考前练37 点、直线、平面之间的位置关系 & 考前练38 线面平行、垂直问题-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

积为42=号×24，解得一2，∴国柱的底面丰径为2，高为4， 最多可以注入的水的体积为X公X4号x×2= 3 11.26 3 解析：一个正四面体可以在一个棱长为2的正方体内 绕着正四面体的中心任意转动，说明正四面体最大时为该正 方体内切球的内接正四面体，该正方体内切球的半径为1，设 该球的内接正方体的棱长为a,则3a=2,解得a=23,而 31 球的内接正四面体的棱长为内接正方体的棱长的√2倍，即 为26 考前练37点、直线、平面之间的位置关系 1.B解析：，MN∥平面PAD,MNC平面PAC,平面PAD∩ 平面PAC=PA,.MN∥PA 2.A解析：若a⊥a,则a垂直于a内所有直线，因此，命题“若 a⊥a,则a垂直于a内无数条直线”正确，a垂直于a内无数条 直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a可 以在平面a内，即不能推出a⊥a,∴.“a⊥a”是“a垂直于a内无 数条直线”的充分不必要条件. 3.B解析：，a∩B=l,∴.lCa,lCB,则l与a平行或相交，l与b 平行或相交.又a,b为异面直线，.l不能与a,b同时平行，即 l与a,b可能都相交，也可能与一条相交，.A,C,D错误. 4.D解析：对于A,当m∥a,m∥n时，n∥a或n在平面a内，故 A错误；对于B,当m∥a,n∥a时，m,n可能平行，可能相交， 也可能异面，故B错误；对于C,当m⊥a,n⊥m时，n∥a或n 在平面a内，故C错误；对于D,当m⊥a,n⊥a时，由垂直于同 一平面的两条直线平行，可得m∥n,故D正确. 5.ABD解析：若a⊥a,a∥B,则a⊥，又b⊥B,∴a∥b,故A正 确；若a⊥a,a⊥b,则bCa或b∥&，.存在直线mCa,使得 m∥b.又b⊥3，.m⊥B,∴.a⊥B,故B正确；若a⊥a,a⊥b,则 bCa或b∥a.又a∥B,bCB或b∥B,故C错误；若a∩B=a, a∥b,则b∥a或b∥B,故D正确. 6.C解析：如图，在正方体ABCD-A1BCD 中，AD∥BC,.直线BD与直线AD所 成的角a为∠DBC.BC⊥平面CDDC, ∴.DC为D1B在平面CDD1C1上的射影， ∴直线BD与平面CDDC所成的角B为 ∠BDC.又BC⊥平面CDDC,∴.BC⊥D C,∠DBC+∠BDC=2,即a+g受 7.A解析：已知，点P在侧面CDD1C及其 边界上运动，BP⊥AC,由三垂线定理得 A1C⊥平面BDC,可得动，点P的轨迹为 线段C1D,正方体的棱长为1，可得点C 到线我C,D的距高为d=吗，则PCl∈ [a.cc]=[竖，]l 8.B解析：如图，取CD的中点O,连接 ON,EO.,△ECD为正三角形，.EO⊥ CD.又平面ECD⊥平面ABCD,平面M ECD∩平面ABCD=CD,.EO⊥平面 ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则D EO=√3，ON=1,∴.EN2=EO+ON2= -1 4,.EN=2.过点M作CD的垂线，垂足为P,连接BP,则 MP=9,cP=是Bf=MP+BP=(停）+（受）+ 2=7,.BM=√7，∴.BM≠EN.连接BD,BE.四边形AB CD为正方形，∴.N为BD的中点，即EN,MB均在平面BDE 内，∴.直线BM,EN是相交直线. 9.号解析：设圆锥的底面半径为，母线长为，由题知1 3,即l=3r.设母线与底面的夹角为0，则cos0=7 r I =3 1. 解析：如图，取BC的中点E,连接 SE,DE,则∠SDE(或其补角)为异面直 线SD与AB所成的角. 由题知SE=SD=√12-4=2W2,DE=2, ∴cos∠SDE=8+4-8=2 2X2W2X24 11.①②为条件，③为结论解析：①②为条件，③为结论，命题 正确.若l∥B,l3,过l作平面Y,与平面B相交于直线a,则 l∥a.l⊥a,∴a⊥a.又aCB,∴a⊥R②③为条件，①为结 论，命题错误.如图①，长方体中1∥B,a⊥B,但是1不垂直于 α.①③为条件，②为结论，命题错误.如图②，1⊥a,a⊥B, ∴l∥B或lCR ① ② 考前练38线面平行、垂直问题 1.证明：AB⊥平面PAD,AEC平面PAD,.AE⊥AB. 又AB∥CD,.AE⊥CD. AD=AP,E是PD的中点，∴.AE⊥PD. 又CD∩PD=D,CD,PDC平面PCD,∴AE⊥平面PCD. .'MN⊥AB,AB∥CD,∴.MN⊥CD 又.MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CDC平面PCD, .MN⊥平面PCD,.AE∥MN. 2.证明：(1)E,F分别是AC,BC的中点，EF∥AB1 又EF过平面AB1C,AB1C平面ABC,∴.EF∥平面AB1C, (2):B,CL平面ABC,ABC平面ABC,.B CLAB. .AB⊥AC,BCC平面AB1C,ACC平面ABC,BC∩AC=C, ∴AB⊥平面ABC. 又，ABC平面ABB,.平面AB,C⊥平面ABB. 3.解：(1)，在正四棱锥S-ABCD中，SA=SB=SC=SD=2, AB=√2， 侧面的商A=√？-（）- 2 ,∴正四棱锥S-ABCD 的表面积S=4X号××+w2x2=2v7+2 2 (2)存在.如图，取SD的中点Q,过点 Q作PC的平行线交SC于点E,连接 BQ,BE. 在△BDQ中，有BQ∥PO 又SP=3PD,则PQ=PD. ,POC平面PAC,BQ￠平面PAC, ∴.BQ∥平面PAC 5 品=2瓷-器=2 又，QE∥PC,PCC平面PAC,QE吨平面PAC, ∴.QE∥平面PAC. :BQ∩QE=Q,.平面BEQ∥平面PAC,∴.BE∥平面PAC. 考前练39直线与平面所成的角 1.解：(1)以0为坐标原点，O,O心，OA z1 A 的方向分别为x轴、y轴、之轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0) ∴AB=(2,0,-3),AC=(0,3,-3), B. oi=(2,0,0).取a=AB=(2,0,-3), u惑-(69-9)则c=13a…a9, 2 -9=34 ∴点B到直线AC的距离为V-(a…W=√13-之 21 (2)设n=(x,y,)是平面ABC的法向量， ABn=0,:.{ 则 2x-3z=0, AC·n=0,“3y-3z=0, 取=2，得z=8m=（3,2,2. y=2, 设直线OB与平面ABC所成的角为B, 则sin0=|cos(Oi,n)川= IOB.n 6 3√/17 OBI2X/17 17 ∴直线OB与平面ABC所成角的正弦值为3Y厘 17 2.(1)证明：如图，连接AC,交BD于点O,易知O为AC的中点， 连接MO, .M,O分别为PC,AC的中点，.PA∥MO .'PA￠平面BMD,MOC平面BMD,∴.PA∥平面BMD (2)解：如图，取BC的中点H,连接AH. “四边形ABCD为菱形，∠ABC-于， ∴.AH⊥AD 以A为坐标原点，分别以AH,AD, AP所在直线为x轴、y轴、之轴，建立B鱼 如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(√3，-1,0)，C(3,1,0),P(0,0,√3)， M(号)， =(停，含，），Bt-0,20.Pt-51, 设平面PBC的法向量为m=(x,y,2), 电 ,2y=0, W3x十y-√3x=0. 取之=1，则x=1,.m=(1,0,1) 设直线AM与平面PBC所成的角为0，则 sin =I cos(m,AM) x1+2×0+9×1 2 42 2x√日 直线AM与平面PBC所成角的正弦值为Y巴。 3.(1)证明：在题图①中，连接AC(图略). ,E,F分别为AD,CD的中点， -10 ∴.EF∥AC,即题图②中有EF∥AC. 又EFC平面PEF,AC过平面PEF,∴.AC∥平面PEF (2)解：如图，取EF的中点O,连接OP,OB 分析知，OP⊥EF,OB⊥EF. 又平面PEF⊥平面ABCFE,平面PEF∩平面ABCFE=EF, POC平面PEF, .PO⊥平面ABCFE. AB=4, .PF=AE=PE-2,EO=OP=OF=√2，OB=3√2. 以O为坐标原点，OE,OB,OP所在直线为 x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐 标系， 则O0,0,0),P(0,0,√2)，B(0,3√2,0)， E(W2,0,0),A(22W2,0), B驴-=(0，-3√22)，Ei=(√2，√2,0)，E=(-√2,0√2). 设平面PAE的法向量为n=(x,y,), 则 2x+2y=0,取=1，则y=-1,2=1, -√2x十√2x=0, .n=(1,-1,1), ∴.cos(B,n〉= 0X1+(-32)×(-1)+√2X1 √/02+(-3√2)2+(W2)2×√12+(-1)2+1 =230 15 故直线PB与平面PAE所成角的正弦值为2。 考前练40平面与平面所成的角 1.(1)证明：在直三棱柱ABCA1B,C中，CC⊥平面ABC,ACC 平面ABC,∴.CC⊥AC 又ACL BC,CC,BCC平面BCCB1且CC1∩BC=C, .AC⊥平面BCC1B. ,CEC平面BCCB1,AC⊥CE. (2)解：如图，以C为坐标原点，CA,CB, CC所在直线分别为x轴、y轴、之轴建立 空间直角坐标系， 由AC⊥BC,AB=2BC=2,可得AC= √3，则A(3,0,0),E(0,1,1),C(0,0, 2),B(0,1,0). 设平面AEC的法向量为m=(x,y,z), A=(-√5,1,1)，AC=(-√3,0,2)， :破m=0,即 -3x十y十x=0, lAC·m=0,-√3x+2x=0, 令zx=√3，则x=2,y=√3，.m=(2w3,w3). :AC⊥平面BCCB, ∴.C方=(W3,0,0)为平面ECB的一个法向量， ∴cos(Ci,m〉= Ci·m23=⑩ CA1|m√3X√10 5 即二面角4BC,B的余孩值为四， 2.(1)证明：如图，以D为中心建立空间直角坐标系，则B(4,4, 0),E(2,0,4),F(2,4,4),G(0,4,3), 所以E=(0,4,0),Ei=(2,4,-4),F心=(-2,0，-1)，考前练37点、直线 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，M,N分别为 AC,PC上的点，且MN∥平面PAD, 则() A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 2.若a和a分别为空间中的直线和平面，则“a⊥ a”是“a垂直于a内无数条直线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若异面直线a,b分别在平面a,B内，且a∩B= 1,则直线1() A.与直线a,b都相交 B.至少与a,b中的一条相交 C.至多与a,b中的一条相交 D.与a,b中的一条相交，另一条平行 4.设m,n是不同的直线，a是平面，则下列说法 正确的是( ) A.若m∥a,m∥n,则n∥a B.若m∥a,n∥a,则m∥n C.若m⊥&，n⊥m,则n∥a D.若m⊥a,n⊥a,则m∥n 5.(多选)已知a,b表示两条不同的直线，a,B表 示两个不同的平面，下列说法正确的 是() A若a⊥a,b⊥3，a∥B,则a∥b B.若a⊥a&,b⊥3，a⊥b,则a⊥B C.若a⊥a,a⊥b,a∥B,则b∥g D.若a∩B=a,a∥b,则b∥a或b∥3 3 平面之间的位置关系 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设直线BD 与直线AD所成的角为α，直线BD1与平面 CDDC1所成的角为B,则a十B=() A及 B.5 C. D. 3 7.已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面 CDD1C1及边界上运动，并保持BP⊥A1C.若 正方体的棱长为1，则PC长度的取值范围 是( ) A竖， B.[2,2] C.[2,22] D.[1,2] 8.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD,M是 线段ED的中点，则() A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 9.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与 底面夹角的余弦值为 10.正三棱锥S-ABC的底面边长为4，侧棱长为 2√3，D为棱AC的中点，则异面直线SD与 AB所成角的余弦值为 11.已知直线1不在a,3内，给出下列三个论断： ①l⊥a;②l∥B;③a⊥B.以其中的两个论断 作为条件，余下的一个论断作为结论，写出 一个正确的命题： .(填序号) 考前练38线面 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD 是矩形，AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD 的中点，M,N分别在AB,PC上，且MN⊥ AB,MN⊥PC.证明：AE∥MN. N E D 2.在三棱柱ABCA1B1C中，AB⊥AC,BCL平 面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点. (1)求证：EF∥平面AB1C1; (2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1. A B -40 平行、垂直问题 3.如图，在正四棱锥S-ABCD中，SA=SB= SC=SD=2,AB=√2，P为侧棱SD上的点， 且SP=3PD. (1)求正四棱锥S-ABCD的表面积. (2)在侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥ 平面PAC?若存在，求瓷的值：若不存在，试 说明理由，