精品解析：2026年河北省邯郸市第二十三中学中考二模数学试卷

2026年河北省初中学业水平模拟考试（九年级） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的 “注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是正数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 一束光从空气斜射入水中，入射光线和折射光线如图所示，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则一定有，“□”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的取值范围正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则这个几何体可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里，问善行者几何里及之？”大意为：现有走路不快的人先走里，然后走路快的人去追，追到里时，已经领先走路不快的人里．设走路快的人走到里时就已经追上走路不快的人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点放置在刻度尺的边上，点落在尺子内部，与尺子的边交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，，点是线段上一点（不与点，重合），直线的解析式为，当随增大而减小时，点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，分别是的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是某海洋公园“水上滑梯”的侧面图，矩形为梯子，梯子的高米，宽米，滑梯可以近似看成双曲线的一段，为水面，且米，以点为原点，建立平面直角坐标系，轴．当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等，则他距离点的水平距离为（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 12. 如图，在中，，，点D为上一点，且，连接，于点E，将绕点B逆时针旋转得到线段，连接交于点G，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 化简分式的结果是________． 14. 将一个矩形分割成A，B，C，D，E五个区域，用红、黄、蓝、绿四种不同的颜色分别给这五个区域着色，已着色情况如图所示，若给E区域着色后（颜色可重复使用），使每相邻两个区域的着色都不相同的概率为________． 15. 某校七年级举办的趣味运动会，共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（，a，b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班比赛的总成绩分别为21，6，9，4，则的值为________． 16. 如图，正六边形的边长为3，连接，交于点G，连接，点H为的中点，点I，J，K分别是边，，上的动点．连接，，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在单位长度为1的数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，相邻两点之间的距离均为n（n为正整数），点B表示的数为． （1）若，则表示原点的是点________，点E所表示的数是________； （2）若点E所表示的数是10，求n的值及点D所表示的数． 18. 下面是小亮同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 ． 第三步 （1）任务一：第一步化简所用的乘法公式是：________； （2）任务二：小亮的化简过程从第________步开始出错，出错的原因是________； （3）任务三：请写出正确的化简过程，并求出当时该整式的值． 19. 化学课上学习酸碱度时，老师带领学生对不同种类的水的值进行测量．老师随机收集了21份水的样本，其中10份海水样本和10份地下水样本，1份因标签掉落，无法确定水的种类，学生分组测量20份样本的值．并将结果绘制成如图所示的折线统计图． 平均数 中位数 众数 最小值 最大值 地下水 7.4 a 7.5 7.1 7.6 海水 8.18 8.2 8.2 b 8.4 （1）地下水值的中位数________，海水值的最小值________； （2）已知未受污染的海水值在之间（包含端点），老师收集的10份样本中，求未受污染的海水所占百分比； （3）小明同学测出标签掉落的样本的值为，他判断该样本大概率是海水样本，你赞同他的观点吗？请利用统计知识说明理由． 20. 在水平地面上有一个坐式拉力器（图1），其抽象出如图2，点是旋转的支点，点是把手点，，， ，点是的中点．锻炼时，人坐上椅座，伸手握住把手，适度向后拉，再缓慢回落． （1）求的长； （2）如图3，当向后将拉到与水平地面垂直的位置时，求点距离水平地面的高度（结果保留根号）． 21. 某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗，探究不同种菜苗高度与种植天数的关系．数据记录： 已种菜苗天数/天 0 2 4 6 8 10 … 甲种菜苗高度/天 6 9 12 15 18 21 … 乙种菜苗高度/天 15 16 17 18 19 20 … 初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗天数均为一次函数关系． （1）在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，（单位：）关于已种菜苗天数（单位：天）的函数图象； （2）求出关于的函数关系式，并直接写出第18天甲种菜苗的高度； （3）观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由． 22. 如图1，在矩形中， ， ，，分别是，的中点，连接．动点从点出发，沿折线向终点运动，连接，设点运动时间为秒（）． （1）当点运动到中点时． ①尺规作图：在图1中，画出线段（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求证：； （2）如图2，当点在边上运动时，过点作于点．若，点的平均速度为，求的值． 23. 如图1，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转（）得到，连接，并取三等分点和，连接． （1）若，求扫过区域的面积．（结果保留） （2）如图2，连接，在旋转过程中求出其最小值，并直接写出此时的长． （3）如图3，为中点，连接，当和取到最小值时，在线段上有一动点，请直接写出的最小值． （4）如图4，将绕点顺时针旋转得，为的对应点，延长和相交于点． ①当时，求； ②直接写出点的运动路径长．（参考：） 24. 如图，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线：经过，两点，与轴正半轴交于点． （1）当，时，求，的值； （2）当，为任意正数时，求证：； （3）过点作轴的平行线，交抛物线于点． ①当时，求的长度； ②将横坐标与纵坐标都是整数的点称为“好点”，当时，由直线，抛物线，与轴围成的阴影部分（含边界）中有8个好点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省初中学业水平模拟考试（九年级） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的 “注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是正数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】解：是正数，是负数，既不是正数，也不是负数. 2. 一束光从空气斜射入水中，入射光线和折射光线如图所示，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵法线垂直于水面，  ∴法线与水面夹角为， ∵，， ∴ ． 3. 已知，则一定有，“□”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴ “□”中应填的符号是. 4. 已知，则的取值范围正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式的性质变形得到的范围. 【详解】解：∵ ， ∴ ，即 ， 不等式两边同除以，得 ， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得 ， 即 . 5. 图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则这个几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图确定底面小正方体的分布情况即可． 【详解】解：由俯视图可知，该几何体底面小正方体的分布情况为：左列只有前排，中列前后排都有，右列只有后排， A选项的俯视图左列前后都有，不符合题意； B选项的几何体中小正方体的位置：前排：左、中各1个；后排：中、右各1个，上层1个在后排中，正好符合俯视图的形状，总共5个小正方体，完全符合题意； C选项的俯视图右列前后都有，不符合题意； D选项的俯视图右列前后都有，不符合题意． 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用整数指数幂的运算法则，可得，进一步即可求出n的值. 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， 解得. 7. 《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里，问善行者几何里及之？”大意为：现有走路不快的人先走里，然后走路快的人去追，追到里时，已经领先走路不快的人里．设走路快的人走到里时就已经追上走路不快的人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相同时间内路程比等于速度比的关系，先推导得到两人的速度比，再结合追上时的路程关系列方程即可. 【详解】解：由题意可知，当走路快的人走100里时，走路慢的人总共走了里，减去慢的人先走的10里，可得在相同时间内，慢的人走了里； ∵相同时间内，两人的速度比等于路程比， ∴快、慢两人的速度比为， 当快的人走x里追上慢的人时，慢的人在相同追及时间内走了里，速度比不变，因此可列方程： . 8. 如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点放置在刻度尺的边上，点落在尺子内部，与尺子的边交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作，根据平行线的性质得到、，由等腰直角三角形的性质得到，利用求解即可． 【详解】解：如图，过点B作， 刻度尺的两边， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，，点是线段上一点（不与点，重合），直线的解析式为，当随增大而减小时，点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点和点的坐标判断出轴，则，且，结合一次函数的增减性可得，从而判断出选项． 【详解】解：∵，， ∴轴， ∵点是线段上一点（不与点，重合） ，且， ∵y随的增大而减小， 又 ∵， ，即， 综上，， ∴只有选项C符合． 10. 如图，，分别是的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用平行四边形对边平行可得平行线间距离相等，从而得出同底等高的三角形面积相等，通过面积割补法将四边形的面积转化为已知三角形面积之和． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，  ， 点A、E、B到直线的距离相等，设为， 、， ， 、， ， 同理得：、， ， 、， ， ． 11. 如图，是某海洋公园“水上滑梯”的侧面图，矩形为梯子，梯子的高米，宽米，滑梯可以近似看成双曲线的一段，为水面，且米，以点为原点，建立平面直角坐标系，轴．当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等，则他距离点的水平距离为（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】设反比例函数的表达式为，可得．求解，，进一步可得答案． 【详解】解：四边形为矩形， ， 点B的坐标为． 设反比例函数的表达式为， ， ． ， ∴， ∵轴． ∴， ∵当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等， ∴，即， ∴， ∴他距离点的水平距离为． 12. 如图，在中，，，点D为上一点，且，连接，于点E，将绕点B逆时针旋转得到线段，连接交于点G，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及平行线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质、正确作出辅助线是解题的关键． 根据旋转和已知条件证明 ，得出且 ，进而得到，利用平行线性质和等腰直角三角形的性质，通过构造全等三角形证明G点为的中点，最后利用求解． 【详解】解：连接，  、， 是等腰直角三角形， 、， 绕点B逆时针旋转得到线段， 、 ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 过 D点作交 的于点 K， ， ， ， ，即， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 化简分式的结果是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 14. 将一个矩形分割成A，B，C，D，E五个区域，用红、黄、蓝、绿四种不同的颜色分别给这五个区域着色，已着色情况如图所示，若给E区域着色后（颜色可重复使用），使每相邻两个区域的着色都不相同的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据图形确定区域相邻的区域有哪些，然后找出这些相邻区域已着的颜色，最后根据概率公式计算满足条件的概率.． 【详解】解：由题意可知，给区域着色共有种等可能的结果，分别为红、黄、蓝、绿 观察图形可知，区域与、、三个区域相邻 已知区域着黄色，区域着蓝色，区域着绿色 要使每相邻两个区域的着色都不相同，区域的颜色不能与、、区域的颜色相同 即区域不能着黄色、蓝色、绿色 所以区域只能着红色，只有种情况 所以使每相邻两个区域的着色都不相同的概率为． 15. 某校七年级举办的趣味运动会，共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（，a，b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班比赛的总成绩分别为21，6，9，4，则的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】先求出的值，再结合且均为正整数的条件列举可能取值，根据最高总成绩排除不符合题意的情况，得到的值后计算乘积. 【详解】解：设本次趣味运动会五个比赛项目的记分总和为，则 . 四个班的总成绩分别为，，，， . ， 可得. ，且，，均为正整数， 当时： 若，则 ，满足； 若，则 ，此时五个项目都获得第一名的最高总分为 ，不符合题意，舍去； 当时，，，此时 ，不满足条件，舍去. 综上可得，，，， . 16. 如图，正六边形的边长为3，连接，交于点G，连接，点H为的中点，点I，J，K分别是边，，上的动点．连接，，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据正六边形的性质求出点为正六边形的中心，每个内角的度数为，证明为等边三角形，进而得到，作点关于线段的对称点，连接，则，过点作于点，交于点，当、、三点共线时，有最小值，最小值为，根据平行线间的性质得到，利用求解即可． 【详解】解：连接， 六边形是正六边形， 、， ，交于点G， 点为正六边形的中心， 、， 为等边三角形， ， ， ， ， 作点关于线段的对称点，连接， ， ， 过点作于点，交于点， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为， ， 、， ， 是等边三角形， 点是的中点， ， 、， 在中，， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查正六边形的 性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、解直角三角形，熟练掌握相关性质，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在单位长度为1的数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，相邻两点之间的距离均为n（n为正整数），点B表示的数为． （1）若，则表示原点的是点________，点E所表示的数是________； （2）若点E所表示的数是10，求n的值及点D所表示的数． 【答案】（1）；4 （2）；点D所表示的数是6 【解析】 【分析】（1）根据点表示的数为，得出原点是点和点表示的数； （2）当点所表示的数是10时，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点表示的数为， ∴点表示的数是， ∴原点是点． ∴点表示的数为． 【小问2详解】 解：由题意，当点所表示的数是10时，， ∴点所表示的数为． 18. 下面是小亮同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 ． 第三步 （1）任务一：第一步化简所用的乘法公式是：________； （2）任务二：小亮的化简过程从第________步开始出错，出错的原因是________； （3）任务三：请写出正确的化简过程，并求出当时该整式的值． 【答案】（1）平方差公式和完全平方公式 （2）二； 去括号时，括号前为负号，括号内的没有改变符号 （3）化简过程见解析，正确的化简结果为，当时，整式的值为 【解析】 【分析】灵活应用平方差公式、完全平方公式，去括号时注意符号的变化，熟练掌握整式的乘法． 【小问1详解】 解：采用平方差公式化简， 采用完全平方公式化简； 【小问2详解】 解：从第二步开始出错；出错的原因是去括号时，括号前为负号，括号内的没有改变符号； 【小问3详解】 当时，原式 ． 19. 化学课上学习酸碱度时，老师带领学生对不同种类的水的值进行测量．老师随机收集了21份水的样本，其中10份海水样本和10份地下水样本，1份因标签掉落，无法确定水的种类，学生分组测量20份样本的值．并将结果绘制成如图所示的折线统计图． 平均数 中位数 众数 最小值 最大值 地下水 7.4 a 7.5 7.1 7.6 海水 8.18 8.2 8.2 b 8.4 （1）地下水值的中位数________，海水值的最小值________； （2）已知未受污染的海水值在之间（包含端点），老师收集的10份样本中，求未受污染的海水所占百分比； （3）小明同学测出标签掉落的样本的值为，他判断该样本大概率是海水样本，你赞同他的观点吗？请利用统计知识说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）赞同他的观点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据折线图与中位数的定义求解即可； （2）利用统计表信息列式计算即可； （3）根据统计表样本数据的最大值与最小值以及平均数的意义分析即可． 【小问1详解】 解：10份地下水样本数据从小到大排序为：， ∴中位数， 由折线图可得：海水值的最小值． 【小问2详解】 解：未受污染的海水值在之间（包含端点），老师收集的10份样本中，求未受污染的海水所占百分比为：． 【小问3详解】 解：∵样本统计表中，海水值的最大值为，最小值为， 地下水值的最大值为，最小值为， 再结合统计表中的平均数数据可得： 小明同学测出标签掉落的样本的值为，该样本大概率是海水样本，其说法正确． 20. 在水平地面上有一个坐式拉力器（图1），其抽象出如图2，点是旋转的支点，点是把手点，，， ，点是的中点．锻炼时，人坐上椅座，伸手握住把手，适度向后拉，再缓慢回落． （1）求的长； （2）如图3，当向后将拉到与水平地面垂直的位置时，求点距离水平地面的高度（结果保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图，过作于，再分别求解即可； （2）如图，过作于，过作于，过作交于，交于，可得四边形，是平行四边形，，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于， ∵ ，点是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过作于，过作于，过作交于，交于， ∴， ∴四边形，是平行四边形，， ∴，，，， ∵由旋转可得：，，， ∴，即， ∴， 由（1）得：， ∴， 由旋转可得：，则， ∴， ∴，而， 解得：． 21. 某校为更好地开展劳动实践活动，在校园内开辟了一片小菜园，用来种植甲、乙两种菜苗，探究不同种菜苗高度与种植天数的关系．数据记录： 已种菜苗天数/天 0 2 4 6 8 10 … 甲种菜苗高度/天 6 9 12 15 18 21 … 乙种菜苗高度/天 15 16 17 18 19 20 … 初步分析：通过分析数据得两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗天数均为一次函数关系． （1）在平面直角坐标系中分别画出菜苗高度，（单位：）关于已种菜苗天数（单位：天）的函数图象； （2）求出关于的函数关系式，并直接写出第18天甲种菜苗的高度； （3）观察函数图象，据实践经验可得这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）关于的函数关系式为；第18天甲种菜苗的高度为 （3）甲种菜苗先开花，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了画函数图象、求一次函数解析式、从函数图象上获取信息，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）描点、连线，即可画出函数图象； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，画出函数图象如图所示： ； 【小问2详解】 解：设关于的函数关系式为， 将，代入函数解析式得， 解得：， ∴关于的函数关系式为， 当时，， ∴第18天甲种菜苗的高度为； 【小问3详解】 解：甲种菜苗先开花，理由如下： 由图象可得，当甲、乙两种菜苗高度相同时都为达到的高度，达到相同高度后，的图象始终在的图象上方， ∴甲种菜苗先开花． 22. 如图1，在矩形中， ， ，，分别是，的中点，连接．动点从点出发，沿折线向终点运动，连接，设点运动时间为秒（）． （1）当点运动到中点时． ①尺规作图：在图1中，画出线段（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求证：； （2）如图2，当点在边上运动时，过点作于点．若，点的平均速度为，求的值． 【答案】（1）①作图见解析；②证明见解析 （2）或． 【解析】 【分析】（1）①作线段的垂直平分线，得到中点，连接即可；②当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）当点P在边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：①如图，线段即为所求； ②∵矩形， ∴，， 当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：当点P在边上时（点P不与点D重合）， ∵，矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， 则， 解得：或． 23. 如图1，在矩形中，，，将边绕点顺时针旋转（）得到，连接，并取三等分点和，连接． （1）若，求扫过区域的面积．（结果保留） （2）如图2，连接，在旋转过程中求出其最小值，并直接写出此时的长． （3）如图3，为中点，连接，当和取到最小值时，在线段上有一动点，请直接写出的最小值． （4）如图4，将绕点顺时针旋转得，为的对应点，延长和相交于点． ①当时，求； ②直接写出点的运动路径长．（参考：） 【答案】（1） （2）的最小值为，此时 （3） （4）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，，，利用勾股定理的逆定理容易判断，则扫过区域是圆心角为，半径为的扇形，使用扇形面积公式进行计算即可； （2）容易判断点在以点为圆心，为半径的半圆上运动，则当、、三点共线时，取得最小值．作于点，作于点，利用勾股定理计算出，进而求出的最小值．利用和分别计算出，，再使用勾股定理计算出即可； （3）延长至点，使得，连接，容易证明和，则， ，因此当取得最小值时，和取到最小值．由（2）可知，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动，因此当、、三点共线时，取得最小值．延长至点，使得，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，作 于点，连接，作 于点，利用和 可计算出，，，使用面积法可计算出．容易计算出，进而得到 ，因此 ，结合垂线段最短可知，当 时，取得最小值，此时点与点重合，即； （4）①作于点，根据题意可得 ，进而可判断是等边三角形，则，，利用三角函数计算出，，利用勾股定理计算出后，根据正弦函数的定义进行求值即可； ②在上取点，使得，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、，作 于点，容易证明，则 为定值，因此在点的旋转过程中，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动．结合旋转的性质可得 ，进而可证明 ，则，利用三角函数计算出，因此在点的旋转过程中，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动，最后使用扇形的弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵、是的三等分点， ∴， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴扫过区域是圆心角为，半径为的扇形， ∴扫过的面积为； 【小问2详解】 解：∵为定值， 又∵， ∴点在以点为圆心，为半径的半圆上运动， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 如图，、、三点共线，作于点，作于点， ∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴ ， ∴的最小值为， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵、是的三等分点， ∴， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在 中，； 【小问3详解】 解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， 又∵ ， ∴， ∴，即， ∵为中点， ∴， ∴ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴，即 ， ∴当取得最小值时，和取到最小值， 由（2）可知，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 如图，、、三点共线，延长至点，使得，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，作 于点，连接，作 于点， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴，， 在中，， ∵ ， ， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， 在 中， 在中， ， ∴ ， 又∵垂线段最短， ∴当 时，取得最小值，此时点与点重合，即， ∴的最小值为； 【小问4详解】 解：①如图，作于点， 由题意可知，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ， 在中， ，， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，； ②如图，在上取点，使得，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、，作 于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 为定值， ∴在点的旋转过程中，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动， 由旋转的性质可得，，， ， ∴ ， ∵ ， ∴， ， 在中，， ∴， ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 又∵ ， ∴为定值， ∴在点的旋转过程中，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动， ∴点的运动路径长为 ． 24. 如图，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线：经过，两点，与轴正半轴交于点． （1）当，时，求，的值； （2）当，为任意正数时，求证：； （3）过点作轴的平行线，交抛物线于点． ①当时，求的长度； ②将横坐标与纵坐标都是整数的点称为“好点”，当时，由直线，抛物线，与轴围成的阴影部分（含边界）中有8个好点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）证明见详解 （3）①1；② 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数上的点坐标，熟练掌握二次函数相关的计算，并能够运用数形结合是解题的关键． （1）将，代入得，，利用待定系数法求解即可； （2）将点代入化简即可； （3）①当时，根据（2）可得，，令求解即可；②当时，：，： ，根据题意找到好点的坐标，利用极限思想求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴：，：，， 将，代入得， ，解得， 将代入得， ，解得， 即，； 【小问2详解】 证明：将代入得， ，则， 将，代入 得， ， 则， 则， 由于，为任意正数，则， 故； 【小问3详解】 解：①由（2）可知，，且， ∵， ∴，，， 则，， ∵轴， ∴令得，，解得，， 则的横坐标为1，故； ②当时，，则：，： ， ∵， ∴， 由题可知，，则，如图， 由于包含边界，所以8个好点为，，，，，，，， 则当过时，，即， 当过时，，即， 则此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $