专题01一元一次方程易错必刷题型专项训练 (16大题型共计50道题)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦一元一次方程全章高频易错点，通过16类题型系统梳理概念辨析、性质应用、解法步骤及实际应用，以典题特征与易错点提炼构建解题方法体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|6题型|紧扣定义判定方程及解，区分代数式与等式|从方程定义到一元一次方程概念，形成概念认知链| |性质应用|2题型|利用等式性质1、2规范变形，规避符号与漏项错误|以等式性质为基础，推导方程变形依据| |解法步骤|3题型|分步骤突破合并同类项、去括号、去分母关键操作|从基础变形到复杂步骤，构建解法逻辑流程| |综合应用|5题型|含参问题用代入法，实际问题抓等量关系建模|结合代数推理与实际情境，提升运算能力与应用意识|

专题01一元一次方程易错必刷题型专项训练 本专题汇总一元一次方程全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.判断各式是否是方程 题型02.列方程 题型03.判断是否是方程的解 题型04.已知方程的解.求参数 题型05.等式性质1 题型06.等式性质2 题型07.判断是否是一元一次方程 题型08.判断是否是一元一次方程的解 题型09.合并同类项及移项 题型10.去括号 题型11.去分母 题型12.由一元一次方程的解,求参数 题型13.一元一次方程解的关系 题型14.绝对值方程 题型15.和差倍分问题 题型16.行程问题 易错必刷题型01.判断各式是否是方程 典题特征：给出含数字、字母、运算符号的式子，依据定义判定是否为方程 易错点：①混淆代数式与等式概念，遗漏等式判定条件 ②忽视含有未知数的必备要求，造成判断错误 1．下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的定义，方程需同时满足两个条件：一是含有未知数，二是等式，据此判断各选项即可． 【详解】∵方程是含有未知数的等式，必须同时满足上述两个条件， 对选项A，是等式，但不含未知数，因此不是方程； 对选项B，含有未知数x，但不是等式，因此不是方程； 对选项C，既含有未知数x，又是等式，符合方程的定义； 对选项D，含有未知数，但不是等式，因此不是方程． 2．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 3．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． 易错必刷题型02.列方程 典题特征：根据文字表述的数量关系，搭建一元一次方程模型 易错点：①等量关系梳理错误，方程两边数值不相等 ②未知数设定不当，列式逻辑出现偏差 ③相关数量单位未统一，致使列式出错 4．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门举行．本次全运会是粤港澳三地首次联合承办的大型体育赛事，既展现了新时代中国式现代化建设成就，又彰显出“一国两制”制度的优势．在本次全运会中，香港特别行政区共获得19枚奖牌，其中金牌数比铜牌数多1枚，银牌数比铜牌数少6枚．设香港特别行政区所获铜牌数为枚，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据题意找到等量关系并列出方程是解题的关键．先根据题目条件，用含未知数的代数式分别表示出金牌数和银牌数，再根据总奖牌数列出方程． 【详解】解：设铜牌数为枚，则金牌数为枚，银牌数为枚，由题意可得 ， 故选：C． 5．药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 【答案】A 【分析】根据题意直接列方程即可 【详解】解：由题意可知b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a 故选：A 【点睛】本题考查列二元一次方程，正确理解题意找到等量关系是关键 6．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列等式，找到对应的等量关系是关键． （1）根据题意列出相应的等式即可； （2）根据题意和图示列出相应的等式即可； （3）根据图示列出相应的等式即可． 【详解】（1）解：根据题意列出等式为：； （2）解：根据题意列出等式为：； （3）解：根据长方形面积和图示，列出的等式为． 易错必刷题型03.判断是否是方程的解 典题特征：给定未知数取值，验证数值能否使方程左右两边相等 易错点：①代入数值时符号处理失误 ②运算顺序错乱，计算结果出现偏差 ③未先化简方程直接验证，判定结论有误 7．下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把代入各个方程进行检验，看能否使方程的左右两边相等． 【详解】解：分别将代入四个方程： A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 8．代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 9．当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 14 10 6 2 A．0 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】先将所求方程变形，得到对应的值，再结合表格信息找出对应的值即可得到方程的解． 【详解】解：， 方程两边同除以得：， 即， 由表格可知，当时，， ∴的解是． 易错必刷题型04.已知方程的解.求参数 典题特征：已知方程固定解，反向计算式中未知参数数值 易错点：①代入解时遗漏正负符号，参数求解出错 ②忽略参数隐藏限制条件 ③移项、合并同类项计算失误 10．关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【分析】将代入方程，得到，从而，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入得， 即， ∴ ． 11．若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】2019 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 12．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可． 【详解】解： 将代入方程，得： ， 整理得：， 因为上式对任意的值都成立，所以含项系数为0，常数项也为0， 则有：，， ∴，， ∴． 易错必刷题型05.等式性质1 典题特征：利用等式加减性质，对原式进行等价变形 易错点：①等式两边加减数值不统一，破坏等式平衡 ②含字母式子运算时出现漏项问题 ③混淆等式变形与代数式化简规则 13．已知，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质：等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍成立，等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、在等式的两边同时加上2，等式仍成立，即，故本选项不符合题意； B、在等式的两边同时减去b，等式仍成立，即，故本选项不符合题意； C、在等式的两边同时减去2，等式仍成立，即，故本选项不符合题意； D、当，得不到，故本选项符合题意． 故选：D． 14．由，得，在此变形过程中方程的两边同时加上了_____________． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质．根据等式的性质，方程两边同时加上或者减去同一个式子，等式仍然成立，理解题意，则，去括号合并同类项得，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 即， ∴由，得，在此变形过程中方程的两边同时加上了， 故答案为：． 15．下列等式变形，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式性质1与等式性质2，逐个判断选项即可． 【详解】解：A．∵，根据等式性质，两边同时加2，可得，变形正确，不符合题意； B．∵，根据等式性质，两边同时乘3，可得，变形正确，不符合题意； C．∵，根据等式性质，两边同时减4，可得，变形正确，不符合题意； D．若，当时，，当时，成立，即，因此变形错误，符合题意． 16．解方程． ① ② ③ 【答案】①；②；③ 【分析】该题主要考查了解方程，掌握等式的性质是解方程的依据，解方程时注意：（1）方程能化简先化简，（2）等号要对齐． ①先化简，再根据等式的性质，方程两边同时加，再同时除以3，算出方程的解． ②先化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以，算出方程的解． ③先化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以，算出方程的解． 【详解】解：①， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②， ∴， ∴， ∴． ③， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型06.等式性质2 典题特征：借助等式乘除性质，完成等式规范变形 易错点：①除数取值为0，违背性质使用前提 ②乘除运算漏算常数项，变形结果错误 ③正负符号判定失误，计算结果偏差 17．在物理学中，匀速直线运动的物体的运动速度、时间、路程之间有以下关系：将该式去分母得，那么其变形的依据是（    ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分数的基本性质 D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：∵对去分母时，对等式两边同时乘得到，该变形符合等式性质2的内容． ∴变形的依据是等式的性质2． 18．【等量代换】某益智节目有这样一个问题：如图所示，两个天平都平衡，根据图示回答三个球的质量等于________个正方体的质量． 【答案】 【分析】本题考查的是等式的性质，根据图可得个球的质量等于个圆柱质量，个正方体质量等于个圆柱质量；再进一步可得答案． 【详解】解：由图可得：个球的质量等于个圆柱质量，个正方体质量等于个圆柱质量； ∴个球的质量等于个圆柱质量，个正方体质量等于个圆柱质量； ∴个球的质量等于个正方体质量， 即3个球的重量等于5个正方体的重量． 故答案为5． 19．下列解方程过程中，变形正确的是（  ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：对于选项A，∵，移项得，∴A变形错误； 对于选项B，∵，系数化为1得，∴B变形错误； 对于选项C，∵，两边同乘6，得，∴C变形正确； 对于选项D，∵，将分子分母同乘10得，变形得，∴D变形错误． 20．解方程． (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了利用分数的运算解方程． （1）先根据乘法分配律化简方程，再把方程两边同时除以求解； （2）先计算，再把方程两边同时乘以求解； （3）先整理左面的部分，方程两边先同时除以求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 易错必刷题型07.判断是否是一元一次方程 典题特征：给出整式等式，按照定义判定是否为一元一次方程 易错点：①未知数个数、次数判定疏漏 ②未知数系数为0未识别，误判方程类型 ③混淆整式方程与分式方程界限 21．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且等号两边都是整式的方程，逐一判断选项即可． 【详解】一元一次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为；③是整式方程． 依次判断各选项： 选项：，满足三个条件，是一元一次方程； 选项：，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件； 选项：，含有和两个未知数，不满足条件； 选项：，未知数的最高次数为，不满足条件； 故选． 22．若是关于x的一元一次方程，则______． 【答案】1 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数次数为1且一次项系数不为0，据此列关系式求解即可． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ∴， ∴． 23．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的识别，解题的关键是掌握一元一次方程的定义； 根据一元一次方程的定义逐项判断即可，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式． 【详解】解：A、中未知数的次数为，不是一元一次方程，不符合题意； B、是一元一次方程，符合题意； C、中有个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、中等号左边不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B 易错必刷题型08.判断是否是一元一次方程的解 典题特征：给定数值，检验是否符合一元一次方程解的要求 易错点：①代入后四则运算计算错误 ②未考虑方程隐含取值限制 ③简化方程后再验证，步骤处理不当 24．下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入中，方程左边，此时方程左右两边相等，故原方程的解是，符合题意； B、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； C、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； D、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； 故选：A． 25．若是关于的一元一次方程的解，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．先把方程的解代入方程得：，再把所求代数式的前两项提取公因式2，然后把整体代入求值即可． 【详解】解：把代入方程得：， 故答案为：． 26．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 易错必刷题型09.合并同类项及移项 典题特征：通过移项、合并同类项步骤，求解基础一元一次方程 易错点：①移项未改变符号，属于高频计算错误 ②同类项合并系数计算失误 ③常数项与未知数项混淆归类 27．若代数式比的值小1，则x的值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】根据题意列出一元一次方程，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 移项得， 合并同类项得； 即x的值为10. 28．现规定一种运算：，如，则方程的解为_____． 【答案】 【分析】先计算括号内的新运算，再根据规则列出一元一次方程求解即可. 【详解】解：∵ ， 代入原方程得：， 再根据规定的运算法则整理方程得：， 移项得：， 系数化为得：. 29．解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）对于方程，通过移项分离未知数项与常数项，再合并同类项、系数化为1即可求解； （2）对于方程，先通过去分母消除分数形式，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作求解． 【详解】（1）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． （2）解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 易错必刷题型10.去括号 典题特征：方程含多层括号，按规则去括号后逐步解方程 易错点：①括号前为负号，去括号未统一变号 ②括号外系数漏乘内部单项 ③多层括号拆解顺序混乱 30．解方程，去括号，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则对原方程去括号，将结果和选项对比即可得到答案，去括号时括号前的负因数要乘括号内每一项，且括号内各项都要变号． 【详解】解：原方程为 根据去括号法则，将分别乘括号内的和得 整理得 31．当_____ 时，代数式与的差是． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，根据题意列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵代数式与的差是， ∴ 整理，得 解得． 故答案为． 32．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 易错必刷题型11.去分母 典题特征：方程含分数系数，去分母转化为整式方程求解 易错点：①不含分母的常数项漏乘最小公分母 ②分子为多项式，去分母未添加括号 ③小数分母化整数时运算出错 33．方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原方程为， 方程分母为和，最小公倍数为，需给方程左右两边每一项同时乘， ， 故选：B． 34．若关于的方程解为，则关于的方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解．两个方程形式相似，由第一个方程的解为，整理得，将第二个方程变形为，可得，据此计算可得结果． 【详解】解：关于的方程的解为， 即， ，变形为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 35．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，         ．             （2）解：，         ，             ， ， ． 易错必刷题型12.由一元一次方程的解,求参数 典题特征：依托方程已知解，求解式子内含参字母数值 易错点：①数值代入过程书写不规范 ②含参方程化简计算出错 ③忽略一元一次方程系数限制 36．关于的方程与的解相同，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】两个方程解相同，先求解第一个一元一次方程得到x的值，再将x代入第二个方程，即可求出m的值． 【详解】解：， 解得， 满足方程， 将代入得， 化简得， 解得． 37．已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的式子表示出，再根据方程的解为负整数且为整数，确定所有满足条件的的值，最后计算的值的和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， ∵方程的解为负整数，且a为整数， ∴是9的负整数约数，即的值为或或， 当时，解得，符合条件； 当时，解得，符合条件； 当时，解得，符合条件； 则所有满足条件的整数a的和为． 38．已知m，n是有理数，关于x的方程 (1)当时，解该方程． (2)若该方程有无数解，求m，n的值． 【答案】(1)当时，方程无解，当时， (2)， 【分析】（1）当时，原方程为，整理可得，分情况求解即可得出结果； （2）将原方程整理可得，再结合该方程有无数解，且m，n是有理数，得出，求解即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 整理可得：， ∴当，即时，方程变为，此方程无解， 当，即时，方程的解为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵该方程有无数解，且m，n是有理数， ∴， 解得：，． 易错必刷题型13.一元一次方程解的关系 典题特征：已知两个方程解存在关联，联立求解未知量 易错点：①两方程解的数量关系理解偏差 ②联立计算步骤繁杂易算错 ③未检验解的合理性 39．若关于x的方程与的解相同，则m的值为（  ） A．12 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】先解出已知一元一次方程的解，再利用同解的性质，将解代入含的方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程，得． ∵两个方程的解相同， ∴把代入方程，得， 解得：． 40．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了整体的数学思想，把关于y的一元一次方程中看作关于x的一元一次方程中的x，即可得到，即可求出﹒本题也可以把代入方程，求出，再解方程即可﹒ 【详解】解：解法1∵关于的一元一次方程的解为，关于y的一元一次方程为， ∴， ∴﹒ 解法2：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴关于y的一元一次方程为， 解得 故答案为： 41．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)12，或3 (2) (3) 【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论； （2）利用“友好方程”的定义求解的值即可； （3）根据方程可以改写成，利用“友好方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，方程， 解得， 方程的解为， 由于方程与方程是“友好方程”， 则， 解得； 若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为， ①， 解得， ②， 解得， 则或， 故答案为：12；或3； （2）解：方程，解得， 方程解得， 由题意，得， 解得； （3）解：方程解得， 由于方程和方程是“友好方程”， 则方程的解为， 将方程改写为， 则，即， 因此方程的解为． 易错必刷题型14.绝对值方程 典题特征：方程内含绝对值符号，分类讨论求解方程 易错点：①遗漏绝对值正负两种分类情况 ②去绝对值符号判定错误 ③求出解后未验证取值范围 42．若，则“”表示的数可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减运算；根据题意可得的绝对值为，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴“”表示的数可能是或 故选：B． 43．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 【答案】 5或1 6 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离等知识， （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值； 熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键． 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或， ∴或1； 故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 44．解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【答案】(1)或 (2)或 (3)当时，方程无解；当时，方程只有一个解；当时，方程有两个解 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． （1）先移项得到，利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）先利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （3）利用绝对值的意义讨论：当或或时确定方程的解的个数即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， ∴原方程的解为或； （3）解：∵， ∴当时，方程无解； 当时，方程只有一个解； 当时，方程有两个解． 易错必刷题型15.和差倍分问题 典题特征：结合生活数量关系，列一元一次方程解决实际问题 易错点：①题意解读不清，等量关系找取错误 ②倍数、差值关系列式颠倒 ③解出数值未贴合实际意义 45．某校劳动社团种植一批小树苗，若每人种棵则余棵；若每人种棵则差棵．设该社团有名学生，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两种种植情况分别表示出树苗总棵数，利用树苗总棵数不变的等量关系即可列出方程． 【详解】解：设该社团有名学生， ∴每人种棵余棵时，树苗总棵数为，每人种棵差棵时，树苗总棵数为， ∵树苗总棵数不变， ∴可列方程为． 46．2026年4月23日是第31个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取，在“世界读书日”前夕，某学校购进A、B两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本A种书籍的进价为25元，每本B种书籍的进价为40元，其中购进的A种书籍的数量比B种书籍数量的2倍多4本．则A种书籍购进多少本？ 【答案】84本 【分析】设B种书籍购进x本，则A种书籍购进本，利用学校购进A、B两种畅销书籍，共花费3700元作为等量关系建立方程即可． 【详解】解：设B种书籍购进x本，则A种书籍购进本，由题意可得： ， 解得：， （本）， 答：A种书籍购进84本． 47．饺子是中国传统食物，用一张小圆形面皮包馅制作而成，形如半月或元宝形（图1）；馅饼也是非常流行的一种美食，用一张大圆形面皮包馅制作而成，呈扁圆形（图2）．元旦当天，小明和爸爸、妈妈一起制作美味的饺子和馅饼，小明向爸爸学习制作圆形面皮，一共制作了100张大小不同的圆形面皮（小面皮用作包饺子，大面皮用作包馅饼），爸爸和妈妈一起包饺子和馅饼，正好用完所有制作的大小面皮，小明发现饺子的数量是馅饼数量的4倍还多5个．请你根据以上信息，求出所包饺子和馅饼的数量． 【答案】所包的馅饼有19个，饺子有81个． 【分析】设所包的馅饼有x个，则所包的饺子有个，根据一共制作了100张大小不同的圆形面皮列方程解答即可． 【详解】解：设所包的馅饼有x个，则所包的饺子有个， 根据题意得， 解得， ． 答：所包的馅饼有19个，饺子有81个． 易错必刷题型16.行程问题 典题特征：依据路程、速度、时间关系，列方程解题 易错点：①路程三要素对应关系混淆 ②相遇、追及模型判定错误 ③速度、时间单位未统一换算 48．小莉和同学假期去森林公园游玩，如果在溪边的A码头租了一艘小艇，逆流而上，行进速度约4千米/小时，到B地后原路返回，行进速度增加，回到A码头比去时少花20分钟，求A、B两地之间的路程是______千米． 【答案】4 【分析】设A、B两地之间的路程为千米，根据返回A码头比去时少花20分钟的等量关系，结合时间等于路程除以速度，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设A、B两地之间的路程为千米，统一单位得分钟小时，返回时的速度为 千米/时，依题意列方程，得 去分母，得 ， 解得． 49．A、B两地间相距，甲从A地出发匀速前往B地，甲的速度为4千米/时，乙的速度为3千米/时，甲出发30分钟后，乙从B地出发，沿同一条公路匀速前往A地，问：乙出发多长时间两人相遇？ 【答案】4小时 【详解】解：设乙出发x小时后两人相遇，由题意得： ， 解得：； 答：乙出发4小时后两人相遇． 50．已知码头位于，两码头之间，，之间相距20海里，，之间相距60海里，甲船从码头顺流驶向码头，乙船从码头顺流驶向码头，丙船从码头开往码头后立即掉头返回码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止． (1)当三船出发行驶了3小时后，甲船和丙船之间相距多少海里？ (2)当乙船和丙船相距8海里时，丙船行驶了多少小时？ (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离码头的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)21海里 (2)或4或小时 (3)存在，或32或20海里 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并合理分类讨论是解题的关键． （1）先求出丙船从码头开往码头的时间小时，判断出行驶了3小时时，丙船从码头开往码头，即可求解； （2）分三种情况讨论：丙船从码头开往码头，且在相遇前；丙船从码头开往码头，且在相遇后；丙船从码头开往码头，列方程求解即可； （3）分四种情况讨论：当乙、丙两船相遇前；当甲、丙两船相遇前；当甲、丙两船相遇后，丙船到达码头前；当甲、丙两船相遇后，丙船到达码头后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得甲船的速度为海里/时，乙船的速度为海里/时，丙船从码头开往码头的速度为海里/时，丙船从码头开往码头的速度为海里/时， ∵码头位于，两码头之间，，之间相距20海里，，之间相距60海里， ∴，之间相距海里， ∴ 丙船从码头开往码头的时间小时， ∴行驶了3小时后，甲船和丙船之间相距为海里； （2）解：丙船行驶了小时， 当丙船从码头开往码头，且在相遇前， 根据题意，得， 解得； 当丙船从码头开往码头，且在相遇后， 根据题意，得， 解得； 当丙船从码头开往码头， ∵丙船从码头开往码头和乙船从C码头开往B码头的速度相同， ∴当丙船从码头开往码头时，乙船到达B码头， 根据题意，得， 解得， 答：丙船行驶了或4或小时； （3）解：甲船到码头的时间为小时，甲船到码头的时间为小时，甲船和丙船相遇的时间为小时，乙船到码头的时间为小时，丙船从码头开往码头的时间为小时， ∵， ∴三船都在行驶中，甲船不可能追上乙船，丙船不可能追上甲船， 如果在整个运动过程中，存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，设此时三船行驶时间为， 当乙、丙两船相遇前， 根据题意，得， 解得， 此时甲船离码头的距离为（海里）； 当甲、丙两船相遇前， 根据题意，得， 解得； 此时甲船离码头的距离为（海里）； 当甲、丙两船相遇后，丙船到达码头前， 根据题意，得， 解得； 此时甲船离码头的距离为（海里）； 当甲、丙两船相遇后，丙船到达码头后（此时乙船停在码头）， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； ∴在整个运动过程中，存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离码头的距离为或32或20海里． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元一次方程易错必刷题型专项训练 本专题汇总一元一次方程全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.判断各式是否是方程 题型02.列方程 题型03.判断是否是方程的解 题型04.已知方程的解.求参数 题型05.等式性质1 题型06.等式性质2 题型07.判断是否是一元一次方程 题型08.判断是否是一元一次方程的解 题型09.合并同类项及移项 题型10.去括号 题型11.去分母 题型12.由一元一次方程的解,求参数 题型13.一元一次方程解的关系 题型14.绝对值方程 题型15.和差倍分问题 题型16.行程问题 易错必刷题型01.判断各式是否是方程 典题特征：给出含数字、字母、运算符号的式子，依据定义判定是否为方程 易错点：①混淆代数式与等式概念，遗漏等式判定条件 ②忽视含有未知数的必备要求，造成判断错误 1．下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 3．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 易错必刷题型02.列方程 典题特征：根据文字表述的数量关系，搭建一元一次方程模型 易错点：①等量关系梳理错误，方程两边数值不相等 ②未知数设定不当，列式逻辑出现偏差 ③相关数量单位未统一，致使列式出错 4．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门举行．本次全运会是粤港澳三地首次联合承办的大型体育赛事，既展现了新时代中国式现代化建设成就，又彰显出“一国两制”制度的优势．在本次全运会中，香港特别行政区共获得19枚奖牌，其中金牌数比铜牌数多1枚，银牌数比铜牌数少6枚．设香港特别行政区所获铜牌数为枚，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 6．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 易错必刷题型03.判断是否是方程的解 典题特征：给定未知数取值，验证数值能否使方程左右两边相等 易错点：①代入数值时符号处理失误 ②运算顺序错乱，计算结果出现偏差 ③未先化简方程直接验证，判定结论有误 7．下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 8．代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 9．当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 14 10 6 2 A．0 B．2 C．1 D． 易错必刷题型04.已知方程的解.求参数 典题特征：已知方程固定解，反向计算式中未知参数数值 易错点：①代入解时遗漏正负符号，参数求解出错 ②忽略参数隐藏限制条件 ③移项、合并同类项计算失误 10．关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 11．若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 12．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 易错必刷题型05.等式性质1 典题特征：利用等式加减性质，对原式进行等价变形 易错点：①等式两边加减数值不统一，破坏等式平衡 ②含字母式子运算时出现漏项问题 ③混淆等式变形与代数式化简规则 13．已知，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 14．由，得，在此变形过程中方程的两边同时加上了_____________． 15．下列等式变形，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．解方程． ① ② ③ 易错必刷题型06.等式性质2 典题特征：借助等式乘除性质，完成等式规范变形 易错点：①除数取值为0，违背性质使用前提 ②乘除运算漏算常数项，变形结果错误 ③正负符号判定失误，计算结果偏差 17．在物理学中，匀速直线运动的物体的运动速度、时间、路程之间有以下关系：将该式去分母得，那么其变形的依据是（    ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分数的基本性质 D．以上都不对 18．【等量代换】某益智节目有这样一个问题：如图所示，两个天平都平衡，根据图示回答三个球的质量等于________个正方体的质量． 19．下列解方程过程中，变形正确的是（  ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 20．解方程． (1)； (2)； (3) 易错必刷题型07.判断是否是一元一次方程 典题特征：给出整式等式，按照定义判定是否为一元一次方程 易错点：①未知数个数、次数判定疏漏 ②未知数系数为0未识别，误判方程类型 ③混淆整式方程与分式方程界限 21．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 22．若是关于x的一元一次方程，则______． 23．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型08.判断是否是一元一次方程的解 典题特征：给定数值，检验是否符合一元一次方程解的要求 易错点：①代入后四则运算计算错误 ②未考虑方程隐含取值限制 ③简化方程后再验证，步骤处理不当 24．下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 25．若是关于的一元一次方程的解，则的值是_____． 26．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型09.合并同类项及移项 典题特征：通过移项、合并同类项步骤，求解基础一元一次方程 易错点：①移项未改变符号，属于高频计算错误 ②同类项合并系数计算失误 ③常数项与未知数项混淆归类 27．若代数式比的值小1，则x的值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 28．现规定一种运算：，如，则方程的解为_____． 29．解方程： (1) (2) 易错必刷题型10.去括号 典题特征：方程含多层括号，按规则去括号后逐步解方程 易错点：①括号前为负号，去括号未统一变号 ②括号外系数漏乘内部单项 ③多层括号拆解顺序混乱 30．解方程，去括号，得（    ） A． B． C． D． 31．当_____ 时，代数式与的差是． 32．解方程： (1)； (2)． 易错必刷题型11.去分母 典题特征：方程含分数系数，去分母转化为整式方程求解 易错点：①不含分母的常数项漏乘最小公分母 ②分子为多项式，去分母未添加括号 ③小数分母化整数时运算出错 33．方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 34．若关于的方程解为，则关于的方程的解为_______． 35．解下列方程： (1)； (2)． 易错必刷题型12.由一元一次方程的解,求参数 典题特征：依托方程已知解，求解式子内含参字母数值 易错点：①数值代入过程书写不规范 ②含参方程化简计算出错 ③忽略一元一次方程系数限制 36．关于的方程与的解相同，则等于（    ） A． B．2 C． D． 37．已知关于x的方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的和为________． 38．已知m，n是有理数，关于x的方程 (1)当时，解该方程． (2)若该方程有无数解，求m，n的值． 易错必刷题型13.一元一次方程解的关系 典题特征：已知两个方程解存在关联，联立求解未知量 易错点：①两方程解的数量关系理解偏差 ②联立计算步骤繁杂易算错 ③未检验解的合理性 39．若关于x的方程与的解相同，则m的值为（  ） A．12 B．24 C． D． 40．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 41．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 易错必刷题型14.绝对值方程 典题特征：方程内含绝对值符号，分类讨论求解方程 易错点：①遗漏绝对值正负两种分类情况 ②去绝对值符号判定错误 ③求出解后未验证取值范围 42．若，则“”表示的数可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 43．若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为_______； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是_______． 44．解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 易错必刷题型15.和差倍分问题 典题特征：结合生活数量关系，列一元一次方程解决实际问题 易错点：①题意解读不清，等量关系找取错误 ②倍数、差值关系列式颠倒 ③解出数值未贴合实际意义 45．某校劳动社团种植一批小树苗，若每人种棵则余棵；若每人种棵则差棵．设该社团有名学生，则可列方程（    ） A． B． C． D． 46．2026年4月23日是第31个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取，在“世界读书日”前夕，某学校购进A、B两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本A种书籍的进价为25元，每本B种书籍的进价为40元，其中购进的A种书籍的数量比B种书籍数量的2倍多4本．则A种书籍购进多少本？ 47．饺子是中国传统食物，用一张小圆形面皮包馅制作而成，形如半月或元宝形（图1）；馅饼也是非常流行的一种美食，用一张大圆形面皮包馅制作而成，呈扁圆形（图2）．元旦当天，小明和爸爸、妈妈一起制作美味的饺子和馅饼，小明向爸爸学习制作圆形面皮，一共制作了100张大小不同的圆形面皮（小面皮用作包饺子，大面皮用作包馅饼），爸爸和妈妈一起包饺子和馅饼，正好用完所有制作的大小面皮，小明发现饺子的数量是馅饼数量的4倍还多5个．请你根据以上信息，求出所包饺子和馅饼的数量． 易错必刷题型16.行程问题 典题特征：依据路程、速度、时间关系，列方程解题 易错点：①路程三要素对应关系混淆 ②相遇、追及模型判定错误 ③速度、时间单位未统一换算 48．小莉和同学假期去森林公园游玩，如果在溪边的A码头租了一艘小艇，逆流而上，行进速度约4千米/小时，到B地后原路返回，行进速度增加，回到A码头比去时少花20分钟，求A、B两地之间的路程是______千米． 49．A、B两地间相距，甲从A地出发匀速前往B地，甲的速度为4千米/时，乙的速度为3千米/时，甲出发30分钟后，乙从B地出发，沿同一条公路匀速前往A地，问：乙出发多长时间两人相遇？ 50．已知码头位于，两码头之间，，之间相距20海里，，之间相距60海里，甲船从码头顺流驶向码头，乙船从码头顺流驶向码头，丙船从码头开往码头后立即掉头返回码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止． (1)当三船出发行驶了3小时后，甲船和丙船之间相距多少海里？ (2)当乙船和丙船相距8海里时，丙船行驶了多少小时？ (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离码头的距离；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $