精品解析：吉林省实验中学2024-2025学年高二下学期4月学程性考试（一）数学试题

吉林省实验中学2024-2025学年度下学期 高二年级学程性考试（一） 数 学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效．不得在答题卡上做任何标记． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存． 一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的计算公式与求导法则计算即得. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确. 故选：D 2. 若，则（ ） A. 90 B. 42 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数的性质求出即可. 【详解】根据，且，所以，﹒ 故选：A﹒ 3. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过求导，令导函数大于，即可求解. 【详解】函数的定义域为， ， 令，即，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：. 4. 甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 6种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】分乙在甲、丙之间，乙不在甲、丙之间两种情况讨论即可. 【详解】根据题意，可分成两类情况： 第一类：乙在甲、丙之间，有种； 第二类：乙不在甲、丙之间，有种； 由分类加法计数原理，共有种方案. 故选：C 5. 将数字1，2，3填在的表格中，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘法计数原理分情况判断即可. 【详解】第一列第一个数有3种选择，第二个数有2种选择，第三个数有1种选择； 第一行第二个数有2种选择，其它空格只有1种选择； 所以共有种. 故选：A 6. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数值，以及函数的变化趋向，即可判断选项. 【详解】函数的定义域为，满足， 所以函数是奇函数，故排除B， 设， ，所以在上单调递增，， ，所以当时，，故排除D； 当时，，故排除A. 故选：C 7. 口袋里有红黄蓝绿的小球各四个，这些球除了颜色之外完全相同，现在从口袋里任意取出四个小球，则不同的方法有（ ）种. A. 48 B. 77 C. 35 D. 39 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可将取出的球分为有一种、二种、三种、四种颜色分类，然后再求出各种情况有多少种，分类相加即可求解. 【详解】根据条件，取出的四个球可以分为一种，两种，三种，四种颜色， 当取出的球只有一种颜色时：有种； 当取出的球只有二种颜色时：有种； 当取出的球只有三种颜色时：有种； 当取出的球只有四种颜色时：有种； 共有：种.故C项正确. 故选：C. 8. 已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设不等式和选项的结构，考虑构造函数，求导得其单调性，利用其单调性对自变量进行赋值，即可一一判断选项正误. 【详解】设，则， 因，故得，即在上为减函数. 对于A项，因，则，即，即，故A错误； 对于B项，因，则，即，即得，故B错误； 对于C项，因，则，即，即得，故C错误； 对于D项，因，则，即，即得，故D正确. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 在上单调递增，则 D. 直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，先对函数进行求导，然后令，再根据定义域的取值范围分析导数的符号变化，即可求出极值点个数；选项B，求出函数的极值，然后根据定义域的取值范围分析趋势，得出零点个数；选项C，构造函数并求导，得出构造的函数单调递增的条件，即可求出范围；选项D，设切点为，根据函数在处的斜率得出切线方程，将切线方程与直线进行对比，即可得出结论. 【详解】由题意，， 选项A， 在中，， ∴当时，解得， ∴当即，时，函数单调递增； 当即时，函数单调递减， ∴是极大值点，是极小值点，共个极值点， 故A正确. 选项B， 在中， 极大值为，极小值为， ∴当时，；当时，， ∴函数从上升到正的极大值，再下降到正的极小值，最后上升到， 仅穿过轴次（唯一零点）， 故B错误. 选项C， 在中，，， 函数在上单调递增， ∴当时，，即， ∵当时，（单调递增，最小值趋近于）， ∴， 故C错误. 选项D，设切点为，切线斜率为， ∴切线方程为：，即， ∵直线与切线斜率相等， ∴，解得， 当时，，， 切线方程为：，即， 故D正确. 故选：AD. 10. 已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是（ ） A. 活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有18种不同的方法 B. 5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有72种不同的方法 C. 将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有24种不同的方法 D. 活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，有9种不同的方法 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据分步计数原理和优先法可得结果；对于B，根据分步计数原理和插空法可得结果；对于C，运用分组分配法，先分组再分配，可得结果；对于D，至少两名男生，根据分类计数原理可得. 【详解】对于A，甲在最左边，乙不在最右边，则乙在中间三个位置选一个，有种排法，其余三人全排，有种排法，故共有（种）不同的排法，故A正确； 对于B，甲和乙不相邻，则先排其余三人，有种排法， 再在这三人形成的四个空隙中选两个排甲和乙，有种排法， 故共有（种）不同的排法，故B正确； 对于C，将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生， 则先分组再分配，先将男生分为一组1人，另一组2人，有种分法， 再将女生分到这两组，有种分法，最后将这两组分配到两项活动，有种分法， 故共有（种）不同的分法，故C错误； 对于D，从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生， 则有两种情况，第一种情况是两名男生一名女生，有种选法， 第二种情况是三名男生，有种选法，故共有（种）不同的选法，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数有两个零点 B. 当时，函数有唯一零点 C. 对于任意的，函数与零点个数相同 D. 当时，若有，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，求得在处的切线方程，然后判断；对B，求得在处的切线方程，然后判断；对C，对分三种情况讨论可判断；对D，根据，利用同构得到，然后构建函数判断即可. 【详解】对A，令，，， 所以曲线在处的切线方程为， 当切线经过原点时，，所以切线斜率为， 此时曲线与直线只有一个交点， 所以当时，曲线与直线有两个交点，即函数有两个零点；故正确； 对B，，令，，， 所以曲线在处的切线方程为， 当切线经过原点时，，所以切线斜率为， 此时曲线与直线只有一个交点， 所以当时，曲线与直线有两个交点，即函数有两个有零点；故错误； 对C，当时，由A、B选项可知函数与均没有零点； 当时，由A、B选项可知函数与均有一个零点； 当时，由A、B选项可知函数与均有两个零点； 所以对于任意的，函数与零点个数相同，故正确； 对D，当时，， 由， 则，令，， 所以，恒成立，所以函数在单调递增， 所以. ，令， 则，若，；若，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在有最大值为，即的最大值为 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 要安排4名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有_____种. 【答案】36 【解析】 【分析】部分平均分组，先分组，再进行全排列，利用排列组合知识进行求解 【详解】由题意，这4名学生只能进行1,1,2的安排， 故不同的安排方法有种. 故答案为：36 13. 若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性并求得极小值，然后依题意得到，计算即可. 【详解】由题可知：， 令，则；令，则或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 极小值为，令，所以或， 又函数在区间内有最小值， 所以. 故答案为：. 14. 商场某区域的行走路线图可以抽象为一个正方体道路网（如图，图中的线段均为可行走的通道），甲、乙两人同时从A点以相同的速度出发，随机地选择一条最短路径，同时经过并最终到达，共有__________种不同的行走方法．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据乘法计数原理计算即可. 【详解】由图可知：从从A点到点最短路径有6种情况，从点到点最短路径有6种情况， 所以甲、乙两人同时从A点到点最短路径有种. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）极大值为17，极小值为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）计算，求出函数的单调区间，即可求出函数的极值； （2）根据函数的单调性以及极值，结合，的值，即可求出函数的最值． 【小问1详解】 ，令得，或， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以的极大值为，极小值为． 【小问2详解】 由（1）得，在和上单调递增，在上单调递减， 因为，所以在区间上的最大值为； 因为，所以在区间上的最小值为． 16. （1）已知函数，求函数在点（0，1）处的切线方程； （2）已知函数满足．若直线是曲线的切线，且经过点，求的方程． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）求得，利用点斜式计算； （2）假设切点，利用导数的几何意义，求得，然后求得切线方程代入点计算即可. 【详解】（1），， 所以函数在点（0，1）处的切线方程为，即. （2），， 所以. 设切点坐标为，，则， 所以切线方程为，又切线经过点， 代入得到，求得或， 所以的方程为或. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性; （2）若对任意的，不等式 恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1），分和讨论即可； （2）首先讨论时不合题意，然后在时，由（1）得，设，求导得到其单调性，结合，则，解出即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 当时，恒成立，则在上单调递减. 当时，由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 当时，由（1）可知在上单调递减. 因为， 所以不符合题意. 当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 则. 对任意的，不等式恒成立等价于. 设，则恒成立， 故在上单调递增. 因为，所以，解得. 综上，的取值范围是. 18. 已知函数． （1）当时，求函数在区间上零点的个数； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）1个零点 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导可得在单调递减，结合零点存在定理即可得到结果； （2）根据题意，由端点效应可得，然后证明当时，，均有即可. 【小问1详解】 当时，，令， 则， 当时，，在单调递减，即在单调递减， 且，， ，使， 在单调递增，单调递减； ，， 在有1个零点； 【小问2详解】 ，注意到，要使，则须满足，即，得． 下证：当时，，均有． 当时， 此时在单调递减，此时． 当时，，必存在，使在单调递增，那么均有，矛盾． 综上所述：要使成立的的取值范围为：． 19. 已知函数． （1）求在上的最小值； （2）当时，恒成立，求正整数的最大值． 【答案】（1）. （2）2 【解析】 【分析】（1）对的求导，讨论极值点与区间的关系，确定的单调性，从而求出最值； （2）要使当时恒成立，将代入后变形为​在上恒成立，构造函数，利用导数研究其单调性，进而确定最小值，即可求出正整数的最大值. 【小问1详解】 由题意，， 在中,， 当时，解得， 若，则当时，， ∴函数在上递增， ∴； 当，即时， 当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴． ∴. 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在中， 当时，，即， ∴在上恒成立，， 在中，， ， 在中，， ∴在上单调递增， ； ； ∴，使得，即， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 在处取得极小值，也是最小值，即. 将代入，， ∵，， ∴， ∵为正整数， ∴的最大值为2. ∴整数的最大值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省实验中学2024-2025学年度下学期 高二年级学程性考试（一） 数 学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效．不得在答题卡上做任何标记． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存． 一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 90 B. 42 C. 12 D. 10 3. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的方案共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 6种 D. 12种 5. 将数字1，2，3填在的表格中，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 6. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 口袋里有红黄蓝绿的小球各四个，这些球除了颜色之外完全相同，现在从口袋里任意取出四个小球，则不同的方法有（ ）种. A. 48 B. 77 C. 35 D. 39 8. 已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 在上单调递增，则 D. 直线是曲线的切线 10. 已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是（ ） A. 活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有18种不同的方法 B. 5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有72种不同的方法 C. 将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有24种不同的方法 D. 活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，有9种不同的方法 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数有两个零点 B. 当时，函数有唯一零点 C. 对于任意的，函数与零点个数相同 D. 当时，若有，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 要安排4名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有_____种. 13. 若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是__________． 14. 商场某区域的行走路线图可以抽象为一个正方体道路网（如图，图中的线段均为可行走的通道），甲、乙两人同时从A点以相同的速度出发，随机地选择一条最短路径，同时经过并最终到达，共有__________种不同的行走方法．（用数字作答） 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求在区间上的最大值与最小值． 16. （1）已知函数，求函数在点（0，1）处的切线方程； （2）已知函数满足．若直线是曲线的切线，且经过点，求的方程． 17. 已知函数. （1）讨论的单调性; （2）若对任意的，不等式 恒成立，求a的取值范围. 18. 已知函数． （1）当时，求函数在区间上零点的个数； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）求在上的最小值； （2）当时，恒成立，求正整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $