专项攻略七 圆的综合题-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

第二部分河北中考·专项攻略 中考冲刺数学 专项攻略七 圆的综合题10年9考) 类型1动点问题 2.(2025四川宜宾)如图，已知AE是⊙O的直 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB= 径，D是⊙O上一点.过点D作直线DB与 6cm,BC=8cm,动点M从点A出发，以 AE的延长线交于B点.过点A作AC⊥BD 2cm/s的速度沿AB向点B运动，同时动 于C点，连接AD,DE,且∠AED=∠ADC. 点N从点C出发，以3cm/s的速度沿CA (1)求证：直线BC是⊙O的切线； 向点A运动，当一点停止运动时，另一点也 (2)若AE=10,an∠CAD=},求DE与 随即停止运动.以AM为直径作⊙O,连接 MN,设运动时间为ts(t>0), BD的长度； (1)试用含t的代数式表示出AM及AN的 (3)在(2)的条件下，若F为AE上的一动点， 长度，并直接写出t的取值范围； 且点F在直线AB上方，连接AF,DF,EF. (2)当t为何值时，MN与⊙O相切？ 当四边形ADEF面积最大时，求DF的 (3)若线段MN与⊙O有两个交点，求t的取 长度 值范围。 197 中考冲刺数学 类型2旋转问题 4.(2025河北衡水枣强模拟)淇淇陪弟弟玩积 3.(2025河北云家庄栾城校级二模)李阿姨正 木时，发现放在同一水平面上的两个积木的 在练习扇子舞，如图1，她握住扇子的端点 横截面分别是以MN=20cm为直径的半 Q,将扇子绕点Q在平面内逆时针旋转一 圆O和边长为4cm的正方形ABCD,P,Q 周.佳佳认真观察扇子的运动，画出示意图 分别为半圆O上的点.如图1所示，此时半 (图2)，研究其中的数学问题.经测量可得 圆O与水平面恰好切于点P,AP=12cm, OQ=36cm,∠POQ=120°，扇形QOM从 延长CD与半圆O分别交于点E,F.将半圆 O'M与OP重合的状态开始绕点Q逆时针 O向右无滑动滚动，使点D落在半圆O上， 旋转，点P的对应点为点M. 此时半圆O与水平面恰好切于点Q,如图2 所示， (1)在图1中，求弦EF的长； 0 (2)在图2中，求PQ的长； 图1 图2 备用图 (3)在图2中，过点D作半圆O的切线与直 (1)当点O'落在PQ上时，求∠OQO的度 线AB交于点H,求tan∠ADH的值 数，并判断点O是否在直线MO'上； (2)当OQ所在直线与扇形POQ第一次相 切时，求点O经过的路径长； A B (3)连接OM,当扇形QOM转动一周时，求 图 图2 OM的取值范围. 198 第二部分河北中考·专项攻略 中考冲刺数学 类型3动圆问题 6.如图1，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC, 5.（2024黑龙江绥化)如图1，O是正方形 AB=6,AD=10,点P在边AD上运动，以 ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为 P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC 半径的⊙O与AD相切于点E,与AC相交 交于A,E两点 于点F, (1)如图2，当⊙P与边CD相切于点F时， (1)求证：AB与⊙O相切； 求AP的长； (2)若正方形ABCD的边长为√2十1，求⊙O (2)不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P 的半径； 与平行四边形ABCD的边有三个公共点， (3)如图2，在(2)的条件下，若M是半径OC 随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD 上的一个动点，过点M作MN⊥OC交CE 的边的公共点的个数也在变化，若公共点的 于点N.当CM:FM=1:4时，求CN 个数为4，直接写出相对应的AP的值的取 的长 值范围 图2 199 中考冲刺数学 类型4折叠问题 8.如图，半圆O的直径与□ABCD的边重合， 7.(2025河北秦皇岛模拟)【情境】数学课上， 且交AD于点E,∠BAD=45°，AB=2, 同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图 BC=m,点P为半圆O上一点（不与A,B 1,AB是⊙O的直径，AB=4,沿弦CD折 重合)，将图形沿BP折叠，得到点A的对称 叠，使折叠后的CD与AB相切于点E. 点为A' (1)当m为何值时，点A'与点D重合？并求 出此时∠ABA'的大小； (2)连接BD,当m=√6+√2，PA'∥BD时， 求A'P的长； 图 图2 图3 (3)当直线DC与A'P所在圆相切时，请直接 【发现】CED所在圆的半径为 写出m的取值范围， 【探究】为了找到CED所在圆的圆心，同学们 讨论了以下两种方式。 淇淇说：取弦CE和弦ED的中垂线的交点 即可. 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作 点O关于弦CD的对称点O',点O即为 所求， 淇淇说：这样看来，折叠后，切点E在直径 AB上运动，可以看成⊙O在直径AB上 滚动 嘉嘉说：没错，所以当点E在直径AB上运 动时，点O的运动路线和直径AB的位置关 系是 【拓展】(1)如图3，若切点E为OB的中点， 连接O'B,交⊙O于点M,连接AM,求弦 AM的长； (2)若切点E落在线段OB上（包括端点）， 直接写出弦CD长度的最大值和最小值. 200智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为②BE=CF (2)法一：四边形ABCD是矩形， .∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，BC=AD 由折叠可知∠EB'C=∠B=90°，BD=BD',BC=B'C= AD,∠D=∠B'D'F=90°，BE=B'E, ∴.AD-B'D=BC-CD,即AB=CD,∠CDF=90°=∠A 由(I)知：∠CB'D=∠BCB', 又.∠ABE+∠CB'D=180°-∠EBC=90°，∠BCB'+ ∠B'CF=∠BCD=90°， ∴∠AB'E=∠FCD'. 又：∠A=∠CD'F,AB'=CD, .△ABE≌△DCF, ..B'E=CF. BE=BE,∴.BE=CF 法二：作B'G∥AB交CE于点G,则B'G∥AB∥CD ,CE∥B'F, .四边形CFB'G为平行四边形， ..B'G=CF. ,四边形ABCD是矩形， .AB∥CD, AB∥B'G, ∴.∠B'GE=∠BEC. 由折叠可知∠BEC=∠B'EC,BE=B'E, .∠B'GE=∠B'EC, .B'E=B'G, .BE=B'E=B'G=CF. (3).B'G∥AB, ∴∠A=∠GB'D=90°. 由(2)可知：BG=B'E=BE=CF,CD'=AB',△AB'E≌ △D'CF, ∴DF=AE 设BE=x,则B'G=BE=CF=x,DF=AE=AB-BE= 6一x, ∴.CD=AB=√x2-(6-x)2=√12x-36, 如图，当△BD'G为直角三角形时，则∠B'GD'=90°， ∴.∠GB'D+∠B'GD'=180°， .GD'∥AD∥BC, ∴.∠D'GC=∠ECB. 又，∠GCD=∠ECB, .∠CGD=∠GCD', ∴.DG=D'C=√12x-36. B'G∥AB∥CD, .∠GB'D'=∠FCD', ∴.在Rt△BGD'和Rt△CDF中，tan/GB'D'=tan∠FCD, 部器西兰 x V12x-36 .x(6-x)=12x-36, 解得x=3√5一3或x=一3√5-3（舍去）； .BE=3√5-3. 当∠GDB'=90°时， A B ∠B'D'F=∠D=90°， .∠GD'B'+∠B'D'F=180°， .G,D',F三点共线，.BC⊥GF ,四边形BGCF是平行四边形， .四边形B'GCF是菱形， .∠GCD'=∠FCD' :∠GCD'=∠GCB, ∴.∠GCD'=∠GCB=∠FCD'=30° 设CF=a,则DF=D'F=6-a, :D'p C=sin30°=1 29 即6-0=1 a 2,解得a=4, ..BE=CF=4. 综上所述，BE=3√5-3或4. 专项攻略七圆的综合题 1.解：(1)由题意，得AM=2tcm,CN=3tcm, 在Rt△ABC中，AC=√AB+BC=√6+8=10(cm), .'.AN=AC-CN=(10-3t)cm. ,AB=6cm,动点M的速度为2cm/s, “.动点M的最长运动时间为2 ,AC=10cm,动点N的速度为3cm/s, “动点N的最长运功时间为9。， .t的取值范围为0<t≤3. (2)若MN与⊙O相切，则AB⊥MN,即∠AMN=90°. :∠ABC=90°，.∠AMN=∠ABC, △MMN△MBC2C,中号-0。， 610 解得4=治当=8时，MN与⊙0相切 (3)由(2)得，当>8时，直线MN与⊙0有两个交点， 如图，当，点N恰好在⊙O上时，线段MN与⊙O的两个交 点恰好为点M,N, AM为⊙O的直径， .∠ANM=90°=∠B. '∠MAN=∠CAB,∴.△AMN∽△ACB, 光-常即器=10。，解得1=引 6 “若线段MN与⊙0有两个交点，则1的取值范国为沿< 19 器 2.(1)证明：如图，连接OD,则OD=OE, D B .∠ODE=∠OED. :∠AED=∠ADC, ∠ODE=∠ADC. AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90° .'∠ODC=∠ADC+∠ODA=∠ODE+∠ODA=90°， .OD是⊙O的半径， .直线BC是⊙O的切线 (2)解：.∠C=∠ADE=90°，∠ADC=∠AED ',∠CAD=∠DAE :tan∠CAD=tan∠DAE-2,tan∠DAE=DS AD 器 ∴AD=号DE .AD2 +DE2=AE2, (号DE)°+DE=10, .DE=6. '∠BDE=∠CAD,∠CAD=∠DAE, ∠BDE=∠DAE. '∠B=∠B, ∴.△BDE∽△BAD, 7 器器 BE=是BD, :OD=0E-=AE=5, OB-OE+BE-5+3BD. .OD2+BD2=OB2, a53+BD=(5+BD), 解得BD=0(会合去)或BD19, (3)解：如图，过，点E作EG⊥DF于点G,则∠DGE=90°， G D 当四边形ADEF面积最大时，△AEF面积最大，点F到 AE的距离最大，F是AE的中点， ..AF=EF,..AF=EF. :∠AFE=90°， ÷∠AEF=∠EAF=2(180-∠AFE)=45, ∴.∠EDF=∠EAF=45°， ∴.∠DEG=90°-∠EDF=45°， ..DG=EG,DG2+EG2=DE2,DE=6, .DG=EG=3√2 AE=10,EF=AE=52, 2 .FG=√EF2-EG=4V2, ∴.DF=DG+FG=7W2. 3.解：(1)点O在直线MO'上.理由如下： OQ=36cm,∠POQ=120°，扇形QOM从O'M与OP重 合的状态开始绕点Q逆时针旋转，点P的对应，点为点M. 如图1，连接00， 图1 .O0=QO'=Q0, △OQ0为等边三角形， ∴.∠0Q0=∠00Q=60°. :∠P0Q=∠M0Q=120°， .∠M00=∠M0Q+∠O0Q=120°+60°=180°， .,点O在直线MO上. (2)当扇形QOM的半径O'Q所在直线与扇形POQ第一 次相切时，如图2，则∠OQO=90°， 图2 l=90X36r=18x(cm）. 180 .,点0经过的路径长为18πcm. (3)根据题意可知旋转中心为，点Q,MQ为定值， ∴.当扇形QOM旋转一周时，点M的轨迹是以点Q为圆 心，MQ的长为半径的一个圆. 如图3，向两侧延长QO,分别交大圆Q于点A,B, 图3 '.OA,OB的长分别为MQ的最小值和最大值. 连接PQ,如图4， 0 图4 过点O作OE⊥PQ于点D,交PQ于点E, PD=合PQ∠P0E=∠P0Q=6o, .PD=0P·sin60°=36×5=185(cm), 2 .PQ=2×183=36√3(cm), ∴.OA=(36√3-36)cm,OB=(363+36)cm, .OM的取值范围为(36√3-36)cm≤OM≤(36√3+ 36)cm. 4.解：(1)半圆O与水平面相切于点P,OP为半圆O的半 径，四边形ABCD为正方形，如图1，连接OE,OP,OP与 EF交于点T, 图1 .∠OPA=∠DAP=∠ADT=90°， .四边形ADTP为矩形， .OP⊥EF,PT=AD=4cm, ..ET-FT. 8 .'MN=20 cm,.'.OE=OP=10 cm, .OT=10-4=6(cm), 在Rt△OET中，由勾股定理，得ET=√I02-62=8(cm), .'EF=2ET=16 cm. (2)四边形ABCD为正方形，半圆O与水平面相切于点Q, OQ为半圆O的半径，如图2，连接OQ,OD,延长CD交 OQ于点G, M 图2 ∴.∠GQA=∠DAQ=∠ADG=90°， .四边形ADGQ为矩形， ∴.AQ=DG,QG=AD=4cm, ∠OGD=90° .'MN=20 cm, .'.OD=OQ=10 cm, .'.OG=6 cm, 在Rt△ODG中，由勾股定理，得DG=√I02-62=8(cm), .'AQ=DG=8 cm AP=12 cm, .PQ的长为AP-AQ=4cm (3)如图3，连接OH,由切线长定理可得HQ=HD, M 交HAB 图3 设HD=tcm,则HQ=tcm,由(2)得AQ=8cm,则AH= (8-t)cm, 在Rt△ADH中，由勾股定理，得AD2十AH=HD, 即42+(8-t)2=2,解得t=5, AH=3miam∠ADH-船至 5.(1)证明：如图1， 连接OE,过点O作OG⊥AB于点G, :⊙O与AD相切于点E, ∴.OE⊥AD. ,"四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线， ∴.∠BAC=∠DAC=45°， ..OE=OG. .OE为⊙O的半径， .OG为⊙O的半径. .OG⊥AB, AB与⊙O相切. (2)解：如图1， AC为正方形ABCD的对角线， 图1 .∠DAC=45°. :⊙O与AD相切于点E, ∠AE0=90°， .'.AE=OE, 设AE=OE=OC=OF=R, 在Rt△AEO中， .AE2+EO=AO2 ∴.AO=R2+R2. R>0,∴.AO=√2R. 又，正方形ABCD的边长为√2+1， .在Rt△ADC中， AC=√AD2+CD=√2(W2+1). .OA+OC=AC, 2R+R=√2W2+1),.R=√2，∴.⊙0的半径为√2. (3)解：如图2，连接FN,ON, 图2 设CM=k, .CM:FM=1:4, :.CF=5k,..OC=ON=2.5k, ∴.OM=OC-CM=1.5k. 在Rt△OMN中，由勾股定理，得MN=2k, 在Rt△CMN中，由勾股定理，得CN=√5k, 又.FC=5k=2R=2XW2=2W2, k=2g2,CN=5×2g2=2 5 5 6.解：(1)如图1，连接PF,则PF⊥CD,且PA=PF,设PA= x,则PF=x,PD=10一x, D 图1 如D器=0己合解得x=智AP的长为 9 (2②)智<AP<号或AP=5[解析]知图2，从⊙P与CD 边相切之后，有4个交点，直到⊙P与BC边相切于点M, 连接PM. 图2 此时PMLBC,.高求PM=号PA=PM= 5 之后交点个数大于4，直到如图3，⊙P过点D,则过点C, 且与BC边有1个交点， 光时PA=PD=号AD=5. C 图3 综上所速，公共点个数为4时，智<AP<普或AP=5 7,解：【发现】2[解析]：CED是CD折叠得到， :CDD与D所在国的半径相等，即半往为-2， 【探究】平行[解析]连接OE,则OE⊥AB,如图1. :CED所在圆的半径为2， ,OE=2,即O到AB的距离始终为2， 图1 .,点O的运动路线和直径AB的位置关系是平行」 【拓展】(1)连接OE,如图2，则OE=2,OE⊥AB, 图2 由E是OB的中点，OB=2, ∴OE=BE=2OB=1, .OB=√/OE2+BE=√5. 又：AB是⊙O的直径， .∠AMB=90°=∠OEB 又，'∠ABM=∠MBE, .△AMB∽△OEB, “然品即 251 解得AM=8 5 (2)弦CD长度的最大值为2V3,最小值为2√2. 提示：设OO与CD交于点F,连接OD,则OD=2,如图3. 图3 根据轴对称可得O01CD,Or=200, ..CD=2DF. 在Rt△ODF中，由勾股定理，得DF=√OD-OF =√4-OF, 在Rt△OOB中，由勾股定理，得OO=√OB+OB= √/OB2+4, 当OO最大，即OE最大时，CD最小，即当点E在点B 处时，CD最小， 这时，00=√OB2+OE=2√2，即OF=√2， 在Rt△ODF中，由勾股定理，得DF=√OD一OF=√2， 即CD=2√2， 当OO最小，即OE最小时，CD最大，如图4，即当点E在 点O处时，CD最大， B EO 图4 这时，同理可得OF=1, ∴.DF=√OD2-OF=√5，即CD=2√5. 8.解：(1)如图1， E(P) A D(A) 图1 点A'与点D重合， .点P与点E重合，此时AE=DE. AB是直径， .∠AEB=90° ∠BAD=45°， ∴.∠ABE=∠BAD=45°. AB=2, ∴.AE=EB=ED=√2， .AD=2√2 ,四边形ABCD是平行四边形， .m=BC=AD=2√E, ∠EBD=∠ABE=45°， .∠ABA'=90° (2)如图2，连接BE,OP,AP,A'P 图2 8 m=√2+√6， .AD=BC=√2+√6. ,AE=BE=√2， ∴.DE=√6， a∠0-器-得-6 .∠EBD=60°. AB为直径， .∠APB=∠BPA'=90°， ∠BPA'=90°，PA'∥BD, .∠PBD=90°， ∠PBE=30°. :∠ABE=45, .∠ABP=15°， ∴.∠AOP=2∠ABP=30°， AP的长=AP的长=30：x1=太 180 6 (3)W2<m≤2√2.提示：如图3，当点P与点A重合，点D 与点E也重合，直线CD与⊙O相切时，BC=AD=√2. A(P D(E) B 图3 如图4，由(1)可知当m=2√2时，点A'与点D重合.此时 直线DC与A'P所在圆相切， P-- -、D(A') 图4 综上所述，满足条件的m的取值范围为√2<m≤2√2. (夹页部分)组合训练 选填组合训练一 1.D2.C3.A4.B5.D6.A7.A8.B9.C 10.C11.B12.B 13.-914.-1(答案不唯一)15.1 16-2②7<x<1 选填组合训练二 1.C2.D3.D4.C5.D6.C7.C8.A9.A 10.B11.C12.D13.214.2025或4 16.10<<号或8<<12 5.2 2