5 情境串联专题 分式方程的应用&大单元整合与素养提升-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

情境串联专题 河南省是中华民族和华夏文明的重要发祥 地，素有“中原”“中州”之称，名胜古迹星罗棋 布。龙门石窟是中国四大石窟之一，吸引了无 数游客的目光。 1.洛阳市政打算对伊河某段长达2400m的河 堤进行美化。 (1)负责该美化项目的某工程队花费45000 元用于购买建筑材料，一段时间后，又花 费21000元第二次购买材料，第二次的 购买量是第一次的一半，且第二次的单价 (单位：元/吨)比第一次少100元。求这 两次分别购买材料多少吨？ (2)已知购买材料的地点距工地180km,工 程队第二次购买材料后，用卡车运回工 地，匀速行驶1h后，司机接到工程队的 命令需提前到达，于是司机把速度增加到 原来的1.5倍，最终提前40min到达工 地，求加速前卡车的平均速度。 (3)该工程队在美化800m后，改进施工方 式，每天的工作效率比原来提高25%，26 天完成全部美化任务。 ①施工队原来每天美化河堤 m; 89 八年级数学下册·BS 分式方程的应用 ②若市政原来每天支付给施工队的工资 为a元，提高工作效率后每天支付给施 工队的工资增加了20%，完成整个工程 市政共支付给施工队的工资不超过 58400元，求a的最大值。 2.洛阳某知名广场有很多美食，其中“米村拌 饭”以味美价廉吸引了大量食客，“石锅拌饭” 与“芝士年糕鸡”最为畅销。现已知“石锅拌 饭”的单价比“芝士年糕鸡”的单价低5元，且 用420元购买“石锅拌饭”的数量与用495元 购买“芝士年糕鸡”的数量相同。 (1)求“石锅拌饭”与“芝士年糕鸡”的单价； (2)某旅行团一行20人来此聚餐，在“石锅拌 饭”“芝士年糕鸡”中选一份点餐，且总费 用不超过600元，那么点“芝士年糕鸡”的 最多有几人？ 请完成培伏专训（七）、（八） 第五章大单元整合与素养提升 01典例导航 (2)已知小轿车的平均速度是长途汽车平均速 度的1.5倍，求小轿车的平均速度。 【例1】下列代数式：①学：②日@方：@。 ⑤2：⑥- a+3⑦3a-b。 (1)其中是分式的是 ;(填序号) (2)当a 时，代数武①，3有意义： (3)当a 时，代数式⑥十的值为0： 02考点过关 (0计算。十8时，应先莲分，其最简公分 考点一 分式的有关概念 母是 ,计算的结果是 1代数式导日2g-号计中风 于分式的有 【例2】先化简，再求值： A.2个 B.3个 C.4个D.5个 号·中（小其中 x十y 2.下列关于分式的判断，正确的是 x-2y |x-4+(y-9)2=0。 A.当x=3时，2x+1 —3的值为0 B.当x≠3时，一3有意义 C无论x为何值，1不可能是整数 D无论x为向值，一7的值总为正数 考点二分式的基本性质 3.(2025·商丘期末)下列运算中，错误的是 ( A.合-8(c≠0) B.-4-b--1 a+b 【例3】某校组织学生到相距80km的某红色教 C. 5a+10b 育基地进行社会实践活动。上午8：00学生乘 2a-3b 长途汽车从学校出发，上午8：30一位老师带着 D.x—y=y-x 'x+yy+x 两名迟到的学生乘小轿车从学校出发，结果小 轿车比长途汽车晚10min到达目的地。 4(2025·毕节月考)若分式，”的值为5.则 (1)小轿车的行驶时间比长途汽车的行驶时间 x,y扩大到原来的5倍后，这个分式的值为 少 h; 助学助教优质高数90 考点三分式的运算 5.下列运算不正确的是 () N的98- B.y÷3x2y=4 2yz 8yz 3x C.2 D.(-a)3÷a=b b 6.若a2-2a-15=0,则代数式(a-4a-4· a二2的值是 a2 7.计算： )(2025·贵阳月考)(n59+12。） 3a-2 a+1 (2②)(2025·准江月考)x-1-月) x2-4x十4 x+19 8.(2025·郑州月考)先化简，再求值： 2一4a)÷a2,且a的值满 （a二4a+4a-2 足a2+2a-8=0。 91八年级数学下册·BS 考点四分式方程的相关概念及解法 9.关于：的分式方程，2冬的根是1=2， 那么k的值是 () A.4 B.2 C.0.5 D.0.25 10.(2025·深圳月考)如果关于x的方程，2 1=2产有增根，则k的值为 () A.-10B.-8C.-6D.-4 考点五分式方程的应用 11.甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第 三个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两 人工效相同，结果提前4天完成任务，则甲 计划完成此项工作的天数是 天。 12.为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设 施改造，将手拧水龙头全部换成感应水龙头。 已知该景点设施改造后，平均每天用水量是 原来的一半，20吨水可以比原来多用5天。 该景点在设施改造后平均每天用水吨。 03素养提升 13.【新中考·新定义型阅读理解题】如果一个 分式的分子或分母可以因式分解，且这个分 式不可约分，那么我们称这个分式为“和睦 分式”。 1下列分式：①@0：③，多 ④a2 ①。十尔。其中是“和膝分式”的是 (填序号)； (2②)若a为止整数，且十为和腔分 式”，请直接写出a的值： (3)已知整式：①m一n;②m2+2mn+n2; ③m一n。从其中任意选择两个分别作 为分子和分母构造分式，要求构造的分 式是“和睦分式”，直接写出所有的结果：基础练 1.A2.3002x300300300-300=3x=5050503.解：设原 计划每天绿化的面积是x万m。根据题意列方程，得 72 x(1十20%)x 20。解得x=0.6。经检验，x=0.6是所列方程的根。答：原计划每天绿化 的面积是0,6万m。4A5北-号6，解：设该商品打折前每件 丘元，则打折后每件0.8x元。根据题意，得400+2心。解得x=50,盈 检验，x=50是所列方程的根。答：该商品打折前每件50元。7.解：(1)设 未老师原计划的速度是xkmh,根据题意，得1十180十子=10。解乳 1.5x x=60。经检验，x=60是所列方程的根。答：朱老师原计划的速度是 60kmh:(2)第-天用时180÷60-号=2号h:第二天用时180÷(60× 1.2)=受4，号-2号-名h=10(min.答：来回行驶的时间相差10min 8.解：(1)设购进的第一批医用口罩有x包，则购进的第二批医用口罩有(1 十50%)：包：根据题意，得a703z40=0.5,解得-200，经 7500 检验，x=2000是所列方程的根。答：购进的第一批医用口罩有2000包； (2)设药店销售该口罩每包的售价是y元，根据题意，得[2000+2000×(1 +50%)]y-4000-7500≤3500。解得y≤3。答：药店销售该口罩每包的 最高售价是3元。9.解：(1)设大巴车的平均速度为xkm/h,则小车的平 均连度为1.5xkm,根据题意，得2沿7十合十子解得x-40。经检 验，x=40是原方程的根。所以1.5x=60。答：大巴车的平均速度为40km h,小车的平均速度为60km/h;(2)设苏老师赶上大巴车的地点到基地的 路程有ykm,根据题意，得+00’_90之。解得y一30。答：苏老师道上 大巴车的地点到基地的路程有30km。 情境串联专题分式方程的应用 1.(1)解：设第二次购买材料xt,则第一次购买材料2xt。根据题意，得 45000-100=21000。解得x=15。经检验，x=15是所列方程的根。 2x .2x=30t。答：第一次购买材料30t,第二次购买材料15t。(2)解：设加 速前卡车的平均速度为akn小根超题意，得园-(+H)-号.解 得m=60。经检验，m=60是所列方程的根。答；加速前卡车的平均速度是 60kmh。(3)解：①80©根据题意：得。+22%20×1+ 20%)a≤58400。解得a≤2000。∴.a的最大值为2000。答：a的最大值为 2000.2.解：(1)设“芝士年糕鸡”的单价为x元，则“石锅拌饭”的单价为 x一5)元。根据题意列分式方程，得5=。解得x=33。经检验x→ 33是所列方程的根。∴.x-5=33-5=28。答：“石锅拌饭”的单价为28元， “芝士年糕鸡”的单价为33元；(2)设点“芝士年糕鸡”的有m人，则点“石 锅拌饭”的有(20-m)人。根据题意，得33m十28(20一m)≤600。解得m≤ 8。答：点“芝士年糕鸡”的最多有8人。 第五章大单元整合与素养提升 典例导航 【例1】(1)@③④⑥(2)≠3(3)=1(4)(a+3)(a-3)(a+3(a-3) a2-3a+6 【懈：原式=器··=，一41+0 23 9)2=0,.x-4=0y-9=0。.x=4,y=9。∴.原式=，1。=12 【例3】1)3(2)解：设长途汽车的平均速度为xkm/h,则小轿车的平均速 度为1.5xkmh.根据圈意，得的0十号解得=80。经检验 80是所列方程的根。∴.1.5x=120。答：小轿车的平均速度为120km/h。 考点过关 1.B2.D3.D4.55.D6.157.(1)解：原式= 3a-2 (a+1)(a-1) 3a-2。-:(2)解：原式=（+2)x-2.x+1=+2 a+1 x+1 ·(x-2)2x-2 8解：原式-（号。2 a-2 2 2。:a2+2a-8=0, a(a十2)a(a+2)a2+2a a2+2a=8。当a2+2a=8时，原式 221 a2+2a=8=40 9.D10.B 11.1012.213.(1)②(2)4(3) m-nm2+2mn十n2 m2+2mn+n2' m-n 第六章平行四边形 1平行四边形的性质 第1课时平行四边形的性质（一） 知识储备 1.平行四边形口ABCD2.两条对角线的交点3.相等相等 基础练 1.D2.重合中心对称O点C3.(1)63(2)11(3)55°125 55°(4)70°110°(5)108°72°4.C5.证明：，四边形ABCD是平行 四边形，.AB∥CD,AB=CD,∠ABC=∠ADC。.∠BAE=∠DCF。 ∠CBE=∠ADF,∴∠ABE=∠CDF。又：AB=CD,∴.△ABE≌△CDF。 AE=CF。6.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.BC=AD,BC ∥AD。∴∠F=∠DAF,∠FCD=∠D。又E是CD的中点，.CE=DE。 ∴.△ADE≌△FCE;(2)解：由(1)知BC=AD=5,△ADE≌△FCE,.CF =AD=5。.BF=CF+CB=10.7.B8.D9.1010.(3,0)或(-1， 2)或(1，-2)11.(1)证明：：□ABCD,.AD∥BC,AD=BC。∴.∠DAF =∠F,∠D=∠DCF。:E是CD的中点，.DE=CE。.△DEA≌ △CEF。.AD=CF;(2)解：由(1)知AD=BC=CF=5,AE=EF。∴.BF =10:在R△ABF中，AF=VB-AB=V0-8=6:∴EF=2AF =3。 微专题六平行四边形中“平行线十角平分线”→等腰三角形 1.32.20或28 第2课时平行四边形的性质（二） 知识储备 平分CODO 基础练 1.D2.A3.D4.45145.解：OE=OF。理由如下：□ABCD,. AB∥CD,OA=OC。∴.∠E=∠F。又∠EOA=∠FOC,∴.△OAE≌ △OCF(AAS)。.OE=OF。6.解：.四边形ABCD是平行四边形， BD=2OD=3cm,CD=AB=5cm,∴.CD=25。:BC=4cm,.BD2十 BC=25。.BD+BC=CD。∴.△DBC是直角三角形，且∠CBD=90°。∴. SaAD=BC·BD=4×3=12(cm)。7.(1)梯形(2)等腰梯形8.135 1059.2W210.D11.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.OA= OC,AB∥CD。.∠BAC=∠ECA。,OE⊥AC,.OE是线段AC的垂直 平分线。.AE=CE。.∠EAC=∠ECA。.∠BAC=∠EAC。.OA平 分∠BAE。(2)1012.解：(1)=(2)易证△BOF≌△DOE,△COF≌ △AOE,△AOB2△COD,∴.S△0F=S△0E,S△c0r=S△A0E,S△mD=S△A0B 24