．（2026·江苏常州·一模）为响应国家政策要求，保证学生睡眠时长，某校从八年级随机抽取部分学生，统计其某天睡眠时长（单位：小时），部分信息如下： 信息1：得到如下表格： 等级 睡眠时长 频数 频率 严重不足 20 不充足 140 0.35 基本充足 c 充足 80 0.2 信息2：通过对睡眠不足或严重不足学生的进一步调查，得到各种因素的如下统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)计算：___________，___________； (2)信息2的统计图中的___________； (3)根据睡眠不足的原因调查，请你对家庭教育和学校管理两个方面提出合理建议． 【答案】(1)0.05，160 (2) (3)见解析 【分析】（1）先由这一组的频数除以频率求解调查的总数，再由总数减去已知三组的频数即可求解，由这一组的频数除以总数即可求解频率； （2）先求出生活环境的占比，再由乘以占比即可求解； （3）通过扇形统计图分析即可． 【详解】（1）解：调查人数为， ∴； ； （2）解：生活环境的占比为：， ∴ ∴； （3）解：家庭教育方面：1、控制孩子使用电子产品的时间，睡前避免接触手机、平板等设备；2、营造安静、舒适的睡眠环境，督促孩子养成规律的作息习惯； 学校管理方面：1、合理控制作业量，减轻学生学业负担，避免占用过多休息时间；2、开展睡眠健康主题教育，引导学生认识充足睡眠的重要性． 23．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化． 问题： (1)①的一个有理化因式是_____； ②的一个有理化因式是______； (2)计算：； (3)已知，，试比较a，b的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；②（答案不唯一） (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可得出结果； （2）先对每一项进行分母有理化，然后通过化简计算即可得出结果； （3）先求出、的值，再比较它们的大小即可． 【详解】（1）解：， ∴①的一个有理化因式是； ②的一个有理化因式是（答案不唯一）； （2）解：原式 ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴． 24．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）我们知道，和这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解．有些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：①分解因式：； 解：原式 ； ②求代数式的最小值． 解：原式， ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)当x为何值时，有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 【答案】(1) (2)当时，代数式取最小值 (3)见解析 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ 当时，代数式取最小值； （3）解： ∵， ∴ ∴无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 25．（24-25八年级下·江苏常州·期中）阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律，填空：________． (2)利用发现的规律，计算：． (3)类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查分式的加减法，数字的规律变化，分式的化简求值，读懂题目信息，观察出规律是解题的关键． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律即可求出答案； （3）根据题中给出的规律进行化简，然后将代入即可得出答案． 【详解】（1）由 可得． （2） ， ． （3） ， ∵， ∴， 原式 26．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… (1)请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 (2)如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 【答案】(1)；，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证和全等，再说明是的中位线．利用三角形中位线定理得出结论； （2）先根据梯形面积求解得到的值，再由梯形中位线求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：连接并延长，交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． （2）解：梯形的面积为，高为， ∴ ∴ 则梯形的中位线． 27．（25-26八年级下·江苏常州·单元复习）【问题探究】 （1）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为______； （2）如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）米 【分析】（1）可证得，从而， （2）连接，连接，交于O，根据三角形中位线的性质得出，从而得出当时，最小，从而最小，根据可求得，进而得出结果； （3）取的中点T，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，可证得是矩形，从而，进而求得的值，可证得，从而，从而得出，作于V，则最小值是的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图， 四边形是矩形，， ∵， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1， 连接，连接，交于O， 点M、N分别是、的中点， ， 当时，最小，从而最小， 四边形是菱形， ，，， ， ， 由， ， ， ； （3）解：如图2， 取的中点T，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接， 四边形是矩形， ，，， ，为的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， 是矩形，， ，， 米， ， ， ， ， 是的中点， ， ， 作于V， 则最小值是的值， 米， 米， 米， 灌溉水渠总长度的最小值为：米． 【点睛】本题考查了正方形，菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：6~ 11章（八年级下册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）已知，则整式应该是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）若在实数范围内有意义，则实数应满足的条件是（） A． B．且 C． D．且 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）分式中字母的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 4．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 5．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 6．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 7．（2026·江苏南京·模拟预测）我国JX-300型道路抢修车，采用智能施工技术，能快速修复破损路面．该抢修车每小时修复路面的速度是一名工人人工修复速度的3倍，它修复120公里路面比一名工人修复90公里路面所用时间少10个小时，求该型号道路抢修车每小时修复路面多少公里．设该型号道路抢修车每小时修复路面公里，可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度向点B运动，动点H从点B出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q从点C出发沿方向以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另外两点也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒，当时，t的值为（   ） A． B．1 C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）某学校为了了解七年级同学的视力情况，从七年级的10个班共500名学生中，每班随机抽取了6名进行分析，在这个问题中样本容量是________． 10．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 11．（2026·江苏南京·一模）定义新运算：对于正实数a，b，定义．若，则__________． 12．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）平行四边形的对角线，相交于点．若，，，则的周长为___________． 13．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在菱形中，，，，则周长的最小值为_____． 14．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲热门是世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即：．人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”请你依照苏菲热门的做法，对下列多项式进行因式分解：_____． 15．（25-26八年级下·江苏南京·期中）谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形图形．初始三角形（分形次数为0）是1个边长为1的等边三角形，每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形．如图，经过第一次分形得到3个边长为的黑色等边三角形，经过第二次分形得到9个边长为的黑色等边三角形…按此规律，第5次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为_____________． 16．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度匀速运动，当点运动到点时，点、点同时停止运动．过点作交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为_____． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）先化简，再求值：，其中． 18．（2026·江苏泰州·一模）已知整式（a，c为常数）． (1)若，且A为完全平方式，直接写出c的值并将整式A因式分解； (2)若，则；若，则，求a和c的值． 19．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）小明用计算器计算的近似值，得到 (1)请用这个近似值计算的近似值（结果保留三位小数）； (2)请用这个近似值，计算的近似值（结果保留三位小数）． 20．（2026·江苏苏州·一模）如图，在中，点E、F分别在、边上，连接，有下列三个选项：①，②，③．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，选择一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法） (1)你选的补充条件为________、________，结论为________；（填序号即可） (2)根据第（1）问的选择，证明你的结论． 21．（2026·江苏南京·二模）在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、团圆、美满等美好的祝愿．已知校园手工社团编制两种中国结，其中A种中国结每人每小时能编制1个，B种中国结每人每小时能编制2个，该社团计划在“六一”儿童节期间向福利院捐赠这两种中国结各120个，已知该社团共有18名学生． (1)若两种中国结同时完成，则应该如何安排编制A，B两种中国结的人数？ (2)若想在周六利用半天时间完成任务，学校另安排老师与同学们一起编制，老师的编制速度是学生编制速度的2倍，其中已经安排4位老师与同学们一起编制A种中国结，且刚好完成A种任务，至少还需要安排几位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务？ 22．（2026·江苏常州·一模）为响应国家政策要求，保证学生睡眠时长，某校从八年级随机抽取部分学生，统计其某天睡眠时长（单位：小时），部分信息如下： 信息1：得到如下表格： 等级 睡眠时长 频数 频率 严重不足 20 不充足 140 0.35 基本充足 c 充足 80 0.2 信息2：通过对睡眠不足或严重不足学生的进一步调查，得到各种因素的如下统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)计算：___________，___________； (2)信息2的统计图中的___________； (3)根据睡眠不足的原因调查，请你对家庭教育和学校管理两个方面提出合理建议． 23．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化． 问题： (1)①的一个有理化因式是_____； ②的一个有理化因式是______； (2)计算：； (3)已知，，试比较a，b的大小，并说明理由． 24．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）我们知道，和这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解．有些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：①分解因式：； 解：原式 ； ②求代数式的最小值． 解：原式， ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)当x为何值时，有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 25．（24-25八年级下·江苏常州·期中）阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律，填空：________． (2)利用发现的规律，计算：． (3)类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 26．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… (1)请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 (2)如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 27．（25-26八年级下·江苏常州·单元复习）【问题探究】 （1）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为______； （2）如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $