第18讲 平移齐次化、仿射变换问题、同构法、点乘双根法讲义-2026届高考数学复习椭圆专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦解析几何四大核心解题方法，即平移齐次化、仿射变换、同构法、点乘双根法，按知识要点梳理、题型分类归纳、典型例题精讲、变式训练巩固的逻辑架构展开，通过考点拆解、方法提炼、真题实战等环节，帮助学生构建系统解题思路，突破解析几何运算复杂的难点。 资料以创新方法为亮点，如仿射变换将椭圆转化为圆简化问题，培养几何直观与转化思维，同构法利用方程结构特征解决对称问题，提升推理能力。设置基础例题与综合变式分层练习，配合即时方法总结，确保学生高效掌握解题技巧，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第18讲 平移齐次化、仿射变换问题、同构法、点乘双根法 目 录 知识要点 1 题型归纳 6 题型01：平移齐次化 6 题型02：仿射变换 16 题型03：同构法 26 （一）利用两点坐标同构 26 （二）利用根与方程的关系同构 28 （三）利用对偶计算同构 31 题型04：点乘双根法 33 知识点一：平移齐次化 如果公共点在原点，不需要平移.如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减，上减下加”. 1.平移齐次化原理 如果公共点在原点，不需要平移.如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减，上减下加”. 设平移后的直线为，与平移后的圆锥曲线方程联立，一次项乘以，常数项乘以，构造，然后等式两边同时除以 (前面注明x不等于0)，得到，可以直接利用根与系数的关系得出斜率之和或斜率之积，即可得出答案.如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去. 2．齐次化适用范围 由原理可知齐次化适应于处理解决曲线上的点与坐标系原点连线有关的斜率运算问题，常见类型如： ，，，，，， 前面两个考题相对比较常见，后面的则需要变形才能使用，变形如下： ，，． 这个需要根据韦达定理判断符号再变形．在遇到上述关于斜率运算问题时，采取齐次化处理往往能达到简化运算的目的． 知识点二：仿射变换问题 仿射变换有如下性质： 1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线； 2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上； 3、其它不变关系． 我们以椭圆为例阐述上述性质． 椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系： （1）点变为； （2）直线斜率变为，对应直线的斜率比不变； （3）图形面积变为，对应图形面积比不变； （4）点、线、面位置不变（平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）； （5）弦长关系满足，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变 （6）已知是椭圆的内接三角形，若其重心恰为椭圆的中心，那么的面积为定值，即 （7）椭圆的中心三角形为从坐标原点出发引两条射线分别与椭圆交于两点，称为椭圆的中心三角形，本节将主要研究它的基本性质. 定理1.为椭圆上任意两点，为椭圆中心，若，则. 定理2.为椭圆上任意两点，为椭圆的中心．若，则. 知识点三：同构法 同构法是处理解析几何对称问题的有力武器．同构思想的介入，使得解析几何中平行线截线段成比例问题、斜率问题、切线问题等，结构相同或相似问题的求解过程变得简单明了. 1.利用两点坐标同构 如果点A（x1,y1)和点B（x2,y2)满足二元一次方程，且方程为同构式，则该方程为直线AB的方程. 2.利用根与方程的关系同构 如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根.如果两个不同的未知实数(如m,n）满足一元二次方程，且方程为同构式，则该方程的解即为给定的未知实数(如m,n），进而可以利用根与系数的关系. 3.利用对偶计算同构 如果题目涉及两种联立直线与圆锥曲线化简，求解同类目标，直线方程为同构式时，则只需计算出其中一种结果，另一种结果同构变量替换即可进，在解答题中常以“同理可求”体现.可以简称：同构方程，算法一致，对应替换，节省一半！ 知识点四：点乘双根法 1．点乘双根法的含义 何谓点乘双根法呢？在大学数学中，把向量，的数量积叫做向量点乘向量，因此点乘得名；所谓双根是由初中的一元二次方程知识可知：若和是一元二次方程的两个根，则，我们把叫做二次方程的双根式，所谓的点乘双根法就是构建双根式是去解决含和或者可转化为含含和的计算问题，其中以向量的数量积有关的问题为最常见． 2.点乘双根法的原理： 点乘双根法是通过对双根式进行赋值和，直接计算和的含参表达式，然后整体代入目标，从而构建出关于参数的等式关系式，避免繁杂的计算，达到快速解题的目的（其中，点坐标为已知定点，，为直线与圆锥曲线的交点）． 3.点乘双根法适用题型: 在圆锥曲线中，遇到如（其中为常数）的形式，其中点是已知的点，，为直线与圆锥曲线的交点的问题时，可用点乘双根法以达到简化运算，快速解题的目的． 4．点乘双根法解题范式： 下来以一个例题来讲解一下点乘双根法应用范式． 【例题】椭圆：，若直线：与椭圆交于，两点（，不是左右顶点），且以直线为直径的圆恒过椭圆的右顶点．求证：直线恒过定点，并求出该点的坐标． 步骤1：联立方程，构建双根式 设椭圆的右顶点为，，，所以， 联立，化简得： ， 又因为，是方程的两个根，所以 ① 步骤2：赋值 点乘双根法赋值目的是为了对目标中的和进行整体代换以达到简化计算的目的，故对双根式①中的进行赋值得 ， 整体求出 ②． 接下来先求出，，只需对双根是进行赋值，并两边同时乘以可得 ③． 步骤3：变形代入 将②和③整体代入，可得 ， 即，分解因式得，或， 当时，直线，故直线恒过定点． 当时，直线，故直线恒过定点，舍去． 题型01：平移齐次化 【典型例题1】已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值． 【详解】（1）易求得椭圆C的标准方程为. （2）公共点，左移1个单位，下移个单位，， ，， ，等式两边同时除以，，，，， 过，右移1个单位，上移个单位，过，∴P到直线l的距离的最大值为的值为， 由于 ∴点P到直线l距离的最大值． 【典型例题2】已知A，B为抛物线上异于顶点的两动点，且以AB为直径的圆过顶点.求证：直线AB过定点. 【分析】设出直线AB的方程为，联立直线和抛物线方程，得，化成齐次式，再利用数量积为0进行求解. 【详解】设直线AB的方程为，联立 可得， 两边同时除以，得. 由，得，所以，即. 所以直线AB的方程为，且过定点（2p,0). 【变式训练1-1】已知椭圆C：.过点，两个焦点为和.设E，F是椭圆C上的两个动点. (1)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2，证明：直线EF恒过定点； (2)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之积为2，证明：直线EF恒过定点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将直线方程与椭圆方程齐次化，利用韦达定理可得直线EF的方程为，可得结论； （2）由（1）中的结论由韦达定理可得直线EF的方程为，得出证明. 【详解】（1）设直线EF方程为，即， 从而. 又椭圆过点，可得 整理可得 所以 即 则 显然这是一个关于的一元二次方程. 对于问题（1），由韦达定理得 所以，故，则 所以直线EF恒过定点. （2）对于问题（2），由韦达定理得 所以，则， 所以直线EF恒过定点. 【变式训练1-2】已知椭圆，过其上一定点作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于，两点，证明：直线斜率为定值．    【答案】证明见解析 【分析】以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，到新坐标中，原条件转换到新坐标为：，即．设直线方程为：．构造齐次式：，整理为：，关键步骤是两边同时除以，则，根据建立等式找到，，根据平移变换，斜率不变，即可求解． 【详解】以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示：    旧坐标到新坐标， ， 即， ， 原来，则转换到新坐标为：， 即． 设直线方程为：． 原方程：则转换到新坐标就成为：． 展开得： 构造齐次式： 整理为： 两边同时除以，则， ∴， ∴ 而 ． ∴． 平移变换，斜率不变， ∴直线斜率为定值． 【变式训练1-3】如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点(在的上方)，设点、是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.    【答案】是定值，理由见解析 【详解】由题意将代入椭圆方程得，从而， 因为直线不过点，所以设直线的方程为， 椭圆的方程即：， 联立直线与椭圆方程，得 ， 整理得， 即，（*） 而（*）式中的指的是点或点的横纵坐标， 令，则关于的方程有两个解， 由得， 即：， 直线的斜率为，是定值. 【变式训练1-4】已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 【答案】（1）；（2）详见解析. 【分析】 【详解】（1）由题意可得：，解得：， 故椭圆方程为：. (2)［方法一］：通性通法 设点， 若直线斜率存在时，设直线的方程为：， 代入椭圆方程消去并整理得：， 可得，， 因为，所以，即， 根据,代入整理可得： ，         所以， 整理化简得， 因为不在直线上，所以， 故，于是的方程为， 所以直线过定点直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得， 由得：， 得，结合可得：， 解得：或（舍）. 此时直线过点. 令为的中点，即， 若与不重合，则由题设知是的斜边，故， 若与重合，则，故存在点，使得为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系 将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即． 设，因为则，即． 代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点． 又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立． 故存在，使得． ［方法三］：建立曲线系 A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得． 则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）． 用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）． 即． 对比项、x项及y项系数得 将①代入②③，消去并化简得，即． 故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q． 经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得． ［方法四］： 设． 若直线的斜率不存在，则． 因为，则，即． 由，解得或（舍）． 所以直线的方程为． 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则． 令，则． 又，令，则． 因为，所以， 即或． 当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线恒过． 综上，直线恒过，所以． 又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动． 取线段的中点为，则． 所以存在定点Q，使得为定值． 【整体点评】（2）方法一：设出直线方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点，再根据平面几何知识可知定点即为的中点，该法也是本题的通性通法； 方法二：通过坐标系平移，将原来的O点平移至点A处，设直线的方程为，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出的关系，从而可知直线过定点，从而可知定点即为的中点，该法是本题的最优解； 方法三：设直线，再利用过点的曲线系，根据比较对应项系数可求出的关系，从而求出直线过定点，故可知定点即为的中点； 方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解以及的计算． 【变式训练1-5】已知抛物线：与椭圆：有相同的焦点，且两曲线相交于点，过作斜率为的动直线，交椭圆于，两点. （1）求抛物线和椭圆的方程； （2）若为椭圆的左顶点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值，并求出定值. 【详解】解法一韦达定理联立： （1）∵点在抛物线：上，∴，解得，∴抛物线的方程为. ∴椭圆的左、右焦点分别为和.，∴，，所以椭圆的方程为：. （2） 设的方程为.由，消去整理得：. 设，，则， 故 .综上，. 解法二齐次化构造：（1）∵点在抛物线：上，∴，解得， ∴抛物线的方程为.∴椭圆的左、右焦点分别为和，即.∴. 又点在椭圆上，∴，即，解得，（舍去）. ∴，，所以椭圆的方程为：. （2）将椭圆沿着方向平移，平移后的椭圆方程为 设直线方程为，代入椭圆方程得，两侧同时除以 得，，因为过定点，所以 题型02：仿射变换 【典型例题1】已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形. （1）求椭圆标准方程； （2）若为原点，且满足，求的面积. 解析1：（仿射变换） 考虑变换，则在的作用下椭圆对应圆，则在压缩变换下，平面对应封闭图形面积是原来平面上封闭图形面积的倍，即． 设点分别对应点, 由为的重心，又为的外心，从而为正三角形． 易得圆的内接正三角形的面积为定值 从而为定值． 解析2：（代数硬解） 所以椭圆的标准方程为. （2）设，因为，所以，①当直线斜率不存在时，即，则，因为点在椭圆上，所以，则有， 所以，点到的距离为，此时. ②当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立得消去整理得， 满足，由韦达定理得 ，所以， 所以，又因为点在椭圆上，所以，化简得， 所以 ，所以点到直线的距离为： ， 所以，综上所述，的面积为. 【典型例题2】已知椭圆，点在椭圆上，且（为原点）．设的中点为，射线交椭圆于点． （1）当直线与轴垂直时，求直线的方程； （2）求的取值范围． 解析：（1）当直线与轴垂直时，设其方程为．由点关于轴对称，且，由勾股定理可知不妨设，将点的坐标代入椭圆的方程，得，解得．所以直线的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，由（1）知为．     当直线的斜率存在时，设其方程为．由  得．由，得．设，，则，．因为，所以．所以．整理得．所以．解得，从而．设，其中．则．将代入椭圆的方程，得．所以，即．因为，所以，即．综上的取值范围是． 【变式训练2-1】国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设内层椭圆方程为（），因为内、外层椭圆离心率相同， 所以外层椭圆方程可设成（）， 设切线方程为，与联立得， ， 由，则， 设切线方程为， 同理可求得， 所以，， 所以，因此. 故选：C. 【变式训练2-2】Р是椭圆上任意一点，O为坐标原点，，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且，则面积为 ． 【答案】 【详解】作变换之后椭圆变为圆，方程为， 是的重心，又O是的外心 ′是等边三角形， ∴． 故答案为： 【变式训练2-3】已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】作仿射变换，令，可得仿射坐标系，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆，点坐标分别为，过作两条平行的弦分别与圆交于四点. 由平行四边形性质易知，三角形的面积为四点所形成的平行四边形面积的，故只需令三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到即可.当时，三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到. 故此题离心率的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练2-4】仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，其体解题方法为将由仿射变换得：，，则椭圆变为，直线的斜率与原斜率的关系为，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系．最后转换回椭圆即可．已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与相交于、两点且，过椭圆外一点作椭圆的两条切线、且，切点分别为、． (1)求证：点的轨迹方程为； (2)若原点到、的距离分别为、，延长表示距离、的两条直线，与椭圆交于、两点，试求：原点在边上的射影所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数． 【答案】(1)证明见解析 (2)是，定值为 【分析】 【详解】（1）证明：在椭圆中，因为，则，， 椭圆的方程为， 过右焦点且垂直于轴的直线与相交于、两点且， 则点在椭圆上，则，解得， 所以，椭圆的标准方程为， ①当直线、的斜率都存在时，设直线、的斜率分别为、， 作变换，，则椭圆方程变为， 记，，则，设点， ①当直线、的斜率都存在时， 设过点且与圆相切的直线的斜率为， 则切线的方程为，即， 由题意可得，整理可得， 由韦达定理可得，整理可得， 即，即； ②作放射变换前，若直线、与两坐标轴分别垂直，则点， 此时，点的坐标满足方程. 综上所述，点的轨迹方程为. （2）解：边上的垂足所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差为， 则， 所以，， 所以，，下面来求的值： ①若、分别与两坐标轴重合，则； ②若、的斜率都存在，设直线的方程为， 则直线的方程为， 联立可得，， 所以，，同理可得， 所以，， 综上所述，，所以，， 所以，点的轨迹方程为. 所以，原点在边上的射影所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差为. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 【变式训练2-5】动点P与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)已知，过点的直线与曲线E交于不同的两点A，B，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线，分别与x轴交于C，D两点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)4 【分析】 【详解】（1）设点，依题意可得， 所以， 化简得，即E的方程为. （2）如图所示：    设直线的方程为，，，， 联立方程组，可得， 则 ， 由韦达定理有，， 且由求根公式有， 直线的方程为，，同理， ∵，，∴， ， ∴ ， 又 ，且， 所以， 当且仅当时，四边形的面积最大，最大值为4. 【点睛】关键点点睛：第一问的关键是根据题意列出的关系式，从而化简即可；第二问的关键在与要画出图形分析得到， 然后利用三点共线、三点共线分别得到和，最终将椭圆方程和直线方程联立， 由韦达定理将表示成的函数，从而利用基本不等式求解;在计算过程中，适当的变形技巧也是解题的关键. 【变式训练2-6】仿射变换是处理圆锥曲线综合问题的一类特殊而又巧妙的方法，它充分利用了椭圆与圆的关系，具体的解题方法为：对于椭圆，可由仿射变换，则椭圆的方程变为，直线的斜率与原斜率的关系为，图形的面积与原面积的关系为.现已知椭圆方程为，离心率为，为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，的面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率分别为，两直线的夹角为，试写出与之间的关系式（不必证明）； (3)过点作交椭圆于点，试利用仿射变换的方法求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)当；当. (3) 【分析】 【详解】（1）由题意可知为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，即有，即， 又，得， 所以， 从而椭圆的标准方程为. （2）因为两直线的夹角的取值范围为， 当时，情况1：如图所示，假设直线的斜率分别为， 则. 而， 所以. 情况2：如图所示， 假设直线的斜率分别为， 则. 而， 所以. 当，两直线垂直，. 综上，与之间的关系式为： 当时，；当，. （3）根据题意画出图像为： 设直线的方程为，直线的方程为， 对椭圆作仿射变换，则椭圆的方程变为圆的方程：， 点对应变为，则，直线的方程为， 直线的方程为，即， 设，则，当且仅当时取等， ， 令，知在上单调递减， 所以. 即，所以， 故的面积的最大值为. 题型03：同构法 （一）利用两点坐标同构 【典型例题1】 已知椭圆 的离心率为 ,椭圆上的点 与两个焦点 构成的三角形的最大面积为 1 . (1)求椭圆 的方程； (2)若点 为直线 上的任意一点，过点 作椭圆 的两条切线 ， (切点分别为 ),试证明动直线 恒过一定点,并求出该定点的坐标. 【解析】(1) 由题意得 ,解得 , 椭圆 的方程为 . (2)证明:设 ， ， 当过点 的切线的斜率存在时,设切线方程为 ,则 由 消去 得 , , 又 , , , 切线方程为 ,即 ; 当过点 的切线斜率不存在时,切线方程为 ,也满足方程 . 综上所述,过点 的切线方程为 , 同理,过点 的切线方程为 , 两条切线都过直线 上任意一点 , , 都在直线 ,即 上, 令 ,得 , 无论 取何值,直线 始终经过定点 , 动直线 恒过一定点 . 【变式训练3-1】 如图所示，已知抛物线的角度为，过的直线交抛物线与两点，在轴左侧且的斜率大于0.已知为轴上一点，弦过抛物线的焦点，且斜率,若直线分别交抛物线与两点，问是否存在实数使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【详解】设， 直线的方程为， 联立得，， 若则，且，于是，从而， 即，，于是， 即，同理 将C坐标代入整理得， ，同理 于是是方程的两根，， 故，. 【点评】同构思想是处理对称问题的有力武器；本题同构思想的介入，使得过程简洁明了，运算简单直接，是很好的解题方法． （二）利用根与方程的关系同构 【典型例题2】 如图所示，已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线交抛物线于 两点， 在 轴左侧且 的斜率 大于 0 . 已知 为 轴上一点,，若直线 分别交抛物线于 两点,问是否存在实数 使得 ,若存在,求出 的值; 若不存在, 说明理由. 【解析】设 , 直线 的方程为 ， 由 消去 得 , , 假设存在实数 使得 ,则 ,且 , ,即 , ,解得 , ,同理, , 点 在抛物线 上, , , 由题意知, , 同理, , 是方程 的两根, , ,解得 , 存在实数 ,使得 . 【变式训练3-2】已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1． (1)求椭圆的方程； (2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，． 【分析】（1）根据条件得到关于的方程组，即可求解； （2）首先利用点的坐标表示切线方程，并利用两点确定一条直线，确定直线的方程，再根据含参直线确定定点坐标. 【详解】（1）∵椭圆的离心率为， 椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1， ∴， 解得， ∴椭圆的方程为． （2）证明：设切点为，则切线方程为， ∵两条切线都过上任意一点， ∴得到， ∴都在直线上， 又， 由，得， 即对任意的，直线始终经过定点． （三）利用对偶计算同构 【变式训练3-3】已知椭圆 中心在原点，焦点在 轴上，它的一个顶点为 ，离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)过右焦点 作直线 交椭圆于 , 交 轴于 , 若 ,求 . 【解析】(1) 由题意得 ,又 ,解得 , 椭圆 的方程为 . (2)由(1)知， ，设直线 的方程为 ，则 ， 设 ， ，则 ， ， 由 ,得 , ,解得 , 点 在椭圆 上， ， , 化简得 , 同理,由 得 是方程 的两个不同的实数根, . 例 4已知点 在双曲线 上, 直线 交 于 两点,直线 的斜率之和为 0 . (1)求 的斜率； (2)若 ，求 的面积. 【解析】(1) 点 在双曲线 上， ,解得 . 设直线 的方程分别为 ,则 由 消去 得 , 直线 与 有两个交点, , 设 ,则 ,即 , 同理, , 又 , , 又 , 直线 的斜率为 -1 . (2)由题意，不妨设 的倾斜角为 ，且 ，则 ， ， , , 直线 的方程为 ,直线 的方程为 , 由 消去 得 , , 同理, , 由 ,得 , 的面积为 题型04：点乘双根法 【典型例题1】椭圆的左，右焦点分别为，，过作与轴不重合的直线交椭圆于，两点． （1）若为正三角形，求椭圆的离心离； （2）若椭圆的离心离满足，为坐标原点，求证：． 【详解】(1)，过程略． （2）（点乘双根法） 由题意有：，，所以， 则，要证（因为） ． 设，，①当轴时，，则，， 则 ，所以． ②当与轴不垂直时，设直线：，，， 所以 ⑴． 联立 得， 所以， 令，则，即②； 令，则，即③， 将②③代入①得， 要证，只需证即可， 因为，则， 所以， 所以，综上可得：． 【典型例题2】 在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为，直线与交于，两点． （Ⅰ）写出的方程； （Ⅱ）若，求的值； （Ⅲ）若点在第一象限，证明：当时，恒有． 【详解】（Ⅰ）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以，为焦点，长半轴为的椭圆．它的短半轴， 故曲线C的方程为． （Ⅱ）法一：（常规方法） 设,，其坐标满足，消去并整理得， 故，． 若，即 ，而， 于是 ，化简得，所以． 法二：（点乘双根法） 设,，直线：．若，则：，即，， 故,． 因为，所以①， 将代入①得②． 联立得， 令得③； 令，则，即④． 将③④代入②，即，，所以． 法三：（点乘双根法）设,，直线：．若，则：，即，，故,，故，与矛盾，所以，直线：可变为（其中），故有 因为，所以①． 联立得， 即令得，即②； 令，则，③． 将②③代入①，即，，所以． （Ⅲ）． 因为在第一象限，故．由知，从而．又，故，即在题设条件下，恒有． 【变式训练4-1】设椭圆中心在原点，长轴在轴上，上顶点为，左右顶点分别为，，线段 ，中点分别为，，且是面积为的直角三角形． （1）求其椭圆的方程 （2）过作直线交椭圆于，两点，使，求直线的方程． 【解析】（1），过程略． （2）法一：(点乘双根) 易知：直线不与轴垂直，则设直线方程为：，，， 因为，则，所以， ① 现联立 则方程可以等价转化 即 令， 令， 结合化简可得： ，，所以直线方程为：． 法二：（点乘双根） 若的斜率为，则，所以的斜率不会为． 设：，，，则，，所以 ①， 将，代入①得 ②． 当时，：，经检验不符合题意； 当时，②式变形得 ③， 联立得 ， 令，则，即 ④； 令，则，即 ⑤， 将④⑤代入③得 ， 解得，所以：． 【变式训练4-2】设，为椭圆上两个动点，且，过原点作直线的垂线，求的轨迹方程． 【详解】法一：（常规方法） 设，，,设直线方程为，联立化简可得: ， 所以 ，， 因为，所以 ， ① 又因为直线方程等价于为，即， 对比于，则代入①中，化简可得：． 法二：（齐次化解法） 设直线方程为，联立，可得， 所以，化简可得， 整理成关于，的齐次式： ， 进而两边同时除以，则 ， 记，的斜率分别为，，则，为方程的两个根，由韦达定理得， 因为，所以， ① 又因为直线方程等价于为，即， 对比于，则，代入①中，化简可得：． 【变式训练4-3】已知抛物线，过原点且相互垂直的直线，交抛物线于，两点，求证： 直线过定点． 【详解】方法识别：，适合用齐次化来处理． 法一：（齐次化） 设：①，，，，， 将直线变形为，代入到中得， 两边同除以，整理可得， 注意到，，所以和方程的两个根， 所以，又因为，所以， 所以，代入①可得， 所以直线恒定过定点． 类型识别： 因为直线，互相垂直，所以，适合用点乘双根法． 方法二：（点乘双根法） 设：①，，，则， ， ①． 联立，， 又因为和是方程， 所以， 令，则②； 令，则③． 将②③代入①得，即， 代入可得，所以直线恒定过定点． 【变式训练4-4】设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为． （1）求直线的斜率； （2）设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程． 【详解】（1）设,，则，，，， 于是直线的斜率． （2）法一：（常规方法） 因为，所以，设，由题设知，所以，于是， 设直线的方程:，故线段的中点为，， 将代入，得， 当即时，，， 从而， 由题设知，，即，解得， 所以直线的方程:． 法二：（点乘双根法） 类型识别:因为，所以，故适合使用点乘双根法． 因为，所以，设，由题设知，所以，于是． 设，，，， 因为，所以 ①． 设直线的方程:，联立化简得， 又因为，是方程的两个根， 故有②， 令，则③， 又， 令代入②得④， 将③④代入①得，解之得或（舍去）， 故所以直线的方程:． 法三：（齐次化+坐标系平移构造） 因为，所以，设，由题设知，所以，所以， 平移坐标系，使坐标原点与点重合，则， 在新坐标系中，曲线：的方程为：，整理得． 直线平移后变为，斜率仍为，其方程不妨设为，代入曲线方程得 ，， 两边同除以得， 易知和是方程的两个根，且， 故由韦达定理得，，直线的方程为， 平移回原坐标系得直线方程为，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 平移齐次化、仿射变换问题、同构法、点乘双根法 目 录 知识要点 1 题型归纳 6 题型01：平移齐次化 6 题型02：仿射变换 8 题型03：同构法 12 （一）利用两点坐标同构 12 （二）利用根与方程的关系同构 13 （三）利用对偶计算同构 15 题型04：点乘双根法 15 知识点一：平移齐次化 如果公共点在原点，不需要平移.如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减，上减下加”. 1.平移齐次化原理 如果公共点在原点，不需要平移.如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减，上减下加”. 设平移后的直线为，与平移后的圆锥曲线方程联立，一次项乘以，常数项乘以，构造，然后等式两边同时除以 (前面注明x不等于0)，得到，可以直接利用根与系数的关系得出斜率之和或斜率之积，即可得出答案.如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去. 2．齐次化适用范围 由原理可知齐次化适应于处理解决曲线上的点与坐标系原点连线有关的斜率运算问题，常见类型如： ，，，，，， 前面两个考题相对比较常见，后面的则需要变形才能使用，变形如下： ，，． 这个需要根据韦达定理判断符号再变形．在遇到上述关于斜率运算问题时，采取齐次化处理往往能达到简化运算的目的． 知识点二：仿射变换问题 仿射变换有如下性质： 1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线； 2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上； 3、其它不变关系． 我们以椭圆为例阐述上述性质． 椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系： （1）点变为； （2）直线斜率变为，对应直线的斜率比不变； （3）图形面积变为，对应图形面积比不变； （4）点、线、面位置不变（平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）； （5）弦长关系满足，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变 （6）已知是椭圆的内接三角形，若其重心恰为椭圆的中心，那么的面积为定值，即 （7）椭圆的中心三角形为从坐标原点出发引两条射线分别与椭圆交于两点，称为椭圆的中心三角形，本节将主要研究它的基本性质. 定理1.为椭圆上任意两点，为椭圆中心，若，则. 定理2.为椭圆上任意两点，为椭圆的中心．若，则. 知识点三：同构法 同构法是处理解析几何对称问题的有力武器．同构思想的介入，使得解析几何中平行线截线段成比例问题、斜率问题、切线问题等，结构相同或相似问题的求解过程变得简单明了. 1.利用两点坐标同构 如果点A（x1,y1)和点B（x2,y2)满足二元一次方程，且方程为同构式，则该方程为直线AB的方程. 2.利用根与方程的关系同构 如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根.如果两个不同的未知实数(如m,n）满足一元二次方程，且方程为同构式，则该方程的解即为给定的未知实数(如m,n），进而可以利用根与系数的关系. 3.利用对偶计算同构 如果题目涉及两种联立直线与圆锥曲线化简，求解同类目标，直线方程为同构式时，则只需计算出其中一种结果，另一种结果同构变量替换即可进，在解答题中常以“同理可求”体现.可以简称：同构方程，算法一致，对应替换，节省一半！ 知识点四：点乘双根法 1．点乘双根法的含义 何谓点乘双根法呢？在大学数学中，把向量，的数量积叫做向量点乘向量，因此点乘得名；所谓双根是由初中的一元二次方程知识可知：若和是一元二次方程的两个根，则，我们把叫做二次方程的双根式，所谓的点乘双根法就是构建双根式是去解决含和或者可转化为含含和的计算问题，其中以向量的数量积有关的问题为最常见． 2.点乘双根法的原理： 点乘双根法是通过对双根式进行赋值和，直接计算和的含参表达式，然后整体代入目标，从而构建出关于参数的等式关系式，避免繁杂的计算，达到快速解题的目的（其中，点坐标为已知定点，，为直线与圆锥曲线的交点）． 3.点乘双根法适用题型: 在圆锥曲线中，遇到如（其中为常数）的形式，其中点是已知的点，，为直线与圆锥曲线的交点的问题时，可用点乘双根法以达到简化运算，快速解题的目的． 4．点乘双根法解题范式： 下来以一个例题来讲解一下点乘双根法应用范式． 【例题】椭圆：，若直线：与椭圆交于，两点（，不是左右顶点），且以直线为直径的圆恒过椭圆的右顶点．求证：直线恒过定点，并求出该点的坐标． 步骤1：联立方程，构建双根式 设椭圆的右顶点为，，，所以， 联立，化简得： ， 又因为，是方程的两个根，所以 ① 步骤2：赋值 点乘双根法赋值目的是为了对目标中的和进行整体代换以达到简化计算的目的，故对双根式①中的进行赋值得 ， 整体求出 ②． 接下来先求出，，只需对双根是进行赋值，并两边同时乘以可得 ③． 步骤3：变形代入 将②和③整体代入，可得 ， 即，分解因式得，或， 当时，直线，故直线恒过定点． 当时，直线，故直线恒过定点，舍去． 题型01：平移齐次化 【典型例题1】已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值． 【详解】（1）易求得椭圆C的标准方程为. （2）公共点，左移1个单位，下移个单位，， ，， ，等式两边同时除以，，，，， 过，右移1个单位，上移个单位，过，∴P到直线l的距离的最大值为的值为， 由于 ∴点P到直线l距离的最大值． 【典型例题2】已知A，B为抛物线上异于顶点的两动点，且以AB为直径的圆过顶点.求证：直线AB过定点. 【分析】设出直线AB的方程为，联立直线和抛物线方程，得，化成齐次式，再利用数量积为0进行求解. 【详解】设直线AB的方程为，联立 可得， 两边同时除以，得. 由，得，所以，即. 所以直线AB的方程为，且过定点（2p,0). 【变式训练1-1】已知椭圆C：.过点，两个焦点为和.设E，F是椭圆C上的两个动点. (1)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2，证明：直线EF恒过定点； (2)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之积为2，证明：直线EF恒过定点. 【变式训练1-2】已知椭圆，过其上一定点作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于，两点，证明：直线斜率为定值．    【变式训练1-3】如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于、两点(在的上方)，设点、是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.    【变式训练1-4】已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 【变式训练1-5】已知抛物线：与椭圆：有相同的焦点，且两曲线相交于点，过作斜率为的动直线，交椭圆于，两点. （1）求抛物线和椭圆的方程； （2）若为椭圆的左顶点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值，并求出定值. 题型02：仿射变换 【典型例题1】已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形. （1）求椭圆标准方程； （2）若为原点，且满足，求的面积. 解析1：（仿射变换） 考虑变换，则在的作用下椭圆对应圆，则在压缩变换下，平面对应封闭图形面积是原来平面上封闭图形面积的倍，即． 设点分别对应点, 由为的重心，又为的外心，从而为正三角形． 易得圆的内接正三角形的面积为定值 从而为定值． 解析2：（代数硬解） 所以椭圆的标准方程为. （2）设，因为，所以，①当直线斜率不存在时，即，则，因为点在椭圆上，所以，则有， 所以，点到的距离为，此时. ②当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立得消去整理得， 满足，由韦达定理得 ，所以， 所以，又因为点在椭圆上，所以，化简得， 所以 ，所以点到直线的距离为： ， 所以，综上所述，的面积为. 【典型例题2】已知椭圆，点在椭圆上，且（为原点）．设的中点为，射线交椭圆于点． （1）当直线与轴垂直时，求直线的方程； （2）求的取值范围． 解析：（1）当直线与轴垂直时，设其方程为．由点关于轴对称，且，由勾股定理可知不妨设，将点的坐标代入椭圆的方程，得，解得．所以直线的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，由（1）知为．     当直线的斜率存在时，设其方程为．由  得．由，得．设，，则，．因为，所以．所以．整理得．所以．解得，从而．设，其中．则．将代入椭圆的方程，得．所以，即．因为，所以，即．综上的取值范围是． 【变式训练2-1】国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】Р是椭圆上任意一点，O为坐标原点，，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且，则面积为 ． 【变式训练2-3】已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为 . 【变式训练2-4】仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，其体解题方法为将由仿射变换得：，，则椭圆变为，直线的斜率与原斜率的关系为，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系．最后转换回椭圆即可．已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与相交于、两点且，过椭圆外一点作椭圆的两条切线、且，切点分别为、． (1)求证：点的轨迹方程为； (2)若原点到、的距离分别为、，延长表示距离、的两条直线，与椭圆交于、两点，试求：原点在边上的射影所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数． 【变式训练2-5】动点P与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)已知，过点的直线与曲线E交于不同的两点A，B，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线，分别与x轴交于C，D两点，求四边形面积的最大值. 【变式训练2-6】仿射变换是处理圆锥曲线综合问题的一类特殊而又巧妙的方法，它充分利用了椭圆与圆的关系，具体的解题方法为：对于椭圆，可由仿射变换，则椭圆的方程变为，直线的斜率与原斜率的关系为，图形的面积与原面积的关系为.现已知椭圆方程为，离心率为，为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，的面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率分别为，两直线的夹角为，试写出与之间的关系式（不必证明）； (3)过点作交椭圆于点，试利用仿射变换的方法求的面积的最大值. 题型03：同构法 （一）利用两点坐标同构 【典型例题1】 已知椭圆 的离心率为 ,椭圆上的点 与两个焦点 构成的三角形的最大面积为 1 . (1)求椭圆 的方程； (2)若点 为直线 上的任意一点，过点 作椭圆 的两条切线 ， (切点分别为 ),试证明动直线 恒过一定点,并求出该定点的坐标. 【解析】(1) 由题意得 ,解得 , 椭圆 的方程为 . (2)证明:设 ， ， 当过点 的切线的斜率存在时,设切线方程为 ,则 由 消去 得 , , 又 , , , 切线方程为 ,即 ; 当过点 的切线斜率不存在时,切线方程为 ,也满足方程 . 综上所述,过点 的切线方程为 , 同理,过点 的切线方程为 , 两条切线都过直线 上任意一点 , , 都在直线 ,即 上, 令 ,得 , 无论 取何值,直线 始终经过定点 , 动直线 恒过一定点 . 【变式训练3-1】 如图所示，已知抛物线的角度为，过的直线交抛物线与两点，在轴左侧且的斜率大于0.已知为轴上一点，弦过抛物线的焦点，且斜率,若直线分别交抛物线与两点，问是否存在实数使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （二）利用根与方程的关系同构 【典型例题2】 如图所示，已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线交抛物线于 两点， 在 轴左侧且 的斜率 大于 0 . 已知 为 轴上一点,，若直线 分别交抛物线于 两点,问是否存在实数 使得 ,若存在,求出 的值; 若不存在, 说明理由. 【解析】设 , 直线 的方程为 ， 由 消去 得 , , 假设存在实数 使得 ,则 ,且 , ,即 , ,解得 , ,同理, , 点 在抛物线 上, , , 由题意知, , 同理, , 是方程 的两根, , ,解得 , 存在实数 ,使得 . 【变式训练3-2】已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1． (1)求椭圆的方程； (2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． （三）利用对偶计算同构 【变式训练3-3】已知椭圆 中心在原点，焦点在 轴上，它的一个顶点为 ，离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)过右焦点 作直线 交椭圆于 , 交 轴于 , 若 ,求 . 题型04：点乘双根法 【典型例题1】椭圆的左，右焦点分别为，，过作与轴不重合的直线交椭圆于，两点． （1）若为正三角形，求椭圆的离心离； （2）若椭圆的离心离满足，为坐标原点，求证：． 【详解】(1)，过程略． （2）（点乘双根法） 由题意有：，，所以， 则，要证（因为） ． 设，，①当轴时，，则，， 则 ，所以． ②当与轴不垂直时，设直线：，，， 所以 ⑴． 联立 得， 所以， 令，则，即②； 令，则，即③， 将②③代入①得， 要证，只需证即可， 因为，则， 所以， 所以，综上可得：． 【典型例题2】 在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为，直线与交于，两点． （Ⅰ）写出的方程； （Ⅱ）若，求的值； （Ⅲ）若点在第一象限，证明：当时，恒有． 【详解】（Ⅰ）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以，为焦点，长半轴为的椭圆．它的短半轴， 故曲线C的方程为． （Ⅱ）法一：（常规方法） 设,，其坐标满足，消去并整理得， 故，． 若，即 ，而， 于是 ，化简得，所以． 法二：（点乘双根法） 设,，直线：．若，则：，即，， 故,． 因为，所以①， 将代入①得②． 联立得， 令得③； 令，则，即④． 将③④代入②，即，，所以． 法三：（点乘双根法）设,，直线：．若，则：，即，，故,，故，与矛盾，所以，直线：可变为（其中），故有 因为，所以①． 联立得， 即令得，即②； 令，则，③． 将②③代入①，即，，所以． （Ⅲ）． 因为在第一象限，故．由知，从而．又，故，即在题设条件下，恒有． 【变式训练4-1】设椭圆中心在原点，长轴在轴上，上顶点为，左右顶点分别为，，线段 ，中点分别为，，且是面积为的直角三角形． （1）求其椭圆的方程 （2）过作直线交椭圆于，两点，使，求直线的方程． 【变式训练4-2】设，为椭圆上两个动点，且，过原点作直线的垂线，求的轨迹方程． 【变式训练4-3】已知抛物线，过原点且相互垂直的直线，交抛物线于，两点，求证： 直线过定点． 【变式训练4-4】设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为． （1）求直线的斜率； （2）设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $