辽宁大连育明高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

大连育明高级中学2025～2026学年（下）期中考试 高一 数学试卷 满分150分 时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．非选择题，用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效． 4．画图清晰，并用2B铅笔加深． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．的值是（     ） A． B． C． D． 2．若复数，则（     ） A．5 B．4 C． D．2 3．函数图象的对称中心是（     ） A．（） B．（） C．（） D．（） 4．若，则（     ） A． B．2 C． D． 5．已知，则（     ） A． B． C． D． 6．由瑞士著名建筑大师马里奥·博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，如图所示长方体，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为 m，此人估测得点的仰角为， 点的仰角为，则估测教学楼的高为（     ）（单位：m） A． B． C． D． 7．已知函数，若在区间 内没有零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．若 是 垂心， ，且，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．已知函数 的部分图象如图所示，则（     ） A． 的解析式可以为 B．将 图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移 个单位，得到 的图象，则 C． 的对称中心为（） D．若， ，则 10．下列说法正确的是（     ） A．若， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 B．平面向量 和 满足， 在 上的投影向量为，则 在 上的投影向量为 C．若 是 的外心，且， ，则 D．平面向量， ， 满足，且，则 为等腰三角形 11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是 （     ） A． B．若， ，则有两解 C．当时为直角三角形 D．的取值范围是 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 ____________ ． 13．若， ，且，则 ________ ． 14．已知， ， 是平面向量， 是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ________ ． 四、解答题：本题共5个小题，共77分． 15．（13分） 已知平面向量， ，满足， ， ． （1）求平面向量， 所成的角的大小； （2）若，求实数的值． 16．（15分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， （1）求角A的大小； （2）若D为BC中点， ， ，求边a； （3）若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 17．（15分）已知向量， ，其中，设函数，且． （1）求函数的解析式； （2）若，求的值； （3）若对，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围； （3）将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再保持图象上点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 19．（17分）定义：设为坐标原点，若非零向量，函数，则称为的伴随函数， 为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求的坐标； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，内角， ， 的对边分别为， ， ，恰好为函数的最大值． （i）若， 的角平分线交于点， ，求的最大值； （ii）若，在锐角中，求的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $大连育明高级中学2025~2026学年（下)期中考试 高一数学试卷 满分150分时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴在答 题卡上指定位置。 2.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.非选择题，用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效. 4.画图清晰，并用2B铅笔加深 第I卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.D2.A3.C4.B5.D6.D7.B8.D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.AD 10.CD 11.AC 第II卷（共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 221.至45-1 四、解答题：本题共5个小题，共77分， 15.【答】1)0=受2天=± 2 (1)(2a-3b1(2a+b), (2a-36)2a+6)=4(a-4a.6-3(6°=4-4a-6-36f, =4×3-4a.b-3×4=-4ā.b=0,即a.b=0, 则a1i,又a,=0e0,,即0= (2)=5,=2, la+=va+元by=V@2+22ā-万+元2（⑥）=V3+422=3, 即元=tv6 16.【答案】(1)A=2;(2)a=2V7;(3)6. 3 3 (1)因为b=a cosC+ -sinC 所以由正弦定理可得sinB=sinA cosC+ 在△ABC中，B=π-（A+C, sinB sin(A+C)=sinAcosC cosAsinC sinAcosC+ sinAsinC, 3 即cos4sinC= sinAsinC, 3 因为C∈(0，π)，sinC≠0，所以tanA=V3, 因为4e0小，所以A-骨 ②因为0-引a+C, 所以0列-2aB+AC可=3VaBP+4CP+2a8 cos4, -C, 32 又4D=i3,所以V3=c 2c,所以c=2, 又因为a2=b2+c2-2 bccos/4=9c2+c2-6c'cosT=7c2,所以a=2万. 3 (3)由正弦定理得0=b=c。4 si1 singsinc店，可得b= sinB,c=4 sinC, √3 3 ∴.a+b+c=2+ inB+4 4 v3 sinc=2+ 3 3 sinB+4 =23sinB+2cosB+2=4sinB++, 6 0<B<π ~△4BC是锐角三角形，且4=子 ,:<B<T, 0c=- 6 2 2 .a+b+c∈(2+2V5,6,.△ABC的周长最大值为6. 1.【】f到-m2+:23)( 》能g直小=.6-9-5 inoo+sar-点 2 sin2ox+3.I+cos2ox--sin 20x+3 2 2 由 =1得匹+=+2k,k∈Z, 632 即o=12k+1,k∈Z. 又0<o<2,所以o=1.所以f(x)=sin (2)由已知得， 1+sin2a .+2singcospsina +cos cos2a cos2a-sin2a cosa-sina 1-tana .-1 tand-1 3 1 4 -1+tan1+ 1=-2 3 同r引n+}o-引在引陵立 则如引引an+到m-引 而nsin+引-Zcos-引 msinx+mcosx-(sinx+cosx)=(m-1)(sinx+cosx), 所以sin2x>m-l(sinx+cosx, 即m-1< sin2x 2 sinxcosx在xe0,7 π 恒成立， sinx cosx sinx +cosx 2 记1=sinr+cosx=sn+到】 x引+[骨e 2sinxcosx =(sinx +cosx)2-1=12-1; 陵g0--1则g回在re同上年莲路， t ∴.g(t)mim=g(I)=0, .m-1<0,即m<1. 故m的取值范围为(-o0,1), (3)当入=1时，m=m(k∈Z且k≠0)；当元=-1 时，m=2n+1 -,nEZ. 2 =（2+2sinx)sinx+1-2sin2x-1=2sinx,∴.T=2π. 2)fo=2sin0x.由2k标-≤0r≤2a+5得2km-元≤r52+是，keZ, 020 0 20 ∴.f(Ox)的递增区间为 2k_元2+元]keZ, 020’020 :f(ox)在 _π2π π2π] 「元π 2’3 上是增函数，当k=0时， 2'3=20’20 0>0 ≤-工，解得0<0≤，：0的取值范围是 3 3 0. 20 4 4 2π 203 (3)由题g(x)=sin 2mx+） 存在非零常数入，对任意的x∈R,gx+2)=入gx)成立， g(x+入)在R上的值域为[-1，，元g(x)在R上的值域为[-2，， 2=1 当入=1时，gx+1)=g(x),1为g(x的一个周期，即1为g(x)最小正周期的整数倍， 所以领=1，即m=m(k∈Z且k≠0)； 当2=-1时，gx-1)=sin 由诱导公式可得2m=(2n+1)元，n∈Z,即m=2n+小r, 2 -,n∈Z, 所以当入=1时，m=m(k∈Z且k≠0)；当入=-1时，m= （2n+1·π ,nEZ. 以【米】o-a(i手T别 (1)由已知f(x)=2sinx+2 sinx+3cosx, 所以OM=(山，5： (2)(i)根据题意，由OM=(24,7)知，f(x)=24sinx+7cosx, 公4-2器r云o2o,片中ap 25 sinx+ 24 不纺令p为锐角，当x+9=行时，f八x取到最大值f(C),即C+0=2 25,同理c0sC=0 24 π 则sinC=sin 1 --0=C0S0 29=sin0=2 由二倍角公式得： c0sC=2c0s2C-1=7 2 125cos2C=16 -→sin °225 sin2C、9 225 251 如图，由三角形面积可得：Sac=Sa4oc+Sac台)-absinC=)b-CDsin+5a-CDsin C.1 C 22 所以ab 4=bCD号+a-CD 、3 25 →cD=8b-81 5 5a+b511' b a 由余弦定理得c=0+6-2 boC-→d+62-2若6=4曰0a+b-0 256+4, 因为a+h22aha+b24ab,所y关ah+424ahb≤43ah≤5 9 8181 则CD= -X- 51,15。 3 b a ab V25 D B 1 (ii)由f(x)=2× sin+cosx 2 2inc+君引合0c+名C- 62 3 利用正弦定理边化角可得T=Sin4+smB,其中A=4牛B+4B,B=4牛B_4,B, sinAsinB 2 2 22 所以sinA=sin 与4os9 2 2 sinB sin A+B A-B 22 2-cos 2-sin- sin A+B cosAB cos A A+B:A-B 2 且A+B=π-C= 2,则B=2-A, 3 所以 2sin 4+Bco4-B7 2 cos 2 3c0s24-B 2 scos-) cos(A-B)-cos(4+B) 1 2 5cos4-B+1co91-3)厂41-4osA-元 由于三角形是锐角三角形，则 545 02 所以c(4-引利小，号知re43