精品解析：2026年广东省广州市第六中学数学学业水平仿真模拟卷

初中数学学业水平仿真模拟卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，与互为余角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. = B. = C. D. 5. 下列尺规作图，能确定AD＝BD的是（　　） A. B. C. D. 6. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时公里，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ） A. 7 B. 8 C. 6 D. 5 8. 如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”画法如下：在水平直线上取长为的线段，作等边，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧）；再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E（第二段圆弧）；再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线（第三段圆弧）；…；以此类推，当得到的“蚊香”恰好有六段圆弧时，“蚊香”的总长度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（ ）． A. 1 B. C. D. 2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. -5的倒数是_______ 12. 函数中自变量的取值范围是_____． 13. 多项式的次数是__________． 14. 五边形的内角和为________． 15. 如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且的弦心距为，则a的值为_____． 16. 如图，在中，，，，垂足为点，点，为，上的点，，连接，， ，有如下结论：①；②；③；④若，则．上述结论中，所有正确的结论的序号是_________． 三、解答题（本大题共 9 小题，其中第17、18题各4分，第19、20题各6分，第21题8分，第22、23题各10分，第24、25题各12分，共72分） 17. 解不等式：． 18. 解方程：． 19. 一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是，，，，现规定从袋中任意取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数，然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任意取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数． （1）用列表法或树状图列出所有可能的两位数； （2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于且小于的概率． 20. 图①、②、图③均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点和的顶点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的边与网格线交于点，画出，使与关于所在的直线成轴对称，并确定点的对称点． （2）在图②中画出，使与关于点成中心对称． （3）在图③中，点在网格线上，且不在格点上，在线段上确定点，使． 21. 数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． （1）嘉嘉：求的最小值； （2）琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 22. 问题提出 （1）如图，等边的边长为1，将绕点顺时针旋转到三点共线，连接，则的长为________________． 问题解决 （2）如图2，有一个圆心角为，半径为20米的扇形舞台．现要在边、上确定两点C、D，使得，并在C、D之间拉上幕布．为增加舞台效果，导演要在舞台边缘的上找一点来安装一照明角为（即）的射灯，使灯光刚好照亮整个幕布．若要使幕布的长最短，则的长应为多少米？并求此时灯光照亮的舞台面积（即的面积）． 23. 【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野．如图为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成． 【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系．因此，将该扫地机器人视作半径为2的圆，圆心为P，该小组以充电设备为原点，建立如图的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心P的运动路径（）． 【问题解决】 （1）若在扫地机器人的运动路径上，圆心会经过一污迹，求该运动曲线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物，求当点，，在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物； （3）若以，，为顶点的三角形的面积为，求此时机器人的圆心的坐标． 24. 概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，，经过点，并与点的对边相切于点D，则该就叫做的切接圆．根据上述定义解决下列问题： （1）已知，中，，，． ①如图2，若点D在边上，，以D为圆心，长为半径作圆，则是的“切接圆”吗？请说明理由． ②在图3中，若点D在的边上，以D为圆心，长为半径作圆，当是的“切接圆”时，求的半径（直接写出答案）． 思维拓展 （2）如图4，中，．，把放在平面直角坐标系中，使点C落在y轴上，边落在x轴上．试说明：以抛物线图像上任意一点为圆心都可以作过点C的的“切接圆”． 25. 在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． （1）如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； （2）如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值； （3）如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学学业水平仿真模拟卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到两个三角形的相似比，而相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，由此得解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应角平分线的比为． 故选：D． 2. 已知，与互为余角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了余角的定义，掌握互余的两个角的和为是解题的关键． 根据余角的定义列式计算即可． 【详解】解：∵，与互为余角， ∴． 故选B． 3. 下列运算中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方等运算求解即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，选项不符合题意； B、，选项不符合题意； C、，选项符合题意； D、，选项不符合题意. 4. 下列运算正确的是（ ） A. = B. = C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】A、=2，故本选项错误； B、=﹣，故本选项错误； C、=﹣2，故本选项正确； D、=﹣1，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了对绝对值、立方根、算术平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 5. 下列尺规作图，能确定AD＝BD的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要确定，即判断点在线段的垂直平分线上． 【详解】解：A、由图可知点在线段的垂直平分线上，不能确定，不符合题意； B、由图可知点在线段的垂直平分线上，能确定，符合题意； C、由图可知点在线段上靠近点处，不能确定，不符合题意； D、由图可知点为过点作线段的垂线的交点，不能确定，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了基本作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． 6. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时公里，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时公里，根据学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，孔子和学生们同时到达书院，列出分式方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时1.5x公里， 由题意得：， 故选：A． 7. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ） A. 7 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 根据三视图的知识，俯视图是由5个小正方形组成，而主视图是由两层小正方形组成，故这个几何体的底层最少有5个小正方体，第2层最少有2个小正方体． 【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体的底层最少有个小正方体， 第二层最少有2个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最少有个． 如图：（其中一种情形） 故选：A． 8. 如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 9. 如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”画法如下：在水平直线上取长为的线段，作等边，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧）；再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E（第二段圆弧）；再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线（第三段圆弧）；…；以此类推，当得到的“蚊香”恰好有六段圆弧时，“蚊香”的总长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和弧长的计算公式．由题意可知，每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，然后根据弧长的公式计算即可． 【详解】解：三角形是等边三角形，边长为1， ，， 第一段圆弧圆心角：， 第二段圆弧圆心角：， 以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧）， ， ， 以此类推，可以知道每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 所以蚊香的长度为， 故选：B． 10. 如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（ ）． A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，分类讨论，正确求出函数解析式是解答本题的关键．设正方形的边长为，当点Q在上时，求得．当时，有最大值，配合图象可得方程，即可求得；当点Q在上时，可求得，把代入即可得到答案． 【详解】设正方形的边长为，则，，， ， 当时，有最大值， 即 ， 解得， ， 当点Q在上时， 如图，， 当时，， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. -5的倒数是_______ 【答案】##-0.2 【解析】 【分析】根据倒数的定义即可得出答案． 【详解】解：的倒数是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了倒数的定义．解题的关键是掌握若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 12. 函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定x的取值范围． 【详解】解：使分式有意义的条件是分母不为0， 因此， 解得． 故答案为：． 13. 多项式的次数是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了多项式的次数，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．运用多项式次数的定义进行求解． 【详解】解：∵的次数是3，的次数是2， ∴多项式的次数是3， 故答案为：3． 14. 五边形的内角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：五边形的内角和为． 15. 如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且的弦心距为，则a的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理，先由得出，，，即可得，过作于，连接，，，再根据圆的性质得，再由垂径定理得，再由的弦心距为得，进而可得点P的坐标，由勾股定理得，再由列等式方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C， ∴，，， ∴， 如图，过作于，连接，，， ∵（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点， ∴， ∴， ∵的弦心距为， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：或． 16. 如图，在中，，，，垂足为点，点，为，上的点，，连接，， ，有如下结论：①；②；③；④若，则．上述结论中，所有正确的结论的序号是_________． 【答案】①② 【解析】 【分析】先证明可得，，即可判断①；再证明以及即可判断②③；由，可得，则，即可求解，再由等高三角形面积比等于底之比结合三角形的中线等分面积判断④即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，，故①正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则， ∴， ∴，故②正确； ∴ ∴，故③错误； ∵， 由上可得，，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，故④错误． 因此正确的有①②． 三、解答题（本大题共 9 小题，其中第17、18题各4分，第19、20题各6分，第21题8分，第22、23题各10分，第24、25题各12分，共72分） 17. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为的：. 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】直接利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：， ， ，． 19. 一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是，，，，现规定从袋中任意取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数，然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任意取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数． （1）用列表法或树状图列出所有可能的两位数； （2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于且小于的概率． 【答案】（1）种，表格见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率， （1）根据题意列表即可； （2）有表壳可得出所有等可能的结果数以及其算术平方根大于5且小于8的结果数，再利用概率公式可得出答案； 解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． 【小问1详解】 解：解：列表如下： 共有种等可能的结果，结果如上表； 【小问2详解】 由（1）知共有种等可能的结果，其中算术平方根大于且小于的结果有：，，，，，，，，共种， ∴算术平方根大于且小于的概率为． 答：其算术平方根大于且小于的概率为． 20. 图①、②、图③均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点和的顶点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的边与网格线交于点，画出，使与关于所在的直线成轴对称，并确定点的对称点． （2）在图②中画出，使与关于点成中心对称． （3）在图③中，点在网格线上，且不在格点上，在线段上确定点，使． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、中心对称，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图可得与网格线的交点为点． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）连接并延长，交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，和点即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，连接并延长，交于点，则点即为所求． 21. 数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． （1）嘉嘉：求的最小值； （2）琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 【答案】（1）的最小值是． （2）整数的值为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减、配方法的应用、分式的化简以及分式值为正整数的条件．熟练掌握整式的运算法则、配方法、分式的化简方法是解题的关键． （1）先求出的表达式，再将其化为顶点式，根据二次函数的性质求出最小值． （2）先求出的表达式，再根据其为正整数以及为整数来确定的值． 【小问1详解】 解： ∴当且仅当，即时取等号，的最小值是． 【小问2详解】 解： ∵分式有意义时，分母不为，即，解得． 当时，． ∵的值为正整数，为整数． 当，即时，； 当，即时，． ∴整数的值为或． 22. 问题提出 （1）如图，等边的边长为1，将绕点顺时针旋转到三点共线，连接，则的长为________________． 问题解决 （2）如图2，有一个圆心角为，半径为20米的扇形舞台．现要在边、上确定两点C、D，使得，并在C、D之间拉上幕布．为增加舞台效果，导演要在舞台边缘的上找一点来安装一照明角为（即）的射灯，使灯光刚好照亮整个幕布．若要使幕布的长最短，则的长应为多少米？并求此时灯光照亮的舞台面积（即的面积）． 【答案】（1）；（2）米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据旋转和等边三角形的性质，得到，，再根据勾股定理求解即可； （2）过点作于点．根据等腰三角形的性质和勾股定理，得到，即要使的长最短，则需的长最短．连接，将绕点顺时针旋转，得到，证明P、D、Q三点共线．过点作于点，则．同理可得．再根据三角形的三边关系，得到当点与点重合，即时，取得最小值，最小值为10米，最后利用求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点作于点， 由旋转的性质可知，， 等边的边长为1， ， 是等边三角形，， ， ，， ， 故答案为：： （2）如图，过点作于点． 在中，， ， ， ， 要使的长最短，则需的长最短． 连接，将绕点顺时针旋转，得到， 则米，， ． ， ， ，即P、D、Q三点共线． 过点作于点，则． 同理可得． ， 当点与点重合，即时，取得最小值，最小值为10米， 此时CD的最小值为米． （米）． 同理可得（米）， （米）， 当的长为10米时，幕布的长最短，此时灯光照亮的舞台面积为米． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系是知识，利用旋转的性质作辅助线是解题关键． 23. 【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野．如图为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成． 【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系．因此，将该扫地机器人视作半径为2的圆，圆心为P，该小组以充电设备为原点，建立如图的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心P的运动路径（）． 【问题解决】 （1）若在扫地机器人的运动路径上，圆心会经过一污迹，求该运动曲线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物，求当点，，在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物； （3）若以，，为顶点的三角形的面积为，求此时机器人的圆心的坐标． 【答案】（1）； （2）扫地机器人不会触碰到障碍物； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线为，再联立求得从而求出判定即可； （3）分别过、作轴，轴于，设，根据面积公式得，进而分当点在点的右侧时，，和点在点的左侧时，，两种情况讨论求解即可。 【小问1详解】 解：设， ∵过 ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设直线为， ∵在上， ∴， ∴， ∴直线为， 联立， 解得或（舍去）， ∴ ∴ ∴扫地机器人不会触碰到障碍物； 【小问3详解】 解：分别过、作轴，轴于，设， ∵， ∴， ∴， 当点在点的右侧时，，， 解得或（舍去）， 当时，， ∴， 当点在点的左侧时，，， 解得或（舍去）， 当时，， ∴， 综上，机器人的圆心的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，待定系数法求一次函数，求反比例函数，反比例函数的性质，解一元二次方程等，熟练掌握待定系数法求一次函数，求反比例函数，反比例函数的性质是解题的关键． 24. 概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，，经过点，并与点的对边相切于点D，则该就叫做的切接圆．根据上述定义解决下列问题： （1）已知，中，，，． ①如图2，若点D在边上，，以D为圆心，长为半径作圆，则是的“切接圆”吗？请说明理由． ②在图3中，若点D在的边上，以D为圆心，长为半径作圆，当是的“切接圆”时，求的半径（直接写出答案）． 思维拓展 （2）如图4，中，．，把放在平面直角坐标系中，使点C落在y轴上，边落在x轴上．试说明：以抛物线图像上任意一点为圆心都可以作过点C的的“切接圆”． 【答案】（1）①是，理由见解析；② （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①过点作，利用勾股定理，求出的长，从而求出的值，证明，求出的长，根据“切接圆”的定义进行判断即可．②根据“切接圆”的定义，得到过点，与相切于点，连接，设的半径为，证明，列出比例式，进行求解即可； （2）设为抛物线上任意一点，坐标为：，过点作轴的平行线，过点作的平行线，交轴与点，连接，证明，得到是圆的切线，即可得证． 【小问1详解】 解：①是，理由如下： 过点作，交于点， ∵，，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的切线， ∵点在上， ∴是的“切接圆”； ②如图，与相切于点，连接，设的半径为， 则：，， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：； 【小问2详解】 解：设为抛物线上任意一点，坐标为：，过点作轴的平行线，过点作的平行线，交轴与点，连接， ∵，，把放在平面直角坐标系中，使点C落在y轴上，边落在x轴上． ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴是圆的切线， ∴以抛物线图像上任意一点为圆心都可以作过点C的的“切接圆”． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与几何的综合应用．理解并掌握“切接圆”的定义，是解题的关键． 25. 在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． （1）如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； （2）如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值； （3）如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据正方形的性质，利用得到，即可证明结论； （2）过点A作于点G，过点F作于点，根据勾股定理求出长，然后根据平行四边形的面积公式求出长，根据正切得到长，然后设，则，求出长，再根据正切得到求出a的值，解答即可； （3）过点D作于点P，作于点Q，设，求出，，然后表示，，在射线上截取，在射线上截取，根据全等得到，，，然后根据勾股定理求出x值，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是正方形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点A作于点G，过点F作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， 同理可得，即， 解得， ∴， 又∵O是的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点D作于点P，作于点Q，设， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在射线上截取，在射线上截取， ∵是菱形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 同理：，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵O是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形的综合，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $