最值模型：隐圆问题复习讲义-2026年中考数学二轮复习

该初中数学中考复习讲义聚焦隐圆问题，覆盖定点定长、直角型、定弦定角三大必考模型，结合常用圆性质构建知识体系。通过“找定条件-判模型-画轨迹-用性质”四步解题思路，搭配中考真题讲解与分层训练，帮助学生系统突破几何最值等难点。 亮点在于“模型识别+动态转化”教学策略，如通过例1旋转问题将动点轨迹转化为隐圆，培养几何直观与推理能力。设置例题、变式、实战三级训练，配合5分钟模型应用限时练，确保学生快速掌握转化方法，教师可据此精准把控复习节奏，提升备考效率。

最值模型：隐圆问题复习讲义 最值模型：隐圆问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点（初中必考3大模型） 模型1 定点定长隐圆 条件：动点到一个定点距离始终不变 结论：动点轨迹是圆 口诀：定点定长走圆周 模型2 直角型隐圆（直径圆） 条件：动点与线段两端点连线夹角恒为90° 结论：动点在以这条线段为直径的圆上 定理：直径所对圆周角是直角 模型3 定弦定角隐圆（中考重难点） 条件：定线段不动，动点对定线段张角为定角 结论：动点在同一段圆弧上运动 · 定角为锐角→动点在优弧 · 定角为钝角→动点在劣弧 常用圆性质 1. 同圆半径相等 1. 圆外一点到圆上点：最远=圆心距+半径，最近=圆心距−半径 1. 同弧所对圆周角相等 1. 圆中最长弦为直径 二、解题原理 题目没有画出圆，根据角度、长度固定关系，判断动点隐藏在圆弧上运动，把几何最值、取值范围、角度问题，转化为圆的基本性质解题。 三、标准解题思路 1. 找定点、定线段、固定角度 1. 判断属于哪一类隐圆模型，确定隐藏圆心和半径 1. 画出隐藏圆弧，确定动点运动轨迹（圆弧而非整圆） 1. 利用圆最值、圆周角、半径相等求解 1. 注意取舍端点、不符合题意的位置 四、常考题型用法 1. 求线段最值 找点到圆心距离，加减半径直接求最大最小值 1. 求角度定值/范围 利用同弧圆周角相等快速转化 1. 求动点路径长 算出圆弧圆心角，用弧长公式计算 1. 证明线段相等 利用同圆半径相等证明 例题分析 例1．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（   ） ①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 例3．（2026·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，．点E在线段上由D向A方向匀速运动，点F在线段上由B向C方向匀速运动．点E与点F同时开始运动，点F的运动速度为点E运动速度的3倍．当点F到达C点时，点E也停止运动．将矩形沿翻折，点C、点D的对应点分别为点P、点Q，连接．在运动过程中，当最小时，的值为__________．    例4．（2026·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，P、Q分别为、上的动点，点P以每秒3个单位长度的速度由A向D运动，同时，点Q以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，过点D作，垂足为点G，则的最大值为________． 例5．（2026·山东聊城·二模）【学习心得】 数学兴趣小组成员在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何图形如果添加辅助圆（隐形圆），运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． (1)如图1，在中，，，是外一点，且，若以点为圆心，为半径作，则点，必在上，是的圆心角，而是圆周角． ①求的度数； ②若点也在上，且点与点在弦（与，不重合）的两侧，求的度数． 【问题解决】 (2)如图2，在四边形中，，连接，，若，求的度数． 【问题拓展】 (3)如图3，，是正方形的边上的两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为4，则线段长度的最小值是________（直接写出答案）． 例6．（25-26九年级下·吉林长春·期中）综合探究 【直接运用】 (1)如图1，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是 ； 【构造运用】 (2)如图2，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为、的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为中点，求的最小值； 【灵活运用】 (3)如图3，已知正方形的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点C和D运动，连接和交于点P，求点P到点C的最短距离，并说明理由． 变式训练 变式1．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如图，的半径为4，弦的长为，点P为优弧上一动点，交直线于点C，则的面积的最大值是（   ）    A． B． C． D． 变式2．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（   ） A． B．         C．        D． 变式3．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 变式4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连接，使得面积为9，连结，则的最大值是________． 变式5．（2026·重庆·模拟预测）在中，，点为线段上一点，点为平面内一点． (1)如图1，若，且，，连接，若，求（用含的式子表示）； (2)如图2，连接，，满足且，取的中点，连接，若，猜想与之间的数量关系并证明； (3)如图3，，，点与点位于直线的异侧，连接，，，满足，且最大，连接，求当取到最大值时，的面积． 变式6．（2026·福建福州·模拟预测）在中，． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至点G，使得，连接，过点C作交延长线于E，若，请证明：； (3)如图3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 实战演练 1．（2025·广东梅州·模拟预测）如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（    ）． A．6 B． C．9 D． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为______． 3．（2026·安徽六安·一模）在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； (2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $最值模型：隐圆问题复习讲义 最值模型：隐圆问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点（初中必考3大模型） 模型1 定点定长隐圆 条件：动点到一个定点距离始终不变 结论：动点轨迹是圆 口诀：定点定长走圆周 模型2 直角型隐圆（直径圆） 条件：动点与线段两端点连线夹角恒为90° 结论：动点在以这条线段为直径的圆上 定理：直径所对圆周角是直角 模型3 定弦定角隐圆（中考重难点） 条件：定线段不动，动点对定线段张角为定角 结论：动点在同一段圆弧上运动 · 定角为锐角→动点在优弧 · 定角为钝角→动点在劣弧 常用圆性质 1. 同圆半径相等 1. 圆外一点到圆上点：最远=圆心距+半径，最近=圆心距−半径 1. 同弧所对圆周角相等 1. 圆中最长弦为直径 二、解题原理 题目没有画出圆，根据角度、长度固定关系，判断动点隐藏在圆弧上运动，把几何最值、取值范围、角度问题，转化为圆的基本性质解题。 三、标准解题思路 1. 找定点、定线段、固定角度 1. 判断属于哪一类隐圆模型，确定隐藏圆心和半径 1. 画出隐藏圆弧，确定动点运动轨迹（圆弧而非整圆） 1. 利用圆最值、圆周角、半径相等求解 1. 注意取舍端点、不符合题意的位置 四、常考题型用法 1. 求线段最值 找点到圆心距离，加减半径直接求最大最小值 1. 求角度定值/范围 利用同弧圆周角相等快速转化 1. 求动点路径长 算出圆弧圆心角，用弧长公式计算 1. 证明线段相等 利用同圆半径相等证明 例题分析 例1．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 例2．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（   ） ①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理、圆的基本性质，熟练掌握隐形圆上的点到定点和定直线的距离问题是解答的关键．利用相似三角形的性质可判断①；②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为，利用勾股定理求解即可判断②；过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度，利用三角形的面积公式求得，进而求得可判断③；取的中点，连接、，利用三角形的中位线求得，则点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， ①当时，则，即， 解得； 当时，则，即， 解得， 综上，当与相似时，或，故①错误； ②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为，故②正确； ③过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度， 由得， ∴， ∴点到距离的最小值为，故③正确； ④取的中点，连接、， ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为， 过O作于H，则，又， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴的最大值是，故④正确， 综上，结论正确的是②③④， 故选：B． 例3．（2026·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，．点E在线段上由D向A方向匀速运动，点F在线段上由B向C方向匀速运动．点E与点F同时开始运动，点F的运动速度为点E运动速度的3倍．当点F到达C点时，点E也停止运动．将矩形沿翻折，点C、点D的对应点分别为点P、点Q，连接．在运动过程中，当最小时，的值为__________．    【答案】 【分析】本题考查矩形翻折问题中的动点轨迹与最值问题．解题的关键在于利用相似三角形发现折痕与对角线的交点为定点，进而利用翻折的对称性得出点在以为圆心的定圆上运动，最后利用圆外一点到圆上点的距离最值求解． 【详解】解：设， ∵ 点的运动速度为点运动速度的倍， ∴ ， ∵ 四边形为矩形， ∴ ， 设 直线与交于点，连接， ∴ ， ∴ ， ∴ 点为上的定点，且， ∵ 矩形沿翻折，点的对应点为点， ∴垂直平分， ∵ 点在上， ∴ ， ∴ 点在以为圆心、为半径的定圆上运动， ∵为定点到定点的距离， ∴ 当点落在线段上时，最小，此时、、三点共线， ∴ ， 过点作于点，于点， ∵ 在上，， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ．    例4．（2026·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，P、Q分别为、上的动点，点P以每秒3个单位长度的速度由A向D运动，同时，点Q以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，过点D作，垂足为点G，则的最大值为________． 【答案】 【分析】连接交于点，利用平行和与的比值得到必过的交点，所以为定长，因为 ，得到，定角对定长，点的运动轨迹是以为直径的圆，从而求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点， ， ∵， ∴， 在中，， ∵点P以每秒3个单位长度的速度由A向D运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由C向B运动， 设运动时间为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段必过点， ∵， ∴， ∵，所对的边为定长， ∴点的运动轨迹是以为直径的圆， 点到圆上的最大长度要过圆心， ∴与重合时，取得最大值， ∵， ∴， 即的最大值为． 例5．（2026·山东聊城·二模）【学习心得】 数学兴趣小组成员在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何图形如果添加辅助圆（隐形圆），运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． (1)如图1，在中，，，是外一点，且，若以点为圆心，为半径作，则点，必在上，是的圆心角，而是圆周角． ①求的度数； ②若点也在上，且点与点在弦（与，不重合）的两侧，求的度数． 【问题解决】 (2)如图2，在四边形中，，连接，，若，求的度数． 【问题拓展】 (3)如图3，，是正方形的边上的两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为4，则线段长度的最小值是________（直接写出答案）． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】(1)①可知、、三点在以为圆心、为半径的圆上，根据圆周角定理求解即可； ②利用圆内接四边形对角互补求解即可； (2)由，取斜边的中点，可得，于是、、、四点共圆，且为直径，再利用圆周角定理推论求解即可； (3)通过两次全等证明，确定动点在以为直径的圆上，最后将“最小值”转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题即可． 【详解】（1）解：①如图1， ，， ，，都在以为圆心，为半径的上， ； ②在圆内接四边形中，， ． （2）解：如图2，取的中点，连接，， ，， ， ，，，在以为直径的上， ． （3）解：如图3： ，，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 取的中点O，连接， ， 在以为直径的圆上，，，三点共线时最小， 在中，， 的最小值是． 例6．（25-26九年级下·吉林长春·期中）综合探究 【直接运用】 (1)如图1，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是 ； 【构造运用】 (2)如图2，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为、的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为中点，求的最小值； 【灵活运用】 (3)如图3，已知正方形的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点C和D运动，连接和交于点P，求点P到点C的最短距离，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据点圆最值问题的解题思路，圆外一点与圆上一点所成线段的最小值时，圆上的点为圆外点与圆心所在直线与圆的交点（靠近圆外点的交点）处，作答即可； （2）连接，由题意可知为的中位线，故，根据折叠的性质，由定点定长，可以判断出点的运动轨迹为以F为圆心，为半径的圆，根据点圆最值问题的解题思路，求出的最小值，即可得到的最小值； （3）由题意，可知，借助正方形的性质，利用可以证明，从而得到，利用定长直角，可以判断出点P的运动轨迹为以为直径的圆，根据点圆最值问题的解题思路，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：如图，取的中点O，连接， 则当点A、P、O在同一直线上时，的值最小， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴的最小值； （2）解：如图，连接，， ∵点N为的中点，点M为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵F为的中点，四边形为平行四边形， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴点在以F为圆心，以为半径的圆上运动，且点在平行四边形内部， ∵， ∴当A、、F共线时，最小，即为的值， 作于H， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值， ∴的最小值； （3）解：如图，取的中点O，连接、、， ∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点C和D运动， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上运动， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∴点P到点C的最短距离为． 变式训练 变式1．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如图，的半径为4，弦的长为，点P为优弧上一动点，交直线于点C，则的面积的最大值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．证明，判断出点C在以为圆心，为半径的圆上运动可得结论． 【详解】解：如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C在以为圆心，为半径的圆上运动， 当点在的垂直平分线上时，的面积最大， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴面积的最大值． 故选：C． 变式2．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（   ） A． B．         C．        D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动．由此可找出临界点，当点落在上时，最短，当点落在边上时，最长．根据轴对称的性质分别求解，可得出的取值，进而得最大值． 【详解】解：根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动， 如图所示： 当点正好落在边上时， ， 是等边三角形， ， 最短， 此时； 当点落在边上时，最长， 过点作于点，分别过点作的垂线，交的延长线于点． 四边形是矩形， 在菱形中，，， 点在边上，且， ，，，， ， ， ，，， 在中，，， ， ， ， 设，则，， 在中， 由勾股定理可知，， 即， 解得， ， 故答案为：A． 变式3．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④． 变式4．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连接，使得面积为9，连结，则的最大值是________． 【答案】 【分析】过点D作，根据面积为9可取定长为6即可构造，从而得出，这样即确定了点D的轨迹圆心位置，再根据勾股定理求出长度，结合点D轨迹，在三点共线时有最大值即可求得答案． 【详解】解：如图，过点D作连接使得，取中点为点F，连接、，以点F为圆心，半径为3作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由题意得， ， 即点D轨迹为以线段为直径的圆， ， 当且仅当点B、F、D三点共线时取等， 在中， ， 解得， ， ， 最大值为． 故答案为：． 变式5．（2026·重庆·模拟预测）在中，，点为线段上一点，点为平面内一点． (1)如图1，若，且，，连接，若，求（用含的式子表示）； (2)如图2，连接，，满足且，取的中点，连接，若，猜想与之间的数量关系并证明； (3)如图3，，，点与点位于直线的异侧，连接，，，满足，且最大，连接，求当取到最大值时，的面积． 【答案】(1)，见详解 (2)，证明见详解 (3)，证明见详解 【分析】（1）首先通过证明表示出，然后借助表示出，进而求解； （2）通过观察和测量可以猜想出．先延长到点，使 ，连接，把问题转化为证明；然后延长到点，使 ，连接并延长，交于点，进一步把问题转化为证明即可； （3）先确定最大时点D的位置，然后利用相似求出的长，再确定出取最大值时点A的位置，最后利用解直角三角形求出面积即可． 【详解】（1）解： ， ． 在 和 中， ， ， ． ， ， ； （2）解：， 证明：如图1，延长到点，使 ，连接；延长到点，使，连接，连接并延长，交于点． 设，则由条件易知，， ，． ， ， ， ． ， ， ， ，即为等腰直角三角形． ， ． 的外角， ． ， ， ， ， ． ，， ，， ． ， ． ， ， ， ． （3）解： 如图 2，过点，点作，当与相切，且为切点时 最大． 假设位于处，连接，，其中与交于，连接． 由圆周角定理可知 ， 由三角形外角性质可知 ， ， 当为切点时， 最大． 延长交 于 ，连接，由条件易知 ，， ． 又 ， ， ， ， ． 如图3，由题意可知点A在以为直径的 上运动，圆心 为中点． 连接并延长，交 于点 ，此时最大． 过点作于，过点 作 于 ， 在 中，，， 则 ，． 由条件易知 ， ， ， ． 在 中，，。 ， ． 变式6．（2026·福建福州·模拟预测）在中，． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至点G，使得，连接，过点C作交延长线于E，若，请证明：； (3)如图3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)的最小值为 【分析】本题综合性较强，主要考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质以及几何最值问题． （1）过点B作交延长线于点E．先求出，再求出的长，最后运用三角形面积计算公式，求得的面积即可； （2）延长至H，使得，连接．先证，，再通过推导角的数量关系，证得，，从而得到， 导角得，即有，故可证 ； （3）取中点G，连接、、．先证明，再证，从而证得，得到，即当最小时，取得最小值．考虑到，得出E在以点B为圆心，1为半径的圆上运动，当B、G、E三点共线，且G在之间时，取得最小值．通过求的最小值，最终求得的最小值． 【详解】（1）解：如图，过点B作交延长线于点E． ∴在中， ， ∴． ∵， ∴， ∴的面积为2； （2）证明：延长至H，使得，连接． ∵在中， ，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即； （3）解：的最小值为，理由如下： 取中点G，连接、、． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，G为中点， ∴，， ∵，， ∴． ∵绕E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，取得最小值． ∵， ∴E在以点B为圆心，1为半径的圆上运动， 当B、G、E三点共线，且G在之间时，取得最小值． ∵， ∴， ∴． 实战演练 1．（2025·广东梅州·模拟预测）如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（    ）． A．6 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】先分析出D的轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与该圆相切时，∠DBA最大，过C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函数计算出BD、CF的长，代入面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆， 当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示， 过C作CF⊥AE于F， ∵∠DAE=90°，∠BAC=90°， ∴∠CAF=∠BAD， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=， ∴由sin∠CAF=sin∠BAD得： ， 即， 解得：CF=， ∴此时三角形ACE的面积==6， 故选：A． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了“相似三角形的判定与性质”，根据比例关系构造出相似三角形，找到点的运动轨迹是解题关键．在上方，以为边，构造与相似的三角形，利用相似三角形的性质可以得出，所构造相似三角形中的点A的对应点为定点，从而确定点P的运动轨迹为圆弧，根据点圆最值的确定方法，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，在上方，以为边，构造． ∴，，． ∴，． ∴点在以为直径的上运动，点为中点． ∴． 连接，与的交点即为取得最小值时，点的位置． ∴． ∴此时，即的最小值为3． 故答案为： 3． 3．（2026·安徽六安·一模）在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； (2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 【答案】(1)①；②的长为； (2)． 【分析】（1）①过点作，交于点，交于点，结合矩形的性质推导出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质推导出，再运用相似的性质即可求解； ②连接，，根据折叠求出，，根据矩形性质求出，，，再根据勾股定理求出的值，最后设，根据，列出方程求解即可； （2）由（定值），将的运动转化为“圆上的动点”问题，根据当点在一条直线上时，最小求解，根据当点与点重合时，最大求解． 【详解】（1）①如图，过点作，交于点，交于点． ∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ②如图，连接，． ∵点关于直线对称， ∴，． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． ∴． ∴． 设，则． 由，得． 解得． ∴的长为． （2）当点在上移动时，点在以点为圆心，的长为半径的圆弧上． 如图，当点在一条直线上时，最小． ∴． 如图，当点与点重合时，最大． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴的长度范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $