专题03一元一次不等式易错必刷题型专项训练(20大题型共计64道题)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦一元一次不等式全章20类易错题型，通过典题特征与易错点提炼构建系统性突破路径，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整体设计|20类易错题型，每类3-5题|针对每类题型总结典题特征及易错点，如性质应用中乘除负数变号、解集边界判定、实际问题不等关系转化等|从不等式性质到求解与表示，再到实际应用与几何结合，延伸至不等式组及参数问题，形成概念-技能-综合应用的递进逻辑，强化模型意识|

专题03一元一次不等式易错必刷题型专项训练 本专题汇总一元一次不等式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.不等式的性质 题型02.求一元一次不等式的解集 题型03.在数轴表示不等式解集 题型04.求一元一次不等式的整数解 题型05.求一元一次不等式解的最值 题型06.列一元一次不等式 题型07.一元一次不等式实际应用 题型08.一元一次不等式几何应用 题型09.求不等式组的解集 题型10.求不等式组的整数解 题型11.由解集求不等式组参数 题型12.由解集情况求参数 题型13.不等式组与方程组结合 题型14.列一元一次不等式组 题型15.不等式组的行程问题 题型16.不等式组的销售利润问题 题型17.不等式组的经济问题 题型18.不等式组的分配问题 题型19.不等式组的方案选择问题 题型20.不等式组的阶梯收费问题 易错必刷题型01.不等式的性质 典题特征：运用不等式基本性质判定式子变形正误，推导数式大小关系 易错点：①乘除负数未同步改变不等号方向；②忽视数值为零的特殊运算情形 1．若，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变， ∴两边同乘2得，A成立． ∵不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴两边同乘-2得，B成立． ∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变， ∴两边同加2得，C成立． ∵不等式两边减同一个数，不等号方向不变， ∴两边同减2得，因此不成立，D不成立． 2．已知，其中m为正整数，则m的值为____． 【答案】4 【分析】先估算出的取值范围，再推出的取值范围，结合已知条件即可确定正整数的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即， 又∵ ，且为正整数， ∴． 3．六个零件中有一个是次品，用天平称了三次（如图），则（   ） 　 A．次品是（3）号，比正品的质量重 B．次品是（3）号，比正品的质量轻 C．次品是（6）号，比正品的质量重 D．次品是（6）号，比正品的质量轻 【答案】A 【分析】根据天平第一次称是平衡的得到（1）号，（2）号，（4）号，（5）号零件都是正品，次品出自（3）号或者（6）号，分别设正品零件质量为，（3）号零件质量为，（6）号零件质量为，根据第二次和第三次测量列出不等式，进一步解答即可． 【详解】解：∵用天平第一次称是平衡的， ∴（1）号，（2）号，（4）号，（5）号零件都是正品， ∴次品出自（3）号或者（6）号， 设正品零件质量为，（3）号零件质量为，（6）号零件质量为， 根据第二次天平的情况可知，①， 根据第三次天平的情况可知， ∴②， ∴①＋②得到，，即， ∴次品是（3）号，比正品的质量重． 易错必刷题型02.求一元一次不等式的解集 典题特征：按固定运算步骤求解一元一次不等式整体取值范围 易错点：①去分母时遗漏常数项；②移项过程符号变换失误；③系数化一未调整不等号方向 4．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照一元一次不等式的求解步骤计算即可，注意不等式两边同乘负数时不等号方向改变． 【详解】解：移项得 合并同类项得 不等式两边同时乘得 5．不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】解：， 两边同乘以，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 6．关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用加减消元法，整体思想得到关于的表达式，代入不等式即可求解的范围． 【详解】解：， ∴得， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 7．对于任意x，y，规定（a，b为常数）．已知． (1)求的值； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到关于的二元一次方程组并解方程组即可； （2）根据题意和（1）中的的值列出不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：； （2）∵， ∴， 解得：． 易错必刷题型03.在数轴表示不等式解集 典题特征：将不等式解集规范标注在数轴对应位置 易错点：①混淆实心端点与空心端点使用规范；②解集延伸方向标注颠倒 8．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下： ． 9．关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式可以是______．（写出一个符合要求的不等式即可） 【答案】x＜-4（答案不唯一） 【分析】“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线． 【详解】解：由图示可看出，从-4出发向左画出的折线且表示-4的点是空心圆，表示x<-4； 故答案为：x<-4（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查的是在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 10．解不等式，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】，把解集在数轴上表示见解析 【详解】解： 把解集在数轴上表示如图所示： 易错必刷题型04.求一元一次不等式的整数解 典题特征：在不等式解集区间内，筛选符合限定条件的整数结果 易错点：①忽略题干整数相关限定要求；②区间边界判定失误，出现漏解、多解情况 11．不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再找出解集范围内的最小整数即可得到答案． 【详解】解： 移项得 ∵大于 的整数为 ∴其中最小的整数为． 12．如果不等式的正整数解是1、2、3，那么偶数的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，先解出不等式的解集，再根据正整数解确定的取值范围，最后结合是偶数确定的值即可． 【详解】解： ∴， 不等式的正整数解是1、2、3 ，即， 又是偶数， 或， 故答案为或． 13．若不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的（    ） A．最小整数解是0 B．最小整数解是 C．最大整数解是0 D．最大整数解是 【答案】A 【分析】先根据数轴确定不等式的解集，然后结合各选项即可解答． 【详解】解：由数轴可知：， ∴有最小整数解为0． 14．如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是多少？ 【答案】21 【分析】本题考查一元一次不等式解决实际问题，分x为奇数和x为偶数两种情况，分别列出不等式，求出x的值，再找出最小正整数即可． 【详解】解：当x为奇数时，根据题意，得， 解得， ∴正整数； 当x为偶数时，， 解得， ∴正整数， 综上，输入的最小正整数x是21． 易错必刷题型05.求一元一次不等式解的最值 典题特征：依据不等式取值区间，确定对应数值最大与最小值 易错点：①误用非整数边界判定最值；②忽略实际场景取值约束条件 15．已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】先解二元一次方程组，再根据条件列出不等式，解不等式即可求得答案． 【详解】 ①②得： ①②得： 解得 的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键． 16．当_________时，有最小值，最小值是_________； 【答案】 7 【分析】根据题意以及绝对值的非负性，再利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】当x>3时， 当时， =7； 当x<-4时， 当时，有最小值7． 故答案为：；7． 【点睛】本题考查了绝对值相关最值的求解，涉及不等式运算，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用分类讨论的数学思想解答． 17．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，，是“快乐数”；又如：四位数，∵，不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则这个数为_________；如果一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是_________． 【答案】 6923 【分析】由“快乐数”的定义得，即可求解；由“快乐数”的定义得，整理得，结合、、、的取值范围得，对整理得，可得当或时，能被7整除，即可求解． 【详解】解：是一个“快乐数”， ， 解得：， 这个数为； 自然数是“快乐数”， ， ， ，，， ，， ， ， ， 自然数能被7整除， 能被7整除， 当或时，能被7整除， ①当时， ， 故此种情况不存在； ②当时， ， ， ， ， ， 解得：， ，且为整数， 最大取， 当时， ， ， ， 故答案：，． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解新定义是解题的关键． 18．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得； （2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得． （2）解：由题意得：， ， ∵， ∴， 解得， 所以不等式的最大整数解为． 易错必刷题型06.列一元一次不等式 典题特征：将文字描述的数量关系，转化为标准一元一次不等式 易错点：①对不等关系关键词理解偏差；②未结合实际要求限定未知数取值 19．用不等式表示“与5的差不小于的3倍”为_____． 【答案】 【分析】根据题意将文字关系转化为不等式即可. 【详解】解：由题意可得，与的差为，“不小于”表示大于或等于，的倍为，因此可得不等式． 20．请写出满足下列条件的一个不等式． （1）0是这个不等式的一个解：_____； （2），，0，1都是不等式的解：_____； （3）0不是这个不等式的解：_____； （4）与的解集相同的不等式：_____． 【答案】 【分析】本题考查不等式，根据不等式的解集，即可解答． 【详解】解：（1）， （2）， （3）， （4）． 故答案为：（1）（2）（3）（4）． 21．为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中价格、有效监控半径如表所示： 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 450 600 有效监控半径（单位：米/台） 100 150 (1)若购买该批设备的资金不超过7200元，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式； (2)若要求有效监控半径覆盖范围大于1600米，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据“总价=单价×数量”结合购买该批设备的资金不超过7200元列关于x的一元一次不等式即可； （2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据要求监控半径覆盖范围不低于1600米可列关于x的一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台， 根据题意得：． （2）解：设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台， 根据题意得：． 【点睛】本题主要考查了列不等式，审清题意、找到不等关系是解答本题的关键． 易错必刷题型07.一元一次不等式实际应用 典题特征：结合现实生活场景，利用不等式求解相关实际问题 易错点：①题意不等关系分析错误；②求解结果未贴合现实取值规则 22．某次数学竞赛共有20道题，评分标准是：答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分；某同学想要超过60分，他至少要答对_________道题． 【答案】14 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，先设出未知数，根据题意找出不等关系，列不等式求解． 【详解】解：设该同学答对道题， 则答错或不答共道， 由题意得：， 解不等式得：， 为正整数， 的最小值为， 即他至少要答对道题． 23．按如图所示的程序运算，若开始输入的值为正数，经过一次运算后，最后输出的结果大于31，则满足条件的的值为（    ） A．大于5的数 B．大于6的数 C．小于4的数 D．小于6的数 【答案】B 【分析】根据题意列出关于的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故满足条件的的值为大于6的数． 24．综合实践：低碳生活 如何通过出行方式达到减碳目标 信息一 不同交通工具每行驶1千米所产生的碳排放量（单位：千克/辆）    信息二 小妍在出行方面（含通勤、旅游、出差等）制定的碳排放量为220千克／月．某月因出差乘坐飞机，共产生600千克碳排放量．为补偿这些超额碳排放量，小妍决定将之后的通勤方式由自驾改为其他出行方式． 信息三 小妍一年上班天数为240天，每天上班和下班的总距离为20千米． 问题解决 (1)任务一：小妍上下班至少要乘坐公交车多少天，减少产生的碳排放量才能够补偿这月因乘坐飞机而产生的超额碳排放量？ (2)任务二：根据自身的情况，小妍在一年中每天通勤的方式从电动车和共享单车两种方式中选用其中一种方式，若想要一年内通勤时产生的碳排放量不超过330千克，则这一年至少骑行共享单车多少天？ 【答案】(1)天 (2)90天 【分析】（1）设小妍上下班要乘坐公交车x天，减少产生的碳排放量才能够补偿这月因乘坐飞机而产生的超额碳排放量，根据题意列出不等式，解不等式即可； （2）设这一年骑行共享单车y天，则骑行电动车天，根据一年内通勤时产生的碳排放量不超过330千克，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设小妍上下班要乘坐公交车x天，减少产生的碳排放量才能够补偿这月因乘坐飞机而产生的超额碳排放量，根据题意得： ， 解得：， ∵x取整数， ∴小妍上下班至少要乘坐公交车天，减少产生的碳排放量才能够补偿这月因乘坐飞机而产生的超额碳排放量． （2）解：设这一年骑行共享单车y天，则骑行电动车天，根据题意得： ， 解得：， 答：这一年至少骑行共享单车90天． 易错必刷题型08.一元一次不等式几何应用 典题特征：结合几何图形固有性质，建立不等式完成相关计算 易错点：①几何数量关系转化错误；②忽视图形自带取值限制条件 25．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 26．如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，． (1)________（用含m的代数式表示）； (2)若点B为线段的中点，求的长； (3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值． 【答案】(1) (2) (3)整数x的最小值为25 【分析】（1）直接利用两点之间的距离公式进行计算即可； （2）点B为线段的中点，可得，再建立方程求解即可； （3）由，，，再利用当与的差不小于，建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，， ∴； （2）∵点B为线段的中点， ∴， ∵，， 即， 解得． ∴B点表示的数为， ∴． （3）∵，，， 由题意得， 解得， ∴， ∴整数x的最小值为25． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，列方程、不等式解决问题，考查学生的几何直观和运算能力． 27．在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 【答案】(1)当时，线段的长度为2 (2)的值为或 (3)的取值范围是： 【分析】（1）先求出运动的路程，再根据点的位置解答即可； （2）分两种情况：当点P在时，当点P在上时，根据面积关系列方程即可求解； （3）根据三角形的面积求出的值，分为点P在时，点P在上，两种情况根据列不等式组解答即可． 【详解】（1）解：当时，． ． 答：当时，线段的长度为2． （2）解：， ． 的边的高． ∵， ∴ ∴． ． ①当点在边上，即时． ． ． ， ． 解这个方程，得．        ②当点在边上，即时． ． ． ． 解这个方程，得． 综上所述，的值为或． （3）解：是的高． ． ，，， ． ①当点在边上，即时，． ，且． ，解得． ， ．          ②当点在边上，即时． ． ，且． ． 解不等式，得． ， ．        综上所述，的取值范围是：． 易错必刷题型09.求不等式组的解集 典题特征：分别求解单个不等式，合并公共区间确定不等式组解集 易错点：①解集公共区间判定错误；②混淆不等式组取值判定法则 28．下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的解集判定，掌握同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到的原则即可解题，对各选项逐一判断即可． 【详解】A选项，不等式组为，解集为，有解，不符合题意； B选项，不等式组为，两个范围没有公共部分，不等式组无解，符合题意； C选项，不等式组为，解集为，有解，不符合题意； D选项，不等式组为，解集为，有解，不符合题意； 故与组成的不等式组无解的是B项． 29．不等式组的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，熟练掌握解不等式是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可． 【详解】解：解不等式， 移项得，即； 解不等式， 移项得，即， 两边除以3得； 故不等式组的解集为．     故答案为：． 30．已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解二元一次方程组可得，根据x，y均大于0，进而可得：，然后根据，，可得，从而可得，即，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得：， ，， ， 解得：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 31．解不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ，             ， ．             （2）解：解不等式①，得．         解不等式②，得．         将不等式①，②的解集表示在同一数轴上，得 不等式组的解集为：． 易错必刷题型10.求不等式组的整数解 典题特征：确定不等式组公共解集，从中筛选指定条件整数解 易错点：①整体解集范围判断不准；②遗漏限定条件导致解值出错 32．不等式组的最大整数解为________． 【答案】2 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后找出解集中的最大整数解即可． 【详解】解： 解不等式可得， 解不等式可得， 因此不等式组的解集为， 则不等式组的最大整数解为． 33．不等式组的非负整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组非负整数解，正确求出每一个不等式的解是解答此题的关键． 分别求解两个不等式，得到不等式组的解集后，再找出非负整数解的个数即可． 【详解】解：由得，， 由得，， ∴ 不等式组的解集为， ∵为非负整数 ∴ ∴ 非负整数解的个数为. 故选：D． 34．解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解． 【答案】解集为，非负整数解为和 【分析】先分别求出两个不等式的解集，可得到不等式组的解集，即可求解 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 则不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为0和1． 易错必刷题型11.由解集求不等式组参数 典题特征：已知固定解集，反向推导不等式组内参数取值范围 易错点：①参数区间边界取值判定错误；②忽视参数隐含约束条件 35．若关于的不等式组无解，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先分别求出各不等式的解集，再由不等式组无解即可得出a的取值范围． 【详解】解：， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴． ∴ 故答案为：． 36．已知不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2026 【答案】B 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到含a、b的解集，结合已知解集求出a、b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， 解不等式①得 ， 解不等式②得 ，不等号两边同除以，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得，， ∴． 37．若关于的不等式组无解，求应满足的条件． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集的应用．根据已知得出关于的不等式，求出即可． 【详解】解：由题意可得，不等式组无解， ∴， 解得：． 易错必刷题型12.由解集情况求参数 典题特征：根据不等式组有解、无解状态，求解参数取值范围 易错点：①混淆有解与无解判定逻辑；②边界数值取舍判断失误 38．定义一种新运算“◎”，规定：．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算定义将不等式组转化为常规一元一次不等式组，求出两个不等式的解集，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集法则列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵ ∴原不等式组可转化为 解①得， 解②得， ∵不等式组的解集为 ∴ 解得． 39．如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有4个整数解可以是，，，，即可得到，解得即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有4个整数解， 这4个整数解是，，，， ， 解得：． 40．已知关于、的方程组中，为负数，为非正数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出方程组的解，再根据“为负数，为非正数”列不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质得到，进而求出的取值范围，再求整数解即可． 【详解】（1）解：解方程组得 ∵为负数，为非正数， （2）解：∵ ∴ ∵的解集为 当为或时，不等式的解集为． 易错必刷题型13.不等式组与方程组结合 典题特征：联立方程组与不等式组，综合运算求解参数范围 易错点：①方程组基础运算出现差错；②两类题型关联逻辑梳理混乱 41．已知，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个方程相减得出x﹣y＝1﹣2k，由0＜x﹣y＜1知0＜1﹣2k＜1，解之即可得出答案． 【详解】解：两个方程相减，得：x﹣y＝1﹣2k， ∵0＜x﹣y＜1， ∴0＜1﹣2k＜1， 解得0＜k＜， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 42．已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为________． （2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是得出关于k的不等式． （1）将方程组中的两个方程相加，即可得到用含k的代数式表示出，然后根据，即可求得k的取值范围 (2)先用含k的式子表示出方程组的解，再根据x，y均为正整数，且，即可得到该方程组的解． 【详解】解：（1） ①+②，得 ， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由解得 ， ∵均为正整数，且， ∴当时，； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不符合题意，都舍去， 由上可得，该方程组的解为． 故答案为：． 43．关于、的方程组，且、满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】两方程作差可得，再结合得到关于a的不等式求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ． 易错必刷题型14.列一元一次不等式组 典题特征：依据多重约束条件，组建完整一元一次不等式组 易错点：①多重不等关系梳理残缺；②不等式符号方向设定出现偏差 44．某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 【详解】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 45．如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是____________． 【答案】218，225，232 【分析】根据题意图形可知，竖式纸盒需要4个长方形纸板与1个正方形纸板，横式纸盒要3个长方形纸板与2个正方形纸板，设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个，即可算出总共用的纸板数，再根据，即可得到不等式组求出x的值，即可进行求解． 【详解】设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个， ∵， ∴， 解得， ∵x为正整数， ∴或或， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，a的值为218，225，232， 故答案为：218，225，232． 【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，找到不等关系进行求解，注意结合实际情况取整数解． 46．阅读材料：形如的不等式，我们称之为双连不等式，求解这类不等式的方法之一：转化为不等式组求解，如上面的不等式转化为再求解；方法二：利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去3，得，然后再同时除以2，得． (1)解决问题：请你将双连不等式转化为不等式组； (2)解决问题：利用不等式的性质解双连不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据把双连不等式化为不等式组的方法可得答案； （2）先在双连不等式中的左边，中间，右边都减去2，再在左边，中间，右边都除以，从而可得答案． 【详解】（1）解：双连不等式转化为不等式组为： （2）∵， ∴ 即 ∴左边，中间，右边都除以得： 【点睛】本题考查的是双连不等式的定义，双连不等式与一元一次不等式组之间的联系，利用不等式的性质解双连不等式，掌握解双连不等式的方法与步骤是解本题的关键． 易错必刷题型15.不等式组的行程问题 典题特征：依托行程数量关系，列不等式组完成相关求解 易错点：①行程计算公式运用不当；②实际场景不等关系转化错误 47．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 48．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 49．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 易错必刷题型16.不等式组的销售利润问题 典题特征：结合成本收益条件，列不等式组规划经营相关方案 易错点：①利润核算公式运用错误；②资金数量约束条件梳理不全 50．大华橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 200 250 电压锅 160 200 (1)一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？ (2)为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由； (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？ 【答案】(1)厨具店在该买卖中赚了元 (2)共有三种进货方案：①购买电饭煲台，购买电压锅台； ②购买电饭煲台，购买电压锅台； ③购买电饭煲台，购买电压锅台； (3)购买电饭煲台，购买电压锅台时，该厨具店赚钱最多 【分析】本题考查二元一次方程组，不等式的应用，找准等量关系，列式计算是解题的关键． （1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，根据图表中的数据列出关于x、y的方程组并解答即可，橱具店在该买卖中赚了钱数； （2）先设购买电饭煲a台，则购买电压锅台，根据题意列出不等式组，再解不等式组即可； （3）结合（2）中的数据进行计算，即可得到进货方案橱具店赚钱最多． 【详解】（1）设该厨具店购进电饭煲台，则购进电压锅 台， 由题意，得 解得： 则(元) 即厨具店在该买卖中赚了元； （2）设购买电饭煲台，则购买电压锅台， 由题意得 ， 解得：， ∵是正整数， ∴或或， 当时， 当时， 当时， 故共有三种进货方案：①购买电饭煲台，购买电压锅台； ②购买电饭煲台，购买电压锅台； ③购买电饭煲台，购买电压锅台； （3）①当购买电饭煲台，购买电压锅台台时， (元)； ②当购买电饭煲台，购买电压锅台时， (元) ③当购买电饭煲台，购买电压锅台时，(元) ， ∴当购买电饭煲台，购买电压锅台时，该厨具店赚钱最多． 51．某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元 (1)甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ (2)若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？ 【答案】(1)甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元 (2)甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副 【分析】（1）设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元，利用两个等量关系，即总花费、甲乙单价差，列二元一次方程组求解进价即可； （2）设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据数量关系和总进价的限制条件列一元一次不等式组，结合数量为正整数的实际要求，得到符合条件的购买数量． 【详解】（1）解：设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元 根据题意可得 解得， 答：甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元； （2）解：设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据题意可得： ， 解得， 因为是正整数，所以， 则， 答：甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副． 52．在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的卡：甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元． (1)甲型、乙型单价各是多少万元？ (2)若需要购买卡70块，预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，有几种采购方案？ (3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲型单价是15万元，乙型单价是10万元 (2)共有2种采购方案 (3)采购甲型60块、乙型10块时商家获得利润最大，最大利润是340万元 【分析】（1）设甲型、乙型单价各是万元，万元，由购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元，可列出二元一次方程组，即可解答； （2）设购买甲型a块，根据预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，列出一元一次不等式组，解出解集，再根据a为整数，即可解答． （3）根据a的取值，逐个计算，即可解答． 【详解】（1）解：设甲型、乙型单价各是万元，万元，依题意，得 ， 解得． 答：甲型、乙型单价各是15万元，10万元． （2）解：设购买甲型a块，依题意，得 解①，得， 解②，得， 解③，得， ∴不等式组的解集为， ∵a为整数 ∴a的取值为59，60，共2种采购方案． （3）解：当时，（万元）， 当时，（万元）， ∵，（块） ∴采购甲型60块、乙型10块时商家获得利润最大，最大利润是340万元． 易错必刷题型17.不等式组的经济问题 典题特征：依照预算收益标准，借助不等式组确定可行方案 易错点：①成本收益逻辑分析偏差；②忽略方案整数取值硬性要求 53．某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，设购买A型污水处理设备a台，则设购买B型污水处理设备台，根据购买资金不超过106万元可得，根据污水处理量不低于1930吨可得，据此可得答案． 【详解】解：设购买A型污水处理设备a台， 由题意得，， 故选：B． 54．国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 【答案】(1)甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元 (2)①15；②18 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元，根据“1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元”列出二元一次方程组求解； （2）①由题意知，乙种纪念品购买件，根据“两种优惠活动付费一样”列出一元一次方程求解； ②由题意知：乙种纪念品购买件，分别表示出活动一和活动二的付费，然后根据“活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元”列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元， 根据题意得，， 解得：， 答：甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元； （2）解：①由题意知：乙种纪念品购买件， 由题意得，， 解得，； ②由题意知：乙种纪念品购买件， 活动一付费：， 活动二付费：， 由题意知：， 解得：， m为整数， m的值为18． 55．3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【答案】(1)A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元； (2)商家共有3种进货方案． 【分析】（1）设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元，利用表格信息建立方程组解题即可； （2）设采购A种围棋m套．则采购B种围棋套，利用商家准备购进A，B两种围棋共40套，获利不低于1280元，再建立不等式组解题即可． 【详解】（1）解：设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元． 根据题意，得．解得． 答：A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元． （2）解：设商家采购A种围棋m套，则采购B种围棋套． 根据题意，得． 解得． 是正整数， 可以取8，9或10． 答：商家共有3种进货方案． 易错必刷题型18.不等式组的分配问题 典题特征：依据物资人员分配要求，建立不等式组计算分配方案 易错点：①分配数量逻辑梳理错误；②忽视分配对象正整数取值规则 56．养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克，根据配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克建立不等式组求解即可． 【详解】解：设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克， 由题意得，， 解得， 答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克． 57．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 58．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 易错必刷题型19.不等式组的方案选择问题 典题特征：综合多项限制条件，筛选合规且最优的执行方案 易错点：①合规可行方案筛选不完整；②最优方案评判标准把握不准 59．重阳节是国家级非物质文化遗产，我国诗人自古就有“待到重阳日，还来就菊花”的真挚情谊．某社区在重阳节前夕准备购买甲、乙两种菊花，经调查：购买10盆甲种菊花和5盆乙种菊花共需280元，购买7盆甲种菊花和8盆乙种菊花共需268元． (1)求甲、乙两种菊花的单价分别为多少元； (2)该社区决定购买甲、乙两种菊花共30盆，且总花费不少于550元又不多于560元，求所有购买方案． 【答案】(1)甲种菊花的单价为20元，乙种菊花的单价为16元 (2)所有购买方案为：购买甲种菊花18盆、乙种菊花12盆；购买甲种菊花19盆、乙种菊花11盆；购买甲种菊花20盆、乙种菊花10盆 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设甲种菊花的单价为x元，乙种菊花的单价为y元，由题意易得，进而求解即可； （2）设购买甲种菊花m盆，则乙种菊花盆，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设甲种菊花的单价为x元，乙种菊花的单价为y元，由题意得： ， 解得：； 答：甲种菊花的单价为20元，乙种菊花的单价为16元． （2）解：设购买甲种菊花m盆，则乙种菊花盆，由题意得： ， 解得：， ∵m为正整数， ∴所有购买方案为：购买甲种菊花18盆、乙种菊花12盆；购买甲种菊花19盆、乙种菊花11盆；购买甲种菊花20盆、乙种菊花10盆． 60．为弘扬陶行知先生“小先生制”的教育理念，合川某学校拟购买“知行合一”笔记本（A类）和纪念徽章（B类）对优秀“小先生”进行奖励．已知买1本A类和2枚B类共需82元；买2本A类和1枚B类共需74元． (1)求A，B两类物品的单价； (2)学校准备购买A、B两类物品共34个，且A类的数量不高于B类的数量．购买物品的总花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 【答案】(1)A类物品的单价为22元，B类物品的单价为30元； (2)共有3种购买方案：方案1、购买A类15本，B类19枚；方案2、购买A类16本，B类18枚；方案3、购买A类17本，B类17枚． 其中购买A类17本，B类17枚时花费最少． 【分析】（1）设A类物品的单价为x元，B类物品的单价为y元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设购买A类物品m本，则购买B类物品枚，根据题意建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A类物品的单价为x元，B类物品的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A类物品的单价为22元，B类物品的单价为30元； （2）解：设购买A类物品m本，则购买B类物品枚， 由题意得，， 解得， ∵m为非负整数， ∴m的值为15或16或17， 当时，， 当时，， 当时，， ∵1本A类物品的单价比一枚B类物品的单价低， ∴购买A类物品的数量越多，费用越低， 答：共有3种购买方案：方案1、购买A类15本，B类19枚；方案2、购买A类16本，B类18枚；方案3、购买A类17本，B类17枚． 其中购买A类17本，B类17枚时花费最少． 61．为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1) 辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨 (2) 共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的两种运货总量关系列出二元一次方程组，求解得到结果； （2）设型货车的数量，进而表示出型货车的数量，根据“型货车数量不低于辆”和“总费用不超过元”列出不等式组，求出整数解得到所有方案，再计算各方案的总费用，比较得到最少费用． 【详解】（1）解：设辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨， 根据题意得，，解得． 答：辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨； （2）解：设安排型货车辆，则安排型货车辆， 根据题意得，解得， 为正整数， 的取值为，，， 共有三种运输方案： 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）， ， 方案的总费用最少． 答：共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元． 易错必刷题型20.不等式组的阶梯收费问题 典题特征：按照分段计费规则，列不等式组计算用量与费用范围 易错点：①分段计费区间界定错误；②各区间对应不等关系列式失误 62．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 63．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 64．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一元一次不等式易错必刷题型专项训练 本专题汇总一元一次不等式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.不等式的性质 题型02.求一元一次不等式的解集 题型03.在数轴表示不等式解集 题型04.求一元一次不等式的整数解 题型05.求一元一次不等式解的最值 题型06.列一元一次不等式 题型07.一元一次不等式实际应用 题型08.一元一次不等式几何应用 题型09.求不等式组的解集 题型10.求不等式组的整数解 题型11.由解集求不等式组参数 题型12.由解集情况求参数 题型13.不等式组与方程组结合 题型14.列一元一次不等式组 题型15.不等式组的行程问题 题型16.不等式组的销售利润问题 题型17.不等式组的经济问题 题型18.不等式组的分配问题 题型19.不等式组的方案选择问题 题型20.不等式组的阶梯收费问题 易错必刷题型01.不等式的性质 典题特征：运用不等式基本性质判定式子变形正误，推导数式大小关系 易错点：①乘除负数未同步改变不等号方向；②忽视数值为零的特殊运算情形 1．若，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，其中m为正整数，则m的值为____． 3．六个零件中有一个是次品，用天平称了三次（如图），则（   ） 　 A．次品是（3）号，比正品的质量重 B．次品是（3）号，比正品的质量轻 C．次品是（6）号，比正品的质量重 D．次品是（6）号，比正品的质量轻 易错必刷题型02.求一元一次不等式的解集 典题特征：按固定运算步骤求解一元一次不等式整体取值范围 易错点：①去分母时遗漏常数项；②移项过程符号变换失误；③系数化一未调整不等号方向 4．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为___________． 6．关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（   ） A． B． C． D． 7．对于任意x，y，规定（a，b为常数）．已知． (1)求的值； (2)若，求m的取值范围． 易错必刷题型03.在数轴表示不等式解集 典题特征：将不等式解集规范标注在数轴对应位置 易错点：①混淆实心端点与空心端点使用规范；②解集延伸方向标注颠倒 8．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 9．关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式可以是______．（写出一个符合要求的不等式即可） 10．解不等式，并在数轴上把解集表示出来． 易错必刷题型04.求一元一次不等式的整数解 典题特征：在不等式解集区间内，筛选符合限定条件的整数结果 易错点：①忽略题干整数相关限定要求；②区间边界判定失误，出现漏解、多解情况 11．不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 12．如果不等式的正整数解是1、2、3，那么偶数的值是______． 13．若不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的（    ） A．最小整数解是0 B．最小整数解是 C．最大整数解是0 D．最大整数解是 14．如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是多少？ 易错必刷题型05.求一元一次不等式解的最值 典题特征：依据不等式取值区间，确定对应数值最大与最小值 易错点：①误用非整数边界判定最值；②忽略实际场景取值约束条件 15．已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　） A．1 B． C．0 D． 16．当_________时，有最小值，最小值是_________； 17．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，，是“快乐数”；又如：四位数，∵，不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则这个数为_________；如果一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是_________． 18．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 易错必刷题型06.列一元一次不等式 典题特征：将文字描述的数量关系，转化为标准一元一次不等式 易错点：①对不等关系关键词理解偏差；②未结合实际要求限定未知数取值 19．用不等式表示“与5的差不小于的3倍”为_____． 20．请写出满足下列条件的一个不等式． （1）0是这个不等式的一个解：_____； （2），，0，1都是不等式的解：_____； （3）0不是这个不等式的解：_____； （4）与的解集相同的不等式：_____． 21．为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中价格、有效监控半径如表所示： 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 450 600 有效监控半径（单位：米/台） 100 150 (1)若购买该批设备的资金不超过7200元，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式； (2)若要求有效监控半径覆盖范围大于1600米，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式． 易错必刷题型07.一元一次不等式实际应用 典题特征：结合现实生活场景，利用不等式求解相关实际问题 易错点：①题意不等关系分析错误；②求解结果未贴合现实取值规则 22．某次数学竞赛共有20道题，评分标准是：答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分；某同学想要超过60分，他至少要答对_________道题． 23．按如图所示的程序运算，若开始输入的值为正数，经过一次运算后，最后输出的结果大于31，则满足条件的的值为（    ） A．大于5的数 B．大于6的数 C．小于4的数 D．小于6的数 24．综合实践：低碳生活 如何通过出行方式达到减碳目标 信息一 不同交通工具每行驶1千米所产生的碳排放量（单位：千克/辆）    信息二 小妍在出行方面（含通勤、旅游、出差等）制定的碳排放量为220千克／月．某月因出差乘坐飞机，共产生600千克碳排放量．为补偿这些超额碳排放量，小妍决定将之后的通勤方式由自驾改为其他出行方式． 信息三 小妍一年上班天数为240天，每天上班和下班的总距离为20千米． 问题解决 (1)任务一：小妍上下班至少要乘坐公交车多少天，减少产生的碳排放量才能够补偿这月因乘坐飞机而产生的超额碳排放量？ (2)任务二：根据自身的情况，小妍在一年中每天通勤的方式从电动车和共享单车两种方式中选用其中一种方式，若想要一年内通勤时产生的碳排放量不超过330千克，则这一年至少骑行共享单车多少天？ 易错必刷题型08.一元一次不等式几何应用 典题特征：结合几何图形固有性质，建立不等式完成相关计算 易错点：①几何数量关系转化错误；②忽视图形自带取值限制条件 25．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    26．如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，． (1)________（用含m的代数式表示）； (2)若点B为线段的中点，求的长； (3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值． 27．在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 易错必刷题型09.求不等式组的解集 典题特征：分别求解单个不等式，合并公共区间确定不等式组解集 易错点：①解集公共区间判定错误；②混淆不等式组取值判定法则 28．下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 29．不等式组的解集是______． 30．已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．解不等式（组）： (1) (2) 易错必刷题型10.求不等式组的整数解 典题特征：确定不等式组公共解集，从中筛选指定条件整数解 易错点：①整体解集范围判断不准；②遗漏限定条件导致解值出错 32．不等式组的最大整数解为________． 33．不等式组的非负整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解． 易错必刷题型11.由解集求不等式组参数 典题特征：已知固定解集，反向推导不等式组内参数取值范围 易错点：①参数区间边界取值判定错误；②忽视参数隐含约束条件 35．若关于的不等式组无解，则的取值范围为__________． 36．已知不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2026 37．若关于的不等式组无解，求应满足的条件． 易错必刷题型12.由解集情况求参数 典题特征：根据不等式组有解、无解状态，求解参数取值范围 易错点：①混淆有解与无解判定逻辑；②边界数值取舍判断失误 38．定义一种新运算“◎”，规定：．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是______． 40．已知关于、的方程组中，为负数，为非正数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 易错必刷题型13.不等式组与方程组结合 典题特征：联立方程组与不等式组，综合运算求解参数范围 易错点：①方程组基础运算出现差错；②两类题型关联逻辑梳理混乱 41．已知，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 42．已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为________． （2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为_________． 43．关于、的方程组，且、满足，求的取值范围． 易错必刷题型14.列一元一次不等式组 典题特征：依据多重约束条件，组建完整一元一次不等式组 易错点：①多重不等关系梳理残缺；②不等式符号方向设定出现偏差 44．某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 45．如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是____________． 46．阅读材料：形如的不等式，我们称之为双连不等式，求解这类不等式的方法之一：转化为不等式组求解，如上面的不等式转化为再求解；方法二：利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去3，得，然后再同时除以2，得． (1)解决问题：请你将双连不等式转化为不等式组； (2)解决问题：利用不等式的性质解双连不等式． 易错必刷题型15.不等式组的行程问题 典题特征：依托行程数量关系，列不等式组完成相关求解 易错点：①行程计算公式运用不当；②实际场景不等关系转化错误 47．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 48．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 49．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 易错必刷题型16.不等式组的销售利润问题 典题特征：结合成本收益条件，列不等式组规划经营相关方案 易错点：①利润核算公式运用错误；②资金数量约束条件梳理不全 50．大华橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 200 250 电压锅 160 200 (1)一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？ (2)为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由； (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？ 51．某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元 (1)甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ (2)若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？ 52．在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的卡：甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元． (1)甲型、乙型单价各是多少万元？ (2)若需要购买卡70块，预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，有几种采购方案？ (3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 易错必刷题型17.不等式组的经济问题 典题特征：依照预算收益标准，借助不等式组确定可行方案 易错点：①成本收益逻辑分析偏差；②忽略方案整数取值硬性要求 53．某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 54．国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 55．3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 易错必刷题型18.不等式组的分配问题 典题特征：依据物资人员分配要求，建立不等式组计算分配方案 易错点：①分配数量逻辑梳理错误；②忽视分配对象正整数取值规则 56．养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 57．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 58．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 易错必刷题型19.不等式组的方案选择问题 典题特征：综合多项限制条件，筛选合规且最优的执行方案 易错点：①合规可行方案筛选不完整；②最优方案评判标准把握不准 59．重阳节是国家级非物质文化遗产，我国诗人自古就有“待到重阳日，还来就菊花”的真挚情谊．某社区在重阳节前夕准备购买甲、乙两种菊花，经调查：购买10盆甲种菊花和5盆乙种菊花共需280元，购买7盆甲种菊花和8盆乙种菊花共需268元． (1)求甲、乙两种菊花的单价分别为多少元； (2)该社区决定购买甲、乙两种菊花共30盆，且总花费不少于550元又不多于560元，求所有购买方案． 60．为弘扬陶行知先生“小先生制”的教育理念，合川某学校拟购买“知行合一”笔记本（A类）和纪念徽章（B类）对优秀“小先生”进行奖励．已知买1本A类和2枚B类共需82元；买2本A类和1枚B类共需74元． (1)求A，B两类物品的单价； (2)学校准备购买A、B两类物品共34个，且A类的数量不高于B类的数量．购买物品的总花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 61．为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 易错必刷题型20.不等式组的阶梯收费问题 典题特征：按照分段计费规则，列不等式组计算用量与费用范围 易错点：①分段计费区间界定错误；②各区间对应不等关系列式失误 62．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 63．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 64．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $