考前练27 解三角形中的最值、范围问题 & 考前练28 平面向量的线性运算-2026年高考数学艺术生文化课考前100天

考前练27解三角形中的最值、范围问题 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 3.在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a, 已知asin A;C=bsin A. 2 b,c,若A≠5，且 (1)求B; (1)求a的值； (2)若△ABC为锐角三角形，且c=1,求 (2)若A=否，求△ABC周长的最大值 △ABC面积的取值范围. 从①3 acos B+3 bcos A=ac;②3 acos B+ abcos A=3c;③bcos C+ccos B=3这三个条 件中选一个补充在上面问题中并作答 2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c,已知PA平05 sin 2B 1若C-,求B, （②求产的最小值 -29 考前练28平面向量的线性运算 1.若D为△ABC的边AB的中点，则 8.已知向量a=(1,2),b=(一2,1)，c=(5,4), C克=() 则以向量a与b为基底表示向量c的结果 A.2CD-CA B.2 CA-CD 是() C.2CD+CA D.2CA+CD 2.(2022·新高考I卷)在△ABC中，点D在边 B号ab AB上，BD=2DA.记CA=m,C市=n,则 Ci=() C.-Za-o D. A.3m-2n B.-2m+3n 9.在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O,E C.3m+2n D.2m+3n 是线段OD的中点，若AE=mAB十nAD,则 3.如图，向量a一b=( ) m一n的值为( A-2 B.-1 C.1 n b 10.(多选)在△ABC中，E,F分别是边BC和 .. AC的中点，P是AE与BF的交点，则 S 有( e a A.A迹-号A+2AC A.e1-3e2 B.e1+3e2 B.AB=2EF C.-3e1十e2 D.-e1+3e2 4.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一 C.C币=C+ 点P满足PA十P克=P心，则下列结论中正确 的是() D.CP=名ci+名cB A.点P在△ABC的内部 11.已知点A(8,一1)，B(1,-3),若点C(2m-1, B.点P在△ABC的边AB上 m十2)在线段AB上，则实数m= C.点P在AB边所在的直线上 12.已知点A(2,3),B(1,4),且AP=一2P克，则 D.点P在△ABC的外部 点P的坐标是 5.如图，在正六边形ABCDEF 13.在△AOB中，点P在直线AB上，且满足 中，BA+CD+EF=() O巾=2tPA+tOi(t∈R),则t= A.0 B.BE C C.A方 D.C克 14.在△ABC中，成=ABD,且市=号A十 6.已知AB=a+5b,BC= -2a+8b,CD=3(a-b),则( }心，则A A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线 15.如图，在正六边形ABCDEF C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线 中，P是△CDE内（包括边 7.已知向量AB=a-b,C第=2a十b,CD=3a 界)的动点，设A产=aAB+F b,若A,B,D三点共线，则实数k的值等 BA庐(a,β∈R),则a十B的取 于() 值范围是 A.10B.-10 C.2 D.-2 30(2)由(1)得a=2,故osB=。+￡-&=+1_ 2ac 2√2b (6计名)≥号，当且仅当6-名，即61时取等号， 故Be(o,] 2解：L由正弦定理得s如C-sin BeoA-号n Asin C=x-(A+B),.'.sin(A++B)=sin Acos B+cos Asin B= 如BosA号in Asin B, 则sinB=一√3cosB,即tanB=一√3 又Be0,B= (2)如图，设AB的中点为E,连接DE,则∠BED=于 由余弦定理，得BD=BE+ED-2BE·EDcos-于， .3=BE+1-BE,解得BE=2,AB=4. 由余弦定理，得8=16+4-2X2×4X0s5=28, ∴.b=2√7 3.(1)证明：，'sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A), .'sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A=sin Bsin Ccos A- sin Bsin Acos C, ac.+-世-26c.+-d=-ab.。2+-2 2ac 2bc 2ab 即+号-&-（6+2-a)=-+g-C, 2 2 .2a2=b+c2 (2解：a=5,osA-引， 由(1)得6+c2=50,由余弦定理可得a2=+c2-2 bccos A, 则50kc=25,c=号. 故(b+c)2=b+c2+2bc=50+31=81,∴.b+c=9, ∴.△ABC的周长为a十b十c=14. 考前练27解三角形中的最值、范围问题 1,解：1)由题设及正弦定理得sin Asin A,C=sin Bsin A. 2 :sinA≠0，，sin AC=sinB.由A十B+C=180°，可得 2 mA=cos号，放s号=2sn号s号.cos号≠0， 2 m号-B=60 (2)由题设及(I)蜘△ABC的面积SA-气。. 由(1)知A+C=120°. 由正孩定理得。-曲血2”C0=2c+号 sin C sin C 由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°， -9 结合A+C=120°，得30°<C90°， “<a<2,从而传<S<, 因此AABC面积的取值范围是(，) 82 2.解：(1)“1年$inA1+cos2B cosA」 sin 2B 2sin Bcos B sin B 2cosB cos B' 'sin B-cos Acos B-sin Asin B-cs(A+B)--cos C 而0<B<苓心B=若 (2)由(1)知，sinB=-cosC>0,.受<C<x,0<B<受， Il sin B--cos C-sin(C), C=+B,A=5-2B, sinA+sin'B_cos'2B+1-cos'B sin2C cos B _2aB-H1sB=4sB+是B5≥28-6 cosB =4W2-5. 当且仅当0asB=号时，取等号， :.4士“的最小值为42-5. 2 3.解：(1)若选①，则由正弦定理得3 sin Acos B十3 sin Bcos A= asin C→3sin(A+B)=asin C→3sinC=asin C. C∈(0，x),.sinC≠0，因此a=3. 若选②，则由正弦定理得3 sin Acos B十asin Boos A=3sinC→ asin Bcos A=3sin(A+B)-3sin Acos Basin Boos A=3c0s Asin B. :A,B∈(0，x)且A≠交，sinB≠0，cosA≠0，因此a=3. 若选③，则由正弦定理得sin Beos C+-sin Coos B=sinA·3→ sin(B+C)=3sin A-sin A=3sin A a a A∈(0，x)且A≠交，.sinA≠0，因此a=3. (2)若A-T,则由余弦定理得d=P+2-2 ebeos A-→9 +c2+bc→b+c2-9=-bc→(b+c)2-9=bc. 又≤（生），故6+0-9<，即6叶≤25，当且 4 仅当b=c=√3时，取等号， a十b+c的最大值为3十2√，即△ABC周长的最大值 为3+2√3， 考前练28平面向量的线性运算 1.A解析：D为△ABC的边AB的中点，Cd=(Ci+ Ci),∴.Ci=2Cò-Ci. 2.B解析：，BD=2DA,∴A$=3Ad,CB=Ci+AB CA+3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3 CD=-2m+3n. 3.D解析：由图可得，a=e1十4e2,b=2e1十e2,∴.a一b= -e1十3e2. 4.D解析：PA十P克=P心，由平行四边形法则，得点P在 △ABC的外部. 5.D解析：由题图知BA+C市+E萨=BA+A市+CB=Ci+ B市=C市. 6.A解析：Bd-BC+Cj-(-2a十8b)+3(a-b)=a十5b,又 AB=a十5b,∴.AB=Bd,则AB与BD共线.又AB与Bd有公共 点B,∴A,B,D三点共线 7.C解析：：A,B,D三点共线，∴AB=入BD=A(d-C), ∴.a-b=(3a-b-2a-b)=1(a-2b),∴.(1-λ)a+(2- b=0,/1-A=0, 2-6=0,解得1， k=2. 8.A解析：设c=m十边，则2一2y=5, x3 解得 ,c= (2x十y=4, y=-5, ga-g 9.A解析：A正=A市+B庞=A+动=A市+子(B脐十 A动)=子恋+是a动m=子m=是，则m-n=-合 10.AC解析：如图，根据三角形的中线性质 和平行四边形法则，知A正=AB十B求 $+号庇-A恋+号(AC-恋)= 2(C+AB),故A正确；”EF是中位 线，AB=2F范，故B错误；设AB的中点为G,根据三角形 的重心性质，知CP=2PG,C市=号庇=号×2(Ci+ C)=号(C才+C),故C正确，D错误. 11.-13解析：由题意，AB=(-7,一2).：点C在线段AB 上，故心与访同向.又A迹=(2m-9,m十3)，故2m79- m,解得m=一13， 12.(0,5)解析：设0为坐标原点，O市-OA+AP=OA-2P= Oi-2(Oi-O),整理得O=2Oi-Oi=(2,8)- (2,3)=(0,5). 13.1解析：o巾=2(Oi-O巾)+tO克，即(2t+1)O=2Oi+ 0成0市=i十成：A,B,P三点共线， “2十2本=1，解得=1 14.3解析：A市-号A+子A心-号(D+D)+号(A市+ Dò=A市+号Di+令D元，∴.号d=号D心=3心 号励，3d=就，即入=3. -10 15.[3,4]解析：如图，当点P在△CDE 内部时，作直线FB,与直线FB平行的 最近的线是直线EC,过点D且与直线 FB平行的线是最远的，a十Be, 「AN =s0 考前练29平面向量的数量积运算 1.D解析：：向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线，∴.2k 1一=0，解得及=一合，则m·a=(-2,-)(4,1》= 17 2· 2.D解析：由条件，知ab=-2十4m=0,m=号，从而a 2b=(-5,3). 3.C解析：，a=(2,3),b=(k,5),.a·b=2k十3X5=3,解得 k=-6,.b=(k,5)=(-6,5),2a+b=(4,6)+(-6,5)= (-2,11),∴.|2a+b|=√/(-2)2+11=55. 4.B解析：由(a-2b)⊥a,可得(a一2b)·a=a2一2a·b= |a2-2 alblcos(a,b》=0,则|a2-2|a2cos(a,b)=0,则 cos<a,b)=2.又(a,b)∈[0，]，∴(a,b=于 5.C解析：由题意，得|a=|b|=1.由|a一b|=√3|a十bl→ a-br=3(a+b2>ab=-合(a+36r=10+6ab= 7,.a十3b=√7. 6.C解析：B.式-1ICos∠PBC,而Bd1=|B· cos∠PBC,B驴.B武=|Bd1|BC1.又△ABC是边长为4的 等边三角形，D为BC的中点，∴.B.B武=|Bd1B武1=2X 4=8. 7.A解析：如图，取A为坐标原点，AB所 在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则 A(0,0),B(2,0),C(3,w3),F(-1,√3). 设P(x,y),则A泸=(x,y),AB=(2,0), 且-1<x<3,A市.AB=(x,y)·(2, 0)=2x∈(-2,6). 8.B解析：由题意可知，A正·B=(Ad+D)·(B心+C)= A.BC+AD.C+Di.BC+D市.Ci=2+AD.C求+ D成.Bt-=2-iC亦-D成.Di=2-2×1×(-g) 1xEx(-)-4 9.C解析：如图，设AB的中点为D,连接 OD,则OD⊥AB.,点O为△ABC的外心， AB.Ad=A迹·(AD+Di)=A范· Ad+Ai.Dò-2A迹+0=2×2=2. 10.B解析：由a·b=a·c,得|alblcos(a,b)=allelcos(a, c以.la≠0，∴ccos(a,c)=bcos(a,b>=4×cos否- 23,∴.c在a上的投影向量的长度为|ccos(a,c〉|=2W3. 1.号解析：由(a-b)⊥b,得(a-b)·b=0,即a·b=. 0