第35讲 圆的方程 讲义- 2027届高三数学一轮复习

第35讲 圆的方程 内 容 导 航 知识点1 圆的标准方程 知识点2 点与圆的位置关系 知识点3 圆的一般方程 知识点4 与圆相关的最值问题 知识点5 圆的轨迹问题 题型1 根据圆的几何属性求圆的标准方程 题型2 由圆的标准方程求圆的几何属性 题型3 根据圆的几何属性求圆的一般式方程 题型4 由圆的一般式方程求圆的几何属性 题型5 圆的一般式方程与标准方程的互化 题型6 二元二次方程表示圆的条件 题型7 经过三点的圆的方程 题型8 点与圆的位置关系 题型9 关于点、直线对称的圆的方程 知 识 点 通 关 知识点1 圆的标准方程 （1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 （2）确定圆的基本要素是：圆心和半径 （3）圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 必记结论 几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 知识点2 点与圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为.设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ 知识点3 圆的一般方程 1.定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. 2.一般方程与标准方程关系： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点. （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 知识点4 与圆相关的最值问题 方法技巧 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题. (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 知识点5 圆的轨迹问题 方法技巧 求轨迹方程的步骤 ①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； ②列出关于的方程；③把方程化为最简形式；④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；⑤作答． 考 点 演 练 题型1 根据圆的几何属性求圆的标准方程 【典例1】若圆C经过A（1，1），B（2，﹣2），圆心在直线x﹣y+1＝0上，则圆C的面积为（　　） A．16π B．25π C．36π D．49π 【答案】B 【解答】解：设圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2， 所以，解得：， 所以圆C的面积为πr2＝25π． 故选：B． 【变式1】已知圆C的圆心坐标为（1，0），圆C被x轴、y轴截得的弦长之比为，点P在直线l：x﹣y+t＝0（t∈N*）上，则下列说法正确的是（　　） A．圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2＝4 B．若圆C上有且仅有2个点到直线l的距离为1，则t∈{1，2，3，4} C．当t＝3时，以线段PC为直径的圆与圆C交于M，N两点，则的最小值为4 D．若Q为平面内一个动点，（3，1），则点Q到直线l的距离为定值 【答案】ACD 【解答】解：设圆C的半径为r，圆心为C（1，0）． 圆C被x轴截得的弦长：圆心在x轴上，弦长即为直径，长度为2r． 圆C被y轴截得的弦长：圆心到y轴的距离d＝|1|＝1． 根据垂径定理，弦长的一半为，所以弦长为． 根据题意，弦长之比为2：，即：， 化简得：．解得r＝2， 所以圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2＝4．故选项A正确； 圆C的半径r＝2，圆心C（1，0）． 设圆心C到直线l的距离为d． 题目要求“有且仅有2个点”，故需满足r﹣1＜d＜r+1，即1＜d＜3． 直线l的方程为x﹣y+t＝0，圆心C（1，0）到直线l的距离d为：， 因为t∈N*，所以t≥1，则t+1＞0，即， 所以，解得：． 因为，，所以：1.414＜t+1＜4.242，即0.414＜t＜3.242． 因为t为正整数，所以t可以取1，2，3．故选项B错误； 当t＝3时，直线l的方程为x﹣y+3＝0． 以线段PC为直径的圆与圆C交于M，N两点，则∠PMC＝90°， 所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 在 Rt△PMC 中，， 因为M在圆C上，所以， 所以． 要使该式最小，只需最小．P在直线l上，C为定点，当PC⊥l时，取得最小值，最小值为圆心C到直线l的距离d． 当t＝3 时，，所以， 则的最小值为，故选项C正确； 设P（x1，y1），Q（x2，y2）． 由，得（x2﹣x1，y2﹣y1）＝（3，1），即x2＝x1+3，y2＝y1+1． 点P在直线l：x﹣y+t＝0上，满足x1﹣y1+t＝0， 点Q到直线l的距离D为：为定值．故选项D正确． 故选：ACD． 题型2 由圆的标准方程求圆的几何属性 【典例1】在平面直角坐标系中曲线x2+（y﹣1）2＝2的长度为（　　） A．π B． C．2π D． 【答案】D 【解答】解：x2+（y﹣1）2＝2的半径， 圆的周长为． 故选：D． 【变式1】如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C经过点A（2，15），则圆C的半径为（　　） A． B．8 C． D．10 【答案】A 【解答】解：∵圆C经过点（2，1）和点（2，15），故圆心在直线y＝8上． 又过点（2，1）的圆的切线为y﹣1＝﹣（x﹣2），即 x+y﹣3＝0，故圆心在直线y﹣1＝x﹣2上，即圆心在直线x﹣y﹣1＝0上． 由可得圆心为（9，8）， 故圆的半径为7， 故选：A． 题型3 根据圆的几何属性求圆的一般式方程 【典例1】已知圆C的圆心在直线x+3y﹣8＝0上，且圆C经过点（6，0），（0，﹣2），则圆C的方程是 　 ． 【答案】（x﹣2）2+（y﹣2）2＝20． 【解答】解：因为点（6，0）和点（0，﹣2）的所在直线的斜率为， 且点（6，0）和点（0，﹣2）的中点为（3，﹣1）， 则点（6，0）和点（0，﹣2）的垂直平分线的斜率为﹣3， 可得点（6，0）和点（0，﹣2）的垂直平分线的方程为：y﹣（﹣1）＝﹣3（x﹣3），即3x+y﹣8＝0， 设圆心为（x，y）， 由题意联立方程：，解得x＝2，y＝2， 即圆心为（2，2）， 故半径，圆方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝20． 故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝20． 题型4 由圆的一般式方程求圆的几何属性 【典例1】直线l的方程为，则圆C：x2+y2﹣6x＝0上到直线l距离为1的点的个数为（　　） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【解答】解：由题意圆C：x2+y2﹣6x＝0可化为（x﹣3）2+y2＝9，故圆心为C（3，0），半径为3， 则圆心C（3，0）到直线的距离为， 又3﹣2＝1，故过点C作CD垂直l与圆C交于点D，在CD上取点M，使得CM＝1， 过点M作AB⊥CD，交圆C于点A，B， 所以圆C：x2+y2﹣6x＝0上到直线l距离为1的点的个数为3，分别为A，B，D三点． 故选：D． 【变式1】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为圆x2﹣3x+y2﹣1＝0的圆心，则p＝（　　） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【解答】解：将圆x2﹣3x+y2﹣1＝0化成标准方程，可得，圆心为， 而抛物线C：y2＝2px的焦点为F，结合题意可得，解得p＝3． 故选：A． 题型5 圆的一般式方程与标准方程的互化 【典例1】已知圆M满足与直线l：x﹣6＝0和圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9都相切，且直线MN与l垂直，请写出一个符合条件的圆M的标准方程 　 　 ． 【答案】（x﹣5）2+（y﹣2）2＝1或（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16． 【解答】解：由圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，所以圆心N（1，2），半径为3， ∵直线MN与l垂直，∴M的坐标为（m，2）， 设圆M的半径为r， ∵圆M满足与直线l：x﹣6＝0和圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9都相切， ∴|m﹣6|＝r，|m﹣1|＝r+3或|m﹣1|＝|r﹣3|， 解得m＝5或m＝2， ∴圆M的方程为：（x﹣5）2+（y﹣2）2＝1或（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16， 故答案为：（x﹣5）2+（y﹣2）2＝1或（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知⊙C的方程为x2+y2﹣2mx+（10﹣2m）y+10m﹣29＝0，平面内两定点E（1，0）、G（6，）．当⊙C的半径取最小值时： （1）求出此时m的值，并写出⊙C的标准方程； （2）在x轴上是否存在异于点E的另外一个点F，使得对于⊙C上任意一点P，总有为定值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明你的理由； （3）在第（2）问的条件下，求μ2|PE|的取值范围． 【答案】（1）m＝5，（x﹣5）2+y2＝4； （2）存在，（4，0）； （3）μ∈（﹣∞，0]∪[8，+∞）． 【解答】解（1）⊙C的标准式为：（x﹣m）2+[y﹣（m﹣5）]2＝2（m﹣5）2+4， 当m＝5时，⊙C的半径取最小值，此时⊙C的标准方程为：（x﹣5）2+y2＝4； （2）设P（x，y），定点F（m，0）（m为常数），则λ2＝（）2． ∵：（x﹣5）2+y2＝4，∴y2＝4﹣（x﹣5）2，代入上式， 得：则λ2． 由于λ取值与x无关，∴⇒m＝4（m＝1舍去）． 此时点F的坐标为（4，0），λ2＝4即λ＝2； （3）由上问可知对于⊙C上任意一点P总有|PF||PE|．故2|PG|﹣|PE|＝2（|PG|﹣|PF|） 而||PG|﹣|PF||≤|FG|（当P、F、G三点共线时取等号）， 又|FG|，故2|PG|﹣|PE|∈[﹣5，5]． μ2|PE| 2|PE| ＝（2|PG|﹣|PE|﹣2）4 令t＝2|PG|﹣|PE|﹣2∈[﹣7，0）∪（0，3]，则μt+4， 根据对勾函数的单调性可得：μ∈（﹣∞，0]∪[8，+∞）． 题型6 二元二次方程表示圆的条件 【典例1】已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+2x+4a＝0表示圆，则圆心的坐标为（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．或（1，0） D．或（﹣1，0） 【答案】B 【解答】解：因为方程a2x2+（a+2）y2+2x+4a＝0表示圆， 所以a2＝a+2⇒a2﹣a﹣2＝（a﹣2）（a+1）＝0⇒a＝2或a＝﹣1， 当a＝﹣1时，方程可化为x2+y2+2x﹣4＝0⇒（x+1）2+y2＝5，表示圆的圆心为（﹣1，0）， 当a＝2时，方程可化为4x2+4y2+2x+8＝0⇒⇒，不表示圆， 综上所述，a＝﹣1， 故圆心的坐标为（﹣1，0）． 故选：B． 【变式1】若方程x2+y2﹣4x+2y+m2﹣2m+5＝0表示圆，则整数m的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：将x2+y2﹣4x+2y+m2﹣2m+5＝0化成圆的标准方程， 可得（x﹣2）2+（y+1）2＝﹣m2+2m， 半径r满足r2＝﹣m2+2m＞0，解得0＜m＜2，所以整数m＝1． 故选：B． 题型7 经过三点的圆的方程 【典例1】已知曲线xy+1＝0与曲线x2+y﹣4＝0交于A，B，C三点，则△ABC外接圆的面积为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：设过交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0， 将x2＝4﹣y代入圆的方程，可得4﹣y+y2+Dx+Ey+F＝0， 即y2+（E﹣1）y+Dx+（4+F）＝0， 再将代入，即可得到y3+（E﹣1）y2+（4+F）y﹣D＝0①， 联立方程，消去x可得y3﹣4y2+1＝0②， 对比①②可得，解得， 所以圆的方程为x2+y2﹣x﹣3y﹣4＝0， 配方可得， 则圆的半径为， 所以外接圆的面积为． 故答案为：． 【变式1】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 　 　 ． 【答案】（x﹣1）2+y2＝1（或x2+y2﹣2x＝0） 【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示， 结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆， 其圆心为（1，0），半径为1， 则该圆的方程为（x﹣1）2+y2＝1． 【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0， 则， 解得D＝﹣2，E＝F＝0； ∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x＝0． 故答案为：（x﹣1）2+y2＝1（或x2+y2﹣2x＝0）． 题型8 点与圆的位置关系 【典例1】已知A（1，0），B（4，0），若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a﹣1）2＝8上总存在点P满足，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0] B．[0，6] C．（0，6） D．（﹣∞，0]∪[6，+∞） 【答案】B 【解答】解：首先，设点P（x，y）满足，其中A（1，0），B（4，0）． 所以（x﹣1）2+y2＝2[（x﹣4）2+y2]，展开并整理得点P的轨迹方程：x2+y2﹣14x+31＝0， 即（x﹣7）2+y2＝18，此轨迹为圆心D（7，0）、半径的圆． 题目要求圆C：（x﹣a）2+（y﹣a﹣1）2＝8（圆心C（a，a+1）、半径上总存在点P， 所以两圆有公共点． 两圆有公共点的条件为：R﹣r|≤|CD|≤R+r． |CD|， 所以5，解不等式得0≤a≤6． 综上，实数a的取值范围是[0，6]． 故选：B． 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，﹣1），且圆心都在直线x﹣2y+c＝0上，则t+c 的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解答】解：由题意可得直线AB与x﹣2y+c＝0垂直，且线段AB的中点在直线x﹣2y+c＝0上． 由直线AB与x﹣2y+c＝0垂直，可得2，解得t＝3， 则B（3，﹣1）， 故线段AB的中点为（2，1），且其在直线x﹣2y+c＝0上， 则2﹣2×1+c＝0，可得，c＝0，故t+c＝3． 故选：A． 题型9 关于点、直线对称的圆的方程 【典例1】圆x2+（y﹣1）2＝1关于直线x﹣y＝0对称的圆的方程是（　　） A．x2+（y+1）2＝1 B．（x+1）2+y2＝1 C．（x﹣1）2+y2＝1 D．x2+y2＝1 【答案】C 【解答】解：圆x2+（y﹣1）2＝1的圆心为（0，1），半径为1． 设点（0，1）关于直线x﹣y＝0的对称点为（m，n），则， 解得m＝1，n＝0． 所以对称圆的圆心为（1，0），半径为1，方程为（x﹣1）2+y2＝1． 故选：C． 【变式1】已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4关于直线l：3x+y+m＝0对称，则坐标原点O到直线的距离等于（　　） A．0 B． C． D．5 【答案】B 【解答】解：若圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4关于直线l：3x+y+m＝0对称， 则直线l经过圆心（1，2），可得3×1+2+m＝0，解得m＝﹣5， 所以原点（0，0）到直线l的距离． 故选：B． 过 关 验 收 1．如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点O和点C，月牙尖的坐标分别为A（﹣1，2），B（2，﹣1），则圆C的标准方程为　 　 ． 【答案】（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5． 【解答】解：由两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点O和点C，月牙尖的坐标分别为A（﹣1，2），B（2，﹣1）， 易知，圆O的半径为，圆心C在AB的垂直平分线上， 又AB的斜率，则直线OC的方程为y＝x， 设C（a，a）（a≠0），所以，解得a＝1， 所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5． 故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5． 2．已知直线l1：x﹣2y+3＝0，l2：2x﹣y﹣3＝0，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线l1，l2都相切，则圆C的方程为　 　　 ． 【答案】． 【解答】解：设圆心C（a，0），a＞0， 圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线l1，l2都相切， 则，解得a＝6或0（舍去）， 则圆C的半径， 所以圆C的方程为． 故答案为：． 3．已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣2y+9＝0． （1）求圆C关于直线l：x﹣y＝0对称的圆的方程； （2）若点P（x，y）在圆C上运动，求x2+y2的最大值和最小值． 【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1；（2）最大值为，最小值为． 【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，所以其圆心为（3，1），半径为1， 因为圆心（3，1）关于x﹣y＝0对称的点为（1，3）， 所以圆C关于直线l：x﹣y＝0对称的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1； （2）x2+y2表示圆上的点P到原点的距离的平方． 因为圆心到原点的距离为， 所以x2+y2的最大值为，最小值为． 4．已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2＝r2（r＞0）关于直线x+y+2＝0对称． （1）求⊙C的方程； （2）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值． 【答案】（1）x2+y2＝2； （2）﹣4． 【解答】解：（1）设圆心C（a，b），则，解得 a＝0，b＝0 则圆C的方程为x2+y2＝r2， 将点P的坐标（1，1）代入得r2＝2， 故圆C的方程为x2+y2＝2； （2）设Q（x，y），则x2+y2＝2， （x﹣1，y﹣1）•（x+2，y+2）＝x2+y2+x+y﹣4＝x+y﹣2， 令xcosθ，ysinθ， ∴cosθsinθ﹣2＝2sin（θ ）﹣2， ∴θ2kπ时，sin（θ）的最小值为﹣1， 所以 的最小值为﹣2﹣2＝﹣4． 5．已知实数x，y满足（|x|﹣1）2+（|y|﹣1）2＝1，则的最大值为　 ． 【答案】． 【解答】解：设点P（x，y）的轨迹为曲线C，则曲线C：（|x|﹣1）2+（|y|﹣1）2＝1关于x轴、y轴和原点对称． 当x≥0，y≥0时，方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1表示以C1（1，1）为圆心，1为半径的圆， 根据对称性，得曲线C是4个半径为1的圆，如图所示． 当7）2]﹣37最大， 即（x﹣5）2+（y﹣7）2最大时，点P到点Q（5，7）的距离的平方最大． 因为PQ|max＝|QC3|+1＝11，所以（x﹣5）2+（y﹣7）2的最大值为121， 故所求最大值为． 直线QC3的方程为，代入（x+1）2+（y+1）2＝1，得， 解得或，由图可知所求． 故答案为：． 6．若直线l与直线y＝x平行，且经过圆x2﹣2x+y2＝0的圆心，则l的方程为 　 　　 ． 【答案】x﹣y﹣1＝0． 【解答】解：由题意直线l与直线y＝x平行，且经过圆x2﹣2x+y2＝0的圆心， 可得（x﹣1）2+y2＝1， 可得圆的圆心（1，0），半径为1， 与直线y＝x平行的直线l可设为y＝x+t， 可得0＝1+t，解得t＝﹣1， 所以直线l的方程为x﹣y﹣1＝0． 故答案为：x﹣y﹣1＝0． 7．若直线2x+y﹣1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，则a＝　 ． 【答案】． 【解答】解：圆（x﹣a）2+y2＝1的圆心坐标为（a，0）， ∵直线2x+y﹣1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴， ∴圆心在直线2x+y﹣1＝0上，可得2a+0﹣1＝0，即a． 故答案为：． 8．已知A（﹣2，﹣1），B（0，1）两点，且AB是圆M的直径，则圆M的方程为（　　） A．x2+（y+1）2＝8 B．（x+1）2+y2＝8 C．x2+（y+1）2＝4 D．（x+1）2+y2＝2 【答案】D 【解答】解：∵A（﹣2，﹣1），B（0，1）两点，且AB是圆M的直径， ∴圆M的圆心坐标为（﹣1，0），半径为， ∴圆M的方程为（x+1）2+y2＝2． 故选：D． 9．已知圆M经过点A（1，1），B（3，0），C（4，2），点P为圆M上动点，则由P，A，B，C四个点构成的四边形面积最大值为（　　） A． B．5 C．4 D．6 【答案】B 【解答】解：因为A（1，1），B（3，0），C（4，2），所以|AB|＝|BC|，|AC|， 所以|AB|2+|BC|2＝|AC|2， 所以圆M是以AC为直径的圆，当点P到直线AC的距离最大时，△PAC的面积最大，为， 所以四边形PABC的面积最大值为S△ABC+S△PAC5． 故选：B． 10．圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（　　） A．x2+y2﹣8x﹣6y＝0 B．x2+y2﹣6x﹣8y＝0 C．x2+y2+8x+6y＝0 D．x2+y2+6x+8y＝0 【答案】C 【解答】解：因为圆心在射线上，故设圆心为， 又半径为5，且经过坐标原点，所以，解得a＝﹣4或a＝4（舍去）， 即圆的圆心坐标为（﹣4，﹣3），则圆的方程为（x+4）2+（y+3）2＝25， 即x2+y2+8x+6y＝0． 故选：C． 11．已知直线l经过圆x2+y2﹣2x+4y＝0的圆心，且直线l的倾斜角α满足，则直线l的方程为（　　） A．4x﹣3y+2＝0 B．4x+3y+2＝0 C．3x+5y+7＝0 D．4x+3y﹣2＝0 【答案】B 【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y＝0可变形为（x﹣1）2+（y+2）2＝5， 即圆得圆心坐标为（1，﹣2）， 又直线l的倾斜角α满足， 则， 即， 则直线l的方程为， 整理可得：4x+3y+2＝0． 故选：B． 12．方程2y2﹣2（x+1）y+x2﹣24＝0的整数解的组数为　 ． 【答案】12． 【解答】解：原方程变形得x2﹣2xy+2y2﹣2y﹣24＝0，即（x﹣y）2+（y﹣1）2＝25， 由x，y是整数，得或或或， 解得或或或或或或， 所以原方程共有12组解． 故答案为：12． 13．已知圆M的方程是x2﹣6x+y2﹣16＝0，则该圆的半径是　 ． 【答案】5． 【解答】解：根据题意，圆M的方程是x2﹣6x+y2﹣16＝0，即（x﹣3）2+y2＝25， 其半径r＝5， 故答案为：5． 14．圆C：x2+y2﹣4y+1＝m2﹣2m的直径的最小值为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，将圆C化成标准方程：x2+（y﹣2）2＝m2﹣2m+3， 设圆C的半径为r，则， 当m＝1时，r的最小值为，故圆C直径的最小值为． 故答案为：． 15．设圆C方程为x2+y2+4x﹣6y+10＝0，则圆C的半径为　 ． 【答案】． 【解答】解：将圆C的方程x2+y2+4x﹣6y+10＝0化为标准方程可得（x+2）2+（y﹣3）2＝3， 故圆C的半径为． 故答案为：． 16．设实数a＞0，圆C：x2+y2﹣4x+ay＝0的面积为12π，则a＝ 　 　　 ． 【答案】（负值舍去）． 【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x+ay＝0，即， 圆C：x2+y2﹣4x+ay＝0的面积为12π， 则，解得a（负值舍去）． 故答案为：（负值舍去）． 17．“关于x，y的方程：x2+y2+ax+2y+2＝0表示圆”是“a＞2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：关于x，y的方程：x2+y2+ax+2y+2＝0表示圆， 则0，解得a＞2或a＜﹣2， 故“关于x，y的方程：x2+y2+ax+2y+2＝0表示圆”是“a＞2”的必要不充分条件． 故选：B． 18．已知“m≤t”是”x2+y2xy+m＝0”表示圆的必要不充分条件，则实数t的取值范围是（　　） A．（﹣1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，﹣1） 【答案】B 【解答】解：∵表示圆， ∴3+m﹣4m＞0，∴m＜1， ∵m≤t是表示圆的必要不充分条件， ∴（﹣∞，1）⫋（﹣∞，t]，∴t≥1， ∴实数t的取值范围是[1，+∞）． 故选：B． 19．方程x2+y2﹣2x+2y＝a表示圆，则实数a的取值范围是（　　） A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣2，+∞） 【答案】D 【解答】解：由x2+y2﹣2x+2y＝a配方得：（x﹣1）2+（y+1）2＝a+2， 方程x2+y2﹣2x+2y＝a表示圆， 则a+2＞0，解得a＞﹣2． 故选：D． 20．已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2﹣3m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是 　　 　 ．半径R的最大值为　 ． 【答案】（﹣1，4）；． 【解答】解：由题意知：（x+m）2+（y+2）2＝﹣m2+3m+4， 方程x2+y2+2mx+4y+2m2﹣3m＝0表示一个圆，所以﹣m2+3m﹣4＞0，﹣1＜m＜4， 所以m的取值范围为（﹣1，4）； 由因为，当且仅当时， ． 故答案为：（﹣1，4）；． 21．已知圆M经过点A（2，0），B（0，2），C（6，4），则圆M的标准方程为（　　） A．（x﹣3）2+（y﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2+（y+3）2＝10 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝10 D．（x﹣4）2+（y﹣2）2＝10 【答案】A 【解答】解：设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，其中D2+E2﹣4F＞0， 将A、B、C的坐标代入，可得，解得， 所以圆M的方程为x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0，即（x﹣3）2+（y﹣3）2＝10． 故选：A． 22．若点P（2，1）在圆x2+y2+4x﹣2y+k﹣1＝0外，则实数k的取值范围为（　　） A．（﹣10，+∞） B．（﹣10，6） C．（﹣∞，﹣10） D．（6，+∞） 【答案】B 【解答】解：将圆方程化为标准形式得（x+2）2+（y﹣1）2＝6﹣k，所以6﹣k＞0， 所以k＜6． 又点P（2，1）在圆x2+y2+4x﹣2y+k﹣1＝0外， 所以22+12+8﹣2+k﹣1＞0，所以k＞﹣10， 所以﹣10＜k＜6． 故选：B． 23．已知A（2，1）是圆M：x2+y2+2x﹣4y+2a＝0外一点． （1）求a的取值范围； （2）若a是负偶数，过点B（2，﹣4）作圆M的切线，求切线的方程． 【答案】（1）； （2）3x+4y+10＝0或x＝2． 【解答】解：（1）方程x2+y2+2x﹣4y+2a＝0化为标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2＝﹣2a+5． 因为方程x2+y2+2x﹣4y+2a＝0表示圆， 所以﹣2a+5＞0，解得． 因为A（2，1）是圆M：x2+y2+2x﹣4y+2a＝0外一点， 所以4+1+4﹣4+2a＞0，解得， 所以a的取值范围为． （2）因为a是负偶数，a的取值范围为， 所以a＝﹣2， 所以圆M：（x+1）2+（y﹣2）2＝9，圆M的圆心为M（﹣1，2），半径为3． 当切线的斜率不存在时，切线的方程为x＝2， 此时圆心M（﹣1，2）到直线x＝2的距离为3＝r，故满足相切关系； 当切线的斜率存在时，设切线方程为y+4＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣4＝0， 则圆心M（﹣1，2）到直线kx﹣y﹣2k﹣4＝0的距离为，解得， 所以切线方程为，即3x+4y+10＝0． 故所求切线的方程为3x+4y+10＝0或x＝2． 24．已知直线l：x+y+1＝0，点P为⊙M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2上一点，则（　　） A．直线l与⊙M相离 B．点P到直线l距离的最小值为2 C．与⊙M关于直线l对称的圆的方程为（x+3）2+（y+2）2＝2 D．平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为2x+2y+1＝0和2x+2y﹣5＝0 【答案】AC 【解答】解：∵⊙M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2， ∴圆心M（1，2），半径， ∴圆心M（1，2）到直线l：x+y+1＝0的距离为： ，∴直线l与⊙M相离，故A正确； ∵点P到直线l距离的最小值为，故B错误； 设圆心M（1，2）关于直线l对称点为N（x0，y0）， 则，解得N（﹣3，﹣2）， ∴与⊙M关于直线l对称的圆的方程为（x+3）2+（y+2）2＝2，故C正确； 设平行于l且与⊙M相切的直线方程为x+y+c＝0， ∴，解得c＝﹣1或c＝﹣5， ∴平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为x+y﹣1＝0和x+y﹣5＝0，故D错误． 故选：AC． 25．已知圆M：（x+1）2+（y+2）2＝1，求圆M关于直线l：2x﹣y﹣5＝0的对称圆方程 　　 　　 ． 【答案】（x﹣3）2+（y+4）2＝1． 【解答】解：圆M：（x+1）2+（y+2）2＝1的圆心为M（﹣1，﹣2）， 设对称圆的圆心为（a，b）， 则，解得， 所以对称圆的方程为（x﹣3）2+（y+4）2＝1． 故答案为：（x﹣3）2+（y+4）2＝1． 26．圆关于直线y＝x对称的圆C2的方程为　 　 ． 【答案】（x﹣1）2+（y+2）2＝5． 【解答】解：将圆C1化为标准方程，可得， 圆心为C1（﹣2，1），半径r， 若圆C2与圆C1关于直线y＝x对称，则圆C2的圆心为C2（1，﹣2），半径为， 可得圆C2的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝5． 故答案为：（x﹣1）2+（y+2）2＝5． 27．已知圆C经过A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，且圆心C在x轴上． （1）求圆C的方程； （2）求与圆C关于直线l：x﹣y+1＝0对称的圆的方程． 【答案】（1）（x﹣2）2+y2＝9； （2）（x+1）2+（y﹣3）2＝9． 【解答】解：（1）已知圆C经过A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，且圆心C在x轴上， 设圆C的方程为x2+y2+Dx+F＝0， 则， 解得， 所以圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣5＝0， 即（x﹣2）2+y2＝9． （2）由（1）知，圆C的圆心为C（2，0），半径为r＝3； 设C（2，0）关于直线l：x﹣y+1＝0对称的点为C′（m，n）， 则CC′的中点为，直线CC′的斜率为； 因为点C，C′关于直线l对称，所以， 即，解得， 所以C′（﹣1，3）， 所以与圆C关于直线l：x﹣y+1＝0对称的圆的方程为（x+1）2+（y﹣3）2＝9． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第35讲 圆的方程 内 容 导 航 知识点1 圆的标准方程 知识点2 点与圆的位置关系 知识点3 圆的一般方程 知识点4 与圆相关的最值问题 知识点5 圆的轨迹问题 题型1 根据圆的几何属性求圆的标准方程 题型2 由圆的标准方程求圆的几何属性 题型3 根据圆的几何属性求圆的一般式方程 题型4 由圆的一般式方程求圆的几何属性 题型5 圆的一般式方程与标准方程的互化 题型6 二元二次方程表示圆的条件 题型7 经过三点的圆的方程 题型8 点与圆的位置关系 题型9 关于点、直线对称的圆的方程 知 识 点 通 关 知识点1 圆的标准方程 （1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 （2）确定圆的基本要素是：圆心和半径 （3）圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 必记结论 几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 知识点2 点与圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为.设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ 知识点3 圆的一般方程 1.定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. 2.一般方程与标准方程关系： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点. （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 知识点4 与圆相关的最值问题 方法技巧 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题. (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 知识点5 圆的轨迹问题 方法技巧 求轨迹方程的步骤 ①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； ②列出关于的方程；③把方程化为最简形式；④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；⑤作答． 考 点 演 练 题型1 根据圆的几何属性求圆的标准方程 【典例1】若圆C经过A（1，1），B（2，﹣2），圆心在直线x﹣y+1＝0上，则圆C的面积为（　　） A．16π B．25π C．36π D．49π 【变式1】已知圆C的圆心坐标为（1，0），圆C被x轴、y轴截得的弦长之比为，点P在直线l：x﹣y+t＝0（t∈N*）上，则下列说法正确的是（　　） A．圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2＝4 B．若圆C上有且仅有2个点到直线l的距离为1，则t∈{1，2，3，4} C．当t＝3时，以线段PC为直径的圆与圆C交于M，N两点，则的最小值为4 D．若Q为平面内一个动点，（3，1），则点Q到直线l的距离为定值 题型2 由圆的标准方程求圆的几何属性 【典例1】在平面直角坐标系中曲线x2+（y﹣1）2＝2的长度为（　　） A．π B． C．2π D． 【变式1】如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C经过点A（2，15），则圆C的半径为（　　） A． B．8 C． D．10 题型3 根据圆的几何属性求圆的一般式方程 【典例1】已知圆C的圆心在直线x+3y﹣8＝0上，且圆C经过点（6，0），（0，﹣2），则圆C的方程是 　 ． 题型4 由圆的一般式方程求圆的几何属性 【典例1】直线l的方程为，则圆C：x2+y2﹣6x＝0上到直线l距离为1的点的个数为（　　） A．4 B．2 C．1 D．3 【变式1】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为圆x2﹣3x+y2﹣1＝0的圆心，则p＝（　　） A．3 B．2 C．1 D． 题型5 圆的一般式方程与标准方程的互化 【典例1】已知圆M满足与直线l：x﹣6＝0和圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9都相切，且直线MN与l垂直，请写出一个符合条件的圆M的标准方程 　 　 ． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知⊙C的方程为x2+y2﹣2mx+（10﹣2m）y+10m﹣29＝0，平面内两定点E（1，0）、G（6，）．当⊙C的半径取最小值时： （1）求出此时m的值，并写出⊙C的标准方程； （2）在x轴上是否存在异于点E的另外一个点F，使得对于⊙C上任意一点P，总有为定值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明你的理由； （3）在第（2）问的条件下，求μ2|PE|的取值范围． 题型6 二元二次方程表示圆的条件 【典例1】已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+2x+4a＝0表示圆，则圆心的坐标为（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．或（1，0） D．或（﹣1，0） 【变式1】若方程x2+y2﹣4x+2y+m2﹣2m+5＝0表示圆，则整数m的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 题型7 经过三点的圆的方程 【典例1】已知曲线xy+1＝0与曲线x2+y﹣4＝0交于A，B，C三点，则△ABC外接圆的面积为　 　 ． 【变式1】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 　 　 ． 题型8 点与圆的位置关系 【典例1】已知A（1，0），B（4，0），若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a﹣1）2＝8上总存在点P满足，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0] B．[0，6] C．（0，6） D．（﹣∞，0]∪[6，+∞） 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，﹣1），且圆心都在直线x﹣2y+c＝0上，则t+c 的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 题型9 关于点、直线对称的圆的方程 【典例1】圆x2+（y﹣1）2＝1关于直线x﹣y＝0对称的圆的方程是（　　） A．x2+（y+1）2＝1 B．（x+1）2+y2＝1 C．（x﹣1）2+y2＝1 D．x2+y2＝1 【变式1】已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4关于直线l：3x+y+m＝0对称，则坐标原点O到直线的距离等于（　　） A．0 B． C． D．5 过 关 验 收 1．如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点O和点C，月牙尖的坐标分别为A（﹣1，2），B（2，﹣1），则圆C的标准方程为　 　 ． 2．已知直线l1：x﹣2y+3＝0，l2：2x﹣y﹣3＝0，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线l1，l2都相切，则圆C的方程为　 　　 ． 3．已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣2y+9＝0． （1）求圆C关于直线l：x﹣y＝0对称的圆的方程； （2）若点P（x，y）在圆C上运动，求x2+y2的最大值和最小值． 4．已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2＝r2（r＞0）关于直线x+y+2＝0对称． （1）求⊙C的方程； （2）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值． 5．已知实数x，y满足（|x|﹣1）2+（|y|﹣1）2＝1，则的最大值为　 ． 6．若直线l与直线y＝x平行，且经过圆x2﹣2x+y2＝0的圆心，则l的方程为 　 　　 ． 7．若直线2x+y﹣1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，则a＝　 ． 8．已知A（﹣2，﹣1），B（0，1）两点，且AB是圆M的直径，则圆M的方程为（　　） A．x2+（y+1）2＝8 B．（x+1）2+y2＝8 C．x2+（y+1）2＝4 D．（x+1）2+y2＝2 9．已知圆M经过点A（1，1），B（3，0），C（4，2），点P为圆M上动点，则由P，A，B，C四个点构成的四边形面积最大值为（　　） A． B．5 C．4 D．6 10．圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（　　） A．x2+y2﹣8x﹣6y＝0 B．x2+y2﹣6x﹣8y＝0 C．x2+y2+8x+6y＝0 D．x2+y2+6x+8y＝0 11．已知直线l经过圆x2+y2﹣2x+4y＝0的圆心，且直线l的倾斜角α满足，则直线l的方程为（　　） A．4x﹣3y+2＝0 B．4x+3y+2＝0 C．3x+5y+7＝0 D．4x+3y﹣2＝0 12．方程2y2﹣2（x+1）y+x2﹣24＝0的整数解的组数为　 ． 13．已知圆M的方程是x2﹣6x+y2﹣16＝0，则该圆的半径是　 ． 14．圆C：x2+y2﹣4y+1＝m2﹣2m的直径的最小值为　 　 ． 15．设圆C方程为x2+y2+4x﹣6y+10＝0，则圆C的半径为　 ． 16．设实数a＞0，圆C：x2+y2﹣4x+ay＝0的面积为12π，则a＝ 　 　　 ． 17．“关于x，y的方程：x2+y2+ax+2y+2＝0表示圆”是“a＞2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．已知“m≤t”是”x2+y2xy+m＝0”表示圆的必要不充分条件，则实数t的取值范围是（　　） A．（﹣1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，﹣1） 19．方程x2+y2﹣2x+2y＝a表示圆，则实数a的取值范围是（　　） A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣2，+∞） 20．已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2﹣3m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是 　　 　 ．半径R的最大值为　 ． 21．已知圆M经过点A（2，0），B（0，2），C（6，4），则圆M的标准方程为（　　） A．（x﹣3）2+（y﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2+（y+3）2＝10 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝10 D．（x﹣4）2+（y﹣2）2＝10 22．若点P（2，1）在圆x2+y2+4x﹣2y+k﹣1＝0外，则实数k的取值范围为（　　） A．（﹣10，+∞） B．（﹣10，6） C．（﹣∞，﹣10） D．（6，+∞） 23．已知A（2，1）是圆M：x2+y2+2x﹣4y+2a＝0外一点． （1）求a的取值范围； （2）若a是负偶数，过点B（2，﹣4）作圆M的切线，求切线的方程． 24．已知直线l：x+y+1＝0，点P为⊙M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2上一点，则（　　） A．直线l与⊙M相离 B．点P到直线l距离的最小值为2 C．与⊙M关于直线l对称的圆的方程为（x+3）2+（y+2）2＝2 D．平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为2x+2y+1＝0和2x+2y﹣5＝0 25．已知圆M：（x+1）2+（y+2）2＝1，求圆M关于直线l：2x﹣y﹣5＝0的对称圆方程 　　 　　 ． 26．圆关于直线y＝x对称的圆C2的方程为　 　 ． 27．已知圆C经过A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，且圆心C在x轴上． （1）求圆C的方程； （2）求与圆C关于直线l：x﹣y+1＝0对称的圆的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $