2025-2026学年高二下学期阶段测试数学试题（人教A版选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章到7.2）

**基本信息** 立足高二数学阶段性学习，以导数、概率统计、排列组合为核心，通过原创情境题（如2027年大冬会吉祥物排队、兴趣班学生选派）考查数学眼光与思维，适配月考检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数计算、切线倾斜角、二项式常数项|基础概念与运算结合，如火箭高度瞬时速度问题| |多选题|3/18|二项式展开式、导函数图像分析|多角度辨析，如导函数图像判断单调性与极值| |填空题|3/15|导数应用、随机事件概率、原创排列题|融入时代素材，如大冬会吉祥物排队计数| |解答题|3/47|概率计算（4问分层）、函数切线与单调性|分层设问，如兴趣班选派问题从基础到综合|

高二下学期阶段测试 高二下学期阶段测试 2025—2026学年度下学期高二年级阶段测试 数学学科试题 时间：90分钟 分值：120分 命题：彭红伟 审题：彭红伟 一、单选题(每小题5分，共40分) 1．已知函数的导函数为，若，则（     ） A． 5 B．1 C． D． 2．曲线在点处的切线的倾斜角为（     ） A． B．45° C． D．135° 3．某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，则当其瞬时速度为时，（     ） A． B． C． D． 4．展开式中的常数项为 A．第5项 B．第5项或第6项 C．第6项 D．不存在 5．下表是离散型随机变量的概率分布，则（    ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 6．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烩鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（     ） A．480 B．240 C．384 D．1440 8．对图中个区域涂色，有种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都使用），要求每个区域涂种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．关于的展开式，下列判断正确的是（     ） A．展开式共有项 B．展开式的各二项式系数的和为 C．展开式中的系数为 D．展开式中二项式系数最大的项是第项 10．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（     ）    A．在上单调递减 B．有极小值 C．有3个极值点 D．在处取得最大值 11．设是一个随机试验中的两个事件，若，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知函数及其导函数满足，则_________． 13．已知为随机事件，，则_________. 14．（原创）2027年长春第33届世界大学生冬季运动会的吉祥物是“吉冰”、“吉雪”．现有甲、乙、丙3位运动员要与“吉冰”、“ 吉雪”站成一排拍照留念，则这2个吉祥物相邻并且甲不在两端的排队方法数为____________．（用数字作答） 四、解答题（共47分,15题15分，16题15分，17题17分） 15．（原创）某兴趣班有10名学生，其中包括小丽和小明，现要从该班选派4名学生参加比赛： (1)求小丽和小明都在内的概率？ (2)求小丽和小明有一人在内，且只能有一人在内的概率？ (3)求小丽和小明都不在内的概率？ (4)求小丽和小明至少有一人在内的概率？ 16．已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 17．已知函数，且. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的值域. 数学学科试题第2/2页 数学学科试题第1/2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 命题双向细目表 题型 题号 分值 考查知识点 能力层级 难度 难度系数 所属模块 分值占比 单选题 1 5 导数的定义、导数概念 理解 易 0.85 导数及其应用 4.17% 2 5 导数的几何意义、切线斜率、倾斜角 理解 易 0.85 导数及其应用 4.17% 3 5 导数的物理意义（瞬时速度）、导数计算 应用 易 0.80 导数及其应用 4.17% 4 5 二项式定理、二项展开式通项 理解 易 0.85 计数原理 4.17% 5 5 离散型随机变量分布列、概率计算 理解 易 0.80 概率 4.17% 6 5 基本初等函数求导公式 识记 易 0.90 导数及其应用 4.17% 7 5 排列组合、不相邻问题（插空法） 应用 中 0.65 计数原理 4.17% 8 5 排列组合、区域涂色问题 综合 中 0.60 计数原理 4.17% 多选题 9 6 二项式定理、二项式系数性质、通项应用 理解 中 0.65 计数原理 5% 10 6 导数与函数单调性、极值、最值的关系 综合 中 0.60 导数及其应用 5% 11 6 条件概率、互斥事件、概率加法公式、对立事件概率 应用 中 0.60 概率 5% 填空题 12 5 函数求导、导函数值 应用 易 0.80 导数及其应用 4.17% 13 5 条件概率公式、全概率思想 综合 中 0.60 概率 4.17% 14 5 排列组合、相邻捆绑法+特殊位置限制 综合 中 0.55 计数原理 4.17% 解答题 15 15 古典概型、组合计数、概率综合计算 综合 中 0.55 概率 12.5% 16 15 导数几何意义、切线垂直、函数单调区间求解 应用 中 0.55 导数及其应用 12.5% 17 17 导数几何意义（切线方程）、闭区间上函数值域（最值） 综合 难 0.40 导数及其应用 14.17% 合计 120 100% 一、模块分值分布说明   1. 导数及其应用：63分，占比52.5%，考查导数定义、几何意义、求导运算、函数单调性与最值，为核心考查模块； 2. 计数原理（排列组合+二项式定理）：26分，占比21.67%，侧重基础排列组合模型、二项式系数性质； 3. 概率（随机变量、条件概率、古典概型）：31分，占比25.83%，覆盖分布列、条件概率、综合概率计算。   二、难度结构说明   - 容易题：35分，占29.17%，侧重公式识记、基础运算； - 中等题：68分，占56.67%，侧重方法应用、常规综合题型； - 难题：17分，占14.17%，侧重导数综合最值问题，区分学生能力层次。 三、难度系数赋值标准（适配高中常规考试） - 易：0.80–0.90 ​ - 中：0.55–0.65 ​ - 难：0.35–0.45 学科网（北京）股份有限公司 $高二下学期阶段测试 高X上学期期末考试 高二下学期阶段测试 2025—2026学年度下学期高二年级阶段测试 数学学科答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C B D A B BD ABC 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】. 2．D 【分析】对函数进行求导得，再利用导数的几何意义求得切线的斜率，即可得到倾斜角. 【详解】， ， ， 即曲线在点处切线的斜率为， 故曲线在点处切线的倾斜角为， 故选：D． 【点睛】本题考查导数几何意义求切线的倾斜角，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题. 3．B 【分析】根据导数的意义求解． 【详解】根据导数定义， 令，即，得， 故选：B． 4．C 【分析】根据题意，写出展开式中的通项为，令的指数为0，可得的值，由项数与的关系，可得答案． 【详解】解：根据题意，展开式中的通项为， 令，可得；则其常数项为第项； 故选． 【点睛】本题考查二项式系数的性质，解题的关键是正确应用二项式定理，写出二项式展开式，其次注意项数值与的关系,属于基础题． 5．B 【分析】根据分布列的性质可得，利用对立事件概率性质运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 6．D 【分析】根据题意，利用基本初等函数的导数公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，因为为常数，可得，所以A错误； 对于B，由基本初等函数的导数公式，可得，所以B错误； 对于C，由基本初等函数的导数公式，可得，所以C错误； 对于D，由基本初等函数的导数公式，可得，所以D正确． 7．A 【分析】利用插空法求解，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空即可. 【详解】根据题意，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，共有种方法， 4道菜排列后，有5个空，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空，有种方法， 所以由分步计数原理可知共有种不同的上菜顺序， 故选：A 8．B 【分析】先涂区域，有种选择，再涂区域、、、，各有种选择，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先涂区域，有种选择，再涂区域、、、，各有种选择， 故不同的涂色方法有种. 故选：B. 9．BD 【分析】利用展开式项数与指数的关系可判断A选项；利用展开式二项式系数和可判断B选项；利用二项展开式通项可判断C选项；利用二项式系数的最值可判断D选项. 【详解】对于A选项，的展开式共有项，A错； 对于B选项，展开式的各二项式系数的和为，B对； 对于C选项，展开式通项为， 所以展开式中的系数为，C错； 对于D选项，展开式中二项式系数最大的项是第项，D对. 故选：BD. 10．ABC 【分析】首先分析给定图像，由的图象可知时，，则单调递减，进一步分析其他选项，由的图象可知当时，有极值，所以有3个极值点，再找出最大值和极小值即可. 【详解】由的图象可知时，， 则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增， 所以当时，有极小值，故B正确； 由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确； 当时，，则单调递增，所以， 则在处不能取得最大值，故D错误． 故选：ABC． 11．ABD 【分析】根据对立事件的概率公式判断A，根据条件概率公式判断B，根据和事件的概率公式判断C,根据全概率公式判断D. 【详解】因为，，， 所以，故A正确； ，故B正确； 因为， 所以，故C错误. ，故D正确； 故选：ABD 12．/ 【详解】由题设，则. 13．0.5/ 【分析】根据条件概率的公式即可求解. 【详解】， ， 由条件概率公式得： ；， 所以，， 故答案为：. 14.（原创）24 【分析】先将“吉冰”、“吉雪”两个吉祥物看成一个整体，与甲、乙、丙3位运动员排序，甲不在两端，可排在中间2个位置，其余2位运动员和吉祥物排在剩余三个位置，最后2个吉祥物再进行全排列，结合排列数和组合数的计算公式，即可求解. 【详解】先将“吉冰”、“吉雪”两个吉祥物看成一个整体，与甲、乙、丙3位运动员排序，甲不在两端，可排在中间2个位置，其余2位运动员和吉祥物排在剩余三个位置，最后2个吉祥物再进行全排列， 所以不同的排队方法种数为． 故答案为：24. 15．（原创） (1) (2) (3) (4) 【分析】（1）只需从剩余的8名学生中再选择2名学生，利用古典概型可得结果； （2）从小丽和小明中选一人，再从剩余的8名学生中选择3人，利用古典概型可得结果； （3）只需从剩余的8名学生中选择4名学生，利用古典概型可得结果； （4）由（3）结合对立事件的概率和为1可得结果. 【详解】（1）解：如果小丽和小明必须在内，只需从剩余的8名学生中再选择2名学生， 所以，概率为 ……4分 （2）解：从小丽和小明中选一人，再从剩余的8名学生中选择3人， 所以，概率为 ……4分 （3）解：如果小丽和小明都不在内，只需从剩余的8名学生中选择4名学生， 所以，概率为 ……4分 （4）解：若小丽和小明都在内，概率为 ……3分 16．(1) (2)的递增区间为、，递减区间为 【分析】（1）求导，根据两直线垂直得到切线斜率，由导数几何意义得到方程，求出； （2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间. 【详解】（1），……2分 则，……3分 由题意可得， 解得.……5分 （2）由，故，定义域，……6分 则，，……8分 由0得到，1. ……10分 故当时，，当时，，当时，，……12分 故的递增区间为、，的递减区间为.……15分 17．(1) (2) 【分析】（1）利用可构造方程求得的值，结合可求得切线方程； （2）利用导数可求得的单调性，结合区间端点值和极值可求得的最值，由此可得的值域. 【详解】（1），，解得：，……3分 ，则，……4分 在点处的切线方程为：，即.……6分 （2）由（1）知：，则，……8分 当时，；当时，；……10分 在，上单调递增，在上单调递减，……13分 又，，，，，，……16分 的值域为.……17分 1 XX学科答题卡第1/X页 5 学科网（北京）股份有限公司 $