2026年中考数学二轮复习《一次函数综合解答题》题型分类考前冲刺专题提升训练

**基本信息** 以“概念关联—方法迁移—综合应用”为主线，系统整合一次函数与方程不等式、反比例函数、几何图形的交叉考法，突出数形结合与动态分析思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与方程不等式综合|6题（典例1、3）|图象法解不等式/方程、分段函数建模、函数性质探究|从“数”的表达式到“形”的特征分析，构建函数与方程不等式的转化桥梁| |一次函数与反比例函数综合|6题（典例7、9）|待定系数法求解析式、交点坐标计算、面积最值模型|围绕交点与图形面积，强化函数图象的几何意义及参数关系| |一次函数与几何综合|8题（典例13、15）|坐标法转化几何问题、动态分类讨论、存在性问题论证|以坐标系为载体，实现几何图形性质与函数表达式的双向互化|

2026年春九年级数学中考二轮复习《一次函数综合解答题》 题型分类考前冲刺专题提升训练（附答案） 一、一次函数与方程不等式综合 1．函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)若，求的取值范围； (4)请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解． 2．如图1，在中，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出的面积为3时，的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 3．某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)下表列出了部分研究数据： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 … 上表中，________，________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)结合函数图象，写出该函数的两条性质：________________________________；________________________________； (4)进一步探究函数图象： ①函数图象与轴有________个交点，则方程有________个实数根； ②关于的方程无实数根，则的取值范围为________； ③不等式的解集为________． 4．小亮根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是他的探究过程． … 2 3 4 5 … … 3 4 5 0 … (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)如表是y与x的几组对应值：其中m的值为_______；n的值为_______； (3)在下面的平面直角坐标系中，画出该函数图象： (4)根据函数图象，直接写出方程的解为_______． 5．【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． (2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，关于x的方程的解是______，关于x的不等式的解集是______． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是______． (4)求图3中的面积（写出计算过程）． 6．问题情境：年世界机器人运动大会竞速项目中，甲、乙两款机器人在的直线跑道上进行比赛．他们从跑道的同一起点同时出发，跑到终点，然后沿原路返回起点． 问题探究：比赛过程中，机器人实时位置到起点的距离（单位：）与时间（单位：）的函数图象（不完整）如图所示，其中折线，是甲款机器人的图象，线段是乙款机器人的部分图象，已知对应的函数表达式为． 问题解决： (1)点的坐标为___________． (2)求线段对应的函数表达式． (3)乙款机器人到达终点后，因故障耽误了，然后以原来的速度返回起点，请你在图中画出乙款机器人返回时的大致函数图象（线段），并直接写出两个端点，点，点的坐标为___________，___________． (4)若线段与线段的交点为点，求点的坐标． 二、一次函数与反比例函数综合 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出关于x的不等式的解集； (3)直线上有一点M，其横坐标为，在y轴上作一点Q（不用尺规作图），使的值最小；此时的周长最小，且周长最小值为________． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点． (1)①求反比例函数和一次函数的表达式； ②根据图像直接写出的的取值范围 (2)求的面积 (3)点为轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标． 9．如图1，点，是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点．已知直线交坐标轴于点、，连接、． (1)求反比例函数表达式，并求出一次函数的表达式； (2)如图2，是线段上一点，作轴于点，过点E作，交反比例函数图象于点，若，求出点的坐标． 10．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点B． (1)根据所给条件，请直接写出不等式的解集______； (2)求反比例函数的表达式； (3)轴于点C，点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接、、，当时，求的面积． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点位于点右侧，点E位于A，D两点之间． (1)求a，b和k的值； (2)当面积为3时，求点D的坐标； (3)将沿着射线的方向平移后得到，当时，是否存在两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 12．如图1，在中，，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．连接，设运动时间为秒．若的面积为长的与的长之比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 三、一次函数与几何综合 13．如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A，点B，直线与x轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点P在直线上，过点P作轴交直线于点Q，当以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (3)点D在直线上，若，求点D的坐标． 14．如图1，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足：，将线段平移得到线段，点A对应点C，点B对应点D，点C的横坐标与点D的纵坐标都为2． (1)直接写出A，B，C，D四点的坐标； (2)E是x轴上一点，三角形的面积是三角形面积的2倍，求点E的横坐标； (3)如图2，点Q在线段上，连接交y轴于点P，连接，若三角形与三角形的面积差为2，求点Q的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求、的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒），的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 16．在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴和轴交于两点，直线分别与轴和轴交于两点，与交于点，其中点为且． (1)求直线的解析式； (2)将点沿水平方向平移个单位至轴，连接，当时，求平移的距离的值： (3)已知点为轴上的一个动点，若，请求出的坐标． 17．如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． (1)①用含b的代数式表示线段的长度：________；________； ②直接写出b的值________； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； (3)设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，且． (1)求点的坐标； (2)如图1，点C在线段上（不与点，重合），连接，若点的横坐标为，的面积为S，求S与之间的关系式； (3)如图2，在（2）的条件下，延长至点使，连接，线段的垂直平分线交轴于点，连接，点为线段上一点，设F为直线与x轴交点，连接，求点的坐标． 19．已知点，中a，b满足，C为x轴正半轴上一点，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)求直线的函数解析式； (3)直线：交于点D，P为线段上一动点，过点P作轴，交直线于点Q，若，求点P的坐标； (4)点G为y轴负半轴上一点，于点H，若，求点G的坐标． 20．已知二次函数的图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C．      (1)直接写出这个二次函数的表达式； (2)如图1，连接，点P是直线上的一个动点，过点P的直线l与平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线对称？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的右边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 参考答案 1．（1）解：根据图象可得方程的解为． （2）解：根据图象可得不等式的解集为． （3）解：∵，， ∴， ∴． （4）解：一元一次方程、一元一次不等式、一次函数的关系： 形式关联：一次函数解析式为，令，得到一元一次方程，令，得到一元一次不等式，令，得到； 图象角度：一元一次方程的解为一次函数的图象与轴交点的横坐标，一次函数图象在轴上方部分对应一元一次不等式的解集，一次函数图像在轴下方部分对应一元一次不等式的解集； 本质关系：方程是一次函数函数值为0的特殊情况，不等式是一次函数函数值大于或小于的取值范围，三者可以相互转化，可用一次函数图像直观解方程、解不等式． 2．(1) (2)函数图象见解析； 性质：当时的面积取得最大值，最大值是6；或当时，的面积随P点运动的时间增大而增大，当时，的面积随P点运动的时间增大而减小 (3)1.5或5.5秒 【分析】（1）分两种情况讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据函数解析式即可作图，再可从增减性、最值的角度分析即可； （3）从函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，如图： ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， 综上：； （2）解：函数图象如图： 性质：当时，的面积取得最大值，最大值是6；或当时，的面积随P点运动的时间增大而增大，当时，的面积随P点运动的时间增大而减小； （3）解：由题意得，当时，或 解得或， 或由函数图象可得，的面积为3时，的值为1.5或5.5秒． 3．(1)4，0 (2)见解析 (3)函数图象关于直线对称；当时，函数取得最小值，无最大值； (4)①2，2；②；③或 【分析】（1）当和时，分别代入求解即可； （2）描点、连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象写出该函数的两条性质即可； （4）根据函数图象回答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：描点、连线，函数图象如图： ； （3）解：性质1：函数图象关于直线对称； 性质2：当时，函数取得最小值，无最大值； （4）解：观察图象得： ①函数图象与轴有2个交点，则方程有2个实数根； ②关于的方程无实数根，则的取值范围为； ③不等式的解集为或． 4．(1) (2)0，1 (3)见解析 (4)或 【分析】（1）根据分式的分母不能为0求解； （2）令求出的值，令求出的值； （3）将表格中的点在平面直角坐标系中描出来，用平滑的曲线连接即可； （4）的解为函数与交点的横坐标． 【详解】（1）解：， ． （2）解：令，则， ， ， ， ； 令，则， ． （3）解：如图所示． （4）解：函数的图象如图所示， 由图可得：交点坐标为，， ∴方程的解为或． 5．(1) (2)，， (3) (4) 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）通过观察图象求解即可； （4）先求出两条直线的解析式，再求出A点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是； （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为； ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴方程的解为； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解是； （3）解：由题意，直线与x轴交于点， 观察图象可知，当直线在直线上方，且在轴上方时，； 故关于x的不等式组的解集是； （4）解：把代入，得，解得， ∴； 把，代入，得，解得， ∴， 联立，解得， ∴， ∴． 6．(1)； (2)线段对应的函数表达式为； (3)，；图见解析； (4)点的坐标为． 【分析】（1）将点的纵坐标代入对应的函数表达式即可得解； （2）设线段对应的函数表达式为，将代入解出的值即可得解； （3）结合题意得出点，点的坐标，并画出相应函数图象即可； （4）设线段的函数解析式为，线段的函数解析式为，将点、、、的坐标分别代入，求出表达式后建立关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：依图得，点的纵坐标为，即， 对应的函数表达式为， ， 即点的坐标为， 故答案为：； （2）解：依图得，点的坐标为， 设线段对应的函数表达式为， 将代入得， 解得， 线段对应的函数表达式为； （3）解：乙款机器人到达终点后，因故障耽误了，然后以原来的速度返回起点， 时，乙款机器人开始返回，再过，即时，到达起点， ，， 乙款机器人返回时的函数图象如下图： 故答案为：，； （4）解：设线段的函数解析式为，线段的函数解析式为， 将，代入线段的函数解析式为， 得， 解得， 线段的函数解析式为， 将，代入线段的函数解析式为， 得， 解得， 线段的函数解析式为， 线段与线段的交点为点， ， 解得，此时， 即点的坐标为． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数解析式、从函数图象中获取信息、画一次函数图象、一次函数与一元一次方程，解题关键是看懂函数图象． 7．(1)， (2)或 (3)见解析， 【分析】（1）将代入求出，将代入求出，将，代入求解即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）作点C关于y轴的对称点，连接交y轴于点Q即可；求出点M坐标，进而根据勾股定理求出、长度，即可求出的周长最小值． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：， ∴反比例函数表达式为， 将代入得， ∴， 将，代入得， 解得：， ∴一次函数表达式为； （2）解：根据函数图象可知当时，或； （3）解：如图，作点C关于y轴的对称点，连接交y轴于点Q，点Q即为所求； 由作图可知， ∴的周长， 可知的周长最小值， ∵点M横坐标为， ∴点M纵坐标为， 即， 当时，解得，即， 根据轴对称的性质可知， ∴，， ∴的周长最小值． 8．(1)①，；②或 (2) (3) 【分析】（1）①先把代入求出m确定反比例函数解析式，再把代入反比例函数解析式求出n，确定C点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式； ②根据图象求得即可； （2）由直线的解析式求得B点的坐标，求得，然后根据即可求得； （3）取点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，则，此时的周长取得最小值． 待定系数法求出直线的解析式为，进而可求出点的坐标． 【详解】（1）解：①∵反比例函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵，在一次函数上， ∴， 解得， ∴一次函数； ②即 由图象可知，当一次函数值小于反比例函数值时，或； （2）解：当时，， ∴， ． （3）解：取点关于x轴的对称点，连接，交x于点P，连接，则， ∴的周长，即此时的周长取得最小值． 设直线的解析式为，把，代入，得 ， ∴， ， 当时，， 解得， ∴． 9．(1)， (2)点的坐标为或． 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数的表达式，根据反比例函数的表达式求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的表达式； （2）因为点在一次函数的图象上，设点的坐标是，则点的坐标是，根据可得方程，解方程求出的值，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数， 可得：， 解得：， 反比例函数的表达式为； 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 把点和点代入一次函数， 可得：， 解得：， 一次函数的表达式是； （2）解：点的坐标是， ， 点在一次函数的图象上， 设点的坐标是， 则点的坐标是， ， ， ， 整理得：， 解得：，， 当时，可得：， 点的坐标为； 当时，可得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 10．(1) (2) (3) 【分析】（1）观察函数图象特点，即可得出解集； （2）运用待定系数法，将点代入直线表达式，求出n，再将点A坐标，代入反比例函数，即可求出反比例函数表达式； （3）过点P作，垂足为点D，根据条件，得出点P的纵坐标，代入反比例函数表达式，得到横坐标；根据直线方程特点，求出B点坐标，最后根据，即可得到所求． 【详解】（1）解：观察函数图象，点A左侧，反比例函数的图象在直线上方，再结合题目给出的条件，所以不等式成立的解集为：； （2）解：过点， 代入直线解析式，得：，即点， 反比例函数也过点A， 代入得：， 所以反比例函数的表达式为：． （3）解：如图所示，过点P作，垂足为点D， 轴于点C，点A的坐标为， ， ， ， 点P的纵坐标为2， 把代入，解得． ， ． 在中，当，解得， ， ， ， ． 11．(1)，， (2) (3)存在，点E的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）作轴交直线于点F，作轴交于点G，H，根据，列方程即可解答； （3）根据点与点B重合，可得平移方向为向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，分类讨论，分别解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ， 解得， ， ， ； （2）解：如图，作轴交直线于点F，作轴交于点G，H， 根据（1）可得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 设，则， ， ， ， 化简得， 解得，（负值舍去）， 经检验，是原方程的解 ； （3）解：存在， 两顶点同时落在反比例函数图象上， ∴点与点B重合， ，， ∴平移方向为向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， ①如图①，点，落在反比例函数图象上， 设，则， ， 解得：或1（舍去）， ； ②如图②，点，落在反比例函数图象上， 设，则， ， 解得：或1（舍去）， ， 设， 在反比例函数上， ， ， ∴ 化简得， ， 解得（负数舍去）， ， ∴综上所述，点E的坐标为或． 12．(1)； (2)函数图象见解析，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小； (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，则可得到，，根据题意可求出；再分两种情况：当时，点P在线段上（不包括点A，包括点C），当时，点P在线段上（不包括端点），过点P作于点H，解直角三角形求出的长，根据，求出即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）根据函数图象找到的图象在的图象上方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴； ∵点是的中点， ∴； 由题意得，， ∵长的与的长之比为， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上（不包括点A，包括点C）， 过点P作于点H， 在中，，， ∴， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上（不包括端点）， 过点P作于点H， 在中，，， ∴， ∴； 综上所述，； （2）解：函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小； （3）解：由函数图象可知，当时的取值范围为． 13．(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先由确定与轴交点的坐标，再用待定系数法求解析式； （2）由条件知，根据平行四边形的判定方法，再添加，以点，，，为顶点的四边形就是平行四边形，所以根据解析式设出点P、的坐标，根据点P的位置分情况表示线段长度，再根据列方程求解，最终确定点P的坐标； （3）根据点D在直线上的位置进行分类讨论，结合，构造全等三角形，确定线段长，进而确定点G（或H）的坐标，表示直线解析式，直线和直线两个解析式联立求点D的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别相交于点，点， 当时，， ． 设直线的解析式为，代入， ，解得， ∴直线的解析式为； （2）轴，，当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 设点， ，当时，， ， ， ． 当时，， ； 当时，， ， ， ． 当时，， ． 综上所述，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或； （3）在中，当时，，， ． 如图1，当点在轴上方时，设交轴于点， ，，， ， ， ． 设直线的解析式为，代入， ，解得， ∴直线的解析式为，联立，解得， ； 如图2，当点在轴下方时，设交轴于点．同理可得，， ． 设直线的解析式为，代入， ， ． ∴直线的解析式为，联立，解得． ． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点、待定系数法求解析式、平行四边形的判定、全等三角形的性质和判定、联立解析式求交点．解题关键是根据点的位置进行分类讨论． 14．(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据算术平方根的非负性，可求出a，b的值，可得到点A，B的坐标，再根据平移的性质可得线段先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到线段，可得到点C，D的坐标； （2）过点C作轴于点G，过点A作于点F，根据，以及三角形的面积是三角形面积的2倍，即可求解； （3）设点P的坐标为，则，求出直线的解析式为， 同理直线的解析式为，联立，可得，再由三角形与三角形的面积差为2，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点，， ∵将线段平移得到线段，点A对应点C，点B对应点D，点C的横坐标与点D的纵坐标都为2， ∴线段先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到线段， ∴点； （2）解：如图，过点C作轴于点G，过点A作于点F， ∵，，， ∴， ∴ ， 设点E的坐标为，则， ∴， ∵三角形的面积是三角形面积的2倍， ∴， 解得：或， 即点E的横坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， ∵点Q在线段上， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立，得：， 解得：， ∵三角形与三角形的面积差为2， ∴或， ∴或， 解得：或 ∴点Q的坐标为或． 15．(1)， (2) (3)存在，的值为或 【分析】（1）先求直线与坐标轴交点得、，再由算出的坐标； （2）先求出关于的代数式，然后分在的左边和右边两种情况讨论即可； （3）以为直角边的等腰直角三角形，分两种情况：①，=，构造全等三角形，求出的坐标，再把它代入解析式，可求出，②，=,同理构造全等，可求出． 【详解】（1）解： 把代入， ， ， 把代入， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， 动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动， ， ， ， ， ，且， 当时，， 当时，， 即； （3）解： 存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 如图1，当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 解得； 如图2，当时，过点作轴交于点，同理可得， ， ， ， ， 解得 ； 综上所述： 的值为 或 5． 16．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先求得，根据得出，再待定系数法求解析式，即可； （2）分在的两侧分类讨论，当点在的右侧时，取点，连接，，根据，得出，得出直线的解析式为，进而令，求得点，即可求得平移距离；当点在的左侧时，同理取点，则，同理可得，即可求解； （3）联立直线解析式，得出，当在的左侧时，结合已知得出，进而根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解；当在的右侧时，作关于直线的对称点，连接，则 ，，求得直线的解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴和轴交于两点， 当时，，当时，， ∴， ∴ ∵ ∴ 将，代入得 解得： ∴直线的解析式为； （2）解：当点在的右侧时， 如图，取点，连接，， ∵，，，则 ∴ ∵ ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴， 当点在的左侧时，同理取点，则， 同理可得的解析式为， 当时，，则， ∴； 综上，或； （3）解：联立 解得： ∴ 设 如图，当在的左侧时， 由（1）可得，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 即 又∵ ∴ ∵ ∴，则 ∴ ∴ 解得： ∴ 当在的右侧时，作关于直线的对称点，连接，则 ， ∴，则 ∴ 设直线的解析式为代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ 综上所述，或 17．(1)①，；②2 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）①先求出直线与轴交点，即可得到；②根据，可得点，将代入解析式，即可求解； （2）由（1）知一次函数的解析式为，，，根据的面积与四边形的面积之比为，可得，，设点的横坐标为，则，即可求解； （3）分两种情况：若以为对角线，得到菱形；若以为对角线，得到菱形讨论，结合图形，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①四边形是矩形， 轴，轴， 一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足， 当时，， ， ②点的坐标为， ，点的横坐标为， ， 点， 将点代入得：， 解得：； （2）解：如图： 由（1）知：一次函数的解析式为：，，， 的面积与四边形的面积之比为， ， ， ， 设点的横坐标为，则， 即， 解得：， 将代入，得：， ； （3）如图所示，若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，和关于轴对称， ， 点和的纵坐标均是， 将代入得：， 解得：， 点， ， ， 点； 如图所示，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，延长交轴于点，由轴得，轴， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ，，， ，即 解得：（不能构成菱形，舍去）或， 将代入得：， 点， 菱形， ， 点， 综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）直接解直角三角形求得，再结合直角坐标系即可解答； （2）如图：过C作于H，易得，再根据三角形面积公式求解即可； （3）由题意可得，，即；运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则；再运用待定系数法求得直线的解析式为，可得；再根据垂直平分线的性质以及勾股定理可得，；如图：在上确定一点K，使得，利用两点间距离公式可得，即；再说明，最后根据正切的定义列比例式求得t即可解答． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴点的坐标． （2）解：如图：过C作于H， ∵点C在线段上（不与点，重合），点的横坐标为， ∴， ∴的面积为，即． （3）解：由（1）可得，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，即 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵延长至点使， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴，即， ∵线段的垂直平分线交轴于点， ∴， 设，， ∴，解得：， ∴，， 如图：在上确定一点K，使得， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴，即， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即，解得：或（不合题意舍去）． ∴． 19．(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据平方和算术平方根的非负性求解即可； （2）过点作于点，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，构造，以及矩形，然后求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式即可； （3）设交轴于点，根据等腰三角形三线合一可得纵坐标互为相反数，继而设参数坐标建立方程求解； （4）过点作轴于点，通过证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：过点作于点，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，则 ∴ ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴ ∴ ∵ ∴四边形为矩形， ∴， 设， 则 ∴， 解得 ∴， 设直线 代入，，则， 解得， ∴直线； （3）解：如图，设交轴于点， ∵，轴， ∴ 设，则 ∴，解得 ∴； （4）解：对于直线，当时，， 解得， ∴， 过点作轴于点，则， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴将代入，则， ∴ ∴ ∴． 20．(1) (2)或 (3)直线经过定点 【分析】（1）将点A和点B坐标代入二次函数解析式即可得解； （2）分两种情形：当点P在线段上时，连接，交于R，设，根据求得t的值，可推出四边形是平行四边形，进而求得Q点坐标；当点P在的延长线上时，同样方法得出结果； （3）设，，则可求出直线解析为，再求出直线和解析式可得和，再根据可得，再代入解析式即可得解． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图， 当点P在线段上时，连接，交于R， ∵点B和点Q关于对称， ∴， 设， 由得，， ∴，（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴； 如图， 当点P在的延长线上时，由上可知：， 同理可得：， 综上所述：或； （3）解：设，， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 同理可得直线解析式为， 直线解析式为， 令，得，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 代入直线解析式为， 当时，， ∴直线经过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $