5.3分式方程 同步自主提升训练题 2025～2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 本练习围绕分式方程核心知识，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到实际问题解决的递进，培养运算能力、模型意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|分式方程解法（去分母、验根）、解的意义|单选题1-4、填空题8-11聚焦去分母法则与解的代入，夯实运算基础| |中档|含参数方程、简单实际应用|单选题5-7结合概率、古代问题，填空题12-14涉及费用分摊，培养推理意识| |提升|综合探究与方案优化|解答题18-20通过规律探究、利润问题、采购方案比较，发展模型观念与创新意识|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《5.3分式方程》同步自主提升训练题（附答案） 一、单选题 1．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的方程的解是1，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（    ）． A． B． C． D．1 4．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 5．一个不透明的口袋中装有14个白球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到蓝球的频率稳定在，则估计口袋中蓝球的个数为（   ） A．18个 B．16个 C．6个 D．4个 6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果■，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．设这批椽的数量为株，则可得方程为，根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（   ） A．每株椽的运费是3文 B．一株椽的价钱是3文 C．剩下的椽的运费是3文 D．剩下的椽的价钱是3文 7．某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．将分式方程转化为整式方程时，方程两边都应乘以________． 9．已知与互为相反数，则 __________． 10．当时，分式（为常数）没有意义，那么当的值为3时的值是________． 11．关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是______． 12．观察下列等式：，，，根据以上规律，求出分式方程的解是______． 13．一组学生去春游，统计共需要费用240元，后来又有一组学生参加进来，总费用不变，每人可以少分摊6元．如果两组学生的人数相等，那么每组学生的人数为______． 14．为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进价多25元，用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，则每个足球的进价是______元． 三、解答题 15．解下列分式方程： (1) (2) 16．已知分式方程，由于印刷问题，数字“▲”看不清楚． (1)若“▲”表示的数字为，求分式方程的解； (2)若原分式方程无解，试求出原分式方程中“▲”表示的数字． 17．若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有正整数解，求满足条件的整数的值． 18．探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 19．知识改变命运，阅读点亮人生，为激发年轻人的阅读兴趣，某市举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的读书活动．在活动中某书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本，已知种图书每本的进价比种图书贵元，且用元购进种图书的本数比用元购进种图书的本数多本． (1)求，两种图书每本的进价各是多少元？ (2)该书店老板第二次购进两种书共本，已知每本种图书的售价为元，每本种图书的售价为元，若该老板希望销售完第二次购进的书后所获的利润不少于元，则至多购进种图书多少本？ 20．猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． (1)求这种猕猴桃的单价． (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤． (3)泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的 （填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 参考答案 1．解：等式两边同时乘以得，， 故选：C． 2．解：∵是方程的解， ∴ ， ， 解得． 故m的值为， 故选B． 3．解：∵， ∴， 又 ∵， ∴ ，解得， 经检验，是该方程的解， ∴x的值为． 故选：C． 4．解： 去分母，得：， 化简：， 解得 ∵解为非负数， ∴，即，解得 ∵ 分母， ∴，即，解得 ∴且； 故选A． 5．解：设蓝球个数为，则总球数为， ∵摸到蓝球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴蓝球个数为6个． 故选：C． 6．解：设这批椽的数量为株，则每株椽的价钱为 文． ∵少拿一株后，剩下的椽的运费等于一株椽的价钱， ∴剩下的椽的运费=每株运费一株椽的价钱． ∵给定方程为， ∴每株运费为 3文． 故缺失条件为“每株椽的运费是3文”，对应选项 A． 故选A． 7．解：设原来平均每亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为万千克． ∵原计划总产量30万千克， ∴原计划种植亩数为亩； ∵改良后总产量增加6万千克， ∴改良后总产量为36万千克， ∴改良后种植亩数为亩； ∵种植亩数减少了10亩， ∴． 故选：B． 8．解：两边都乘以，得. 即方程两边都乘以，可得整式方程. 故答案为：. 9．解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得， 检验，当得时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 10．解：∵当时，分式没有意义， ∴分式分母为0，即, 解得,此时分式为. 当时，两边同乘（）得, 展开右边得, 移项得, 合并同类项得, 解得. 检验：当时，,符合题意， 故答案为：. 11．解：。 两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， ∵关于的分式方程有解， ∴，即， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解； 故答案为：． 13．解：设每组学生人数为人，根据题意得： 解这个方程得： 经检验：为原方程的解． 故答案为：人 ． 14．解：设每个足球的进价是元，则每个篮球的进价为元， 则， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即每个足球的进价是元， 故答案为：． 15．（1）解：， 整理方程，得， 方程两边同乘得， 解得， 经检验，时原方程分母不为0， 因此是原方程的解． （2）解：， 方程两边同乘，得， 展开，得， 整理，得， 解得， 经检验，当时，原方程分母为0， 因此是原方程的增根． ∴原方程无解． 16．（1）解：当“▲”时，原方程为 将方程变形为 方程两边同时乘以得 移项得 合并同类项得 解得 检验：当时， 所以是原分式方程的解． （2）解：设“▲”表示的数字为， 原方程为 将方程变形为 方程两边同时乘以得 整理得 原分式方程无解 分两种情况讨论 情况一：整式方程无解，此情况不存在． 情况二：整式方程的解是原分式方程的增根，原分式方程的增根满足， 即 将代入 得 解得 所以“▲”表示的数字是． 17．解：∵关于的不等式组无解， ， 解得． 将分式方程去分母得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得． ∵分式方程有正整数解，且， 为10的正整约数，即或2或5或10， 解得或或2或7． 当时，， 此时分母，故舍去． ∴的整数值为或2或7 ， ∴满足条件的整数的值是或2． 18．（1）解：①解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ②解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ③解方程：， 两边同乘以，得：， 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为， 故答案为：； （2）观察前三个方程： ①， ②， ③， 规律：左边分子为，右边分子为，且结构为， 因此第4个方程为： 解法同上： 两边同乘：， 整理，得：， 移项合并得：， 检验成立，解为， 所以第4个方程是，解为； 故答案为：，； （3）根据规律，第n个方程为：， 解方程： 两边同乘： 移项整理：， 解得：， 检验：当时，（因n为正整数），分母不为零，解成立， 所以第n个方程的解为． 19．（1）解：设种图书每本进价是元，则种图书每本进价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴种图书每本进价是元，种图书每本进价是元； （2）解：设购进种图书本，则购进种图书本， 由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴的最大整数为， ∴至多购进种图书本． 20．（1）解：设猕猴桃的单价为x，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：这种猕猴桃的单价为6元． （2）解：泰泰两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）， 顺顺两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）； （3）解：设两次油价分别为a，b．则选择相同油量加油的单价为， 选择每次相同金额的单价为， ， ∴按相同金额加油更合算． 学科网（北京）股份有限公司 $