2026年中考数学二轮专题提高训练-反比例函数与几何综合

**基本信息** 以题载法，系统整合反比例函数与几何综合的核心方法，通过15道典例构建“函数性质—几何转化—代数运算”逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解析式求解|4题|待定系数法、坐标参数化|从k的几何意义到交点坐标联立，建立函数表达式与几何条件的转化关系| |面积计算|6题|割补法、k值面积性质、相似比|结合图形分割与函数对称性，推导面积公式与坐标参数的代数关联| |几何证明与存在性|5题|菱形/等边三角形性质、等腰三角形分类讨论|以几何图形性质为桥梁，实现函数坐标与几何量的互化，发展空间观念|

2026年中考数学二轮专题提高训练-反比例函数与几何综合 1．如图，点A是反比例函数图像上一点，直线过点A，并与两坐标轴分别交于点B、C，过点A作轴，垂足为D，连接，若的面积为4，求的面积． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，求的面积． 3．如图，直线与双曲线交于B，D两点，分别过点B，D作x轴的垂线，垂足分别为点A，C，连接，，已知点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，和均为等边三角形，点A和点C均在反比例函数的图象上，点B，D均在x轴上，已知． (1)求k的值； (2)求点D的横坐标． 5．小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求的解析式； (2)求扇形的半径及圆心角的度数； (3)图中阴影部分面积之和：______________ 6．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与y轴正半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与双曲线的交点为，（在D的左边），且C，D恰好是线段的三等分点． (1)求a，k的值； (2)将直线l向下平移n个单位，平移后直线与x轴相交于点E，连接，若与x轴所形成的锐角为，求n的值． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．已知为反比例函数图象上一点，且在直线下方． (1)求的值； (2)过点作于点，若，求点的坐标； (3)在（2）问的条件下，为轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点(异于点)，连接，若的面积等于的面积的，求直线的解析式． 8．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． (3)结合图象直接写出中的取值范围． 9．如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，点是一次函数图象与反比例函数图象的一个交点，过点作轴，垂足为点，且的面积为． (1)分别求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点是一次函数上的一点，是坐标平面内的点，且与位似，且位似比为，求点的坐标； (3)在反比例函数的图象上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的任意两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，直线与反比例函数的图象的左右交点分别是点，，连接，．为反比例函数图象上一点，且点在直线的下方． (1)求的面积； (2)若面积等于面积的，求点的坐标； (3)连接并延长交于，过作交于，试探究是否存在最大值？若存在，请求出它的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，四边形的顶点在轴上，顶点，在轴上，，点的坐标为，双曲线经过点．的角平分线与轴交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)若，，求证：四边形是平行四边形． 12．如图，在矩形中，，，动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动．动点同时以每秒个单位长度从点出发，沿方向运动，当点到达点时，点，同时停止运动．点为直线上的动点，满足．设点，的运动时间均为秒，记的面积为，点到直线的距离为． (1)请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 13．如图，一次函数的图象交坐标轴于A，B两点，交反比例函数的图象于C、D两点，已知：， (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)在一次函数上找一点M，在平面上找一点N，使四点O，C，M，N能够组成一个菱形，请直接写出M点坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)连接，，求的面积； (3)反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象交于点C，轴于点E，． (1)求k的值； (2)点F为x轴上一点（在点E的右侧），过点F作x轴的垂线，与一次函数图象交于点M，与反比例函数图象交于点N，若四边形为平行四边形，求的长； (3)在x轴的正半轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，则说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学二轮专题提高训练-反比例函数与几何综合》参考答案 1． 【分析】先求出点，，再根据，求出，然后将两个关系式联立，并求出解，可得点，最后根据得出答案． 【详解】解：由可求得：，， ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 将与联立得： 或， ∵点A在第一象限，， ∵轴， ∴， ∴． 2．(1) (2) 【分析】（1）根据 ，，可求出点B的坐标，进而确定反比例函数的关系式； （2）求出点D的坐标，再用待定系数法求出解析式，进而即可求解． 【详解】（1）解：过点B作轴于点E， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 设反比例函数表达式为，则， ∴． （2）解：∵， ∴， 设直线的函数表达式为， 则，解得， ∴， 当时，， ∴． 3．(1) (2)4 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、平行四边形判定及的几何意义，掌握利用函数对称性判定平行四边形，结合反比例函数面积性质计算图形面积是解题的关键． （1）由轴及得的横坐标，代入直线解析式求坐标，再代入反比例函数求； （2）利用函数对称性得关于原点对称，证四边形是平行四边形，再由的几何意义求面积． 【详解】（1）解：轴于点， 点B的横坐标为， 将代入，得， ． 将代入，得， 故反比例函数的解析式为． （2）解：直线与双曲线均关于原点对称， 它们的交点B，D关于原点对称， ，， 四边形是平行四边形． 由的几何意义可知， ． 4．(1) (2) 【分析】（1）过点A作轴于点E，结合等边三角形的性质可得点A的坐标，即可求解； （2）过点C作轴于点F，设，则，结合等边三角形的性质可得点C的坐标为，再由点C在反比例函数的图象上，求出m的值，即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点E， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图象过点A， ∴； （2）解：过点C作轴于点F， 由（1）得：反比例函数解析式为， 设，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴点D的横坐标为． 5．(1) (2)扇形的半径为2，圆心角的度数为 (3) 【分析】（1）将代入中即可求解； （2）过点作的垂线，垂足为，利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解； （3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得：， ∴； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如下图： ， ， ， 扇形的半径为2； ， ， ， 由菱形的性质知：， ， 扇形的圆心角的度数为； （3）解：， ， ， 如下图：令、的交点为， 由菱形知，， ， ， ． 【点睛】本题以“鱼形”图案为载体，融合了反比例函数、勾股定理、菱形性质、扇形面积计算等核心知识点，通过“函数求参几何量计算面积拼接”的逻辑链条，充分体现了数形结合的思想． 6．(1)， (2)或 【分析】本题考查了求反比例函数和一次函数的交点，相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是求出C，D坐标． （1）作于M，可求得 ，从而得出，再根据C，D恰好是线段的三等分点，求出点C坐标，即可求出a，k的值； （2）先求出点E坐标，再根据与x轴所形成的锐角为列出等式，然后求出n的值． 【详解】（1）解：如图1， 作于M， ， ， ， ，D恰好是线段的三等分点， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由知，直线l：， 由题意得， 解得：， ∴点D坐标为， 将直线l向下平移n个单位后的解析式为， 令，则， ， 作于点H，当点E在点H左侧时， 与x轴所形成的锐角为， ∴， ， ， 解得：， 当点E在点H右侧时， 与x轴所形成的锐角为， ∴， ， ， 解得：， 综上所述，或． 7．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积的割补计算以及一元二次方程的求解等知识点，关键在于将几何条件(如垂直、角度、面积)转化为代数方程，利用函数图象上点的坐标特征建立等式求解． （1）先利用一次函数解析式求出点的纵坐标，得到点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数解析式，通过待定系数法求出的值； （2）先根据一次函数与坐标轴的交点、的坐标，得出是等腰直角三角形，进而得到，结合构造出等腰直角三角形，用参数表示出点的坐标，再根据等腰直角三角形的边长关系得到点的坐标表达式，最后将点的坐标代入反比例函数解析式，解方程求出参数，从而得到点的坐标； （3）先通过割补法求出的面积，再根据题意得到的面积，设出直线的解析式，求出其与轴交点的坐标，联立直线与反比例函数的解析式，利用一元二次方程根与系数的关系求出交点的坐标，最后根据的面积列出方程，解出直线解析式中的参数，进而得到直线的解析式． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得； （2）解：∵一次函数与轴交于点，与轴交于点， ∴令，得，即；令，得，即， ∴，． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 过点作轴于，过点作交的延长线于， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴由等腰直角三角形的性质，得． 设点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，整理为 解得或(不满足点在第一象限，舍去)， ∴，， ∴点的坐标为； （3）解：过点作轴于点，过点作轴于点． ∵，， ∴，，，， ∴． ∵，， ∴． ∵的面积等于的面积的， ∴． 设直线的解析式为， ∵为轴正半轴上一点， ∴，且． 联立直线与反比例函数的解析式， 消去，得 整理得． ∵点是直线与反比例函数的交点， ∴是方程的一个根， 设另一个根为，由一元二次方程根与系数的关系，得， ∴． ∵点点在第一象限， ∴， 将代入，得，即， ∴， 解得， 此时直线的解析式为． 8．(1)， (2)15 (3)或 【分析】本题考查了求反比例函数，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据的面积为4．得出，又因为反比例函数图象在第二、四象限，得出，再分别求出，，最后代入，求解出，即可作答． （2）先求出，再分别把数值代入的面积计算，即可作答． （3）运用数形结合思想，得出符合题意的的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴； ∴； ∵，的面积为4． ∴ 解得， 即， 把代入，得， 解得， ∴； 把和代入， 得 解得 ∴； （2）解：连接，如图所示： 由（1）得，，， 令则， 解得， 则 ∴， 则的面积 ； （3）解：∵， ∴， 依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点， 则当时，或， 即结合图象当时的取值范围为或， 9．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点坐标为， 【分析】（1）先计算出点坐标，根据，计算出点坐标，使用待定系数法求出函数的解析式； （2）分点在点上方和下方两种情况讨论，根据位似的性质计算出和，从而得到点的坐标； （3）设点R的坐标为，根据勾股定理表示出、、，分为和两种情况，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点，轴， ∴， ∵的面积为， ∴，即， ∴， 对于，当时，， ∴点坐标为，即， ∴， ∴点坐标为， 把点分别代入和，得： ，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解： ①当点P在点B的下方时，如图， 由位似的性质可知，，， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； ②当点P在点B的上方时，如图， 同理①可得，，， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：设点R的坐标为， 由勾股定理可得， ，，， ①当时，则， ∴， 化简，得， 因式分解，得， ∴或， 解得，或， 当时，点与点重合，故舍去， 当时，点与点在一条直线上，不能构成三角形， ∴点坐标为，； ②当时，则， ∴ 化简，得， 判别式， ∴该方程无实数根，故舍去； 综上所述，点坐标为，． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，位似的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键． 10．(1) (2)或 (3)存在最大值，最大值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及函数交点求解、三角形面积计算、相似三角形的判定与性质以及利用一元二次方程的判别式求最值等知识点．关键是通过联立方程确定交点坐标，利用割补法计算三角形面积，结合相似三角形和代数变形探究线段比的最值． （1）先联立直线与反比例函数方程求出、两点坐标，再求出直线与轴交点，利用计算面积． （2）设点坐标，作轴交于，用坐标表示的长度，根据面积关系列方程求解得到的坐标． （3）求出直线与的交点的横坐标，利用得到相似三角形，将线段比转化为代数表达式，再用一元二次方程的判别式求最大值及对应的坐标． 【详解】（1）解：联立，解得或， 即，． 设直线与轴的交点为， 令，得，故， ∴； （2）解：过点作轴交于， 设，则， ∴． ∵， ∴， 即， 整理得，解得或． 当时，；当时，． 综上，点的坐标为或； （3）解：设， ∵直线过原点， ∴直线的解析式为． 联立，得，解得， 即点的横坐标为． ∵， ∴， ∴． 过作轴于，过作轴于， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 两边同乘以，整理为关于的一元二次方程：， ∴该方程的判别式， 化简为， ∵, ∴，解得， 当时，取最大值， 此时方程有两个相等的实数根， ∴， 此时的坐标为，即， 综上，存在最大值，最大值为，此时点的坐标为 11．(1)； (2)见解析 【分析】本题考查反比例函数表达式的求解，平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定．熟悉用待定系数法求反比例函数表达式，平行线的性质：两直线平行，内错角相等，角平分线的定义，等腰三角形等角对等边，平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是解题的关键． （1）根据双曲线经过点，将点的坐标代入y，得到反比例函数的表达式． （2）根据角平分线的性质和平行线的性质，得到，继而得到，因为，根据一组边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：∵双曲线经过点， ∴将点的坐标代入y得：2， ∴解得：， ∴反比例函数的表达式为：； （2）证明：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 12．(1)     (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象及性质： （1）对于的函数解析式分两种情况：当时和当时；对于的函数解析式，根据，即可求得； （2）根据题意可知，当时，点和在关于的函数图象所在的直线上，连接这两个点，即可作出时关于的函数图象；同理，可作出时，关于的函数图象；根据，列表描点作图即可． （3）根据函数图象可知，当时，，当时，令，可得，求解即可． 【详解】（1）根据勾股定理可得． 根据题意可知，． （Ⅰ）当时，如图所示，过点作的平行线，交于点，可知， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （Ⅱ）当时， ，即； 综上所述，； ∵， ∴； ∴； （2）根据题意可知，当时，点和在关于的函数图象所在的直线上，连接这两个点，即可作出时关于的函数图象；同理，可作出时，关于的函数图象． 根据，列表如下，描点作图即可． ，的图象如图所示． 当时，的值随的增大而减小． （3）根据函数图象可知，当时，． 当时，令，可得． 变形，得． 解得（舍去），． 根据函数图象可知，当时，． 因为， 所以． 所以． 所以当时，． 13．(1)一次函数表达式为：，反比例函数表达式为： (2)4 (3)M的坐标为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式； （2）先求出，利用求出即可． （3）分两种情况，①当为菱形的边时，或，②当为菱形的对角线时，，分别求解可得． 【详解】（1）解：依题意，将点的坐标代入一次函数表达式， 得， 解得， 故一次函数表达式为：， 将代入反比例函数表达式，得 ∴， 故反比例函数表达式为：； （2）解：由（1）得一次函数表达式为：，反比例函数表达式为： 依题意，， ∴， 解得或， ∵， ∴，则， ∴， 在中，令，得， ∴． ∵点 ∴ ． （3）解：∵ ∴ ∵点M在直线上， ∴设， ①当为菱形的边时，则， ∴， 即， 解得或1（不合题意舍去）， ∴， ∴； 或， 即 ∴ 解得或 ∴或； ②当为菱形的对角线时，， 即， ∴， 整理得， 解得， 则 ∴ 综上所述，M的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合问题，反比例函数与几何综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、勾股定理及菱形的判定和性质、两点间距离公式等知识点，解决本题的关键是综合运用以上知识． 14．(1)， (2)15 (3)存在，或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数交点问题，函数与几何结合问题，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式． （1）先将代入中求出，再将代入求出反比例解析式，后将一次函数和反比例函数联立方程组，求出； （2）先求出，再利用，代入数值即可求出本题答案； （3）先在图象上作出，有两种情况，第一种情况点在第四象限：过点作轴，，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，继而得到，继而求出，后求出直线解析式，再与反比例函数联立方程组即可求出点的坐标；第二种情况点在第二象限：过点作轴，，再分别过点和作的垂线，垂足分别为，继而得到，继而求出，后求出直线解析式，再与反比例函数联立方程组即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于， ∴将代入中得：， ∴， ∴将代入中得：， ∴反比例函数的表达式：， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：连接，，将一次函数与轴交点命名为， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①第一种情况点在第四象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴设直线解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴， ∴联立，解得：或（与重合舍去）， ∴； ②点在第二象限：过点作轴，使得，再分别过点和作的垂线，垂足分别为， 同理可得， ∴ ∴设直线解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴， ∴联立，解得：， ∴， ∴综上所述：或． 15．(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等，分类求解是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质可求出，得点坐标，从而求出的值； （2）由得，求出，从而可求出； （3）分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由可得， ，， ∴， ， 点， ； （2）解：四边形为平行四边形 ， 解得，（不合题意舍去） ； （3）①当时， ∴, 又， ∴，， ∴， ∴， ∴， ，即 ， ； ②当时， 又 ， ； 综上所述，点P的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $