第28讲 图形的平移与旋转&微专题12 有关最值的问题(课本梳理精讲)-【中考123】2026年中考基础章节总复习数学（大庆市专版）

参考答案与解析 ∠ABP=45°，.PA=AB=300,在Rt△ABQ中，tan63.5°= 第24讲 与圆有关的计算 g,.BQ=390=150,∴.PC=150,.P0=VCQ2+Pc= 【考点梳理·夯基础 1505≈335（米）. ☑πR 6 或2刷 3π2 ④2mr ⑤360， 180 答：医院与大厦的直线距离约有335米 ⑥27弧长 第五章四边形 【实战演练·品方法】 第20讲平行四边形与多边形 例1B例2C 【考点梳理·夯基础】 微专题10与圆有关的阴影部分面积的计算 四相等②相等③互补④互相平分⑤中心 ⑥平行⑦相等⑧平行且相等回相等四互相平分 π2.A3.C 1.2 455-受5号+96B7智 4.2 2 回首尾顺次四(n-2)×180°3360° 【实战演练·品方法】 8.2 3 9.π3 号-1011.-分12m-4 例1D例29⑩ 第七章图形的变化 50 第21讲 特殊的平行四边形 第25讲尺规作图与无刻度直尺作图 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 1直角2互相平分且相等3直角4直角 固相等 四适当长 ⑥相等 ⑦互相垂直且平分⑧相等回相等四垂直 回大于2MN的长图∠AOB的内部 皿相等。2直角3相等4平行四边形5矩形 回矩形☑菱形⑧菱形四四边形 ④大于AB的长固直线MN回适当长 【重难研析·理要点】 ☑大于2AB的长图PM长回大于分B的长为半径 典例2或5-√3 安好 【重难研析·理要点】 跟踪训练 典例A 第六章圆 跟踪训练 D 第22讲圆的基本性质 第26讲 视图与投影 【考点梳理·夯基础】 【考点梳理·夯基础】 四圆2圆心③半径④直径⑤优弧⑥劣弧 T由左向右②实线 ③虚线④正方形 5长方形 ☑圆心⑧圆⑨中心对称四圆心回相等四弦 6扇形7三角形 3相等四一半固相等6直角7直径8平分 【实战演练·品方法】 四三个顶点20互补四180° 22∠A 例1B例2C 【实战演练·品方法】 第27讲 图形的对称与折叠 例1B例2B 【考点梳理·夯基础】 第23讲 与圆有关的位置关系 工（成轴）对称2对称轴3轴对称图形 ④对称轴 【考点梳理·夯基础】 ⑤垂直平分 ⑥对称轴⑦全等⑧相等⑨相等 ①>②=3<④<⑤= 6> ⑦垂直 ⑧1 0中心对称 回对称中心回中心对称图形 9垂直0等于 【实战演练·品方法】 【重难研析·理要点】 例1A 例29 典例A 微专题11 几何图形的折叠问题 跟踪训练√2 方法指导 微专题8圆中常见辅助线的作法 (2)AD AG FD∠D∠DAG四边形FDAG(3)AE 1.C2.53.52°4.2 (4).∠AGF 5.证明：(1)连接0B,如答图. 1.2.5或102. 5 3.1.5或2.5 .OB=OC,∴.∠OCB=∠OBC AC是⊙0的直径，∴.∠CBA=90 4.4-25或25-2 ∴.∠CAB+∠OCB=90° 第28讲 图形的平移与旋转 .·∠CBD=∠CAB, 【考点梳理·夯基础】 D .∴.∠CBD+∠OCB=90° □距离②相等③相等④全等⑤旋转角度 5题答图 .∴.∠CBD+∠OBC=90° 6相等 ☑旋转角⑧全等 ⑨(x,y±n)0(x,-y) .∴.∠OBD=90°，∴.PD是⊙O的切线： 【实战演练·品方法】 (2)由(1)知PD是⊙0的切线，直线PA与⊙0相切. 例1D ∴.P0垂直平分AB,∴.∠AMP=∠AM0=90°， 例290°，180°或270° [解析]如答 ∴.∠APM+∠PAM=90°. 图，连接AC,取BC的中点E,连接 ∠OAP=90°，∴.∠PAM+∠OAM=90°， AE,则BE=CE=AB.又.·∠ABE= 六∠APM=LOAM,.△OAM∽△APM,A=OM 60°，∴.△ABE是等边三角形，∴.AEB PMAM' =BE=CE,∴.点A在以点E为圆心 例2题答图 .∴.AM=OM·PM 的圆上且BC为该圆的直径，∴.∠BAC=90°（依据：直径 6.5√2 所对的圆周角为90)，又：AB∥CD,∴.∠ACD=∠BAC 微专题9辅助圆问题 =90°.AP=AB,.点P在以点A为圆心，AB为半径的 圆上运动.讨论如下： 1.B2.13-23.2+14.√5-15.26.24+43 见此图师号抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧◆。乃 数学·精讲本 图示 分析 径长为7xmx5= m. 点P在以CD为直径的圆 上，取CD的中，点O,连接 OA,设OC=a,易求得OA 当∠DPC =90°时 0 =13a,而√13a>2a+ a,即0A>AB+0C,.⊙A B 与⊙0无交点，∴此种情 况不存在 11题答图 12题答图 当∠DCP 点P在直线AC上，则旋 12. [解析]由题知△EFG为等边三角形，点G的位置 =90°时 转角a=90°或270° 2 随着点F的位置的变化而变化，如答图，将△EFB绕，点 B E顺时针旋转60°得到△EGH,连接BH,由旋转的性质 可知△EFB≌△EGH,EF=EG,EB=EH,∠BEH=60° ∴.△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN 当∠PDO 延长BA交⊙A于点P,则 =90°时 四边形PACD是矩形， 上，过点C作CM⊥HW于点M,则CM即为CG的最小 ,旋转角α=180° 值（垂线段最短），过，点E作EP⊥CM于点P,可知四边 形EHMP为矩形.又：∠BEH=60°，∠HEP=90°， 综上可知，旋转角α的度数为90°，180°或270°. 微专题12有关最值的问题 LPEC=30°，在R△EPC中，CP=6C.BE= 1.C2.413.54.225.-506.A7.B 1.BC=4,EC=3CM-MP+CP-HE+7EG=1+ 8.v61 3 5 5 9.6[解析]如答图，以BC为边向外作等边△BCD,连接 2 =2,即CG的最小值为2 AD,由费马点模型的结论可知AD的长即为PA+PB+PC 第八章统计与概率 的最小值，AB=AC,∠BAC=120°，.∠ABC=∠ACB= 第29讲统计 30°..·△BCD为等边三角形，..∠BCD=60°，.∠ACD= 【考点梳理·夯基础】 ∠ACB+∠BCD=90.:AC=3,.在Rt△ACD中，AD= e0s600=6,PA+PB+PC的最小值为6. AC 回全体②1 图名+西+…+龙 ④最中间 ⑤最中间两个数的平均数⑥大☑远⑧小⑨近 四A回A四中位数B中位数4百分比固1 重难研析·理要点】 典例解：(1)144 (2)表中依次填7分，2.6,8分，7.5分 (3)乙组的众数高于甲组；乙组的中位数高于甲组.（答 案不唯一) 跟踪训练 解：(1)7.5 (2)选择乙公司.因为乙公司配送速度得分的平均数和中 10.2V原，t解籍答图，将△CPP鬓套思道时针茨转 9题答图 位数都比甲公司高，说明乙公司的整体配送速度较快 90°得到△CP'M',连接MM',P'Q,则△CPM≌△CP'M' (注：答案不唯一，合理即可) PM=P'M',CP=CP.又.·∠MCM=90°，'.△M'CM是等 (3)收集快递公司的收费标准（注：答案不唯一，合理即可） 腰直角三角形，∴.MM'=√2MC,∴.MP+√2MC+MQ=P'M 第30讲概率 +MM'+MQ≥P'O.当O,M,M',P'四，点共线时，MP+√2MC 【考点梳理·夯基础】 +MQ有最小值，最小值即为线段PQ的长.在正方形 □1②0③”④p ABCD中，：AB=8,BP=2,Q为AD的中点，∴CP'=CP 【实战演练·品方法】 =6,QD=4.在Rt△P'DQ中，P'Q=√P'D2+QD2= 7 √(6+8)2+42=2√53，.MP+√2MC+MQ的最小值 例1 10 为2√53. 例2 解：)分 11. 2T[解析]：∠ACB=90°，AC=6,BC=8,.AB= (2)根据题意列表如下： √AC2+BC2=√62+82=10.如答图，连接AM,BM, 1 123 :AB是⊙O的直径，∠AMB=90°，即AM⊥BM,分别 1 1 2 3 取AC,BC的中点E和F,连接NE,NF,EF,在△AMC中， N,E分别为MC,AC的中点，NE∥AM,NE=24M 2 3 2 6 在△BMC中，：N,F分别为MC,BC的中点，∴.NF∥ 3 3 369 BM,NF=BM,NE⊥NF,即LENF=90,点N在 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中摸出的这两 以EF为直径的半圆上运动.在△ACB中，E为AC的中 个小球上标有的数字之积是偶数的结果有7种，所以P 7 点，F为BC的中点，∴EF= 之4B=5,点N的运动路 216 见业图顺合抖音/微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧第七章图形的变化 第28讲 图形的平移与旋转 《考点梳理·夯基础》 答案P77 贵点①图形的平移与旋转 (3)正方形模型：如图③，在正方形ABCD中，P为 1.平移与旋转 正方形内部一点，将△ABP绕点B按顺时针 平移 旋转 旋转9O°，使得BA与BC重合，得到的△PBP 为等腰直角三角形 考点②图形变换与点坐标变换 图示 在平面直角坐标系中，已知图形上一点(x,y), 若图形变换，则对应点坐标同样变换 平移方向、平移工 旋转中心、旋转方向、 要素 变换后的 ⑤ 图形变换类型 点坐标 (1)平移前后，对应线 (1)对应点到旋转中心 平 向右（左）平移m个单位 (x±m,y) 段、对应角② 的距离⑥ 移 向上（下）平移n个单位 ⑨ (2)各组对应点所连线 (2)对应点与旋转中心 关于x轴对称 可 性质 段平行（或在同一 所连线段的夹角等 的 关于y轴对称 称 （-x,y) 条直线上)且 于☑ ； 关于原点对称（中心对称） B (-x,-y） (3)旋转前后的图形 (3)平移前后的图形 用中心对称 ⑧ 旋转角为180 ④ 旋 的性质求解 转 2.常考的三种旋转模型 利用全等的 旋转角不是180° 知识求解 (1)等腰直角三角形模型：如图①，在△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC,P为△ABC内一点， 考点③)网格作图 将△APC绕点C逆时针旋转90°，使得AC与 网格作图的步骤 BC重合，则得到的△P'CP为等腰直角三 对称：确定对称轴或对称中心； 角形； 平移：确定平移的方向和距离； (1)确定要求 旋转：确定旋转中心，旋转方向 和旋转角； R(A 图① 图② 图3 (2)找出图形中的关键点； (2)等边三角形模型：如图②，在等边△ABC中， (3)把关键点进行对称、平移、旋转得到每个关键 P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针 点的对应点； 旋转60°，使得AB与AC重合，则得到的 (4)按原图依次连接各对应点，从而得到变换后的 △APP'为等边三角形； 图形 见此业图标合抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 65 数学·精讲本 《实战演练·品方法》 答案P77 例（海南）如图，点A(0,3),B(1,0),将线段AB 例2如图，在口ABCD中， 平移得到线段DC,若∠ABC=90°，BC=2AB,则 ∠B=60°，BC=2AB,将 点D的坐标是 D AB绕点A逆时针旋转角 A.(7,2) a(0°<a<360)得到 例2题图 B.(7,5) AP,连接PC,PD.当△PCD为直角三角形时，旋 C.(5,6) OB 转角α的度数为 D.(6,5) 例1题图 温馨提示 请完成《精练本1》P133-138 微专题12 有关最值的问题 [答案P78] 德型○“将军饮马”模型 2.如图，E,F是菱形ABCD的边AB,AD 考法一 “两定点+一动点”型 的中点，P是菱形的对角线BD上的 类型 模型分析 依据 动点.若BD=8,AC=10,则PE+PF 在直线l上找一点P,使得PA+ 的最小值是 PB的值最小 考法二“一定点+两动点”型 2题图 “两定一 A· A、 两点之 类型 模型分析 依据 动”求和 B AB -1+ 1 间，线段 的最小值 最短 点P为∠AOB内一点，在OA上 (作点B关于直线I的对称点 找一点M,在OB上找一点N,使 B',连接AB,与直线l交于点P) 得PW+WM的值最小 在直线l上找一点P,使得IPA- “一定两 PBI的值最大 垂线段 动”求和 P 最短 的最小值 0 -1→ A B (作点P关于OB的对称点P', “两定一 (连接AB并延长，与直线1交于 三角形 动”求差 点P) 过点P'作OA的垂线，分别与 的三边 的最大值 才. 关系 OB,OA交于点N,M) A+B' B 点P为∠AOB内一点，在OA上 找一点M,在OB上找一点N,使 (作点B关于直线I的对称点 B',连接AB并延长，与直线l交 得△PMN的周长最小 于点P) “一定两 P A 两点之 动”求周 对应训练 M 间，线段 长的最 1.如图，A,B两点在直线1的两侧， 0 B 02 最短 小值 点A到直线1的距离AC=4,点 (分别作点P关于OA,OB的对 B到直线l的距离BD=2,且CD 称点P',P,连接P'P",交OA,OB =6,P为直线CD上的动点，则 B 于点M,N) IPA-PBI的最大值是（) 1题图 A.6√2 B.22 C.2/10 D.6 66 0 见业图顺合抖音/微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 第七章图形的变化 对应训练> 续表 3.如图，正方形ABCD的对角线BD长为10.BG是 如图，构造射线AD,使sin∠DAN=k,则CH= ∠DBC的平分线，点E是边BC上的动点，在BG 方法 kMC.当B,C,H三点共线时，BC+CH最小，即BC 上找一点F,使得CF+EF的值最小，则最小值 +kAC的值最小 为 对应训练 6.如图，菱形ABCD中，AB=2,∠D=120°，E是对 角线AC上的任意一点，则BE+)CE的最小 值为 3题图 4题图 A.5 4.如图，在扇形OBA中，∠AOB=45°，点C是AB B.2 的中点，点D,E分别为半径OA,OB上的动点. 若OB=2,则△CDE周长的最小值为 c.5+1 2 6题图 考法三 “两定点+两动点”型 D.5+1 类型 模型分析 依据 考法二“阿氏圆”模型 直线1同侧有两点A,B,在直线1 阿氏圆：已知平面上两点A,B,则所有满足PA 上找两点M,N(其中MW的长度 =k·PB(k≠1)的点P的轨迹是一个圆.这个轨迹 固定)，使得AM+MW+NB的值 最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿 最小 氏圆”. “两定两 动”求线 两点之 段和的 M N 间，线段 最小值 最短 图示 A, 图① 图② 图③ (将点A向右平移MN的长度到 点A,作点A1关于直线l的对称 如图①，⊙0的半径为r,点A,B都在⊙0外，P为 点A2,连接A2B,交直线l于点 问题 ⊙0上一动点，已知r=k·OB,连接PA,PB,则当 N,再确定点M) “PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定 对应训练 5.如图，在平面直角坐标系中，矩形 如图②，在线段OB上截取OC=a,则△POB∽ △COP,故PB=PC,于是PA+kPB=PA+PC.由 OABC的顶点O在坐标原点，顶点A, 方法 于A,C为定点，P为动点，故当A,C,P三点共线 C分别在x轴、y轴上，B,D两点坐标 时（如图③），PA+PC的值最小 分别为(-4,6)，(0,4)，线段EF在 AFEO 边OA上移动，保持EF=3,当四边形5题图 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键 BDEF的周长最小时，点E的坐标为 总结 是构造与PB相等的线段，将“PA+kPB”型问题 模型（仁PA+kPB型最值问题 转化为“PA+PC”型问题 考法一 “胡不归”模型 对应训练 7.如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B 的半径为2，P为⊙B上一动点， 图示 M 则PD+PC的最小值为( A.6 B.5 问题 如图，点A,C在直线MN上，点B在直线MN外， C.4 求BC+kAC(0<<1)的最小值 D.25 7题图 见此业图廊合抖音微信扫码 对话中考复习助手考点攻克提分无忧。 数学·精讲本 模型目费马点模型 续表 B 一、直线轨迹 图示 C 图示 B B △ABC的最大 △ABC的最大 内角小于120° 内角大于等于120° A,Q,P三点不共线 当点P的轨迹在直线上时，点Q的轨迹在直 P是△ABC内一点，当 P是△ABC内一点，P 线上. 问题 点P在何处时，PA+ 为何处，PA+PB+PC 结论 (1)P,Q两点轨迹所在直线的夹角等于α； PB+PC的和最小 的和最小 (2)P,Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ 当PA+PB+PC的和 二、圆轨迹 最小时，点P满足 当PA+PB+PC的和 结论 最小时，点P与最大角 LAPB=∠BPC 已知 定点4，动点P和Q,∠PAQ=a,铝为定值，点P ∠APC=120° 顶，点重合 在⊙0上运动 0 D 0 对应训练> → -0 8.如图，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=6,AC=5, P为三角形内一点，则点P到三个顶点的距离之 A,Q,P三点共线 图示 和的最小值为 A,Q,P三点不共线 当点P的轨迹在圆上时，点Q的轨迹在圆上 (1)两圆心与定点连线的夹角等于主、从动点与 8题图 9题图 定点连线的夹角，即∠OAM=∠PAQ; 9.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， 结论 (2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到 P是△ABC内一点，若AC=3,则PA+PB+PC 定点的距离之比，也等于两圆半径之比，即AP: 的最小值为 AQ=A0 AM=PO:QM 0 10.如图，在正方形ABCD中，AB= 对应训练> 8,点P在BC边上，且BP=2, 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC 点Q是AD的中点，点M是正方 =8,点M在以AB为直径的半圆O上从点A运 形ABCD内部一点，连接MP 动到点B时停止，连接CM,点N是CM的中 MQ,MC,则MP+2MC+MQ 点，则点N的运动路径长为 P 的最小值为 10题图 模型回主从联动模型 一 直线轨迹 已知 定点A,动点P和Q,LP4Q=aS为定值k,点P B E 11题图 12题图 在直线BC上运动 12.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一 点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接 EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG, 图示 则CG的最小值为 温馨提示一 请完成《精练本1》P134-135 A,Q,P三点共线 68 见业图廊合抖音/微信扫码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、