2026年中考数学二轮复习《圆综合压轴题》考前冲刺专题训练

**基本信息** 聚焦圆与三角形、四边形的综合应用，以压轴题形式系统整合切线证明、线段计算等核心方法，通过递进式题型构建“性质应用—模型迁移—综合创新”的逻辑体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆内知识综合|6题|切线证明、折叠问题、动态探究|以直径、切线为核心，结合角平分线、中点性质，构建“圆的性质—几何变换—数量关系”推导链| |圆与三角形综合|6题|内接三角形、直径与高、模型应用|整合圆周角定理、全等/相似，形成“三角形性质—圆的性质—方程思想”解题路径| |圆与四边形综合|8题|内接四边形、菱形/矩形判定、切线综合|融合四边形性质与圆的位置关系，强化“图形判定—性质应用—面积计算”综合思维|

2026年九年级数学中考二轮复习《圆综合压轴题》考前冲刺专题训练（附答案） 一、圆内知识综合 1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙0上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点D作 ⊙O的切线交CB的延长线于点E, D (1)求证：DEAB; (2)若0A=5,sin∠BAC=,求线段DE的长. 2.如图，AB是⊙0的直径，AC与⊙0交于点C,∠BAC的平分线交⊙0于点D, DE⊥AC,垂足为E,AE=4,DE=2. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)求⊙0的半径： (3)连接BD,则BD的长为 3.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD于D,AC平分∠DAB,点P是 AB的中点，连接CP、AP、BP. (1)若∠BAC=30°，CD=3,求AC的长； (2)求证：CD是⊙O的切线： 3)若CP交AB于点M,作PH⊥AC于点H,交AB于点N,猜想AN、MN、BM存在的数 量关系，并说明理由. 4.如图，已知AB为⊙0的直径，AB=6,C为⊙0上的动点，D为AB上的动点，且 ∠BCD=60°，射线CD交⊙0于点E,连接AC,AB、 D 备用图 (1)求∠ACD的度数， (2)在DE上取一点F,使得EF=吉BC,连接AF ①判断△AEF的形状，并说明理由。 ②连接BF,若AB=3BC,求△AFD与△BFD的面积之比. 5.如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙0上一点，点C为弧ABD的中点，连接 CD,CA. A A B 图1 图2 图3 (1)求证：∠ABD=2∠BDC: (2)过点C作CH⊥AB于H,交AD于E,求证：△ACE~△ADC 3)在(2)的条件下，若0H=5,AD=24,求线段BH的长度. 6.【驱动背景】 在⊙O中，将劣弧AB沿弦AB所在的直线折叠，使得弧AB恰好过圆心O,圆心O关于直 线AB的对称点为O. D D 图1 图2 图3 图4 【前情感知】 (1)如图1，连接0A,0B,∠A0B的度数为_： 【问题探究】 (2)如图2，若点D是优弧AB上的任意一点，连接AD交折叠后的弧于点C,连接BC, BD ①∠ACB的度数为-；猜想BC与BD的数量关系-； ②如图3，若弧AB(翻折后)不经过圆心O,BC与BD的数量关系是否仍然成立？请说明 你的理由 【拓展生长】 (3)如图4，若AD为⊙O直径，将第一次折叠后的弧AB(弧AC部分)沿AC向下翻折交 弦AB于点E,连接CE,若AD=10,OC=1,请直接写出线段CE的长。 二、圆与三角形综合 7.如图，△ABC内接于⊙O,AD为BC边的高，AE为⊙O的直径交BC于点F,连接 BE. E (1)求证：△ABE△ADC: (2)当直径AE平分∠BAD时，求证：BE=BF; 3)在(2)的条件下，若AB=10,BE=5,求DF的长 8.如图，△ABC内接于⊙O,连接AO并延长交BC于点D,且AD⊥BC于点D ① ② (1)如图①，求证：∠B=∠C: (2)如图②，点E在弧AC上，连接AE,CE,∠ACE=青∠ACB,求证：∠CAB=2∠ACE (3)如图②，在(2)的条件下，若AE=5,AB=13,求E到AC的距离. 9.综合与实践 【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在 AC上（点P不与点A,C重合），连接PA,PB,PC.求证：PB=PA+PC.小明发现， 延长PA至点E,使AE=PC,连接BE,通过证明△PBC兰△EBA,可推得△PBE是 等边三角形，进而得证 【问题提出】 (1)请你根据小明的想法，写出解答过程. 【深入探究】 (2)如图2，⊙0是△ABC的外接圆，∠ABC=90·,AB=BC,点P在⊙0上，且 点P与点B在AC的两侧，连接PAPB,PC.求证：PA+PC=2PB. 图1 图2 10.在学习完“圆”后，赵老师带领学生开展了一次数学探究活动. E B 图1 图2 图3 (1)如图1，△ABC内接于⊙0，连接0B.求证：∠0BC+∠A=90°.小王发现，延长 BO,交⊙O于点D,连接CD,进而得证.请完成小王的证明过程： (2)如图2，△ABC内接于⊙O,过点C作CD⊥AB,分别交AB、⊙O于D、E,过点O作 OH⊥BC,交BC于H,连接AE.求证：AE=2OH; 3)小张突发奇想，如图3，当△ABC是钝角三角形时，过点C作CD⊥AB,分别交BA延 长线、⊙0于D、E,连接AE.若AE=3,BC=5,则⊙O的直径是多少？请你帮助小 张解决这个问题. 11.已知⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径. 图1 图2 (1)如图1，AD平分∠BAC交⊙O于点D,连接0D交BC于点H.①求证：OD‖AC. ②若DH=2,BC=8,劣弧BD的长度为3π， (①求⊙0的半径. (i)求∠BAC的度数. (i若DQ是⊙0的一条弦（不是直径），过点Q作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P, 若PQ‖AD,求∠ODQ的度数 (2)如图2，延长BA到点E,使EA=OA,延长BC到点F,且AF⊥AB,AF与CE交于点 M,若FM=CM. ①求证：CE是⊙O的切线 ②若AF=2,求阴影部分的面积. 12.【模型探究】 (1)如图1，△ABC是⊙0的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙0的弦，且 AF⊥BC,垂足为D,连接BE、CF,试说明：BE=CF; (2)如图2，⊙O的半径为R(R为定值)，AB、CD是⊙O的弦，且AB⊥CD,垂足为E, 当点E在弦CD上运动时AE2+DE2+B2+CE的值是否改变？若不变，请求出这个定 值；若改变，请说明理由； 小明思考后给出了如下思路：连接AO并延长，与⊙O相交于点F,连接AC、CF、BD, 结合(1)中结论可得：CF=BD,则CF2=BD2,再利用勾股定理即可得出结论.请你 根据小明提供的思路写出详细的过程. 【模型应用】 (3)如图3，某市区有一块半径为500米的圆形广场⊙0，现计划对其进行改造，规划详 情如下：点A、B、C、D均在⊙O上，将点C规划为一个人口，沿AB、CD修建两条景观 廊道，这两条廊道垂直交汇于广场内的喷泉E处，AC为人行步道，BC为特色街区，已知 AC=DC=300√10米，求特色街区BC的长.（喷泉大小、人行步道、景观廊道及特色街 区的宽度均忽略不计) D E E F B 图1 图2 图3 三、圆与四边形综合 13.如图，四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC平分∠BAD,连接BD交AC于点E. B (1)求证：△ABC~△BEC: (2)若AB=AC,BE=6,EC=4,求△ABD和△BCD的面积比； 3)求证：AC2=BC2+AB·AD 14.如图，⊙0是Rt△ABC的外接圆，D是BC上的任意一点(A,D在直径BC异侧)，连接 AD,BD,P在BC的延长线上，连接AP.已知∠ABC=30°，AP=AB,BC=4 D (1)求证：PA是⊙0的切线； (2)填空并说明理由： ①连接AO,OD,CD,当AD=2√3时，四边形A0DC是一；（填“矩形”“正方形"或菱 形") ②连接CD,当CD=2V3时，四边形ABDC是一·（填"矩形"“正方形"或"菱形"） 15.如图1，已知AB是⊙0的直径，四边形ABCD内接于⊙0，其对角线交于点 E,∠CAD=45°， D D B 图1 图2 (1)求证：BC=CE; 2如图2，连接0C,交BD于点F,若器=青. ①求器的值： ②过点C作CG‖BD交AB的延长线于点G,若⊙O的半径为5，求△BCG的面积. 16.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AB,CD,C是弧AB的中点， AD⊥BD,延长BD至点E,使DE=BD,连接AE,F是线段AE上的点，且 AD2=AF.AB. D (1)求证：△ABE是等腰三角形， (2)求证：DF是⊙0的切线 (3)试探究AD,BD,DC之间的数量关系，并说明理由， 17.如图1，矩形ABCD内接于⊙O,E是AD上一点，连接AE,连接EC交AD于点G. G G B 图1 图2 (1)若EG=4,AG=5,求AE的长； (2)如图2，连接BE,交AD于点F,EG=FG, ①求证：=； ②若△EFG与△EBC的面积之比为9：49，AF=1,求⊙0的直径， 18.如图，AB,CD,EF均为⊙0的直径，点C是弧AF的中点，点N在OD上，且四边 形0NBF是平行四边形，OM=ON=AM=2. G D (1)求证：△BON兰△DOM; (2)若点G在EF的延长线上，且∠B0F=2LG,证明：CG是⊙0的切线； (3)求⊙0的半径. 19.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径，AB=BC,连接BD,过点D的 直线与CA的延长线交于点E,且∠EDA=∠ECD. (1)求∠ADB的度数： (2)求证：DE是⊙0的切线； 3)以下与线段AD,线段CD,线段BD有关的三个结论：①AD+CD=BD,② AD+CD=V2BD,③AD+CD=V3BD,你认为哪个正确？请说明理由. 20.如图，PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A,B.连接P0并延长，交⊙O于点C, D D B 图1 图2 (1)求证：CP平分∠ACB (2)如图1，若四边形APBC为菱形，DP=4,求PA的长度. 3)如图2，过圆心0作OH‖BP,交∠APE的角平分线于点H.已知，sin∠AOG=言.设 AP-OG=x,△GPH的面积为y,求y关于x的函数表达式. 参考答案 1.（1)证明：如图，连接0D. D H B :AB是⊙O的直径， ÷∠ACB=90°. :CD平分∠ACB, ·∠ACD=∠BCD=45°. ÷∠A0D=2∠ACD=90°. :DE是⊙O的切线， .∠0DE=90°. ÷∠ODE=∠AOD. ·DE‖AB (2)解：如图，过点B作BH⊥DE,垂足为H: :OD⊥DE, ÷OD|BH. :DE‖AB,OD=OB, :四边形ODHB是正方形 :OD=DH=BH=OB=5,∠OBH=90° :在Rt△A8C中，sin∠BAC=器=是，AB=20A=10, BC=6. AC=AB2-BC2=8. ABI DE, ·∠ABC=∠E :∠BHE=∠ACB=90o, ·△ABCM△BEH. …骺-器 “号=品，解得EH=要 DE=DH+EH=5+ 2.(1)证明：连接0D,如图所示，则∠BOD=2∠BAD, :∠BAC的平分线交⊙O于点D, ∠BAC=2∠BAD, ∴∠BOD=∠BAC, :OD AC, DE⊥AC, ∠AED=90°， ∠0DE=180°-∠AED=90°， :OD是⊙O的半径，且DE⊥OD, ∴DE是⊙O的切线 (2)解：作0F⊥AC于点F,则∠AF0=∠EF0=90°， :∠EF0=∠FED=∠0DE=90°， :四边形OFED是矩形， .0F=DE=2, AE=4,EF=OD=0A, :AF=AE-EF=4-0A, :AF2+0F2=0A2, (4-0A)2+22=0A2, 解得：0A=多 :⊙0的半径为号 (3)解：：AB是⊙0的直径，0A=, ∠ADB=90°，AB=20A=5, :∠AED=90°，AE=4,DE=2, .AD=VAE2+DE2=5. :BD=AB2-AD2=5. 故答案为：V5 3.(1)解：：AC平分∠DAB, :∠CAD=∠BAC=30°， :AD⊥CD于点D, ·∠ADC=90o, :在Rt△ACD中，AC=2CD=6; (2)证明：如图，连接0C, P :0C=0A, :∠OCA=∠BAC, :∠DAC=∠BAC, ÷∠OCA=∠DAC, :OCILAD, :AD⊥CD, ÷OC⊥CD, :0C是⊙0的半径， :CD为⊙O的切线： (3)解：MN2=AN2+BM2,理由如下： 如图，过点B作BQ⊥AB,且使得BQ=AN,连接MQ、PQ, D P 则∠MBQ=90°， :AB是⊙O的直径， ÷∠APB=90°， r点P是AB的中点， :.PA=PB, ·△PAB是等腰直角三角形， :∠PAN=∠PBA=45°， ·∠PCA=∠PBA=45°，∠PBQ=90°-45°=45°， ∴∠PAN=∠PBQ, ·△PAN≌△PBQ(SAS), ÷PN=PQ,∠APN=∠BPQ, :∠APN+∠NPB=∠BPQ+∠NPB, 即∠APB=∠NPQ=90°， :PH⊥AC, ∠PHC=90°， :∠PCA=45°， ÷∠NPM=90°-45°=45°， ÷∠QPM=∠NPQ-∠NPM=45°， :∠NPM=∠MPQ, 又：PN=PQ,MP=MP, .△PMN≌△PMQ(SAS), :MN=MQ, :在Rt△MBQ中，MQ2=BQ2+BM2, ·MN2=AN2+BM2. 4.(1)解：“AB为⊙0的直径， .∠ACB=90°， :∠BCD=60°， ∠ACD=30°： (2)解：①△AEF是直角三角形，理由如下： 连接OE,过点O作OG⊥BC于点G,如图所示： B E .BG=专BC,∠0GB=90°， EF=BC, EF=BG=专BC, ∠ACD=30°， .∠A0E=2∠ACD=60°， :0A=0E, ·△AOE是等边三角形， ..AE=0A=0B :∠AEF=∠OBG, △AEF≌△OBG(SAS), ·.∠AFE=∠0GB=90°， .△AEF是直角三角形： ②过点B作BH⊥CE于点H,如图所示： 0 B E 由①可知：∠AFE=90°，AE=0B=AB, ∠AFD=180°-∠AFE=90°=∠BHD, :∠ADF=∠BDH, :△ADFM△BDH, AB=3BC, ·2AE=3BC,即AE=号BC, :EF=专BC, AF=VAE2-EF2=2 BC. :∠BCD=60°，∠BHC=90°， ∠CBH=30°， :CH=BC, :BH=VBc2-CH=号BC, :△ADF△BDH, :㗊=器-ac=25 Γ号Bc 3 :S eFo 5.(1)连接AD.如图1， B 、-a 图1 设∠BDC=《,∠ADC=B, 则∠CAB=∠BDC=&, :点C为弧ABD中点， ·AC=CD ·∠ADC=∠DAC=B, ·∠DAB=B-x, :AB为⊙O直径， :∠ADB=90°， ÷&+B=90°， B=90°-a, ·∠ABD=90°-∠DAB=90°-(B-&), .∠ABD=2, ·∠ABD=2∠BDC; (2)证明：：CH⊥AB, :∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°， :∠CAB=∠CDB, ·∠ACE=∠ADC, 又：∠CAE=∠DAC, :△ACE∽△ADC: (3)如图2，连接0C, B E 图2 :∠C0B=2∠CAB, :∠ABD=2∠BDC,∠BDC=∠CAB, :∠COB=∠ABD, :∠0HC=∠ADB=90°， ·△OCH∽△ABD, :器=器=克， :0H=5, ÷BD=10, AB=VAD2+BD2 =26. B0=13, BH=0B-0H=13-5=8. 6.解：(1)如图1，连接001，交AB于点N, B 0 图1 :圆心O关于直线AB的对称点为O, .O01⊥AB,OA=01A,∠0AB=∠01AB, 又：0A=01A, △OA0是等边三角形， .∠A001=∠0A01=60°， ∠0AB=∠01AB=30°， 0A=OB, ∠0AN=∠0BN=30°， ∠A0B=180°-30°-30°=120°， (2)①如图2，∠ACB=∠A0B=120°， D 图2 设翻折前点C对应的点为T,连接AT、CT, 则∠DCB+∠ACB=180o,而∠DCB=∠T, 即∠T+∠ACB=180 :∠D+∠T=180°， ·∠DCB=∠D, 即BC=BD; ②成立，理由如下： 设折叠前点C的对应点为点C,连接AC,BC,如图3. D B 图3 由折叠可知，∠ACB=∠ACB, :四边形ACBD是⊙O的圆内接四边形， ∠D+∠ACB=180°， :∠BCD十∠ACB=180o, ∠D=∠BCD, :BC=BD; (3)补出第一次折叠后上面的AB弧所在圆O1,补出第二次折叠后从A到E到C的AC弧 所在圆02， 由题意得：上述两个圆和圆O是等圆，圆O的直径AD=10, 故设圆直径均为10，半径均为5，过B作BH⊥CD于H, R 图4 由(2)知BC=BD, :.CH=DH=CD, .0A=0D=5,C0=1, 则CD=4,AC=6, 则CH=DH=CD=2,AH=AC+CH=2十6=8， :∠D+∠DBH=∠D+∠DAB=90°， .△DBH△BAH, :器=器，即BH2=DH·AH, BH2=2×8=16,则BH=4, ·BD2=DH2+BH2=20,则BD=25, 作圆O2的直径RE,则ER=AD=10, 在圆O2中，∠R=∠BAD, 则∠ECR=∠ABD=90°， ER=AD, 则△REC兰△ADB(AAS), 则CE=BD=25 7.(1)证明：：AD为BC边的高， ·∠ADC=90°， :AE为⊙0的直径， .∠ABE=90°， ·∠ABE=∠ADC, :∠E=∠C, ·△ABE∽△ADC: (2)证明：：直径AE平分∠BAD, ·∠BAE=∠DAE :∠ABE=90°， ·∠BAE十∠E=90°， :∠ADC=90°， :∠AFD+∠DAE=90°， :∠AFD=∠E '∠AFD=∠BFE, ·∠BFE=∠E, :BE=BF: (3)解：：∠ABE=90°，AB=10,BE=5, tan∠BAE=器=品=， :∠BAE=∠DAE tan∠BAE=tan∠DAE=, :AD⊥BC, tanDAE=器=克， 设DF=x,则AD=2x 由(2)知：BE=BF=5, ·BD=BF+DF=x+5, AD2+BD2=AB2, (2x)2+(x+5)2=102, :x=-5(不合题意，舍去)或x=3, DF=3. 8.(1)证明：：AD⊥BC,AD过圆心O, ·BD=CD,且AD⊥BC, ·AB=AC, ·∠B=∠C; (2)证明：连接BE, B 图2 设∠ACE=x,则∠ACB=3a, ·∠ABC=∠ACB=3a, :∠ABE=∠ACE=t, ·∠CBE=∠ABC-∠ABE=3C-=2a, ·∠CAE=∠CBE=2aL=2∠ACE; (3)解：过点E作EG⊥AC于点G,在CG上截取GH=AG,连接EH, B D 图3 ·EH=AE=5, ÷∠AHE=∠EAH=2C, :∠CEH=∠AHE-∠ECH=2a-=&=∠ECH, ·CH=EH=5, :AC=AB=13, ·AH=AC-CH=13-5=8, AG=GH=4, 在Rt△AEG中，EG=VAE2-AG2=V52-42=3. 9.证明：（1)：四边形ABCP是圆内接四边形， ∠BAP+∠BCP=180°， :∠BAP+∠BAE=180°， .∠BCP=∠BAE, :△ABC是等边三角形， AB=BC,∠BAC=60°， :=, .∠BPC=∠BAC=60°； 又AE=CP, △BAE≌△BCP(SAS), BE=BP,∠E=∠BPC=60°， ·△BPE是等边三角形， :PB=PE, PE=PA+AE, ∴PB=PC+PA: (2)如图，延长PA至点E,使AE=PC,连接BE, :四边形ABCP是⊙O的内接四边形， ∴∠BAP十∠BCP=180°， :∠BAP+∠BAE=180° ∠BAE=∠BCP, 在△PBC和△EBA中， CP=AE ∠PCB=∠EAB, CB-AB ·△PBC≌△EBA(SAS), :PB=EB, ·∠E=∠APB, :∠ABC=90°，AB=BC, :∠ACB=45°， ”= ∠APB=∠ACB=45°， ∠E=45°， ·∠PBE=90°， PE=VPB2+BE2=V2PB, :PE=PA十AE, :.PA+PC=V2PB. 10.(1)证明：如图， B :BD为直径， ∠BCD=90°. :∠BAC=∠BDC, ÷∠0BC+∠A=∠OBC+∠BDC=90°. (2)证明：如图，连接BO并延长交圆于点N,连接CN, E H 由(1)知，∠0BH+∠BAC=90°， 又：∠ECA+∠BAC=90°， :∠ACE=NBC CN=AE :OH⊥BC,CN⊥BC, ÷BH=CH=BC,OH‖NC …器=股= .CN=20H. AE=20H. (3)解：如图，连接BO并延长交圆于点N,连接CN,NE,BE, A D '∠DBC+∠DCB=90°，∠DAE+∠AED=90·, 又：∠DBC=∠AED, ·∠DCB=∠DAE :∠DAE+∠BAE=180°，∠BNE+∠BAE=180°， :∠BNE=∠DAE ·∠DCB=∠BNE. :∠EBN+∠BNE=90°，∠DBC+∠DCB=90o, :∠DBC=∠EBN. 4=. =. :AE=CN=3. 作OH⊥BC,则H0=CN=多，BH=BC=号， 则B0=BH+O-每 故圆的直径为34· 11.(1)①证明：：AD平分∠BAC交⊙0于点D, ÷∠CAD=∠OAD, 0A=OD, ·∠OAD=∠ODA, ·∠CAD=∠AD0, ÷AC‖OD; ②解：(i):AD平分∠BAC交⊙O于点D: ·∠CAD=∠BAD, ∴=， ÷ODLBC,CH=BH=专BC=4, :0H2+BH2=0B2, (0B-2)2+42=0B2, 0B=5, .⊙0的半径为5： (i)设∠BOD=n°， :OB=5,劣弧BD的长度为青π， ·=考π， ÷n=48, ÷∠B0D=48°， :∠CAB=2∠DAB,∠DOB=2∠DAB, :∠BAC=∠BOD=48°； (ii)连接OQ并延长QO交AD于N, 图1 :PQ是⊙O的切线， :NQ L PQ, PQIl AD, QN⊥AD, :0A=0D, ∠A0N=∠A0D=青×(180°-∠D0B)=青×(180°-48°)=66°， .∠Q0G=∠A0N=66°， :∠D0Q=∠D0B+∠Q0G=48°+66°=114°， OD=0G ÷∠0DQ=∠0QD=克×(180°-114)=33°； (2)解：①证明：连接0C,作CH⊥A0, B HO 图2 :AF⊥AB, :∠BAF=90o, ÷∠B+∠F=90o, FM=CM, ·∠F=∠FCM, :0C=0B, ∠B=∠BCO :∠FCM+∠BCO=90°， ÷∠0CE=90°， :0C是⊙0的半径， ÷CE是⊙O的切线： ②解：：EA=0A=0C, 0C=0B, :∠0CE=90°， ·∠E=30°， :∠A0C=60°， :0C=0A, ·△A0C是等边三角形， ·∠CAB=60°， :∠BAF=90°， ∠FAC=90°-60°=30°， :AB是⊙O的直径， ·∠ACB=90°， ·∠ACF=90o, :AF=2, CF=AP=1,AC=22-17=3, A0=AC=5, :△A0C是等边三角形， AH=专A0=9,CH=VAC2-A02=月， ·阴影部分的面积 -SA4s+S%a0c-SBoc=×1×5+x5×是-g日=与+9-5=5-号 360 12.(1)证明：：AB是⊙0的直径， :∠ABE=90°， 在△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°， :AF⊥BC, :∠ADC=90°， 在△ADC中，∠CAF+∠ACB=90°， :=, ÷∠AEB=∠ACB, ·∠BAE=∠CAF, “=, BE=CF (2)解：连接AO并延长交⊙0于点F,连接AC,CF,AD,BD B 则AF是⊙O的直径， 由(1)得，CF=BD,∠ACF=90°， ·AC2+CF2=AF2=4R3 :AB⊥CD, AE2+DE2+BE2+CE2=(AE2+CE2)+(DE2+BE)2=AC2+BD2, :CF=BD, .AE2+DE2+BE2+CE2=AC2+BD2=AC2+CF2=AF2=4R2 故AB2+DE2+BE2+CE2的值不变，该定值为：4R2, (3)解：连接BD E☑D B 由(2)得AC2+BD2=4R2, :⊙0的半径为500，AC=DC=300W10, ÷BD=100y10, ”=, ·∠EAC=∠EDB, :∠AEC=∠DEB, ·△AEC△DEB, 罷=脂=0四 100W10 =3,即CB=3BE, 设BE=x,则CE=3x,DE=CD-CE=300V10-3x, 在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2, x2+(300W0-3x)2=(100V0)2 x1=100V10,2=80W10, 当x=100W10时，DE=0,故舍去， 则BE=80W10,CE=240W10 在Rt△BCE中，BC=VBB2+CE2=800. 13.(1)证明：=， ∠CBD=∠CAD, :AC平分∠BAD, ∠BAC=∠CAD, ∠BAC=∠CBD, 又：∠ACB=∠BCE, .△ABC△BEC: (2)解：如图，过点A作AF⊥BD于点F,过点C作CG⊥BD于点G, D E 0°G E B AB=AC, .∠ABC=∠ACB, 由(1)得，△ABC∽△BEC, ∴∠BEC=∠ABC=∠ACB,能=器， :BC=BE=6,AC.CE BC2, “AC=%==9, ∴AE=AC-EC=9-4=5, :AF⊥BD,CG⊥BD, .∠AFE=∠CGE=90°， :∠AEF=∠CEG, .△AEFM△CEG, 器=器=， 4即=BDA9 :.Sseco BD CG -器=， (3)证明：：AC平分∠BAD, .∠BAC=∠CAD, “B=A, ∠ACB=∠ADB .△ACB△ADE, :%=器 AC·AE=AB·AD, AC·(AC-CE)=AB·AD, AC2-AC·CE=AB·AD, 由(1)得，△ABC△BEC, 器=能， ·AC.CE=BC2 AC2-BC2=AB·AD, 即AC2=BC2+AB·AD· 14.(1)证明：连接0A,如图： D :0B=0A, :∠0BA=∠0AB=30°， ·∠A0P=∠0BA+∠0AB=60°， AB AP, ∠ABP=∠P=30°， ÷∠0AP=180°-30°-60°=90°， ÷0A⊥PA, :OA是⊙0的半径， :PA是⊙O的切线： (2)解：①连接AO,OD,CD,如图： D 在⊙0中，：BC为直径 ÷∠BAC=90°， :∠ABC=30°， :∠ACB=60°，∠A0C=60°， ·∠ADB=60°， :BC=4, &AB=Sin60×BC=9×4=25, :AD=2V5, :AB=AD, ·△ABD是等边三角形， ·∠BAD=∠BCD=60°， :A0=0C=0D, ·△AOC,△OCD为等边三角形， ·OA=OD=DC=AC, ·四边形AODC是菱形， 故答案为：菱形 ②连接CD,如图： 由(1)和①可知AB=2N5,∠ABC=∠BAD=∠BCD=30°， :CD=25, :CD=AB,∠CAD=∠ACB=60°， ·∠ACD=90°， ·AD是⊙O的直径， :0B=0C,OA=0D, ·四边形ABDC是平行四边形， AD =BC, :四边形ABDC是矩形， 故答案为：矩形 15.(1)证明：：AB是⊙0的直径， ∠ACB=90°， :∠CBD=∠CAD=45°， ∠BEC=90°-∠CBD=45o, .∠BEC=∠CBD, :BC=CE (2)①解：过点E作EQ‖OC交AB于点G, ·器=8， :器=， :8%= :器=， :EQ川0C, D 器=器=， CACE=1 CE 器=， 器=2. ②解：：CGIBD, D G 90 能=能， 器=2， :.BG=AB, :⊙0的半径为5， AB=10, .BG=5, :=2,CE=BC, ∴AE=2CE=2BC, 不妨设CE=BC=x,则AE=2X,AC=AE+EC=3x, “AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， ∴AB2=AC2+BC2, 102=(3x)2+x2, 解得x=√0，负值舍去； .CE=BC=10,AC=310, 过点C作CK⊥AB于点K, 则号CK·AB=专AC·BC, “CK=4C89=31ox0 AB 10 二3 “SABCG=BGCK=青X3×5=号 16,(1)证明：：BD=DE,AD⊥BE, AD垂直平分BE, ∴AE=AB, ∴△ABE是等腰三角形， (2)证明：如图1，连接0D,由(1)得，△ABE是等腰三角形， ∴∠FAD=∠BAD, AD2=AF.AB, 架=铝，且∠FAD=∠BAD, ∴△AFD△ADB, ∠AFD=∠ADB=90°. BD=DE,OA=OB, .OD是△ABE的中位线， OD‖AE, ∴∠AFD+∠0DF=180°， ∠0DF=180°-∠AFD=180°-90°=90°， ∴.OD⊥DF,且OD是⊙0的半径， DF是QO的切线. O/G 图1 (3)解：AD+DB=V2DC,理由如下： 如图2，在AB上取一点H,使∠ACH=∠DCB. :C是弧AB的中点， ∴AC=BC, :AD⊥BD AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， .△ACB是等腰直角三角形， .AC:BC:AB=1:1:2 :∠HAC=∠BDC,∠ACH=∠DCB, △ACH△DCB, AC:DC=AH:DB,∠AHC=∠DBC. E B C 图2 又：四边形ACBD是⊙O的内接四边形， ∠DAC+∠DBC=180°，而∠AHC+∠BHC=180°， ∠DAC=∠BHC, :∠ADC=∠HBC(同弧所对的圆周角相等)， .△DAC∽△BHC, AD:HB=DC:BC,即AD·BC=HB·DC AC:DC=AH:DB,即AC·DB=AH·DC :AD·BC+AC·DB=HB·DC+AH·DC=(HB+AH)·DC=AB·DC, 即AD·BC+AC·DB=AB·DC AC:BC:AB=1:1:V2, AD·AC+AC·DB=V2ACDC,化简，得AD+DB=V2DC. 17.(1):矩形ABCD内接于⊙0，则对角线AC是直径， ∠AEC=90°， EG=4,AG=5, 在Rt△AEG中，∠AEG=90°，由勾股定理得， AE=NAG2-EG2=V52-4=3, (2)①：EG=FG, .∠GEF=∠GFE, 矩形ABCD, :ADBC, .∠EFG=∠EBC, ·矩形ABCD对角线AC是直径， ∴∠AEC=∠ABC=90°， ∠AEC-∠GEF=∠ABC-∠EBC, .∠AEB=∠ABE, :AB=AE, = ②：ADIBC, .△EFG△EBC, 器=（器）月 :△EFG与△EBC的面积之比为9：49， ()2=0, 股=， 设FG=3a,BC=7a, .EG=FG=3a, AB=AE,AB=CD :AE=CD, 在△AEG和△CDG中， I∠EGA=∠DGC ∠AEG=∠CDG AE-CD △AEG≌△CDG(AAS), :.EG=DG AD=AF+FG+GD=1+3a+3a=1+6a, BC=AD, .7a=1+6a, 解得a=1, .AG=AF+FG=1+3a=4, EG=3, 在Rt△AEG中，∠AEG=90°，由勾股定理得， AE=VAG2-EG2=42-32=V万， AB=AE=V万， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理得， AC=VAB2+BC=(万)2+72=V56=2W14 故答案为：2y14. 18.(1)证明：：点C是弧AF的中点， AC=CF ∴∠A0C=∠C0F. :∠A0C=∠BON,∠C0F=∠DOM, .∠BON=∠DOM OB=OD,OM=ON, △BON≌△DOM(SAS). (2)证明：连接AF交0C于点H,如图， 0A=0F, ∠OAF=∠AF0, ∠B0F==2∠0AF=2LAF0, :∠B0F=2∠G, ∠G=AF0, AF CG “点C是弧AF的中点， .OC⊥AF, .OC⊥CG, CG是⊙0的切线： (3)解：设⊙0的半径为r :四边形ONBF是平行四边形， :BF=ON=2,BN=OF=r. :△BON≌△DOM, :DM=BN=r. :点C是AF的中点， .点H是AF的中点。 点O是AB的中点， 0H=BF=1, :DH=r+1. :AM=2, :.AD=r+2 :AH2=AD2-DH2=0A2-0H2, (r+2)2-(r+1)2=r2-12, 整理得r2-2r-4=0, 解得r=1+V5或r=1-5 (舍去) :⊙0的半径为1+5】 19.(1)解：AC是⊙0的直径， ∠ABC=90°. AB=BC, ∠BAC=∠ACB=(180°-90°)÷2=45°， =, &∠ADB=∠ACB=45°. (2)证明：如图1，连接0D, 图1 :AC是⊙O的直径， ∠ADC=90°，即∠AD0+∠0DC=90°， OC=OD, ∠ODC=∠ECD, 又：∠EDA=∠ECD, .∠EDA=∠ODC, ∴∠AD0+∠EDA=90°，即∠ED0=90°， .OD⊥DE, 又：OD是半径， 直线DE是⊙O的切线： (3)解：②正确，理由如下： 过点B作BG⊥BD交DC延长线于点G,如图2， -G E 图2 ∠DBG=90°， :AC是⊙O的直径， ∠ABC=90°， :∠ABD+∠DBC=∠CBG+∠DBC=90°， .∠ABD=∠CBG, :四边形ABCD内接于⊙O, ∠BAD=∠BCG, AB=CB, .△ABD≌△CBG(ASA), AD=CG,BD=BG, DG=CG+CD=AD+CD ∠DBG=90°，BD=BG, .∠G=45°， 则DG=VBD2+BG2=V2BD, AD+CD=2BD. 20.(1)证明：：PA,PB是⊙0的切线， ÷PA=PB,∠APO=∠BPO, 在△APC与△BPC中， PA-PB ∠APC=∠BPC PC=PC ·△APC≌△BPC(SAS), ·∠ACP=∠BCP, ÷CP平分∠ACB. (2)解：如图，连接0A, :PA是⊙O的切线， :PALOA. :四边形APBC为菱形， ·AC=AP, :∠ACP=∠APC, '∠A0P=2∠ACP,∠A0P+∠APC=90°， &2∠ACP+∠ACP=90°， ·∠ACP=30°， ·∠APC=30°， 0A=0P, 设⊙0的半径为r,则0A=OD=r,OP=0D+DP=r+4, r=专(r+4), 解得r=4, ÷0P=4十4=8， PA=VOP2-0A=V82-4Z=43. (3)解：：PH平分∠APE, ·∠APF=∠EPF, '∠APC=∠BPC,∠APF+∠EPF+∠APC+∠BPC=180°， ·∠APF+∠APC=90°，即∠HP0=90°， :OH‖BP, :∠HGP=∠GPB,∠B0N=180o-∠0BP=90°， :∠HGP=∠APC+∠GOP,∠GPB=∠APC+∠BPC,∠APC=∠BPC, ÷∠APC=∠G0P, ·PG=G0, :∠APF+∠APC=90°，∠G0P+∠GHP=90°，∠APC=∠G0P, ÷∠APF=∠GHP, :.PG=GH, .PG=GO=GH, 如图，过点P作PN⊥OH交OH于点N,连接OB, E B :PA,PB是⊙O的切线， ·PA⊥OA,PB⊥OB, ÷∠PNG=∠BON=∠0BP=∠0AG=90°， :四边形OBPN是矩形， :NP=0B-0A, :∠AGO=∠NGP, ·△AG0≌△NGP(AAS), ·∠GPN=∠AOG,AG=GN, :sin∠GPN=sin∠A0G=青，即器=青， …器=青， ÷GH=3GN, AP-0G=x, ·AP-GP=x,即AG=X, ÷GN=AG=x, ÷PG=GH=3GN=3x, PN=VPG2-GN2=3x)2-x2=22x SAGPH=GH-PN=3x.2V2x=3V2x2, 即y=3V2x2.