2026届高考数学二轮专题高频考点梳理：平面向量的平行、垂直问题

**基本信息** 聚焦平面向量平行垂直核心考点，以题载法构建“概念-判定-应用”逻辑链，强化坐标运算与数量积工具性，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1-2、填空12-14（7题）|坐标运算法、共线/垂直判定公式|从向量坐标表示到平行垂直代数化| |性质应用|单选3-5、多选10-11（5题）|数量积定义法、投影向量公式|从数量积几何意义到夹角投影计算| |综合计算|单选6-9、解答16-18（7题）|参数方程法、夹角公式|从单一关系到多条件综合应用|

2026年高考数学二轮专题高频考点梳理： 平面向量的平行、垂直问题 一、单选题 1．已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A． B． C． D． 4．已知向量在向量方向上的投影向量的模为，向量在向量方向上的投影向量的模为1，且，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，若，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 7．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 9．是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 二、多选题 10．已知非零向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．向量与向量垂直 11．已知向量，，满足，，，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 三、填空题 12．已知非零向量，，且与共线，则 ． 13．已知平面向量若，则 14．若向量，，且，则 ． 15．已知向量，，若且，则的最小值为 . 四、解答题 16．已知向量，． (1)当时，求的值； (2)当，，求向量与夹角的余弦值． 17．已知． (1)若，且，求的值； (2)若点共线，求的值． 18．已知平面向量，，，． (1)若，求x的值； (2)若，求的值． (3)若与的夹角是锐角，求x的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B A A C A D ABD 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 2．B 【分析】根据平面向量的坐标运算先求，最后利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有，又因为， 所以， 故选：B. 3．B 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为． 4．B 【分析】根据向量投影向量的模的定义得出与之间的关系，再利用向量垂直得到向量数量积为零建立一个方程，将关系式代入方程中，结合向量夹角的范围解出即可. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量的模为， 向量在向量方向上的投影向量的模为1， 所以，， 所以有：， 因为， 所以 ， 即 因为，所以， 又，所以， 故选：B. 5．A 【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案. 【详解】，故，解得，所以， 则在方向上的投影向量为. 故选：A. 6．A 【分析】由垂直可知，进而可求，再根据数量积的运算求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，即，解得， 所以，所以， 故选：A. 7．C 【分析】由题意得，即，代入即可求解. 【详解】已知向量，，若，则， 即， 所以的值为. 故选：C 8．A 【分析】首先得到，进一步得的值，最后由夹角公式即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 所以， ， 所以. 故选：A. 9．D 【详解】试题分析：,,． 由题意知． ．．故D正确． 考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直． 10．ABD 【分析】对A，根据条件，利用数乘向量的定义得到，即可判断；对B，根据条件，利用数量积的运算律及模的定义，即可判断；对C，根据条件，利用数量积的定义，得到，即可判断；对D，根据条件，结合数量积的运算律，得到，即可求解. 【详解】对于A，因为为非零向量，若，则，故，故A正确； 对于B，若， 则，故，故В正确； 对于C，若，则， 得到，不能确定，故C错误； 对于D，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11．BC 【分析】根据向量坐标运算及模的定义判断A，根据平行可得坐标关系判断B，根据垂直向量的数量积为0判断C，根据投影向量的概念判断D. 【详解】对A，，所以，故A错误； 对B，当时，，即，故B正确； 对C，，由可得，即，故C正确； 对D，在上的投影向量为，故D错误. 故选：BC 12．16 【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，然后根据向量数量积的坐标表示即得. 【详解】由，可得，解得或． 又因为向量为非零向量，则不合题意，即， 即，于是． 故答案为：16 13． 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 14． 【分析】根据向量垂直数量积为，求出，再利用向量夹角坐标公式求出余弦值即可. 【详解】因为，所以，则， ， 所以 15． 【分析】先求出的坐标，再根据得出，利用消元法结合基本不等式可求. 【详解】由题意得，，， 因，则 ，则， 因，则，等号成立时， 故的最小值为. 故答案为： 16．(1) (2) 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可； （2）由向量平行的坐标表示求得，再由夹角公式求解即可. 【详解】（1）由向量，，得， 由，可得， 即，解得． （2）由，，得． 由，，可得，解得， 所以． 所以，，， 所以． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量垂直、数量积、模的坐标表示运算求解即可； （2）根据平面向量共线的坐标表示，结合三角恒等变换公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为， 所以，解得． （2）因为点共线，所以共线， 因为， 所以， 则， 所以． 18．(1)或3； (2)或5； (3) 【分析】（1）根据两向量垂直数量积为列方程求解. （2）根据两平行向量坐标之间的关系列方程求解出x，代入得到的坐标，再代入向量模的公式进行求解. （3）与的夹角是锐角，则且两向量不共线. 【详解】（1）若，则， 整理得，解得或． 所以的值为或3． （2）（2）若，则有，即，解得或， 当时，，，则，得； 当时，，，则，得． 所以，的值为或5． （3）（3）因与的夹角是锐角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则 综上，的取值范围为． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $