第02讲 三角形的中位线（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

本讲义聚焦三角形中位线核心知识点，系统梳理其定义（连接两边中点的线段）及定理（平行于第三边且等于第三边一半），通过求角度、线段长度、周长、面积等基础题型，逐步过渡到与平行四边形、坐标系综合及实际应用，构建完整知识脉络。 资料亮点在于分层设计题型，典例与变式结合，培养几何直观和推理意识。实际应用题型（如测量池塘距离）体现应用意识，帮助学生用数学语言表达现实问题。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固练习，弥补知识盲点。

第02讲 三角形的中位线 考点：利用三角形的中位线求边长、证平行、倍半关系 重点： （1）熟记并会用定理：中位线 ∥ 第三边，且等于第三边的一半 （2）会用它求边长、求周长、证平行 难点： （1）题目没直接给中点时，会找中点、构造中位线 （2）与平行四边形、坐标系中点坐标综合运用 （3）与三角形、平行四边形、勾股定理综合解题 知识点1：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【题型1:利用三角形的中位线求角度】 【典例1】在中，已知、分别是边、的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在四边形中，G是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，°，．则的度数为 （　　）    A． B． C． D． 【变式3】如图，中，，为的中位线，连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【题型2:利用三角形的中位线求线段的长度】 【典例2】如图，在中，，为上一动点，，分别为，的中点，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．2 【变式1】如图，是的中位线，若，则的长为（　　） A．20 B．30 C．40 D．60 【变式2】如图，在等腰中，，平分交于点D，点E是的中点，连接．若，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【变式3】如图，在中，，点，分别在边和上，且，，连接，，分别是和的中点，连接，则（   ） A． B． C． D． 【题型3:利用三角形的中位线求周长】 【典例3】如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【变式1】如图，平行四边形的对角线相交于点，点是的中点，，若平行四边形的周长为16，则的周长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．8 【变式2】如图，周长为24的□ABCD对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD且BE=CE，若AC=6，则△AOE的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式3】如图，▱的对角线，相交于点O，且，E，F，G分别是是，，的中点，且的周长为7，则▱的周长为（ ） A．10 B．15 C．20 D．25 【题型4:利用三角形的中位线求面积】 【典例4】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，则的面积是__________． 【变式1】如图，平行四边形ABCD中，G在CD上，E、F是AG、BG的中点，那么四边形ABCD的面积是GEF面积的____倍． 【变式2】如图，在中，，D，E，F分别是，，的中点，连接三个中点，若，，则的面积是________． 【变式3】如图，在中，，，D、E分别是，的中点，连接、，如果，那么的面积是________． 【题型5:利用三角形的中位线求最值】 【典例5】如图，在中，，，，点分别是上动点．连接，点分别为中点，连接．则最小值为______． 【变式1】如图，在中，，，，点P是一个动点，且，点Q是的中点，则的最小值为 _________． 【变式2】如图，在中，，点在线段上一动点，以为对角线的中，则的最小值是__________． 【变式3】如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    【题型6:与三角形中位线有关的规律探究】 【典例6】如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则______． 【变式1】如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为__________为正整数． 【变式3】如图，是边长为1的等边三角形，取边中点作， ，得到四边形，它的面积记作，取中点作，，得到四边形，它的面积记作……，照此规律作下去，则________． 【题型7:三角形中位线的实际应用】 【典例7】阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【变式1】（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    【变式2】某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【变式3】如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连结并延长，使，连结并延长，使，连结．为的中点，连结．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的度数． 1．如图所示，是的中位线，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 2．如图，已知是的中位线，为上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C．3 D．4 3．如图，在中，，点分别是的中点，则四边形的周长为(    ) A．12 B．14 C．16 D．18 4．如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点E、F、G、H得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．已知下列线段的长度，能得到瓦里尼翁平行四边形周长的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（   ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 6．如图，已知的周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角形，……，依此类推，第2021个三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点D在的延长线上，，于点，是的中点，连接，若，，则的长为______． 37．如图，在四边形中，，，E、F分别是边的中点，连接．则长的最大值为_________． 9．如图，已知，点E、F分别为的中点，连接，设，，且，那么_________（用含有a、b的式子表示） 10．如图，在四边形中，，M、P、N分别是的中点．求证：是等腰三角形． 11．探究解题 (1)问题发现：数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明方法．如图1，作辅助线的目的是通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质证明三角形中位线定理，请补充证明过程．过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，； ，， 又 ____________ D是中点 且 ∴四边形______是平行四边形； ______；______ (2)问题延伸：如图2，在四边形中，，点E、点F分别是、的中点，请你猜想出与、的位置关系是______；大小关系是______； (3)拓展运用：相信聪明的你能够通过转化思想，利用三角形中位线定理证明你的猜想． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 三角形的中位线 考点：利用三角形的中位线求边长、证平行、倍半关系 重点： （1）熟记并会用定理：中位线 ∥ 第三边，且等于第三边的一半 （2）会用它求边长、求周长、证平行 难点： （1）题目没直接给中点时，会找中点、构造中位线 （2）与平行四边形、坐标系中点坐标综合运用 （3）与三角形、平行四边形、勾股定理综合解题 知识点1：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【题型1:利用三角形的中位线求角度】 【典例1】在中，已知、分别是边、的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据、是、中点，判定为的中位线，由中位线定理得出，再依据平行线的同位角相等，得出与相等，从而求出的度数． 【详解】解：∵、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】如图，在中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形内角和求出的度数，再根据平行四边形对角线互相平分及中点定义判定为的中位线，从而得出，利用平行线的性质即可求解； 【详解】解：在中，，， ， 四边形是平行四边形， ， 是边的中点， 是的中位线， ， ． 【变式2】如图，在四边形中，G是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，°，．则的度数为 （　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：∵点E、G分别是、的中点， ∴， ∴， ∵点F、G分别是、的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式3】如图，中，，为的中位线，连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为的中位线，可得，，即，结合，可得，即，问题随之得解． 【详解】∵为的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质以及等腰三角形的性质等知识，掌握中位线的性质是解答本题的关键． 【题型2:利用三角形的中位线求线段的长度】 【典例2】如图，在中，，为上一动点，，分别为，的中点，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．2 【答案】B 【分析】先根据平行四边形的性质可得，再证明是的中位线，可得即可得出结果． 【详解】解：在平行四边形中，， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 【变式1】如图，是的中位线，若，则的长为（　　） A．20 B．30 C．40 D．60 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理，D、E分别是、的中点，将转化为，代入已知条件即可求出结果． 【详解】解：是的中位线， 点D是的中点，点E是的中点，， 、， ． 【变式2】如图，在等腰中，，平分交于点D，点E是的中点，连接．若，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得点是的中点，结合点是的中点，可判定是的中位线，从而得出，再结合即可求解． 【详解】解：，平分， 点是的中点． 点是的中点， 是的中位线． ． ， ． 【变式3】如图，在中，，点，分别在边和上，且，，连接，，分别是和的中点，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，取的中点，连接，，延长线交于点，作，交延长线于点，则，由三角形的中位线定理，可得，，，，由平行线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边可得，根据勾股定理可得，即可得． 【详解】解：连接，取的中点，连接，，延长线交于点，作，交延长线于点，则， ∵是的中点，是的中点，是的中点， ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型3:利用三角形的中位线求周长】 【典例3】如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质的应用，能根据三角形的中位线性质得出、、是解此题的关键．根据三角形的中位线性质得出，，，即可求出答案． 【详解】解：点、、分别为三边、、的中点， ，，， 的周长为5， ， ， 即的周长为. 故选：B． 【变式1】如图，平行四边形的对角线相交于点，点是的中点，，若平行四边形的周长为16，则的周长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题主查了平行四边形的性质，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 因为四边形是平行四边形，所以；再根据点E是的中点，得出是的中位线，，再根据四边形的周长是16，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴O是的中点． 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵四边形的周长是16， ∴， ∴， ∴的周长为 ． 故选A． 【变式2】如图，周长为24的□ABCD对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD且BE=CE，若AC=6，则△AOE的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】依据平行四边形的周长为24，即可得到，再根据，，，即可得到的周长． 【详解】解：平行四边形的周长为24， ， 平行四边形对角线、交于点，且， ，， ，且， 中，， 的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式3】如图，▱的对角线，相交于点O，且，E，F，G分别是是，，的中点，且的周长为7，则▱的周长为（ ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和中位线定理计算即可； 【详解】∵E，F，G分别是是，，的中点， ∴，，， ∵， ∴， 又∵的周长为7， ∴， ∴， ∴▱的周长为； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，准确计算是解题的关键． 【题型4:利用三角形的中位线求面积】 【典例4】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，则的面积是__________． 【答案】48 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质；由题意得，，则全等三角形的面积相等；由三角形中位线定理得；根据的面积等于长方形的面积即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴；，， ∴的中点分别为D，E， ∵， ∴； ∵ ． 故答案为：48． 【变式1】如图，平行四边形ABCD中，G在CD上，E、F是AG、BG的中点，那么四边形ABCD的面积是GEF面积的____倍． 【答案】8 【分析】过点G作GHAB交EF于I，垂足为H，根据三角形的中位线的性质进行求解即可． 【详解】解：过点G作GHAB交EF于I，垂足为H，如下图： ∵E、F是AG、BG的中点， ∴EF=AB，GI=GH，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线． 【变式2】如图，在中，，D，E，F分别是，，的中点，连接三个中点，若，，则的面积是________． 【答案】 【分析】过点作的垂线，垂足为，易证是等腰直角三角形，求出，由勾股定理求出，再根据E，F分别是的中点，得到，推出，即中边上的高，最后根据面积公式求解即可． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， 则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴的面积是． 【变式3】如图，在中，，，D、E分别是，的中点，连接、，如果，那么的面积是________． 【答案】84 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理的逆定理．根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：，分别是，的中点， ， ∴， ∵， ， ， ∴的面积， 故答案为：84． 【题型5:利用三角形的中位线求最值】 【典例5】如图，在中，，，，点分别是上动点．连接，点分别为中点，连接．则最小值为______． 【答案】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴， ∴当取最小值时，可取得最小值， 如图，过点作于点，此时线段的长最小， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 在中，，． ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【变式1】如图，在中，，，，点P是一个动点，且，点Q是的中点，则的最小值为 _________． 【答案】 【分析】取的中点D，连接，根据直角三角形的性质可得，根据中位线的性质可得，结合即可得到答案． 【详解】解：如图，取的中点D，连接，则， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵点Q是的中点，， ∴， ∴，即的最小值为． 【变式2】如图，在中，，点在线段上一动点，以为对角线的中，则的最小值是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及垂线段最短，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值，由三角形中位线定理求出，即可得出的最小值． 【详解】解：∵， 根据勾股定理得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当取最小值时，线段最短，即时最短， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式3】如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    【答案】2.4 【分析】连接，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理求出，再根据三角形等面积法求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接．   ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小． 根据题意可知，当时，最小，即最小． 在中，，，， 则． 当时，， 即， 解得， 的最小值是2.4． 【点睛】题目主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键． 【题型6:与三角形中位线有关的规律探究】 【典例6】如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则______． 【答案】 【分析】根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. 【变式1】如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理及应用，熟练掌握三角形中位线定理，得出相应的规律是解题的关键． 由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长是，即可得到规律，从而可得第2024个小等边三角形的周长． 【详解】解：如图所示： ，、、分别为、、的中点， 、、分别为的中位线， ，，， 的周长， 第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长是， 第n个小等边三角形的周长为 第2024个小等边三角形的周长为． 故选：A． 【变式2】如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为__________为正整数． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．根据中位线的定理得出规律解答即可． 【详解】解：在中，，由点分别是边的中点，点分别是的中点，， 点分别是的中点， 可得， 故． 故答案为：． 【变式3】如图，是边长为1的等边三角形，取边中点作， ，得到四边形，它的面积记作，取中点作，，得到四边形，它的面积记作……，照此规律作下去，则________． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，根据题意易得为的中位线，进而可得，的值，再证明四边形为平行线四边形，可得，的值，再解得的值，可求得，同理可得，…，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作于点，过点作于点， ∵是边长为1的等边三角形， ∴，， ∵点为中点，且， ∴为的中位线， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行线四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， …， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形规律探索、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线的性质等知识，准确找到图形变化规律是解题关键． 【题型7:三角形中位线的实际应用】 【典例7】阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 【变式1】（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2），；详见解析；（3）18米 【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可； （2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论； （3）直接利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； （2）求证：，． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． ∴， 在和中， ． ，． ，． 四边形是平行四边形， ，， 又， ，． 故答案为：，； （3）∵点分别是的中点，米， ∴，即：米 故答案为：18米． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 【变式2】某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 【变式3】如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连结并延长，使，连结并延长，使，连结．为的中点，连结．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明为的中位线，得出，，由为的中点，得到，由四边形为平行四边形，得到，从而得到，即可得证； （2）由平行四边形的性质得到，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由，即可得出答案． 【详解】（1）证明： ，， 为的中位线， ，， 为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，是解题的关键． 1．如图所示，是的中位线，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，直接得 ． 【详解】解： 是 的中位线，， ． 2．如图，已知是的中位线，为上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据中位线得到，求出． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，，点分别是的中点，则四边形的周长为(    ) A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理，判断出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质求出的周长即可． 【详解】解：点，，分别是，，的中点， ，，，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为． 4．如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点E、F、G、H得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．已知下列线段的长度，能得到瓦里尼翁平行四边形周长的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，再根据四边形的周长公式判断即可． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∵四边形的周长， ∴已知线段和的长度，能得到四边形的周长， 故选：C． 5．如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（   ） A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，连接，根据题意得到是的中位线，即可得出结论，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形中，是中点，分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意可知，线段的长度是定值， ∴线段的长度是定值， ∴线段的长不变， 故选：C． 6．如图，已知的周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角形，……，依此类推，第2021个三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的周长，再总结规律，然后根据规律解答即可． 【详解】解：如图： ∵D、E、F分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴的周长， ∴第三个三角形的周长是， 同理可得，第四个三角形的周长是……， ∴第2021个三角形的周长是． 7．如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理以及三角形面积公式．根据等边三角形的性质，三角形中位线定理，三角形面积公式等知识，对每个选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：是等边三角形，是的中点，是的中线，根据等边三角形三线合一性质，则是的高，，故选项正确； 、分别是、的中点，，，，故选项错误； 、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确； 、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确； 故选：． 8．如图，在中，点D在的延长线上，，于点，是的中点，连接，若，，则的长为______． 【答案】3 【分析】根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，于点M， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴是三角形的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 37．如图，在四边形中，，，E、F分别是边的中点，连接．则长的最大值为_________． 【答案】4 【分析】连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理得出，，根据三角形三边关系可知 ，从而得出答案即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接，，如图所示， ，分别为边，的中点， 是的中位线， 同理，是的中位线， ， 根据三角形三边关系可知： ， 当，，三点共线时，最大，且最大值为． 9．如图，已知，点E、F分别为的中点，连接，设，，且，那么_________（用含有a、b的式子表示） 【答案】 【分析】连接并延长交于点，证明，从而得到且为的中点，再根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点， ， ， 为的中点， ， 在和中 ， ， ， ， 为的中点， 为的中位线， ． 10．如图，在四边形中，，M、P、N分别是的中点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】证明是的中位线，是的中位线，进而推出，即可证明结论． 【详解】证明：∵M、P、N分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 11．探究解题 (1)问题发现：数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明方法．如图1，作辅助线的目的是通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质证明三角形中位线定理，请补充证明过程．过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，； ，， 又 ____________ D是中点 且 ∴四边形______是平行四边形； ______；______ (2)问题延伸：如图2，在四边形中，，点E、点F分别是、的中点，请你猜想出与、的位置关系是______；大小关系是______； (3)拓展运用：相信聪明的你能够通过转化思想，利用三角形中位线定理证明你的猜想． 【答案】(1)；；；； (2)平行； (3)见详解 【分析】（1）作平行线，构造三角形全等，得到边相等，再证明四边形是平行四边形，最终证明中位线平行于底边，且等于底边一半； （2）四边形是梯形，是中位线，平行于底边，等于两底边和的一半； （3）连接，并延长交的延长线于点G，先证明，得到边相等，是的中位线，底边是梯形上下底之和，利用三角形的中位线性质，即可证明． 【详解】（1）证明：， ，， 又 ， ， ， D是中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ，． （2）平行；，证明过程见（3）详解， （3）证明：连接，并延长交的延长线于点G，如下图 ， ， ， ， ， ． 1 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