第5章图形的轴对称 单元同步自主提升训练题 2025～2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 北师大版七年级数学下册《图形的轴对称》单元同步练，分层覆盖基础概念到综合应用，梯度设计符合认知进阶，适配单元复习巩固与思维提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|轴对称图形识别、等腰三角形底角计算|结合生活情境（天气预报图标、银行图标），培养几何直观| |中档层|尺规作图、轴对称性质应用、折叠角度计算|综合性质运用（如折叠与等腰三角形结合），发展推理意识| |提升层|垂直平分线最值、动态折叠探究、将军饮马问题|设置探究性问题（折纸中的平行线、最值模型），提升创新意识|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第5章图形的轴对称》 单元同步自主提升训练题（附答案） 一、单选题 1．冬日暖阳照在身上，温暖了身体，更温暖了心里，下列关于天气预报的图标中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如果等腰三角形的一个角等于，则它的底角等于（   ） A． B． C．或 D．或 3．在数学课上，老师提出如下问题：如图所示，已知中，，用尺规作图的方法在上取一点，使得．下面四个同学的做法，其中正确的是（    ） A．B． C． D． 4．已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 8．以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有______个． 9．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是，那么它的实际车牌号是：______． 10．窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 11．如图，在中，，，的垂直平分线交于，则的度数是__________． 12．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 ___________个格点三角形与成轴对称． 13．如图，在等腰中，是底边上的中线，是腰上一点，连接，是延长线上一点，连接，若平分，，，则的长为_______． 14．如图①，已知四边形纸片，按图②、图③的折纸方法，依次折叠后再展开，如图④第二条折痕与边交于点，连接、，若，平分，则的度数为______． 三、解答题 15．“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路、和两个城镇、（如图），准备建一个燃气控制中心站，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站的位置．（作出满足题意的一处位置即可） 16．如图，已知如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)的面积是______． (3)在直线上找一点，使的长最短． 17．如图，是轴对称图形，对称轴是． (1)找出所有对应点、对应边、对应角． (2)如果，求和． (3)如果，求． 18．如图，在中，，点E是边上一点，连接，将沿折叠得到，点D的对应点为B，且点B在的延长线上，连接并延长交于点C．若，求证：． 19．今天我们来探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线． 如图1，长方形纸条中，，，，，分别是长方形纸条边，上两点（）将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点． (1)①若，则_____________． ②若，则____________（用含的式子表示）． (2)如图2，在图1的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为_____________． 20．综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 参考答案 1．B 【分析】本题考查轴对称图形的识别．轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，符合题意； C．该图形不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．C 【分析】本题需分情况讨论已知角为底角或顶角的情况，理解题意是解决本题的关键． 利用等腰三角形两底角相等及三角形内角和为的性质计算底角度数即可． 【详解】解：分两种情况：当已知的角为底角时，等腰三角形底角即为； 当已知的角为顶角时，底角为， 综上，底角等于或． 故选C． 3．A 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用得到，利用线段垂直平分线定理的逆定理，作的垂直平分线即可． 【详解】解：， 而， ， 点为的垂直平分线与的交点． 故选：A． 4．B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，由轴对称的性质不能得出非对应线段的关系．由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：根据题意分析，由轴对称的性质可以得到：对应线段相等，即A选项成立；对应线段是平行，即C选项成立；对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，即D选项成立；与为非对应线段，无法得到与的关系， 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查作图-基本作图、线段的垂直平分线、角平分线等知识点，读懂图形信息、灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图可知平分，垂直平分线段，进而判断各选项即可． 【详解】解：由作图可知：平分，垂直平分线段， ∴，，， 无法判断． 故选：A． 6．B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键． 由等腰三角形性质可得，由折叠得到，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得， ∴． 故选：B． 7．C 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，当、、三点共线且时，的值最小，根据即可求出的最小值． 【详解】如图，连接，， 垂直平分边，点是上的一点， ， ， 中，，点是边的中点， ，此时的值最小， ，， ． 的最小值为的长为，即最小值为． 【点睛】充分利用等腰三角形三线合一的性质和垂线段最短是解题的关键． 8．4 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：七个图标中，以下四个图形是轴对称图形，共 故答案为：4 9． 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字，也可以简单的写在纸上，然后从纸的后面看，关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平线的对称即可． 【详解】解：实际车牌号是， 故答案为：． 10．②③④ 【分析】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 11．/30度 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质． 由，，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得的度数，又由的垂直平分线交于D，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．6 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故答案为：6． 13．4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． 证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵在等腰中，是底边上的中线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 14．/36度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定及性质；由折叠的性质得，，由平行线的判定方法得，结合平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠得，， ， ， 平分， ， ， 故答案为． 15．见解析 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质及其作法是解题的关键．作出与夹角的平分线、线段的垂直平分线，则它们的交点即为所求． 【详解】解：如图，分别作出线段的垂直平分线，与夹角的平分线，两者的交点即为点的位置． 16．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了对称轴的性质，作轴对称图形，求网格三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）分别作出点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）根据割补法求解面积； （3）作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为点，由于此时，根据两点之间线段最短即可说理． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积， 故答案为：3； （3）解：如图，点即为所求． 17．(1)对应点：B和C，对应边：和和，对应角：和和和 (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称图形的特征，熟记相关结论即可； （1）根据图形即可求解； （2）轴对称图形的对应边相等，对应角相等，据此即可求解； （3）轴对称图形的对应边相等，对应角相等，据此即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：对应点：B和C，对应边：和和，对应角：和和和 （2）解：∵是轴对称图形，对称轴是． ∴（对应边相等），（对应角相等）， ∵， ∴； （3）解：∵是轴对称图形，对称轴是． ∴（对应边相等）， ∵， ∴； 18．证明见详解 【分析】根据折叠的性质和线段的和差关系得到，证明，得到，从而证得结论． 【详解】证明：由折叠的性质，得，， ， ，即， 在和中， ， ∴， ， ， ，即． 19．(1)①；②； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得 ，则 ，由平行线的性质得 ，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得 ， ，由平行线的性质得 ，推出 ，即可得出； （3）先证 ，再证 ，最后根据平角可得度数，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得：， ， ， ， ； 故答案为：； ②由题意得： ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得： ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，即交于点， 由折叠的性质得到： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在平角上，则有， ， ． 故答案为：． 20．(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 学科网（北京）股份有限公司 $