第01讲 不等式及其性质（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

本讲义聚焦初中数学“不等式及其性质”核心内容，以不等式的定义（含5种不等号）为起点，衔接解集的概念及数轴表示方法，进而系统梳理不等式的三条基本性质（含互逆性、传递性），构建从概念理解到表示方法再到性质应用的递进式学习支架。 该资料通过“典例+变式”题型设计强化应用，结合交通标志、邮资计算等实际情境培养数学眼光，突出性质3（乘除负数变号）等易错点训练数学思维，数轴表示解集环节提升数学语言表达能力。课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾性质应用与查漏补缺。

第01讲 不等式及其性质 考点1：不等式的定义 考点2：不等式的解集 考点3：不等式的基本性质 重点： （1）掌握不等式的概念，会用不等式表示数量关系。 （2）理解并熟练运用不等式的三条基本性质。 （3）会用不等式性质对不等式进行简单变形。 难点： （1）不等式性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变，极易出错。 （2）正确区分不等式性质与等式性质的异同，不混淆。 （3）含字母系数时，判断乘除的数是正还是负，从而确定是否变号。 （4）运用不等式性质进行逻辑推理和简单证明 知识点1：不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 【题型1：不等式的定义】 【典例1】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，检查每个式子即可． 【详解】解：∵① 使用“”，是不等式； ② 使用“”，是不等式； ③ 使用“”，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用“”，是不等式； ∴不等式有①②⑤共个； 故选：C． 【变式1】下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，解题思路是根据不等式的定义逐个判断式子，统计符合要求的个数即可，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 【详解】解：根据不等式的定义逐个判断： ∵ ① 用不等号连接，是不等式； ② 用不等号连接，是不等式； ③ 用等号连接，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤ 用等号连接，是等式，不是不等式； ⑥ 用不等号连接，是不等式； ∴ 符合不等式定义的共有3个. 【变式2】交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的概念及实际应用，根据图形中的标志，可得出通过该桥洞的车高最高为，据此得出答案． 【详解】解：由题意知，图形中的标志表示的是通过该桥洞的车高范围为， 故选：D． 【变式3】下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 【答案】C 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据已知信息找出不等关系是解题的关键； 根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的进行比较． 【详解】解：A、 a不是负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意； B、x不大于3表示， 但选项为， 错误，不符合题意； C、x与4的和是负数表示， 与选项一致， 正确，符合题意； D、x与3的差是非负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意． 故选：C． 知识点2：不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 【题型2：不等式的解集】 【典例2】已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 【变式1】下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可． 【详解】解：中不包括， 故选：C． 【变式2】若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 【题型3：在数轴上表示不等式的解集】 【典例3】在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为_________． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，数轴的某一段上面，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，向右，向左． 【详解】解：由图可知，该解集为：． 故答案为： 【变式1】不等式在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】大于向右画，没有等号用空心圆圈来表示． 【详解】解：不等式在数轴上表示正确的是， 选项A符合题意． 【变式2】不等式在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握在数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键．在数轴上表示不等式的解集时，要用实心圆点表示，，要用空心圆点表示，，向右画，，向左画，据此解答即可． 【详解】解：不等式在数轴上表示为： ， 故选：C． 知识点3：不等式的基本性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点： ①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 【题型4：不等式的性质】 【典例4】如果，下列不等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴A．不等式两边同时减3，不等号方向不变，可得，A正确，不符合题意； B．不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得，B正确，不符合题意． C．不等式两边同时乘负数﹣2，不等号方向改变，可得，C正确，不符合题意． D．由不等式性质得，两边同时加1，不等号方向不变，可得，因此D错误，符合题意． 【变式1】若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质逐一判断选项，不成立的可通过举反例排除，即可作答． 【详解】解：A、∵，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴，A选项变形错误，不符合题意； B、∵，不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变， ∴，B选项变形错误，不符合题意； C、举反例：当，时，满足，但，因此C选项不成立，不符合题意； D、∵，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴，D选项变形正确，符合题意； 【变式2】已知，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，关键是熟练应用性质进行判断；根据不等式的基本性质对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴根据不等式两边加同一个数，不等号方向不变，得， 故A选项错误； ∵， ∴根据不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，得， 故B选项正确； ∵， ∴根据不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变，得， 故C选项错误； ∵， ∴移项得， 故D选项错误； 故答案选：B. 【变式3】若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式两边加、减、乘（或除以）同一个数（或式子）时不等号方向的变化规律，进而判断出各式是否成立． 【详解】解：， 不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，故一定成立． 故选：． 1．下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据不等式解集的定义即可得出结论． 【详解】解：∵不等式x＞2的解集是所有大于2的数， ∴3是不等式的解． 故选：D． 【点睛】本题考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解是解答此题的关键． 2．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，含有不等号的表达式是不等式．选项A含有“”，因此是不等式；其他选项不符合定义． 本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的概念是解题的关键． 【详解】解：A、表达式中含有，是不等式，符合题意； B、是代数表达式，无不等号，不符合题意； C、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； D、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； 故选：A． 3．为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝．设学校的噪音为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式，根据“不得超过”的含义，噪音x应不超过50分贝，即． 【详解】解：∵ 噪音不得超过50分贝， ∴ ， 故选：D． 4．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，掌握不等式的基本性质是解决本题的关键．利用不等式的性质逐个判断得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故选项A不成立； ∵， ∴，故选项B不成立； ∵， ∴，故选项C不成立； ∵， ∴，故选项D成立． 故选：D． 5．在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察表格中的数据，根据时邮资为元即可求解，看懂表格是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当信件质量满足时，邮资为元， ∴此平信的质量可能为克， 故选：． 6．设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了二元一次方程的应用，不等式基本性质的应用，正确理解题意是关键．设为a，为b，为c，根据图形先列出方程，得到，然后列出不等式，得到，再根据不等式的传递性，即可求得三者的大小关系． 【详解】 解：设为a，为b，为c， 则由第一个图可知， ， ， 由第二个图可知， ， ， 这三种物体按质量从大到小排列应为． 故选：C． 7．根据下图，下列判断正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，数轴，关键是掌握绝对值的意义，不等式的性质，数轴上的点表示的数，从左向右越来越大．根据图形得到：，，由不等式的性质即可判断． 【详解】解：根据图形得到：，， ①因为， 所以，故①符合题意； ②因为， 所以即，故②符合题意； ③因为， 所以，故③符合题意； ④，正确，故④符合题意． 所以正确的有4个． 故选：D． 8．根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 【答案】 【分析】先将题目中的文字描述转化为代数式，再根据“不大于”的含义确定不等关系，即可写出对应不等式． 【详解】解：根据题意，的倍可表示为． 的倍与的和可表示为． “不大于”的含义是小于或等于． 因此可得不等式 ． 9．将不等式“”化为“”的结果是________． 【答案】 【分析】将不等式两边同时减去6，利用不等式的基本性质，使左边变为，右边变为常数． 本题考查不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 故答案为： 10．如图，该数轴表示的不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握“实心点对应不等号含等号、向左表示小于或小于等于”是解题的关键．根据数轴上点的虚实和方向，确定不等式的解集即可． 【详解】解：数轴上表示的点是1（实心点），方向向左， 故解集为：， 故答案为： 11．若且，则的取值范围是______________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的性质；移项后根据可得，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 不等式及其性质 考点1：不等式的定义 考点2：不等式的解集 考点3：不等式的基本性质 重点： （1）掌握不等式的概念，会用不等式表示数量关系。 （2）理解并熟练运用不等式的三条基本性质。 （3）会用不等式性质对不等式进行简单变形。 难点： （1）不等式性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变，极易出错。 （2）正确区分不等式性质与等式性质的异同，不混淆。 （3）含字母系数时，判断乘除的数是正还是负，从而确定是否变号。 （4）运用不等式性质进行逻辑推理和简单证明 知识点1：不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 【题型1：不等式的定义】 【典例1】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 知识点2：不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 【题型2：不等式的解集】 【典例2】已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是______． 【题型3：在数轴上表示不等式的解集】 【典例3】在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为_________． 【变式1】不等式在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】不等式在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 知识点3：不等式的基本性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点： ①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 【题型4：不等式的性质】 【典例4】如果，下列不等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 1．下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 2．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝．设学校的噪音为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 4．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 6．设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（   ） A． B． C． D． 7．根据下图，下列判断正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 8．根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 9．将不等式“”化为“”的结果是________． 10．如图，该数轴表示的不等式的解集是_____． 11．若且，则的取值范围是______________． 学科网（北京）股份有限公司 $