10.2.2 加减消元法（分层题型专练，2夯基题型+5进阶题型+拓展培优）2025-2026学年七年级数学下册人教版

**基本信息** 本练习围绕“加减消元法”分基础、进阶、提高三层设计，从直接运算到综合应用，覆盖知识巩固与能力提升，培养运算能力、推理意识与创新思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|加减消元法直接应用|含选择、填空及解方程题型，巩固基本运算，如“两式相加消去未知数”| |进阶层|二元一次方程组同解问题|通过多方程组同解情境，综合运用解的概念，如“相同解求参数”| |提高层|特殊法与参数应用|涉及整体换元、新定义运算、错解复原等，如“构造方程组”“新运算定义求参数”，体现数学思维进阶|

第十章 二元一次方程组 10.2.2 加减消元法 （分层题型专练） 题型一 加减消元法解方程组 1．用加减消元法解方程组，两式相加可消去的未知数是（    ） A．x B．y C．同时消去x、y D．无法确定 【答案】B 【分析】求出两个方程相加的结果即可得到答案． 【详解】解： 得， 故两式相加可消去的未知数是y． 2．解方程组 ，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：得， 3．解二元一次方程组时，由可得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了加减消元法．根据加减消元法即可得． 【详解】解：得：， 即， 故选：D． 4．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，利用加减消元法求解即可． 【详解】解： ： 解得： 将代入中，得 解得： 5．解方程组： ． 【答案】 【详解】解：， ①+②得 ， ， ②-①得 ， ， 原方程组的解为 6．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法． 根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 得， 解得， 把代入得， 解得， ∴原方程组的解为 7．解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练掌握加减消元法和代入消元法． （1）根据加减消元法，①×2+②即可求得，再将代入②，即可求解； （2）根据加减消元法，③+④×5即可求得，再将代入④，即可求解； 【详解】（1）解：（1）①，得．③ ②+③，得，解得． 把代入②，得， 所以方程组的解为 （2）（2）将方程组整理，得 ③+④×5，得，解得． 把代入④，得， 所以原方程组的解为 题型二 二元一次方程组同解问题 1．若关于的二元一次方程组与有相同的解，则这个解是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先化简得，根据题意列不含m、n的方程组求解即可． 【详解】解：整理得： ， ∵关于的二元一次方程组与有相同的解， ∴， 解得． 故选：B． 2．如果关于，的方程组与有相同的解，那么的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】两个方程组有相同的解 说明公共解满足所有方程，先确定公共解为，再代入含的方程，整理即可求出的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴两个方程组的公共解为， 将代入和 ，得 ， 将两个方程左右两边分别相加，得 ， 两边同除以4，得． 3．已知关于，的方程组与方程组同解，则________，________． 【答案】 1 8 【分析】本题考查两个方程组同解求参数，先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 ，得， 解得 故答案为 1，8． 4．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，先求出的解，再将解代入中求出a，b，即可求解． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得：， ∴， 故选：D． 5．已知关于的方程组和有相同的解，那么值是___________． 【答案】6 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到，．先根据关于，的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴，， 解得， 将代入得： ， 解得， ∴ 故答案为：6． 6．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程组有相同的解得到，再利用加减消元法运算即可； （2）把代入，得，再运算求解即可． 【详解】（1）解：∵方程组和有相同的解， ∴ ①②得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：把，代入，得， 解得， ∴． 题型一 特殊法解二元一次方程组 1．若关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握换元的思想方法是解题的关键．利用换元的思想方法设，，则得到，解方程组即可得出结论． 【详解】解：设，， 则关于x，y的方程组就是关于m，n的方程组 ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， ∴， 故选：A． 2．已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用换元法求解方程组的解． 【详解】解：方程组可以变形为：方程组， 设，，则方程组可变为， ∴m＝3，n＝4， 即，， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键． 3．某方程组的解为，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．把代入程组，求出，，再代入求出，再把x的值代入其中一个方程求出y即可． 【详解】解：把代入程组得： 把代入得： ①-②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解是， 故答案为： 4．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组时，小明发现采用下面的方法比较简单： ②-①，得，即．③ ③，得．④ ①-④，得，解得． 把代入③，得， 所以这个方程组的解是 (1)请你运用小明的方法解方程组： (2)已知，试根据上面的解题过程猜想关于x，y的方程组的解是________． 【答案】(1) (2) 【分析】读懂材料中提供的解题方法，并结合加减消元法解二元一次方程组. 【详解】（1） ②-①，得，即．③ ③，得．④ ①-④，得，解得． 把代入③，得， 所以这个方程组的解是. （2） ①-②，得，即．③ ③，得．④ ①-④，得，解得． 把代入③，得， 所以这个方程组的解是. 5．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即 ，得 ，得． 将代入，得． 故原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练计算是解题的关键. 利用加减消元法，利用整体思想解方程即可得到答案． 【详解】解：得， 即， ，得， ，得， 解得． 将代入， 得． 故原方程组的解是 6．阅读下面的解题过程，再回答问题： 解方程组： 解：原方程组可化为 由③-①，得，即．④ 把④代入②，得，解得． 把代入④，得，所以方程组的解是 以上解方程组的方法叫做“消常数项法”，请用上面的方法解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 根据题干要求，采用“消常数项法”解答即可． 【详解】解：由②①，得，即．③ 将③代入①，得， 解得． 把代入③，得， 所以方程组的解为 7．在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，该方程组的解． 根据上面方法，解决下面问题： (1)解方程组：； 【轮换式解法】例：解方程组时， ①②，得，③． ③，得④． ②④，得，将代入③，得． 该方程组的解是 根据上面方法，解决下面问题： (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题干提供的方法． （1）先求出，然后再把代入，求出y的值，再求出x的值即可； （2）求出，得出，用求出，把代入得，即可得出方程组的解． 【详解】（1）解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 得：， ∴得：， 得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：． 8．知识呈现：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：设，原方程组可变为 解方程组，得即解得 解决问题： （1）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________； （2）已知、满足方程组,求的值； 灵活运用： （3）已知、、满足方程组,求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题围绕“整体思想”展开，通过将复杂式子中的部分看作整体进行代换，简化计算，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）利用换元法，设，因为的解为，所以，即可求得的值； （2）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出的值； （3）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出，的值，进而可求出的值． 【详解】解：（1）设， ，即， ， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）， 设，， ， 可转化为， 解关于，的二元一次方程组，得，， ； （3）设，， 由可得，即①， 由可得，即②， ①②得， 解得， 把代入①得，， ． 题型二 错解复原问题 1．小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题、解一元一次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，再代入一元一次方程，求解即可． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴， 解得：， ∴一元一次方程可化为， 解得：． 故选：A． 2．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组中的错解问题的方法是解题的关键，甲的正确解代入原方程组得到关于的方程，乙的解因抄错，仅满足第一个方程，由此联立方程求解． 【详解】解：将代入原方程组， 得， 得， 将代入， 得， 化简为， 则， 解得：， 综上，，，， 故选：D． 3．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，将代入中求得b的值，再将代入中解得a的值即可． 【详解】解：将代入，得， 解得：； 将代入得， 解得：. 故选：D． 4．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组看错系数问题，涉及解方程（组）、代数式求值等知识，根据题意，得到正确的方程求解即可得到答案．掌握二元一次方程组看错系数问题的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：甲将①中的看成了它的相反数解得，则②是正确的， ∴，且， 解得； 乙抄错②中的解得，则①是正确的， 即， ∴； 联立，解得， ， 故答案为：． 5．滨滨同学在解方程组时，因抄错c而解得，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．由题意得，是方程的解，代入得到，即可求出的值． 【详解】解：由题意得，是方程的解， 代入得到， 即， 故答案为：． 6．小明、小文都到黑板上做同一道题：解二元一次方程组，小明得出的答案是，小文得出的答案是．老师讲评时指出，小明的答案是正确的，小文的错了．小文经检查后发现是把第二个方程中的看错了，根据上述信息，请求出字母的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．因为小明是正确的，可将小明的答案代入原方程组，得出c的值和a与b的关系，又小文做错的原因是他把c看错了，可将小文的结果代入第一个式子，从而解出a、b、c的值，从而求解． 【详解】解：由题意知： ， 又∵小文做错的原因是他把c看错了， ∴与a、b无关． 故， ∴， 解得：． 7．已知关于x、y的方程组，由于甲看错了方程（1）中的a得到方程组的解为，乙看错了方程（2）中的b得到方程组的解为，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把代入(2)得出，求出，把代入(1)得出，求出，进而求得的算术平方根． 【详解】 解：， 把 代入(2)，得， 解得：， 把代入(1)，得， 解得：， 所以． 的算术平方根为． 题型三 构造二元一次方程组求解问题 1．已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，根据无论取何值，方程总成立的条件是方程中不含的部分和含的部分同时为零．因此，需解联立方程组：，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：B． 2．已知，则的值是（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是非负数的性质及解二元一次方程组，根据非负数的性质得出方程组是解答此题的关键． 根据两个非负数代数式的和为0，则它们都为0，得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】 ， 解得： 当，时， 则， 故选：A． 3．如表格所示，在方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值是（ ） 0 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组并利用加减消元法求解是解决问题的关键．根据题意，可得，解二元一次方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意可得 ， 解得， 故选：A． 4．若实数，满足，则的值为（    ） A． B．8 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质求出x、y，进而求解. 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴； 故选：D. 【点睛】本题考查了非负数的性质和二元一次方程组的求解，熟练掌握非负数的性质、正确求解方程组是关键. 5．若单项式与是同类项，则_____． 【答案】 【分析】根据同类项中的字母相同，相同字母的指数也相同，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：由题意，得，解得， ∴. 6．若单项式与是同类项，__________． 【答案】 【分析】根据同类项的概念，同类项中相同字母的指数相等，据此列出方程，求出和的值，再计算即可． 【详解】解：与是同类项， ， 解得， 则． 7．若实数x，y满足，则________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，根据非负数的性质列出关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，然后根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 8．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 9．已知，当时，的值为7；当时，的值为，求： (1)的值； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把x与y的值代入中，求出的值； （2）将x的值代入（1）所求的关系式计算即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：由（1）知， 当时，． 题型四 加减消元法与新定义问题 1．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键． 根据题意得出方程组，求出a、b的值，得到，再代入求出答案即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即， ∴. 故选：D． 2．对于x、y，规定一种运算：，其中a、b为常数，已知，，则的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，平方根；由题中所给新定义运算可得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴，4的平方根是， ∴的平方根是； 故选：B． 3．对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入得：， ∴， 则， 故选：C． 4．对于有理数x，y，定义新运算“”：，a，b为常数，若，则（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， ∴ ∴， 故选：A 5．定义运算“”，规定，其中a、b为常数，且，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算和解二元一次方程组，先根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出a、b的值，然后再计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 6．对于有理数x，y定义新运算：（a，b为常数）．已知，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，先根据，求出a，b的值，再代入计算． 【详解】解：根据题意得：，， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则， 故答案为：． 7．对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）根据题意列出方程组即可求出a与b的值； （2）根据新运算的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型五 加减消元法在求参数的值中的应用 1．已知关于和的方程组的解满足，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先根据得出，再根据得出，解一元一次方程求出即可． 【详解】解：， 得， ， ， 解得． 2．小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若消去未知数，则①②后的系数为，计算整理即可得到和满足的条件. 【详解】解： ①②，得：， 整理得：， ①②消去了未知数， 的系数为，即 ． 3．琪琪在解关于、的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，掌握方程组的解的定义是解题关键．将代入，求得，再将，代入，得到，即可求解． 【详解】解：将代入得： 解得：，即， 将，代入得：， 即， 因此，和代表的数分别是和， 故选：A． 4．关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查已知二元一次方程组的解的情况求参数，通过加减消元法将方程组中的x和y相加，得到关于k的方程，进而求解． 【详解】解：解方程组： ，得： 化简得 ∴ ∵， ∴ 解得： 故选：A 5．若是二元一次方程组的解，则的值为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 【详解】解：把代入二元一次方程组， 得，解得：， 则， 故选：A． 6．已知方程组中未知数、的和等于2，则的值是_____________． 【答案】 【分析】将两方程相加，整理后根据“、的和等于2”计算即可． 【详解】解： 得：， ∴， ∵方程组中未知数、的和等于2， ∴， 解得：． 7．当_____时，方程组的解、的值互为相反数． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是利用互为相反数得到，再代入方程组求解． 因为的值互为相反数，所以．将代入方程组计算即可． 【详解】解：将代入方程组， 得到：， 解得． 故答案为：3． 8．已知关于的方程组，若，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．把方程组中的两个方程相减得到，则，再结合得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得，， ∴， 又∵， ∴， 解得． 故答案为：1． 1．学习数学就是一个不断发现问题，分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知关于m、n的二元一次方程组的解是，求关于x、y的二元一次方程组的解，小明经过思考后直接得到，解得，小明的这种求解思想是（   ） A．换元思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 D．方程思想 【答案】A 【分析】令，，根据题意可得出，解出x，y即可． 【详解】解：令，， ∴原方程组可化为， 依题意，得， ∴， 解得． 小明这样解方程的思想是换元思想． 2．关于x、y的方程组的解为，则方程组的解是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，利用整体代换思想，将所求方程组变形，与已知方程组结构对应，即可求解． 【详解】解：将所求方程组两边同乘，得：， 已知方程组的解为， 对应可得： ， 解得： ． 3．在解二元一次方程组时，老师要求先消掉未知数，得到一个关于的一元一次方程，下面是甲、乙两名同学的答案： 甲：由①得③，将③代入②得． 乙：①②得． 下列说法正确的是（    ） A．甲乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲乙都错 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的消元法和代入法，分别对甲乙的过程计算验证，即可判断正误. 【详解】解：先验证甲的计算： ∵ 由① 移项得 ， 将 代入② 得：， 展开得 ，与甲得到的 不一致，∴甲错误. 再验证乙的计算： ① 得 ， 与②相加得 ， 合并同类项得 ，与乙得到的结果一致，∴乙正确. 综上，甲错乙对. 4．已知方程组，以下说法不正确的是（    ） A．无论实数取何值，不可能等于 B．当时，方程组的解也是方程的解 C．存在某一个值，使得， D．代数式的最小值为7 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解及方程组解的定义判断即可得解． 【详解】已知关于、的方程组， 解得：， 当时，， 变形为无意义， 不可能等于，故正确； 当时，方程组的解为， 代入方程， 左边， 右边， 左边右边， 当时，方程组的解也是方程的解，故正确； 当，时，代入方程组得， 解得：，无实数解， 不存在某一个值，使得，，故错误； ， ， 的最小值为，故正确． 5．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到用含的代数式表示的与，再代入，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解： 6．已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将与看作整体，对应已知方程组中的a与b，得到关于x，y的方程组，即可求解． 【详解】解：对比两个方程组的结构可得， 由，得， 由，得， 因此方程组的解为． 7．定义：对于任意实数，若点满足，则称点为和谐点． (1)若点是和谐点，则 ． (2)判断点是否为和谐点，并说明理由． (3)已知关于的方程组，当为何值时，以方程组的解为坐标的点是和谐点？ 【答案】(1)3 (2)点是和谐点，理由见解析 (3)当时，以方程组的解为坐标的点是和谐点 【分析】(1) 根据和谐点的定义，代入和谐点满足的等式，解方程即可； (2) 根据和谐点的定义，把点代入和谐点满足的等式左边，计算出结果为8，等式成立即可得出结论； (3)首先，解出关于的方程组的解，然后，根据题意将点代入和谐点满足的等式，变为关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：点是和谐点，理由如下： 根据题意，得， ∴点是和谐点； （3）解：， 解得， 根据题意，得， 解得， ∴当时，以方程组的解为坐标的点是和谐点． 8．【举一隅】梓琪在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组：．她思考：若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法可以解决问题，具体如下． (1)请你将下面解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为_____________，解关于的方程组，得，所以，再解这个方程组，得_____________； 【触旁通】 (2)请同样爱动脑的你利用上述思路解答方程组． 【答案】(1)， (2)原方程组的解为或或或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于，的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】（1）解：设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）解：设，， ∴变成， 将变形成， 将①②得：， 解得， 把代入得：， 解得， ∴，， ∴，， ∴或；或． ∴方程组的解为：或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组 10.2.2 加减消元法 （分层题型专练） 题型一 加减消元法解方程组 1．用加减消元法解方程组，两式相加可消去的未知数是（    ） A．x B．y C．同时消去x、y D．无法确定 2．解方程组 ，得（    ） A． B． C． D． 3．解二元一次方程组时，由可得（   ） A． B． C． D． 4．解方程组： 5．解方程组： ． 6．解方程组： 7．解下列二元一次方程组： (1) (2) 题型二 二元一次方程组同解问题 1．若关于的二元一次方程组与有相同的解，则这个解是（  ） A． B． C． D． 2．如果关于，的方程组与有相同的解，那么的值是（   ） A． B． C．3 D． 3．已知关于，的方程组与方程组同解，则________，________． 4．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的方程组和有相同的解，那么值是___________． 6．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 题型一 特殊法解二元一次方程组 1．若关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．某方程组的解为，则方程组的解是______． 4．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组时，小明发现采用下面的方法比较简单： ②-①，得，即．③ ③，得．④ ①-④，得，解得． 把代入③，得， 所以这个方程组的解是 (1)请你运用小明的方法解方程组： (2)已知，试根据上面的解题过程猜想关于x，y的方程组的解是________． 5．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即 ，得 ，得． 将代入，得． 故原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组： 6．阅读下面的解题过程，再回答问题： 解方程组： 解：原方程组可化为 由③-①，得，即．④ 把④代入②，得，解得． 把代入④，得，所以方程组的解是 以上解方程组的方法叫做“消常数项法”，请用上面的方法解方程组： 7．在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，该方程组的解． 根据上面方法，解决下面问题： (1)解方程组：； 【轮换式解法】例：解方程组时， ①②，得，③． ③，得④． ②④，得，将代入③，得． 该方程组的解是 根据上面方法，解决下面问题： (2)解方程组：． 8．知识呈现：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：设，原方程组可变为 解方程组，得即解得 解决问题： （1）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________； （2）已知、满足方程组,求的值； 灵活运用： （3）已知、、满足方程组,求的值． 题型二 错解复原问题 1．小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 2．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 5．滨滨同学在解方程组时，因抄错c而解得，则的值是______． 6．小明、小文都到黑板上做同一道题：解二元一次方程组，小明得出的答案是，小文得出的答案是．老师讲评时指出，小明的答案是正确的，小文的错了．小文经检查后发现是把第二个方程中的看错了，根据上述信息，请求出字母的值． 7．已知关于x、y的方程组，由于甲看错了方程（1）中的a得到方程组的解为，乙看错了方程（2）中的b得到方程组的解为，求的算术平方根． 题型三 构造二元一次方程组求解问题 1．已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（    ） A．1 B． C．2024 D． 3．如表格所示，在方格中做填字游戏，要求每行，每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，则表格中x，y的值是（ ） 0 5 A． B． C． D． 4．若实数，满足，则的值为（    ） A． B．8 C．2 D． 5．若单项式与是同类项，则_____． 6．若单项式与是同类项，__________． 7．若实数x，y满足，则________． 8．若，则的值为______． 9．已知，当时，的值为7；当时，的值为，求： (1)的值； (2)当时，的值． 题型四 加减消元法与新定义问题 1．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 2．对于x、y，规定一种运算：，其中a、b为常数，已知，，则的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 3．对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 4．对于有理数x，y，定义新运算“”：，a，b为常数，若，则（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 5．定义运算“”，规定，其中a、b为常数，且，，则__________． 6．对于有理数x，y定义新运算：（a，b为常数）．已知，，则________． 7．对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 题型五 加减消元法在求参数的值中的应用 1．已知关于和的方程组的解满足，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 2．小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（   ） A． B． C． D． 3．琪琪在解关于、的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值是（　　） A． B． C． D． 5．若是二元一次方程组的解，则的值为（    ） A．9 B． C． D． 6．已知方程组中未知数、的和等于2，则的值是_____________． 7．当_____时，方程组的解、的值互为相反数． 8．已知关于的方程组，若，则的值为___________． 1．学习数学就是一个不断发现问题，分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知关于m、n的二元一次方程组的解是，求关于x、y的二元一次方程组的解，小明经过思考后直接得到，解得，小明的这种求解思想是（   ） A．换元思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 D．方程思想 2．关于x、y的方程组的解为，则方程组的解是（    ）． A． B． C． D． 3．在解二元一次方程组时，老师要求先消掉未知数，得到一个关于的一元一次方程，下面是甲、乙两名同学的答案： 甲：由①得③，将③代入②得． 乙：①②得． 下列说法正确的是（    ） A．甲乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲乙都错 4．已知方程组，以下说法不正确的是（    ） A．无论实数取何值，不可能等于 B．当时，方程组的解也是方程的解 C．存在某一个值，使得， D．代数式的最小值为7 5．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 6．已知方程组的解是，则方程组的解是________． 7．定义：对于任意实数，若点满足，则称点为和谐点． (1)若点是和谐点，则 ． (2)判断点是否为和谐点，并说明理由． (3)已知关于的方程组，当为何值时，以方程组的解为坐标的点是和谐点？ 8．【举一隅】梓琪在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组：．她思考：若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法可以解决问题，具体如下． (1)请你将下面解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为_____________，解关于的方程组，得，所以，再解这个方程组，得_____________； 【触旁通】 (2)请同样爱动脑的你利用上述思路解答方程组． 学科网（北京）股份有限公司 $