2025年湖南湘潭大学附属实验学校创新人才实验班自主招生考试数学试题

**基本信息** 湘潭大学附属实验学校2025年创新人才实验班自主招生数学试卷，以核心素养为导向，覆盖代数、几何、统计概率等知识，通过新定义运算、动态几何最值、进位制文化等创新题型，考查学生抽象能力、推理意识与模型观念，适配拔尖人才选拔需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/32|尺规作图、概率计算、三角形性质、方程根与系数关系|第7题新定义运算，考查创新意识与分类讨论能力| |多选题|3/18|统计图分析、函数模型、菱形性质|第10题药物释放函数，体现模型意识与运算能力| |填空题|3/12|阴影面积、正六边形三角函数、数学变换规律|第14题变换求最小值，培养推理能力与创新思维| |解答题|5/58|正五边形与黄金分割、整体思想因式分解、二次函数与相似、进位制文化、动态几何最值|第18题结合《易经》结绳记数，渗透文化传承；第19题动态几何最值，发展空间观念与逻辑推理|

湘潭大学附属实验学校2025年创新人才实验班自主招生考试 数学试题 亲爱的同学，欢迎你参加湘潭大学附属实验学校自主招生考试，为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分，满分为 120 分，考试时间为 120 分钟. 2、请在答题卡上写好姓名、初中毕业学校. 3、选择题部分请按题号用 2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹. 4、非选择题部分请按题号用 0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效. 5、所有答案都必须填写在答题卡相应的位置上. 6、请勿折叠答题卡.保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.祝你成功！ 一、单选题(每个小题只有一个答案是正确的，每小题 4分，共32 分.) 1.在右图中，根据尺规作图的痕迹判断点C表示的数为( ) A. B. C. D. 2.一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H，O，C，N的小球(除元素符号外无其他差别)，从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含“C”的概率是( ) A. B. C. D. 3.已知a、b、c为△ABC的三边,且满足 则△ABC是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4.设a、b为 的两个实数根，则 A. 2024 B. - 2024 C. 2025 D. - 2025 5.如右图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4.点E为AD的中点,连接CE交对角线BD于点F,则CF=( ) A. B. C. D. 6.某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为( ) A. B. C. D. 7.定义一种新运算:当a>b时,a*b= ab+b;当a<b时,a*b= ab-b.若3*(x+2)>0,则x的取值范围是( ) A. - 1<x<1或x<-2 B. x<-2或1<x<2 学科网（北京）股份有限公司 C. - 2<x<1或x>1 D. x<-2或x>2 8.一次技能比赛中(满分100分)，A，B，C，D，E五人的成绩都大于90分，且互不相同(均为整数)，A成绩第一名;E成绩96分,排第三名;A,B,C平均分为95分;B,C,D平均分为94分.则D成绩为( )分. A. 97 B. 95 C. 94 D. 93 二、多选题(每个小题有2个或者3个答案是正确的，每小题 6分，共18分.每个小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.) 9.随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图(四次参加体育模拟测试的学生人数不变)，下列四个结论中正确的是( ) A.10月测试成绩为“优秀”的学生人数为40人 B.9月体育测试中学生的不及格率为18% C.从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数逐渐增长 D.12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 10.某学校用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y(mg)与时间t(h)成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如右图所示.当空气中的含药量低于0.25mg/m³时对身体无害.则下列选项正确的是( ) A.药物释放过程中，y与t的函数表达式是 B.药物的释放过程需要2h C.从开始消毒，6h后空气中的含药量低于0. D.空气中含药量不低于0.25mg/m³的时长为6h 11.如右图,四边形ABCD为菱形,BF∥AC,DF交AC的延长线于点E,交BF于点F,且CE:AC=1:2.则下列结论正确的有( ) A.△ABE≌△ADE B.∠CBE=∠CDF C.DE=FE 三、填空题(每小题 4分，共12 分.) 12.如右图所示，两个半径相等的半圆按放置，半圆O'的圆心落在半圆O的圆弧上，半圆O'的一个直径端点与的圆心重合，若半圆的半径为1，则阴影部分的面积是 . 13.如右图所示，图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成,A,B,C为顶点,则tan∠BAC的值为 . 学科网（北京）股份有限公司 14.任意取一个正整数，如果它是奇数，就将该数乘3再加1；如果它是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过若干次计算后，得到的结果必然是1(结果为1时停止计算)，每一次计算称为一次变换.根据上述运算法则，若给定一个正整数a，经过8次变换后得1，则a的最小值为 . 四、解答题(每本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.) 15. (10分)右图中正五边形ABCDE内接于⊙O中,连结AC,AD,CE,CE交AD于点F. (1)求证:AE=AF； (2)求证：F点为AD的黄金分割点. 16. (10分)[阅读材料]:因式分解: 解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原式 再将“A”还原，原式 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法. [问题解决]：(1)因式分解： ； (2)证明：若n为正整数，则代数式 的值一定是某个整数的平方. 17.(12分)如右图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线 的对称轴是 且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点 B. (1)求二次函数 的表达式； (2)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 18.(12分)[阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法.对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推.为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成(a)x.类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数(1111)x中，右起第一位上的1表示 第二位上的1表示 第三位上的1表示 第四位上的1表 故 即： 转化为了十进制表示的数 如： 即二进制的数1111等于十进制数15. 学科网（北京）股份有限公司 [问题解决]： (1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为 个.(用十进制数表示) (2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，(黑色代表1，白色代表0).其中第一行代表二进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20. (i)图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是 ，转化成十进制后可知他的考场号是 ；(直接写出答案.) (ii)若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形.请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整. 19. (14分)[问题提出]:如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,CB=4,CA=6,⊙C的半径为2,P为⊙C上一动点,连接AP、BP,求 的最小值. (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使CD=1，则 又∠PCD=∠BCP,所以△PCD∽△BCP.所以 所以 所以 请你完成余下的思考，并直接写出答案： 的最小值为 . (2)在[问题提出]的条件不变的前提下，求 的最小值.(请在图①备用图中画出相应的辅助线，并写清理由和计算过程.) (3)拓展延伸:如图②,已知在扇形COD中,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,P是弧CD上一点,求2PA+PB的最小值.(请在在图②中画出相应的辅助线，并写清理由和计算过程.) 学科网（北京）股份有限公司 $