期末重难点检测卷（培优卷）（考试范围：6～11章）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

**基本信息** 以“嫦娥五号”发射检查、电单车投放等真实情境为载体，融合统计、几何、代数综合考查，通过材料阅读题（如构造对偶式）和动态几何题（如正方形旋转），培养数学抽象、几何直观与模型意识，适配八年级下册期末培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|普查与抽样、菱形判定、因式分解|结合“抛掷图钉试验”考查频率估计（数据意识）| |填空题|8/16|二次根式化简、海伦公式、统计图表|引入复合二次根式构造完全平方（运算能力）| |解答题|11/68|分式方程应用、几何综合、材料探究|电单车投放问题（模型意识）、正方形旋转证线段关系（推理能力）|

期末重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：6~ 11章（八年级下册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26·江苏南京·月考）下列调查最适合用普查的是（   ） A．市场上某品牌电脑的质量 B．长江南京段的水质情况 C．全省八年级学生的睡眠情况 D．“嫦娥五号”探测器发射前的检查 【答案】D 【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、调查市场上某品牌电脑的质量具有破坏性，且数量较大，适合抽样调查，不符合题意； B、调查长江南京段的水质情况范围大，适合抽样调查，不符合题意； C、调查全省八年级学生的睡眠情况范围广，人数多，适合抽样调查，不符合题意； D、“嫦娥五号”探测器发射前的检查对精确度要求极高，事关重大，每个环节都需要检查，适合普查，符合题意． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理，逐一判断即可． 【详解】解：A、由图可知，对角线与两邻边的夹角均为，即邻边相等，则根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定选项A一定是菱形； B、由三角形内角和定理可知对角线夹角为，即对角线垂直，则根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定选项B一定是菱形； C、根据图中数据，只能说明同旁内角互补，不能说明一定是菱形； D、由图可知对角线平分内角，即所分成的两个角均为，由平行线性质可推出三角形为等边三角形，故邻边相等，则选项D一定是菱形； 则只有选项C不一定是菱形． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期末）把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．2，3 B．， C．，3 D．2， 【答案】B 【分析】计算，与的对应项系数相等，即可得，的值． 【详解】解：根据题意可得， ∴，． 4．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390 钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39 根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（   ） A．540 B．555 C．570 D．585 【答案】D 【分析】本题考查了用频率估计概率；大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着试验次数的增多，钉尖着地的频率逐渐稳定到附近， ∴估计“钉尖着地”的概率为， ∴抛掷1500次时，估计次数为． 故选：D． 5．（2026·江苏无锡·一模）甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则下列方程符合题意的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据甲做360个零件的时间等于乙做480个零件的时间，再结合总日产量表示出乙的日产量，根据时间公式列方程即可. 【详解】解：∵设甲机器人每天做个零件，两种机器人每天共做140个零件， ∴乙机器人每天做个零件， ∵ 时间总零件数每天做的零件数，且题目给出甲做360个零件与乙做480个零件所用时间相同， ∴ 甲做360个零件的时间为，乙做480个零件的时间为， 根据等量关系可得 . 6．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　） ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先将原数统一改写为二次根式形式，找出被开方数和排列的规律，再根据给定位置计算出对应数的序号，即可求出结果． 【详解】解：将原数组改写为二次根式形式可得： 可得规律：被开方数为从2开始的连续偶数，每一行有4个数， 位置为 表示第17行第2个数 前16行共有个数， 该数是总序列的第个数 该数的被开方数为 ， 该数为． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【详解】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 8．（2026·江苏常州·二模）某校足球社团为练习足球，他们第一次用元买了若干个足球，第二次用元在同一商家买同样的足球，这次商家每个优惠元，结果比上次多买了个，求第一次买了多少个足球？若设第一次买了个足球，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意，得到等量关系，列出方程，即可． 【详解】解：设第一次买了个足球 ∴每个足球的单价为：； ∵第二次用元在同一商家买同样的足球，结果比上次多买了个， ∴第二次购买的足球的单价为：； ∵商家第二次购买足球每个优惠元， ∴分式方程为：． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级下·江苏·阶段检测）已知，，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】将转化为，把已知条件代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 10．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）分式、、的最简公分母是________． 【答案】 【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式、、的最简公分母是． 11．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】6 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，再根据平行四边形的对角线互相平分，可得． 【详解】解：当是矩形时，， ． 12．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查利用完全平方公式化简复合二次根式，熟练掌握二次根式的性质与完全平方公式的结构是解题关键，将被开方数拆分为两个正数的和，构造完全平方式即可化简． 【详解】解： 13．（25-26八年级下·江苏南京·期中）若三角形三边长分别为，记，则三角形的面积为，此公式被称为海伦－秦九韶公式，请你利用海伦－秦九韶公式计算以下的面积为______． 【答案】 【分析】根据图形确定三角形的三边长，利用公式求出半周长的值，再将及三边长代入海伦－秦九韶公式进行计算，最后化简二次根式即可． 【详解】解：由图可知，的三边长分别为，，， 令，，，则， 代入海伦－秦九韶公式 ． 14．（25-26八年级下·河南南阳·期中）《全民阅读促进条例》于年月日正式施行，全民阅读首次有了国家立法保障．为了解某社区居民每月的阅读量情况，社区人员随机抽取了名居民进行调查，并将调查数据绘制成如图所示的统计图．若该社区有名居民，则每月阅读量不低于本的人数约为______． 【答案】 【分析】由样本所占比例乘以总数即可得出结果． 【详解】解：由题意，得每月阅读量不低于本的人数约为． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________． 【答案】 大 9 【分析】仿照小李同学的思路，由表示，代入 ，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴ ， ， ∴， ∴有最大值9． 16．（2026·江苏常州·一模）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，交于点，交于点．则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点作于点，通过正方形的性质，证明为等腰直角三角形，得到，接着通过证明，得到，则可得求得，即求得点的坐标． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是正方形，点， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 由作图可知：平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 18．（2025·广东广州·一模）【已知】对分式进行通分，可知：当且时，． 【应用】求的值． 【答案】 【分析】将每一项拆分成两项的差，再计算加减法即可得． 【详解】解： ． 19．（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： (1)已知，试证明为定值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意“构造对偶式”，解得其值为，结合题目所给条件即可证明； （2）由题意构造“构造对偶式”，解得其值为8，结合题目所给条件得，和联立即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， 即为定值； （2）解：， ， ， ， 得，，即：， 两边平方得，，解得：， 经检验，是原方程的解． 20．（25-26八年级下·江苏南京·期末）某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 【答案】(1)该区域投放了20辆型和30辆型电单车 (2)采购这两种电单车总共需要花费元 【分析】（1）本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题目给的和差倍分关系列出等量关系式求解． （2）本题主要考查了分式方程的应用，利用“数量=总价单价”列式求解． 【详解】（1）解：设该区域投放了辆型和辆型电单车． 由题意得：， 解得：， 答：该区域投放了20辆型和30辆型电单车． （2）解：设每辆型电单车进价元，则每辆型电单车进价元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴总花费为（元）． 答：采购这两种电单车总共需要花费元． 21．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）周末，某文具店进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数m 68 144 207 414 落在“矿泉水”的频率 (1)补全表格； (2)估计转动该转盘一次，获得钢笔的概率．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频数，频率之间的关系进行列式计算，即可作答． （2）先结合（1）的表格数据，得出落在“矿泉水”的频率稳定在附近，即转动该转盘一次，获得矿泉水的概率约是．即可得出获得钢笔的概率． 【详解】（1）解：， 完成表格如下： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数m 68 144 207 284 350 414 落在“矿泉水”的频率 （2）解：由表格得，落在“矿泉水”的频率稳定在附近， ∴转动该转盘一次，获得矿泉水的概率约是． ∴转动该转盘一次，获得钢笔的概率约是． 22．（25-26八年级下·湖南永州·期中）【三角形中位线定理】 (1)如图1，已知：在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出与之间的数量关系和位置关系； 【应用】 (2)如图2，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理求解即可； （2）连接，利用三角形中位线定理，勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：根据三角形中位线定理，得； （2）解：连接， 因为点E，F分别是边，的中点， 故， ， ，， ， ，，且 ， ， ． 23．（25-26八年级下·山东济南·期中）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】 （1）①先将原式变形为，前3项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； ②将常数项变为，前三项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （2）将原式变形为 ，分组分解为，再利用非负数的性质即可求出，，． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由得： ， 即， ∴ ， ∴． 24．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：， 观察上面的解题过程，并解答下列问题： (1)____，的倒数是____． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化化简即可解答； （2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可； （3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 的倒数是； （2）解：∵， ∴， 即的整数部分为2， ∴． 当时，； （3）解：原式 ． 25．（25-26八年级下·贵州·期中）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 【答案】(1)t， (2)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质和点运动的时间进行解答即可； （2）根据平行四边形的判定得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动， ∴当点P，Q运动t秒时，线段的长度为；线段的长度为； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得． 26．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)4680元 【分析】（1）根据题意利用长方形周长公式列式计算即可； （2）先计算出种植蔬菜部分的面积，再求出销售收入即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形空地的周长为 ∴长方形空地的周长为． （2）解：由题意得，蔬菜地的面积为， ∴销售收入（元）， ∴销售收入为4680元． 27．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图（），点，分别在正方形的边，上，，连接．试猜想之间的数量关系． 【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至．可使与重合，由，得，即点，，共线，从而证明出，故得出了之间的数量关系；小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取，从而证明出，故得出了之间的数量关系； (1)请你选择一名同学的解题思路，得出之间的数量关系； 【类比引申】 (2)如图（），在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】 (3)如图（），在中，，，点均在边上，且，试猜想满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析； (3)，见解析． 【分析】（）小明同学：把绕点逆时针旋转至，然后证明，则有，从而得出；小红同学：延长，并在的延长线上截取，证明，所以，然后证明，则有，从而得出； （）把绕点逆时针旋转至，所以，，，，然后证明，所以，从而得出； （）把绕点逆时针旋转至，所以，，，，然后证明，所以，再通过勾股定理得，则． 【详解】（1）解：小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴，即点，，共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 证明：如图（）把绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即点，，共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 如图（），把绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：6~ 11章（八年级下册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26·江苏南京·月考）下列调查最适合用普查的是（   ） A．市场上某品牌电脑的质量 B．长江南京段的水质情况 C．全省八年级学生的睡眠情况 D．“嫦娥五号”探测器发射前的检查 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A．B．C． D． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期末）把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．2，3 B．， C．，3 D．2， 4．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390 钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39 根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（   ） A．540 B．555 C．570 D．585 5．（2026·江苏无锡·一模）甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则下列方程符合题意的为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　） ．．． A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏常州·二模）某校足球社团为练习足球，他们第一次用元买了若干个足球，第二次用元在同一商家买同样的足球，这次商家每个优惠元，结果比上次多买了个，求第一次买了多少个足球？若设第一次买了个足球，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级下·江苏·阶段检测）已知，，则代数式的值为_____． 10．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）分式、、的最简公分母是________． 11．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 12．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 13．（25-26八年级下·江苏南京·期中）若三角形三边长分别为，记，则三角形的面积为，此公式被称为海伦－秦九韶公式，请你利用海伦－秦九韶公式计算以下的面积为______． 14．（25-26八年级下·河南南阳·期中）《全民阅读促进条例》于年月日正式施行，全民阅读首次有了国家立法保障．为了解某社区居民每月的阅读量情况，社区人员随机抽取了名居民进行调查，并将调查数据绘制成如图所示的统计图．若该社区有名居民，则每月阅读量不低于本的人数约为______． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________． 16．（2026·江苏常州·一模）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，交于点，交于点．则点的坐标为________． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1) (2) 18．（2025·广东广州·一模）【已知】对分式进行通分，可知：当且时，． 【应用】求的值． 19．（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： (1)已知，试证明为定值． (2)已知，求的值． 20．（25-26八年级下·江苏南京·期末）某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 21．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）周末，某文具店进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数m 68 144 207 414 落在“矿泉水”的频率 (1)补全表格； (2)估计转动该转盘一次，获得钢笔的概率．（结果保留一位小数） 22．（25-26八年级下·湖南永州·期中）【三角形中位线定理】 (1)如图1，已知：在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出与之间的数量关系和位置关系； 【应用】 (2)如图2，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，，，，求的度数． 23．（25-26八年级下·山东济南·期中）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 24．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：， 观察上面的解题过程，并解答下列问题： (1)____，的倒数是____． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用上面的解法，请化简：． 25．（25-26八年级下·贵州·期中）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 26．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 27．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图（），点，分别在正方形的边，上，，连接．试猜想之间的数量关系． 【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至．可使与重合，由，得，即点，，共线，从而证明出，故得出了之间的数量关系；小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取，从而证明出，故得出了之间的数量关系； (1)请你选择一名同学的解题思路，得出之间的数量关系； 【类比引申】 (2)如图（），在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】 (3)如图（），在中，，，点均在边上，且，试猜想满足的等量关系，并写出推理过程． 学科网（北京）股份有限公司 $