2026届高考数学二轮专题高频考点梳理：求向量数量积的最值（范围）问题

**基本信息** 聚焦向量数量积最值问题，以基底法、坐标法、极化恒等式为核心，构建“定义-几何转化-函数建模”的解题体系，强化动态几何问题的数学思维与表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础方法应用|15题（含梯形、正多边形、圆等模型）|基底法、坐标法、极化恒等式、函数与不等式|从数量积定义出发，结合几何图形性质（如圆的对称性、正多边形结构），通过参数化转化为函数最值问题| |综合方法迁移|4题（含极化恒等式证明、方法总结）|定义法、几何转化（投影、费马点）|以典例为载体，提炼动态点问题的解题策略，体现从具体模型到一般方法的推理过程，培养数学建模与逻辑表达能力|

2026年高考数学二轮专题高频考点梳理： 求向量数量积的最值（范围）问题 一、单选题 1．如图，在梯形中，，P是外接圆上的动点，则的最大值为（   ）    A． B． C． D． 2．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 3．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCD-EFGH的边长为2，P是正八边形ABCD-EFGH八条边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 4．在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 6．已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆O的半径为2，弦，D为圆O上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（    ）． A． B．0 C． D． 9．已知在△ABC中，．P是其内部一点，满足最小．设．则t的最小值为（    ） A．7 B．6 C． D． 二、填空题 10．在中，. （1）若，则向量在向量上的投影向量的模为 ； （2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为 . 11．键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是 .    12．如图，在长方形ABCD中，，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为 ． 13．若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时， ；（ⅱ）的最小值为 ． 14．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12，转盘的直径为10，A，B为摩天轮在地面上的两个底座，，点P为摩天轮的座舱，则的范围为 ． 15．设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为 . 三、解答题 16．阅读一下一段文字：，两式相减得：，我们把这个等式称作“极化恒等式”．它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． （1）若，求的值； （2）若， ，求的值． 17．（1）正方形的边长是2，是的中点，则的值是多少？ （2）在平面四边形中，，，．若为边上的动点，且，则的取值范围是什么？ （3）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，，则的最大值是什么？ 通过以上题目的解答总结平面向量数量积及数量积求最值时常用的方法，每种方法需要注意的问题？ 18．如图，在中，角的对边分别是，D为BC边上一点，已知 (1)求； (2)若AD平分，求的面积； (3)若为边的中点，分别为边及边上一点含端点，且，求的取值范围. 19．在梯形中，，，，，P，Q分别为线段和上的动点． （1）求与的数量积； （2）若，求； （3）若，，求的最大值． （4）求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A C C C A B C C 1．B 【分析】根据向量的乘法运算律和数量积算法公式，求出的表达式，根据向量夹角的变化范围，求出最大值. 【详解】如图所示，过做,过做,    根据已知条件可知,设, 在和中列出勾股定理方程，解出, 可得，则，    如图,作外接圆,圆心为，设, 在和中，可得方程，解得, 可知圆心就在上，为EF的中点    连接,可知，所以, 据题意可知，, , 当，即同向时，最大值为. 故选：B. 2．A 【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【详解】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 3．C 【分析】根据的位置进行分类讨论，根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】设， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C 4．C 【分析】建立坐标系，表示出的坐标，根据是线段上的动点用参数表示点的函数，从而题目可转换为关于的二次函数在闭区间上的最小值问题. 【详解】由题以点为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，E是线段中点， 所以， 而是线段上的动点， 从而可设， 所以点的坐标是， 所以， ， 所以当时，的最小值是. 故选：C. 5．C 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 6．A 【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果. 【详解】设的中点为，因为，，所以，， ， 因为，所以.    故选：A 7．B 【分析】思路一：用坐标法，表示出，，将问题转换为三角函数最值来处理即可；思路二：由投影向量定义、数量积的定义求解即可. 【详解】方法一：建立如图所示的直角坐标系， 则，，， 所以，. 所以. 当时，取最小值. 故选：B 方法二：如图，作圆的直径，过E作的延长线，垂足为C. 而可以看作在上的投影向量与的数量积. 由圆的性质知，当D与E重合时，取得最小值. 因为，所以， 则. 所以的最小值为. 故选：B. 8．C 【分析】设正方形的内切圆圆心为，由题可得为圆的一条直径时，弦的长度最大，，据此可得最大值. 【详解】如下图所示：设正方形的内切圆圆心为， 当弦的长度最大时，为圆的一条直径， 则 . 当与正方形的顶点重合时，， 因此，． 故选：C 9．C 【分析】结合费马点定理，设，，, ，得到，再结合，结合基本不等式即可求解. 【详解】先证：费马点：如图1，点为内任意一点，连接，当与三个顶点连线的夹角为120°时，的值最小. 注意：上述结论成立的条件是的最大的角要小于，若最大的角大于或等于，此时费马点就是最大角的顶点.（通常只考查三角形的最大顶角小于） 证明：如图2，以为一边向外作等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接．∵为等边三角形，∴，．而， ∴． 在与， ∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接．由△AMB≌△ENB知，． ∵，，∴为等边三角形． ∴．∴． ∴当四点共线时，的值最小． 此时，；；得证； 由已知可得， 即， 所以，整理得， 所以由正弦定理可得， 所以. 所以三个内角都小于， 则由费马点的定义可知， 设，，, ， 则由得， 由余弦定理可得， ， ， 所以由得， 即， 则，且，令，则， 所以， 当且仅当即时，取等号. 所以的最小值为. 故选：C 10． 4； 【分析】根据三角形面积公式可得，即可根据投影向量的定义求解（1），根据重心的性质，结合基底表达，即可根据向量的数量积运算律，结合基本不等式求解（2）即可. 【详解】（1）因为，所以， 解得，则，结合，解得， 由投影向量公式得在向量上的投影向量为， 故向量在向量上的投影向量的模为， （2）如图，根据题意可知为的重心，故，    又为线段上靠近的三等分点，故, 因此， ， ， 由（1）知，故， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，则的最小值为. 故答案为：4， 11． 【分析】过点作直线的垂线，垂足为，则,当点与点重合时，取最小值，当点与点重合时，取最大值. 【详解】过点作直线的垂线，垂足为，则,, 所以， 当点与点重合时，取最小值， 当点与点重合时，取最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：.    12． 【分析】首先根据向量坐标求出数量积的表达式，然后利用辅助角公式将其化简为只含有一个三角函数的形式，最后根据三角函数的性质以及给定的角的范围求出最大值. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设， 则 ， 其中，．因为，所以当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：. 13． 【分析】根据模长公式，结合数量积的运算律即可求解空1，利用向量的线性运算将问题转化为，求解的最大值，的最小值即可求解. 【详解】由于，则， ， （ⅰ）当，则，故， （ⅱ）, 由于为相反向量，故， 所以， 由，故当时，取最小值， 而的最大值为， 因此当取最大值，取最小值时，取最小值，故最小值为， 故答案为：， 14． 【分析】由题意可得到P到AB中点距离的最大值和最小值，然后根据数量积的运算，可得到答案. 【详解】设C为AB的中点，如图示：由题意可知： , 则， 又因为，所以的取值范围是, 故答案为： 15． 【分析】设，，根据可得出，设，，则，根据平面向量的线性运算得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的最大值. 【详解】由题意可知，， 由平面向量数量积的定义可得， 设，，则， 所以， 即，即，且有， 设，，则， 因为为的中点，则， 因为为的中点，则， 同理可得， 所以， ， 因为 ， 其中为锐角，且，故的最大值为. 故答案为：. 16．（1）21；（2）. 【分析】（1）利用极化恒等式，即可求解. (2)根据条件解出m、n即可求解. 【详解】解：（1）由“极化恒等式”知： ； （2）设， 因为由（1）知， ① 因为同理可得， ② 由①②解得， 于是有. 17．（1）3；（2）；（3）（总结见解析） 【分析】（1）以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解； （2）根据条件得出四边形为边长为的菱形，设，，以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解； （3）以为原点建系，设，根据得出，化简可得，结合不等式求范围即可. 【详解】（1）由题意得，，， 则；    （2）因，则四边形为平行四边形，则， 因，则， 因不共线，则，即四边形为边长为的菱形， 则，得， 即，则， 因，则不妨设， 设， 则， ， 则 ， 则的取值范围是.    （3）以为原点，和与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则由题意可得， 则， 因，则，即， 因，则， 因点为的中点，则， 则， 又，则，等号成立时， 则， 故的最大值是.    总结：求数量积的常用方法有基底法和坐标法，且最值问题通常利用几何图形转化，将目标转化为求函数的最值或利用基本不等式求最值. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理边化角得到，再结合即可求解； （2）由（1）结合余弦定理得到，再由角平分线性质得到，结合三角形面积公式即可求解； （3）由向量线性运算得到，，再由向量数量积的运算性质及即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即 则， 即， 即， 因为，所以，则， 又因为， 所以. （2）由（1）得， 由余弦定理得，即， 因为AD平分，根据角平分线性质，且， 所以， 由余弦定理， 则， 则. （3）因为D为BC边的中点，所以， ， ， 则 ， 又， 则， 因为， 则当时，， 当时， 所以. 19．（1）；（2）；（3）；（4）详见解析. 【分析】（1）根据角和模，直接利用向量数量积的公式求解；（2）首先转化，再代入数量积公式求模；（3）首先转化向量，再结合向量的运算律和数量积公式展开，转化为关于的函数，再结合对勾函数，判断函数的单调性，求最大值；（4）根据所学知识总结. 【详解】（1）； （2）， ； （3），， 则 ， ，解得：， ，当且仅当时等号成立，即， 在上单调递增，当时，函数取得最大值， 的最大值是； （4）求数量积的方法： 1.根据数量积的定义，直接求解；2.根据向量加法或减法，以及数乘，将向量用基底表示，再结合向量的运算律，和定义求解向量的数量积；3.利用向量数量积的坐标表示求数量积. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的线性运算以及平面向量的数量积的运算问题，以及最值问题，本题的关键是第三问，求得的解析式是解答的关键. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $