第01讲 平行四边形的性质和判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

本讲义聚焦平行四边形的性质和判定这一核心内容，系统梳理平行四边形边、角、对角线的性质，等腰梯形的定义及边、角、对角线性质，以及平行四边形的边、角、对角线判定定理，构建从性质应用到判定综合的学习支架。 资料以分题型设计为特色，含根据性质求边长、角度、点坐标及判定条件添加等典例与变式，融入动态几何存在性问题，培养学生几何直观与推理能力，课中辅助分层教学，课后助力学生通过练习查漏补缺，强化知识应用。

第01讲 平行四边形的性质和判定 考点1：平行四边形的性质 考点2：等腰梯形 考点3：平行四边形的判定定理 重点： （1）平行四边形性质的应用 （2）平行四边形的判定 （3）等腰梯形的性质 难点： （1）平行四边形性质与判定的综合证明 （2）动态几何中的平行四边形存在性问题 知识点1：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【题型1 根据平行四边形的性质求边长/周长】 【典例1】在中，连接，过点作交于点．若且，则(      ) A． B． C． D． 【变式1】在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】在中，连接，过点A作交于点E．若且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，点E是其对角线上的一点，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据平行四边形的性质求角度】 【典例2】如图，在平行四边形中，已知，平分，交于点E，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，的对角线相交于点O，且，，，则的周长为（   ） A．23 B．28 C．33 D．34 【变式2】在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（   ） A．3 B． C． D． 【题型3 根据平行四边形的性质求点坐标】 【典例3】如图，平面直角坐标系中，点B，C两点的坐标分别为，，若四边形是平行四边形，则点A的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式1】如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是_____． 【变式2】如图，平行四边形中，若平分交直线于点，点，则点的坐标是______． 【变式3】如图，直线的解析式为分别与轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且，在轴下方存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为____________．    【题型4 数图形中平行四边形的个数】 【典例4】如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【变式1】如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 【变式2】如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 【变式3】如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是________． 知识点2：等腰梯形 定义： - 梯形:一组对边平行，另一组对边不平行的四边形 等腰梯形:两腰相等的梯形 核心性质： （1）边:两底平行，两腰相等 （2）角:同一底上的两个底角相等，对角互补 （3）对角线:两条对角线相等 （4）对称性:轴对称图形(1条对称轴:上下底中点连线)，无中心对称 【题型5 等腰梯形的性质定理】 【典例5】如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 【变式1】如图，若一个图案是由6个全等的等腰梯形拼成的，则图中的______________°． 【变式2】如图，梯形中，，，平分．若，，则的长为__________． 【变式3】如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 知识点3：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【题型6 添一个条件成为平行四边形】 【典例6】如图，在四边形中，与相交于点E，，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，E，F分别是，上的点，连接，，只添加一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在四边形中，对角线交于点O，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【题型7 平行四边形的判定】 【典例7】如图，在四边形中，，分别是对角线上的两点，且，，．求证：四边形是平行四边形． 【变式1】如图，点在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．求证：四边形是平行四边形． 【变式2】如图，在中，点是边的中点，连接并延长，与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的周长． 【变式3】如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分，，求四边形的周长． 【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例8】如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【变式1】如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，．，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求四边形的周长． 【变式2】【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【变式3】如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 1．如图，在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，它包含的等腰梯形的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．平行四边形相邻两条边长分别为4和6，则此平行四边形的周长为（   ） A．10 B．20 C．15 D．30 4．如图，在中，对角线，交于点，若，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，已知，利用尺规作出平行四边形．示意图中的作图方法，利用到下列哪个定理（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 6．如图，在梯形中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，四边形的对角线，相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形是平行四边形的是（  ） A．， B． C．， D． 8．如图，在中，是对角线上的两点，且．给出下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（   ） A．①②③④⑥ B．②④③⑤⑥ C．①②④⑤⑥ D．①③④⑤⑥ 9．如图，在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是______． 10．如图，在平面直角坐标系中，顶点、、都在坐标轴上，点的坐标为，则面积为__________． 11．如图，在平面直角坐标系中，的对角线与的交点是原点．若点的坐标是，则点的坐标是________． 12．如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则____________s时，四边形是平行四边形． 13．传统剪纸中常用平行四边形纹样，如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且．求证：． 14．如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平行四边形的性质和判定 考点1：平行四边形的性质 考点2：等腰梯形 考点3：平行四边形的判定定理 重点： （1）平行四边形性质的应用 （2）平行四边形的判定 （3）等腰梯形的性质 难点： （1）平行四边形性质与判定的综合证明 （2）动态几何中的平行四边形存在性问题 知识点1：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【题型1 根据平行四边形的性质求角度】 【典例1】在中，连接，过点作交于点．若且，则(      ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和求得，进而求得，最后根据平行四边形对角相等，即可得出答案． 【详解】解：于点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【变式1】在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形对角相等的性质即可直接求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ． 【变式2】在中，连接，过点A作交于点E．若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据于点，可求出，再求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【变式3】如图，在中，点E是其对角线上的一点，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平行四边形中，，，根据，，得出，，结合，求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型2 根据平行四边形的性质求边长/周长】 【典例2】如图，在平行四边形中，已知，平分，交于点E，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质；由平行四边形性质可得，又因为，可得是等腰三角形，即可得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，的对角线相交于点O，且，，，则的周长为（   ） A．23 B．28 C．33 D．34 【答案】B 【详解】解：∵，且，，， ∴，， ∴的周长为． 【变式2】在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】解题的关键是利用平行四边形对边平行得出内错角相等，结合角平分线性质得到等腰三角形，进而求出的长度，再根据平行四边形对边相等确定的长， 由作图步骤确定是的角平分线；利用平行四边形的性质，得，结合角平分线得，故为等腰三角形，；根据及，算出；由平行四边形对边相等，得． 【详解】解：由作图步骤①②③可知，平分，即． ∵四边形是平行四边形， ∴，，（平行四边形对边平行且相等）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴(等角对等边）． ∵，且点E在上， ∴． 【变式3】如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交的延长线于点M，然后再结合已知条件证明，根据全等三角形的性质，求解即可． 【详解】解：延长，交的延长线于点M， ∵是边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是边上的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 【题型3 根据平行四边形的性质求点坐标】 【典例3】如图，平面直角坐标系中，点B，C两点的坐标分别为，，若四边形是平行四边形，则点A的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，以及点的坐标平移方式，进行解答即可． 【详解】解：点B，C两点的坐标分别为，，且，， 将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可与点重合． 四边形是平行四边形， ，， 将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可与点重合， 点A的坐标为． 【变式1】如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，坐标与图形性质，得A，C关于原点对称，可得点C的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴A，C关于原点对称， ∵， ∴． 【变式2】如图，平行四边形中，若平分交直线于点，点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长度，再根据平行四边形的性质和平行线、角平分线的性质推出等腰三角形，进而求出的长度，最后结合点的坐标求出点的坐标． 【详解】解：点， ． 四边形是平行四边形， ． ． 平分， ． ． ． 点的坐标为，且轴， 点的纵坐标为，横坐标为． 故D点的坐标是． 【变式3】如图，直线的解析式为分别与轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且，在轴下方存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为____________．    【答案】 【分析】此题考查了一次函数和四边形综合题，坐标与图形，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出直线的解析式为，得到，然后求出，然后画出图形根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】∵直线的解析式为分别与轴交于两点， ∴将代入得， ∴ ∴ ∴当时， ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在轴下方存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形， ∴如图所示，四边形为平行四边形    ∵，， ∴设D点坐标为 ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【题型4 数图形中平行四边形的个数】 【典例4】如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【答案】3 【详解】解：∵和都可以由平移得到， ∴，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 【变式1】如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 【答案】 4 3 【分析】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定找出平行四边形有3个．根据平行四边形的性质，对边相等可得出． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有、、三个． ∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：4；3． 【变式2】如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 【答案】 3 9 【分析】本题考查了平行四边形的判定与有序计数．掌握“两组对边分别平行”的判定定理，并能有条理、不重不漏地识别图形中的所有平行四边形是解题的关键． 在已知平行四边形中，增加条件．利用平行四边形对边平行的性质，可推导出，由此，图形中被分割出的三个四边形、以及原四边形均满足两组对边分别平行，因此都是平行四边形，共有3个．在①的基础上，再作，此条件与原有平行关系结合，产生了更多平行线组，从而划分出更多小的平行四边形．计数时，需从不同大小、不同位置系统性地识别，包括由新交点G产生的小平行四边形（如）、原有的大平行四边形（如）以及新组合成的平行四边形（如）．通过有序枚举，共得到9个平行四边形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴, ∴四边形、、均为平行四边形， 故图①中的平行四边形有3个． 设线段与线段交于点G， ∵， ∴， ∴四边形、、、、、、、、均为平行四边形， 故图②中的平行四边形有9个． 故答案为：3；9． 【变式3】如图，在中，E，F分别是AD，BC的中点，连接BE，EF，DF，则图中平行四边形的个数是________． 【答案】4 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，，结合中点的性质得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得到四边形、四边形、四边形都是平行四边形，由此即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； 则图中平行四边形有个， 故答案为：． 知识点2：等腰梯形 定义： - 梯形:一组对边平行，另一组对边不平行的四边形 等腰梯形:两腰相等的梯形 核心性质： （1）边:两底平行，两腰相等 （2）角:同一底上的两个底角相等，对角互补 （3）对角线:两条对角线相等 （4）对称性:轴对称图形(1条对称轴:上下底中点连线)，无中心对称 【题型5 等腰梯形的性质定理】 【典例5】如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 【答案】 【分析】首先设，由，，可求得，，然后由，可得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】解：设， ∵等腰梯形中，，， ． ． ， ． ∵等腰梯形中，， ． ∵在中，， ， ， 解得， ． 【变式1】如图，若一个图案是由6个全等的等腰梯形拼成的，则图中的______________°． 【答案】 120 【分析】观察图形可知，图案的外轮廓是正六边形，根据正多边形内角和公式求出正六边形的内角度数，再根据图形拼接特点，可知正六边形的一个内角由两个全等的等腰梯形的底角组成，从而求出梯形的锐角底角度数，利用等腰梯形同一腰上的两个角互补求出钝角底角度数，结合图形判断的度数 【详解】解：正六边形的内角和为 每个内角为 因为图案由 个全等的等腰梯形拼成 所以正六边形的每个内角由两个等腰梯形的底角拼接而成 所以等腰梯形的锐角底角为 因为等腰梯形同一腰上的两个角互补 所以等腰梯形的钝角底角为 观察图形可知， 是等腰梯形的钝角 所以． 【变式2】如图，梯形中，，，平分．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰梯形的性质和判定，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键； 先通过辅助线构造矩形和全等三角形，利用梯形的性质、角平分线的性质得出线段之间的关系，再借助勾股定理求出相关线段长度，进而求得BD的长． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形． ， ． 平分， ， ， ． ， 梯形是等腰梯形． 又，， 由梯形的轴对称性可知，． 四边形是矩形， ，． 又， ． 在中，， ， ， ． 在中， ． 故答案为：． 【变式3】如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，结合等角对等边，进而求解即可． 【详解】解：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，，，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，④正确； 则正确的是①②④． 知识点3：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【题型6 添一个条件成为平行四边形】 【典例6】如图，在四边形中，与相交于点E，，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题中的条件，根据平行四边形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：由题意可得，， A、，则四边形是平行四边形，选项正确，符合题意； B、，得不出四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意； C、，得不出四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意； D、，得不出四边形是平行四边形，选项错误，不符合题意． 【变式1】如图，在中，E，F分别是，上的点，连接，，只添加一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， A．∵，∴，无法判断四边形为平行四边形； B．无法判断四边形为平行四边形； C．∵，∴，无法判断四边形为平行四边形； D．∵，∴，∴四边形为平行四边形． 【变式2】如图，在四边形中，对角线交于点O，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于D，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】解：A、B、C均不能证明四边形为平行四边形，D可以， ∵， ∴ ∵， ∴四边形为平行四边形． 【变式3】如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析，即可得出答案． 【详解】A、若添加， 根据，无法证明四边形成为平行四边形，故A选项不符合题意； B、若添加， 根据，无法证明四边形成为平行四边形，故B选项不符合题意； C、若添加， ∵，， ∴四边形成为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故C选项符合题意； D、若添加， 满足对角线相等、一组对边平行的四边形也可能是等腰梯形，故D选项不符合题意． 【题型7 平行四边形的判定】 【典例7】如图，在四边形中，，分别是对角线上的两点，且，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】证明得出，结合，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴，即， 又∵， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形 【变式1】如图，点在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定是解题的关键． 先证明，再根据且证明即可． 【详解】∵， ∴． 在和中 ， ∴． ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】如图，在中，点是边的中点，连接并延长，与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）此题根据平行四边形的性质得到，由此得到内错角相等：，再结合中点条件，可证, 由全等三角形的性质可得，又因为，再根据平行四边形的判定定理：可证是平行四边形． （2）此题根据角平分线的定义可知，又因为，所以，由等腰三角形的判定定理：是等腰三角形，所以，再根据平行四边形的性质：，进而计算出平行四边形的周长． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，即 ． 点E是的中点， ． 在和中 ， ． 又 四边形是平行四边形． （2）解：四边形和四边形都是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ，， ，， ， 的周长为24． 【变式3】如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先推导出，再根据，可证明四边形为平行四边形； （2）先求出，得到，推导出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：， 又， 四边形为平行四边形 （2）解：在中，， 又平分， ， ， 在中，， ， 由（1）知，四边形为平行四边形， ． 【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例8】如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）过点作于点，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，同理求出，根据平行四边形的面积公式，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，．，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）由平行四边形的性质，得对角线互相平分：，．根据、，推出，，结合，得．四边形的对角线、互相平分，故为平行四边形． （2）由，得平行四边形的对角线互相垂直，故为菱形（）．在中，且，故为等边三角形，得．菱形周长边长． 【详解】（1）证明：在中 ， ， ， ， 四边形为平行四边形 （2）解：， 为的垂直平分线， 【变式2】【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．          (1)如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 (2)如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案； （2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论； （3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）解：由折叠可知：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 如图所示，延长交于点，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为3 【分析】（1）由，可得，又，可证结论； （2）由角平分线的性质可得，由四边形是平行四边形可得，故，在中，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形 （2）解：由（1）已知，四边形是平行四边形，， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：的长为3． 1．如图，在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平行四边形的对角相等，据此可得答案． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴． 2．如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，它包含的等腰梯形的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据正六边形的特性找全等腰梯形即可． 【详解】解：正六边形如图所示， 等腰梯形为，，，，，，共6个 ． 3．平行四边形相邻两条边长分别为4和6，则此平行四边形的周长为（   ） A．10 B．20 C．15 D．30 【答案】B 【分析】利用平行四边形对边相等的性质得到其他两条边的长，再根据平行四边形的周长公式即可计算周长． 【详解】解：∵平行四边形对边相等，相邻两条边长分别为和，且平行四边形的对边相等， ∴该平行四边形的四条边长依次为，，，， ∴此平行四边形的周长为． 4．如图，在中，对角线，交于点，若，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由平行四边形对角线相互平分求解即可． 【详解】解：在中，， ， ． 5．如图，已知，利用尺规作出平行四边形．示意图中的作图方法，利用到下列哪个定理（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据作图可得，结合平行四边形的判定即可求解． 【详解】解：根据作图得到， ∴根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 故选：D ． 6．如图，在梯形中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作交于点E，则可证明四边形是平行四边形，得到，再证明是等边三角形，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点E， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 7．如图，四边形的对角线，相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形是平行四边形的是（  ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【详解】解：A、由，，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故符合题意； B、由无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、由，无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意． 8．如图，在中，是对角线上的两点，且．给出下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（   ） A．①②③④⑥ B．②④③⑤⑥ C．①②④⑤⑥ D．①③④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的综合运用，理解相关知识是解答关键． 连接交于，过作于，过作于，推出得出平行四边形，可判断①②④；无法判断③正确；证明得出可判断⑤正确；根据可判断⑥正确． 【详解】解：连接交于，过作于，过作于， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ． ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴①正确；②正确；④正确； ∵根据已知不能推出， ∴③错误； ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴⑤正确； ∵， ∴， ∴， ∴⑥正确． 综上，正确的序号为：①②④⑤⑥． 故选：C． 9．如图，在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是______． 【答案】10 【分析】由平行四边形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质可得，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 由线段垂直平分线的性质可得：， ∴的周长是． 10．如图，在平面直角坐标系中，顶点、、都在坐标轴上，点的坐标为，则面积为__________． 【答案】42 【分析】根据平行四边形的性质得到轴，由点的坐标得到，，根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∴． 11．如图，在平面直角坐标系中，的对角线与的交点是原点．若点的坐标是，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及关于原点对称的点的坐标特征．若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数，据此即可得到点的坐标． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心， 点与点关于点中心对称， 点的坐标是， 点的坐标是． 12．如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则____________s时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的判定，动点问题的方程思想，掌握利用平行四边形一组对边平行且相等的判定定理，结合动点速度列方程求解是解题的关键． 设运动时间为秒，利用平行四边形一组对边平行且相等” 的判定定理，结合动点速度表示线段长度，列方程求解． 【详解】解：设时，四边形是平行四边形． 根据题意，得，． ， ． ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得． 故答案为：． 13．传统剪纸中常用平行四边形纹样，如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，结合，易证，进而证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴，即， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ． 14．如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质及勾股定理， （1）根据平行四边形性质得出，证明，得出即可证明结论； （2）先求出，，根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $