圆中的翻折问题、圆中的旋转问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

**基本信息** 聚焦圆中翻折与旋转两大动态几何问题，通过分层例题与变式构建从基础到综合的知识逻辑链，培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆中的翻折问题|3例+3变式|涉及对称性质、弧与圆心位置关系、面积计算|从直径翻折基础对称到劣弧多次翻折，逐步深化圆的对称性与垂径定理应用| |圆中的旋转问题|3例+3变式|结合正多边形旋转、动态几何、最值探究|从静态旋转证明到动态旋转与函数结合，构建图形变换与逻辑推理的关联|

圆中的翻折问题、圆中的旋转问题专项训练 圆中的翻折问题、圆中的旋转问题专项训练 考点目录 圆中的翻折问题 圆中的旋转问题 考点一 圆中的翻折问题 例1．（25-26九年级上·湖北·月考）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______； (2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 例2．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点． (1)如图①，将沿弦翻折，交于D，若点D与圆心O重合，，则的半径为　 　； (2)如图②，将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E． （Ⅰ）若点E恰好是翻折后的的中点，则的度数为 　 　； （Ⅱ）如图③，连接，若，，求线段的长． 例3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图1，的半径为，是的弦，若将沿着弦翻折，翻折后的恰好经过圆心．    (1)求的长； (2)如图2，以为边在圆心的异侧作等边三角形，直线与相切于点，分别交、于点、． ①求的周长； ②如图3，当时，求的长． 变式1．（25-26九年级上·上海宝山·月考）已知是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧沿直线翻折，翻折所得的弧交直径于点D，E是点D关于直线的对称点． (1)如图，点D恰好落在点O处． ①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），连接、、，求证：四边形是菱形； ②连接，与、分别交于点F、G，求的值； (2)如果，求折痕的长． 变式2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）概念理解： 如图 1，若将⊙ O 沿着它的一条弦 BC 折叠，则折叠后的图形叫“叠圆”． 概念应用： 在如图 2 的“叠圆”中，折叠后的弧 BC 与直径 AB 相交于点 D ，连接CD． （1）若点 D 恰好与点O 重合，则ABC =__________°； （2）延长CD 交⊙O 于点 M ，连接 BM ，猜想ABC 与ABM 的数量关系，并说明理由． 拓展探究： （3）在如图 3 的“叠圆”中，折叠后的弧 BC 与弦 AB 相交于点 D ， D 恰好为 AB 的中点．若⊙O 的半径为，弦 AB =4，求ABC 的度数和折痕 BC 的长．    变式3．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，一张半径为的圆形纸片，点为圆心，将该圆形纸片沿直线折叠，直线交于两点．    （1）若折叠后的圆弧恰好经过点，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线（不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段的长度． （2）已知是一点，． ①若折叠后的圆弧经过点，则线段长度的取值范围是________． ②若折叠后的圆弧与直线相切于点，则线段的长度为_________． 考点二 圆中的旋转问题 例1．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】如图①，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接、、．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵、、、四点共圆， ∴． ∴． ∴、、三点共线． 证明过程缺失 请你补全余下的证明过程． 【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． （1）将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）； （2）若的半径为，则四边形周长的最大值为_____ 例2．（25-26九年级上·浙江舟山·期末）如图，为的直径，弦，连接，，弦绕点逆时针旋转得到线段，连结交于点． (1)如图，若， ①求的度数； ②记交于点，连结．求证：； (2)在（1）的条件下，探究线段，，三者之间的数量关系，并说明理由； (3)设，，请直接写出关于的函数关系式． 例3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）【阅读理解】①如图1，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②定义：在所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法． （1）如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知______，______；根据两点间线段最短，我们可以得到线段______的长度为的费马距离． （2）在图3中，作出的费马点P（要求尺规作图）．如果，的费马距离是______； 【问题解决】已知正方形，P是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长． 变式1．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的外接圆，是的直径．连结，过点B作，交于点D，连结，． (1)猜想与的数量关系，并证明你的结论． (2)当时，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数表达式．并求出当四边形的面积为时，的长． (3)在（2）的条件下，将绕点D逆时针旋转度得，当的一个顶点（点D除外）落在上时，直接写出线段的长度为______． 变式2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，为的直径，．动点在上且位于直线上方，连结．将线段绕点顺时针旋转得到线段，以、为邻边构造正方形，连结、． (1)当点与点重合时，线段的长为______ ； (2)当时，求的长； (3)当为等腰三角形时，求； (4)当点落在的边或边的中线上时，直接写出线段的长度． 变式3．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图①，在等腰中，，，为线段上一点，以为半径作交于点，连接、，线段、、的中点分别为、、．    (1)试探究是什么特殊三角形？说明理由； (2)将绕点逆时针方向旋转到图②的位置，上述结论是否成立？并证明结论； (3)若，把绕点在平面内自由旋转，求的面积y的最大值与最小值的差． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆中的翻折问题、圆中的旋转问题专项训练 圆中的翻折问题、圆中的旋转问题专项训练 考点目录 圆中的翻折问题 圆中的旋转问题 考点一 圆中的翻折问题 例1．（25-26九年级上·湖北·月考）有一张半径为2的圆形纸片． (1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则的大小是______；在上任取一点C（异于A，B），则的大小是______； (2)如图（2），将纸片沿一条弦翻折，使其劣弧恰好经过圆心O，作出直径，则图中阴影部分的面积是______； (3)如图（3），是的直径，将劣弧沿弦翻折，交于点D，再将劣弧沿直径翻折，交于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧的中点，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；或； (2)； (3)． 【分析】（1）根据折叠的性质可得，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补，即可求解； （2）作交于点E，交于点D，连接，，得出是等边三角形，进而根据阴影部分的面积即为的面积，即可求解． （3）首先添加辅助线，利用圆周角定理证明线段，设，则，构建方程求出，再通过解直角三角形求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据折叠了2次，则， 如图（1）所示， 当点C在优弧上时，， 当点C在上时，，    故答案为：；或． （2）解：如图（2）所示，作交于点E，交于点D，连接，，，    由折叠可知，， ， ， ，， ， ， 和是等边三角形， ， ∴弓形的面积等于弓形的面积， ∴扇形的面积等于扇形的面积， ∴阴影部分的面积即为的面积； ，则， ， ， ∴阴影部分面积， 故答案为：； （3）解：如图（3），连接，过点C作于H，   ， ， ， ， ∵E是的中点， ， ， ， 设， 则， ， 是直径， ， ， ， ， ，， ，则是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴弓形，的面积相等， ∴阴影部分面积为． 例2．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点． (1)如图①，将沿弦翻折，交于D，若点D与圆心O重合，，则的半径为　 　； (2)如图②，将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E． （Ⅰ）若点E恰好是翻折后的的中点，则的度数为 　 　； （Ⅱ）如图③，连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)2 (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）过点作，垂足为，结合垂径定理，在中求得，再由即可求解； （2）（Ⅰ）连接、、，可以得到，进而得到，放在直角三角形中，利用互余建立的方程； （Ⅱ）连接连接、、，由（Ⅰ）知，，则，由，则，进而可证得，利用其性质求得，即为． 【详解】（1）解：如图①，过点O作，垂足为M，交圆于点N，则， ∵将沿弦翻折，交于D，点D与圆心O重合， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径为2， 故答案为：2； （2）（Ⅰ）如图②，连接、、， ∵点E恰好是翻折后的的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）如图③，连接连接、、， ∵，， ∴，， 由（Ⅰ）知，，则， 又∵，则， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 例3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图1，的半径为，是的弦，若将沿着弦翻折，翻折后的恰好经过圆心．    (1)求的长； (2)如图2，以为边在圆心的异侧作等边三角形，直线与相切于点，分别交、于点、． ①求的周长； ②如图3，当时，求的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）作，垂足为H，交圆O于点C，连AC，由翻折的性质得出相等边，得出是等边三角形，然后利用锐角三角函数和垂径定理求解即可； （2）①连接，借助（1）中结论得出，，然后利用切线长定理求解即可； ②过点F作，设，，，，利用锐角三角函数表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：作，垂足为H，交圆O于点C，连AC，   ， ． 由翻折的性质得，， ， ， 是等边三角形， ， ， ； （2）解：①连接，    由（1）知， 是等边三角形， ，， ， ． 同理． EF与圆O相切， ， ，， ． ②如图，过点F作，    设，，，， ， ∴， ，， , ， 化简得：． ， ． 变式1．（25-26九年级上·上海宝山·月考）已知是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧沿直线翻折，翻折所得的弧交直径于点D，E是点D关于直线的对称点． (1)如图，点D恰好落在点O处． ①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），连接、、，求证：四边形是菱形； ②连接，与、分别交于点F、G，求的值； (2)如果，求折痕的长． 【答案】(1)①作图见解析，证明见解析；② (2)或 【分析】（1）①过D作的垂线，交半圆于点E即可．利用轴对称性得出，，结合半径，得出，即可得证； ②证明，求出，同理得出，，则可求，即可求解； （3）①当D在O的右侧时，作D关于的对称点，连接，，过O作于G，过C作于H，证明，可证明，得出，，利用垂径定理求出，利用勾股定理求出，即可求出，，然后在中利用勾股定理求解即可；②当D在O的左侧时，作D关于的对称点，连接，，过O作于G，过C作于H，类似①求解即可． 【详解】（1）解：①如图， 证明：∵E是D关于直线的对称点， ∴，， ∵点D恰好落在点O处， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当D在O的右侧时， 作D关于的对称点，连接，，过O作于G，过C作于H， ∵E是D关于直线的对称点， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当D在O的左侧时， 作D关于的对称点，连接，，过O作于G，过C作于H， 同理可求，，， ∴， ∴， 综上，折痕长为或． 变式2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）概念理解： 如图 1，若将⊙ O 沿着它的一条弦 BC 折叠，则折叠后的图形叫“叠圆”． 概念应用： 在如图 2 的“叠圆”中，折叠后的弧 BC 与直径 AB 相交于点 D ，连接CD． （1）若点 D 恰好与点O 重合，则ABC =__________°； （2）延长CD 交⊙O 于点 M ，连接 BM ，猜想ABC 与ABM 的数量关系，并说明理由． 拓展探究： （3）在如图 3 的“叠圆”中，折叠后的弧 BC 与弦 AB 相交于点 D ， D 恰好为 AB 的中点．若⊙O 的半径为，弦 AB =4，求ABC 的度数和折痕 BC 的长．    【答案】（1）30；（2）∠ABM =2∠ABC，理由见解析；（3）ABC 45， BC 【分析】（1）作点 D 关于 BC 的对称点 D ，连接 DB ， DC ， DD，根据圆的半径相等可得DB DC= DD，由折叠的性质可得BD DB，CD DC，∠ABC=∠DBC，从而证出△DBD 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得DBA 60，利用圆周角定理即可求出结论； （2）作点 D 关于 BC 的对称点 D ，连接 DB ，DC，CO ，DO ，AC，由折叠的性质可得 DBC DBC ， DC DC，根据等角对等边可得AC DC，从而得出CAD CDA，设ABC= ，根据三角形的内角和定理可证ACD 2ABC，从而证出结论； （3）连接 AC ，DC，过点C 作CG AD 交 AD 于G，连接OA ，OB，根据题意即可求出BG的长，过点O 作OF CG 交CG 于 F，然后证出四边形ODGF 是正方形，利用勾股定理求出CG BG 3，即可求出∠ABC，再利用勾股定理即可求出BC． 【详解】解：（1）作点 D 关于 BC 的对称点 D ，连接 DB ， DC ， DD    ∵点 D 恰好与点O 重合， ∴DB DC= DD 由折叠的性质可得BD DB，CD DC，∠ABC=∠DBC ∴DB DB DD， ∴△DBD 是等边三角形 ∴ DBA 60 ∴ ABC=∠DBC =DBA 30 故答案为：； （）ABM =2∠ABC 理由如下： 作点 D 关于 BC 的对称点 D ，连接 DB ，DC，CO ，DO ，AC    由折叠的性质可得 DBC DBC ， DC DC ∴ AOC 2ABC ，DOC 2DBC ∴ AOC DOC ∴ AC DC ∵ DC DC ∴ AC DC ∴ CAD CDA ∵ AB 是直径 ∴ ACB 90 ∴ CAD ABC 90 设ABC= ，则CAD CDA 90 ∴ ACD 180 CAD CDA 2 即ACD 2ABC ∵ ABM ACD ∴ ABM 2ABC （3）连接 AC ，DC，过点C 作CG AD 交 AD 于G，连接OA ，OB 由（2）知， AC DC ∴ AG DG ， CGD 90 ∵ D 为 AB 中点， OA OB ∴ ODB 90 ， AD BD 2 ∵ AC DC ∴ AG DG 1 ∴ BG 3 过点O 作OF CG 交CG 于 F 则OFG CGD ODG 90 ∴四边形ODGF是矩形 ∴ OF DG ，OD FG 在直角三角形ODB 中，由勾股定理得 OD =1 ∴ DG OD ∴四边形ODGF 是正方形 ∴ OF DG 1 连接OC ，则OC 在Rt△OCF中,CF = 2 ∴ CG BG 3 ∵ CGB 90 ∴ ABC 45 在直接三角形CGB 中，由勾股定理得 BC =    变式3．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，一张半径为的圆形纸片，点为圆心，将该圆形纸片沿直线折叠，直线交于两点．    （1）若折叠后的圆弧恰好经过点，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线（不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段的长度． （2）已知是一点，． ①若折叠后的圆弧经过点，则线段长度的取值范围是________． ②若折叠后的圆弧与直线相切于点，则线段的长度为_________． 【答案】（1）图见解析，；（2）①；② 【分析】（1）连接AO，直线l垂直平分PO．，在Rt△AHO中即可求解； （2）①分两种情况求解； ②过O作弦AB的垂直与圆交于点D，与弧AB交于点C，与AB交于点E，过M作OM的垂线，两条垂线的交点为O'，连接AO，得到OO'垂直平分AB，O'为弧ABM所在圆的圆心，，在Rt△ADO中即可求解； 【详解】（1）如图，直线为所求，连接．    ∵点与点关于直线对称， ∴直线垂直平分． ∴． 在中， ∵， ∴． 在中， ∵，为半径， ∴． （2）如图1：    ∵弧AB翻折与M重合，OM=1， ∴DM=1， 在Rt△ADO中，AO=3，DO=2， ∴； 如图2：    ∵弧AB翻折与M重合，OM=1， ∴MD=2，DO=1， 在Rt△ADO中，AO=3， ∴， ∴， 故答案为； （3）如图3：过O作弦AB的垂线与圆O交于点C，与AB交于点D，连接OM，过点M作OM的垂线，两条垂线的交点为O'，连接AO，    ∴OO'垂直平分AB，O'为弧ABM所在圆的圆心， ∵折叠后的圆弧与直线OM相切于点M， ∴MO'=3，CO=EO'，在Rt△OO'M中，OM=1， ∴， 在Rt△ADO中，，AO=3， ∴， ∴； 故答案为 考点二 圆中的旋转问题 例1．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】如图①，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接、、．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵、、、四点共圆， ∴． ∴． ∴、、三点共线． 证明过程缺失 请你补全余下的证明过程． 【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． （1）将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）； （2）若的半径为，则四边形周长的最大值为_____ 【答案】问题解决：见解析；拓展应用：（1）见解析；（2）． 【分析】问题解决：利用旋转性质得到，为等边三角形，结合、、共线，得到，进而证得． 拓展应用：（1）当为直径时，的面积最大，此时将绕点顺时针旋转得到，的面积也最大． （2）将旋转得到，可知，四边形的周长为，当为直径时，周长最大． 【详解】问题解决：解：由题意可知，． ∵、、、四点共圆， ∴． ∴． ∴、、三点共线． ∵绕点顺时针旋转至， ∴，． ∴是等边三角形． ∴． ∵、、三点共线， ∴． ∵， ∴． 拓展应用：解：（1）作射线交于点．以为一边，在外作，在上取，连接、，则此时、、三点共线，为所求； 证明：过点作于点． ∵，是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ， ∴， ∵，为定值， ∴当取最大值时，取最大值． ∵是的弦， ∴当为直径时，取得最大值． ∵当为直径时，， ∴． ∴当时，的面积最大． （2）解：如图，过点作于，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由问题解决可知． ∴四边形． ∵为的弦， ∴当为直径时，最大，最大值为． ∴． 例2．（25-26九年级上·浙江舟山·期末）如图，为的直径，弦，连接，，弦绕点逆时针旋转得到线段，连结交于点． (1)如图，若， ①求的度数； ②记交于点，连结．求证：； (2)在（1）的条件下，探究线段，，三者之间的数量关系，并说明理由； (3)设，，请直接写出关于的函数关系式． 【答案】(1)①；②见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（1）①先运用旋转的性质得到，再利用垂径定理推出是的垂直平分线，得出，，最后结合三角形的内角和和外角的性质求解即可；②先连接，通过对顶角和直角互余的性质推出，再运用同弧所对的圆周角推出，最后证明并使用性质即可解题； （2）先过点作交于点，证明，得出，再根据（1）①的结论证明是等腰直角三角形，运用勾股定理推出，最后根据等量代换即可求解； （3）先作，过点作交于点，证明，得出，，再通过等量代换，求出，根据三线合一推出，然后根据，推出，最后结合等量代换即可求解． 【详解】（1）解：①作与相交于点， ∵弦绕点逆时针旋转得到线段，， ∴，． ∵为的直径，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴． ∵在中，三角形的内角和为， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴． 故． ②如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴． （2）如图，过点作交于点， ∵ ∴， ∵由（1）①得， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）①得， ∴在和中， ， ∴， ∴． ∵由（1）①得，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴根据勾股定理：， ，即， ∴． （3）如图，在上截取，连接，过点作交于点， ∵弦绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，． ∵由（1）①得， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 例3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）【阅读理解】①如图1，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②定义：在所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法． （1）如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知______，______；根据两点间线段最短，我们可以得到线段______的长度为的费马距离． （2）在图3中，作出的费马点P（要求尺规作图）．如果，的费马距离是______； 【问题解决】已知正方形，P是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长． 【答案】（阅读理解）见解析；（方法探究）（1），，；（2）；（问题解决）正方形的边长为2 【分析】（阅读理解）在上取一点E，使，连接，首先证明是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （方法探究）（1）根据阅读理解中的结论，结合费马点和费马距离的定义，即可获得答案； （2）分别以点为圆心，以的长度的半径作弧，交于点，易知为等边三角形，再分别作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长度为半径作圆，连接交于点，连接，则点P为的费马点；根据题意易得，然后由勾股定理确定的值，即可确定的费马距离； （问题解决）将沿点B逆时针旋转到，过作，交的延长线于H，连接，易得是等边三角形，进而可知，结合的最小值为，可得的最小值为，即，，P，C在同一直线上，确；设正方形的边长为，在中，可知，，进而可得，，然后在中，由勾股定理得求得的值，即可获得答案． 【详解】解：（阅读理解）①证明：在上取一点E，使，连接， ∵三角形是等边三角形， ， 又， 是等边三角形， ， ， ∵， ∴， 又∵， ， ， ∴； （方法探究）（1） 在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知，；根据两点间线段最短，我们可以得到线段的长度为的费马距离． 故答案为：，，； （2）分别以点为圆心，以的长度的半径作弧，交于点，则，易知为等边三角形，再分别作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长度为半径作圆，连接交于点，连接，则点P为的费马点，如下图所示： （方法不唯一） ∵，且为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即的费马距离是； 故答案为：； （问题解决）将沿点B逆时针旋转到， 过作，交的延长线于H，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵的最小值为， ∴的最小值为， ∴，，P，C在同一直线上，即， 设正方形的边长为， ∵，， ， 在中，，，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得，（舍去）， ∴正方形的边长为2． 变式1．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的外接圆，是的直径．连结，过点B作，交于点D，连结，． (1)猜想与的数量关系，并证明你的结论． (2)当时，设，四边形的面积为y，求y关于x的函数表达式．并求出当四边形的面积为时，的长． (3)在（2）的条件下，将绕点D逆时针旋转度得，当的一个顶点（点D除外）落在上时，直接写出线段的长度为______． 【答案】(1)，证明见解析 (2)；的长为 (3)或 【分析】（1）延长交于点，利用圆周角定理得到，再利用平行线的性质得到，利用垂径定理可得，最后利用线段垂直平分线的判定定理即可解答； （2）设与交于点，根据三线合一性质，结合（1）中的结论得到，再利用圆周角定理可求得，进而证出是等边三角形以及，得出，再利用锐角三角函数的知识求出，再利用面积公式即可求出y关于x的函数表达式；令，解出对应的值即可求出的长； （3）分2种情况：①当落在上时；②当落在上时，画出对应的图形，结合（2）中的结论，利用旋转和等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，延长交于点， 是的直径， ， ， 又， ， ， 是的垂直平分线， 又点在直线上， ． （2）解：如图，设与交于点， 由（1）得，，， 平分， ， ， ， 又， ， 又， ， ，， 是等边三角形，， ，， 在中，， ， ， ； 令，则有， 解得：，（舍去负值）， 当四边形的面积为时，的长为． （3）解：①当落在上时， 由（2）得，，是等边三角形， ， 由旋转的性质得，， ， 点与点重合， ； ②当落在上时，连接、， 由（2）得，，，， ， ，， 和都是等边三角形， ，， 由旋转的性质得，，，， ， 四边形是菱形， ，， ，， 四点共线， ． 综上所述，线段的长度为或． 故答案为：或． 变式2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，为的直径，．动点在上且位于直线上方，连结．将线段绕点顺时针旋转得到线段，以、为邻边构造正方形，连结、． (1)当点与点重合时，线段的长为______ ； (2)当时，求的长； (3)当为等腰三角形时，求； (4)当点落在的边或边的中线上时，直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)或 【分析】（1）连接，根据题意可知是等腰直角三角形，再由勾股定理求的长即可； （2）根据平行和正方形的性质求出，则的长； （3）如图3，当时，是等边三角形，则，可求；如图4，连接，，则是等边三角形，所以，可求；当时，是等边三角形，则，可求； （4）如图5，当点在的中线上时，点在上，先求，再求；如图6，当点在的中线上时，过点作交于点，过点作交于点，可得，再推理出，则，在中，分别求出，，在中，分别求出，，，在中，． 【详解】（1）如图1，当点与点重合时，， 连接， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：； （2）如图2，， ， 四边形是正方形， ， 的长； （3）如图3，当为锐角时， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 如图4，当为钝角时，连接， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 是等边三角形， ， ， ， ； 综上所述：为或或； （4）如图5，当点在的中线上时， 为等腰直角三角形， ， 点在上， ，， ， ； 如图6，当点在的中线上时， 过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，； 综上所述：的长为或． 变式3．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图①，在等腰中，，，为线段上一点，以为半径作交于点，连接、，线段、、的中点分别为、、．    (1)试探究是什么特殊三角形？说明理由； (2)将绕点逆时针方向旋转到图②的位置，上述结论是否成立？并证明结论； (3)若，把绕点在平面内自由旋转，求的面积y的最大值与最小值的差． 【答案】(1)为等腰直角三角形； (2)仍然为等腰直角三角形； (3)的最大值与最小值的差为： 【分析】（1）由可得，再利用三角形的中位线可得是等腰直角三角形； （2）由旋转的性质得，从而可证，由三角形中位线的性质可得，根据平行线的性质和三角形内角和可证，从而结论得证； （3）如图，设交于点，交延长线于点，连接，，．由三角形三边的关系得，，由三角形的面积公式得，从而可求出y的最大值和最小值，然后相减即可． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形， 分别为的中点， 且， 同理：， ． 又 即为等腰直角三角形． （2）解：如图，仍然为等腰直角三角形．    证明：由旋转的性质，． ， ． 分别为的中点， 且 同理：， 在等腰中， 同理： = = 为等腰直角三角形． （3）解：如图，设交于点，交延长线于点，连接    ，而， 同理， 由题意，， 的最小值为． 同理，最大值为， 从而得的最大值与最小值的差为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $