辽宁鞍山市第十三中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中学情调研数学试卷

2025一2026学年度高一（下）5月中期学情调研试卷 数学学科答案及评分细则 一、单选题：1-5 ACCBB6-8DCC 二、多选题：9.ACD10.AC11.BCD 三、填空题：1251以14牙 50 四、解答题： 15.(本题满分13分) 解：(1)a-b)1i,(a-b)b=0, a.b-6=0,2分 :lcos(a,6）-时=03分 同=26l,2cos(a,6）-=04分 cos(a,)=7,5分 :(a,）e[0,∴ā与6的夹角为5 7分 (2)~a+=4,la+=14,8分 问=2，又由)知cosa,5}=2 75=14,5=2.13分 16.(本题满分15分) 解：(1)因为a∈ 所以2a [a[引 2分 因为sin2a= ，所以cos2a=-V-sin22a=-2 4分 5 (2)因为a [任引B],所u-e[ ，5分 因为smB-a-酒0，所以-a[经小，1eaB-a- 8分 10 cosa+B)=cos2a+β-a=cos2acosβ-a-sin2 a sin(B-a)10分 25310 502 X 12分 5 10 5102 因为a+B=2a+(B-a)∈元，2x,所以a+B=7 4 .15分 17.(本题满分15分) sin(-a cos (2n+a 5 解：(1)f(a) -sina(-sina)=sina sina=cosa sina tana sina cos- +tan(-π+o 2 sino· cosa (2)由(1)可得 g(x)=2cos2x+cos 受+小42=20-m2到+sn+2=-2smx+m+410分 1=m0 ，te[0,l, .h(t)=g(x)=-22+t+4,t∈[0,1,12分 对称轴为1= 当t=1时，h(t)mn=h(1=-2+1+4=3,14分 故函数gx)的值域为 33 38J 15分 18.(本题满分17分) 解：(I)由正弦定理得sinC-sinB-c-b 所以c-b。a-b 2分 sin A a a c+b 所以c2-b3=a2-ah,由余弦定理，cosC=g+b-c2=ab_1 =2' 4分 因Ce0,则c-胥5分 (2)由余弦定理，a2+b2-2abc0sC=c2,即a2+b2-ab=12,7分 2 absinC= 4ab,由条件知S=23,所以ab=8.8分 所以a2+b2=20,(a+b2=36,a+b=6.9分 所以△ABC周长为2√3+6.10分 1 1 (3)由Saac=2ch=2 bsinC可得4c=V5ab11分 a b c abab ,即得b=2 2 由正弦定理， sin A sin B sin C 4x32 ，= sin A sin B 2 则Saac=号absinC=x2x2xV5 1 √3 2 sin B"sin A 2 13分 2 sin Asin 2元 3 A 5 § 4v3 3 1 3 sin A cos A+ sin2A+2（1-cos242sim2A-刀 +1 、2 4 4( 6 0<A<π 由△ABC为锐角三角形可得， ，解得工<A<正， 0< 2π-A< 6 下214分 2 则<2A-<5n,1<sim2A- 6 6<62 s1,改得45≤S<25,16分 6 3 即△ABC面积的取值范围为 4v5 17分 19.(本题满分17分) 解：(1)①在△ABC中，由正弦定理得√3sinB-sin Csin A=√3 sin Acos C, :B=π-A+C),有sinB=sinA+C), 3(sin A cosC+cos Asin C)-sin C sin A=3 sin A cosC, 3 cos Asin C=sin Csin A, nC≠0.an4=5,又4e0,,A-骨：4分 ②0知A=号则△A0C的三个角都小于120， 由“T点”定义知：∠APB=∠BPC=∠APC=120°， 设PA=x,PB=y,PC=z,由SAPB+SABc+SAAPC=SAac得 5+.5+z5-x4x 2. -+一z· ,整理得xy+yz+xz=4,6分 22 22 22 所以PAPB+PB.PC+PA.PC =w(》+（引+如(》×4=2.8分 (2)由a cos B-bcosA=c,结合正弦定理sin Acos B-sin Bcos A=sinC, 有sinA-B)=sinC,:A,B,C均为三角形内角，.A-B=C 210分 或A-B+C=元（舍），即A=B+C=元-A,A= 由点P为△ABC的“T点”，得∠APB=∠BPC=∠APC=120°， PB m PA,PC n PA,PA=x,(m>0,n>0,x>0), 由PB+PC=2tPA,得m+n=21,由余弦定理得12分 A8=x2+m2x2-2mr2cos2=(m2+m+1x2, 3 l4CP=x+w'x-2nxcos2=(+n+1)x. |BC=m2x2+m2x2-2mr2cos2=(m2+n2+mn）x2,14分 3 相加得AC+AB=BC,得n2+n+1x2+m2+m+1x2=m2+n2+mnx2, 22 整理得m+n+2=mn,于是m+n+2=mn≤ m+n 当且仅当m=n,即m=n=1+√3时取等号， 2 又m+n=2t,因为2-2t-2≥0，而t>0,解得t≥1+3， 所以实数t的最小值为1+√5.17分 2025—2026学年度高一（下）5月中期学情调研试卷 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知圆心角是2弧度的扇形的周长为4，则扇形的面积为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，则z的虚部为（ ） A．-2 B． C．2 D． 3．下列各式中，值为的是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数（，）图象上相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，则函数的一个零点是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数（，，）的图象如图所示，则=（ ） A． B． C． D．0 6．在中，，则这个三角形一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 7．若，则=（ ） A．或2 B．-2或 C．2 D． 8．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列有关复数z的叙述正确的是（ ） A．若，则 B．若，则z的虚部为 C．若，则 D．若，则 10．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的值域是 B．在定义域内是增函数 C．的最小正周期是 D．的解集是（） 11．已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ） A．在区间上单调递增 B．π不是的一个周期 C．当时，的值域为 D．的图像关于y轴对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，的夹角为，，，则________． 13．若，，则________． 14．已知函数（，），当时取得最小值，当时取得最大值，且在区间上单调．则当取最大值时的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知非零向量，满足，且． （1）求与的夹角； （2）若，求． 16．（15分）已知，，且，． （1）求的值； （2）求的值． 17．（17分）已知函数． （1）化简； （2）求函数在的值域． 18．（17分）在面积为S的中，内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角C； （2）若，，求的周长； （3）若为锐角三角形，且边上的高h为2，求面积的取值范围． 19．（17分）我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质．意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该点T即称为托里拆利点（以下简称“T点”）．通过研究发现三角形中的“T点”满足到三角形三个顶点的距离和最小．当的三个内角均小于时，使得的点O即为“T点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“T点”．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）若，则 ①求A； ②若，设点P为的“T点”，求； （2）若，设P点为的“T点”，，求实数t的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $