精品解析：2025年河北省邯郸市武安市大同镇中学、西通乐中学中考二模联考数学试题

2025年河北省初中学业水平考试 数学 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 对于，若，则其结果为（ ） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算是解题的关键；多个负数相乘的结果取决于负因数的个数：奇数个负因数相乘结果为负，偶数个负因数相乘结果为正，由此问题可求解． 【详解】解：原式表示个相乘， 当时，，为奇数， ∴奇数个负数相乘结果为负数； 故选B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项．根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项，分别计算即可判断． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、和不是同类项，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 据每日经济新闻报道，DeepSeek App从2025年1月11日上线以来至2025年2月9日，累计下载量已超1.1亿次，周活跃用户规模最高近9700万．下列说法错误的是（ ） A. 1.1亿用科学记数法表示为 B. 9700万用科学记数法表示为 C. 1.1亿与9700万的差用科学记数法表示为 D. 1.1亿与9700万的和用科学记数法表示为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中， 为整数，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 时， 是正数，当原数绝对值小于 时， 是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：选项A：亿即，符合科学记数法规则，正确，不符合题意； 选项B：9700万即，符合规则，正确，不符合题意； 选项C：亿与9700万的差为，正确，不符合题意； 选项D：亿与9700万的和为，科学记数法应为，而选项D写为，此时不满足，错误，符合题意； 故选：D 4. 如图，两只手的食指和拇指在同一平面内，在以下四种摆放方式中，它们构成的一对角可以看成同旁内角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三线八角．熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的定义，是解题的关键．根据同位角，同旁内角，内错角的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、可以看成同旁内角，符合题意； B、可以看成内错角，不符合题意； C、不是内错角，不是同位角，不是同旁内角，不符合题意； D、可以看成同位角，不符合题意； 故选A． 5. 对于任意实数x，规定，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义，分式的加法．根据定义，分别写出和)的表达式，再通分相加即可． 【详解】解：∵，． ∴． 故选：A． 6. 如图是一个几何体的主视图，则该几何体可以看作是由下列哪个图形绕直线l旋转一周得到的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面图形与立体图形，理解立体图形的特点，根据旋转的性质分析即可，掌握平面图形的旋转是解题的关键． 【详解】解：根据几何体的主视图可得立体图形是一个圆柱上下各挖去了一个圆锥，只有D选项的平面图形旋转后可得立体图形的主视图， 故选：D． 7. 如图，矩形 的对角线交于点O，则 是 的（ ） A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 中位线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质．根据矩形的性质“对角线互相平分”即可求解． 【详解】解： 四边形 是矩形， 对角线互相平分， 即， 是 的中线． 故选：B． 8. 已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系．分别根据一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：是方程的解， ， ，故A错误； 由题意得，该方程有两个实数根， ， ∴，故B错误； 的两个解为，， ， ，故C正确，D错误． 故选：C． 9. 如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线 的延长线交边 于点K，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质、多边形的内角和、等腰三角形的性质，熟知正多边形的性质是解答的关键．先根据正多边形的性质求得，，，再根据等腰三角形的性质和周角定义求得， ，进而平角定义求得，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由正多边形的性质可知，，，， ，， ， ． 故选：B． 10. 某农业无人机在麦田上方执行喷洒任务，它先从地面垂直匀速起飞至10m高度，然后保持这个高度水平飞行，过一会儿，又匀速降至4m高度并低速巡航，保持这个高度完成喷洒，则无人机飞行的高度h（m）与飞行时间t（s）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的实际应用，解题的关键是分析无人机飞行高度随时间的变化情况． 根据无人机飞行的过程，分阶段分析高度随时间的变化情况，进而确定对应的函数图象． 【详解】由题意可知，与 的函数图象先直线上升，再水平，再直线下降，最后水平，只有B选项符合． 故选：B． 11. 如图，在平行四边形 中，，，， 是对角线 上的动点，连接 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，过点 作于点 ，则，由直角三角形性质可得，通过勾股定理得，，由点 在对角线 上运动，当时， 取得最小值，再利用等面积法即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点 作于点 ，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵点 在对角线 上运动， 是锐角三角形， ∴当时， 取得最小值， 由平行四边形的性质知，， ∴， ∴， ∴ 的最小值为， 故选： ． 12. 如图，在 中，，边 与 轴平行且，现将 以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转 ，则经过次旋转后，点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、勾股定理、含 角直角三角形的性质等知识，先求出，，由题意可知， 以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转 ，则每6次旋转1周，得到经过次旋转后，点 落在的位置，画出图形进行解答即可． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴， 由题意可知， 以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转 ，则每6次旋转1周．， 如图， 以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转 ，经过次旋转后，点 转到点D的位置，则，，过点D作交 的延长线于点H， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴点D的坐标是， 故选：A 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法，二次根式化简，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键. 先化简，再按二次根式乘法法则计算即可. 【详解】解： ． 故答案为：6. 14. 如图是一个圆形靶子，三个同心圆的半径分别为1，2，3．嘉淇向靶子随机投掷一次飞镖（若飞镖落在分隔线上，则重新投掷），则飞镖落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率， 根据题意，求得阴影部分面积，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解∶由题意得，最大圆的面积为，阴影部分的面积为， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为∶． 15. 如图，在等腰三角形 中， ，，D是边 上靠近点C的三等分点，且满足，点是点B关于直线的对称点，则线段 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 连接．根据轴对称的性质得到点三点共线，则，，，由三角形内角和定理证明，由对称性可得，最后在中，由勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接． 点是点 关于直线的对称点， ． ， 点 在上，即点三点共线， ． 又， ， ，． ， ，即． ， 是边 上靠近点 的三等分点， ， ， ． 故答案为：． 16. 对于反比例函数，称，为该反比例函数图象的两个“焦点”，且若P为反比例函数图象上的任意一点，则恒有．如图，M，N为反比例函数的图象的两个焦点，A为该反比例函数在第三象限的图象上的一个动点，B为的平分线上的一点，且，，则k的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用、三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．延长相交于点 ．先证出，，再证出是的中位线，根据三角形的中位线定理可得，则可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，延长相交于点 ． 平分，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ 为反比例函数的图象的两个焦点， ∴，， ∴点 关于原点对称， ∴，即 为 的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ 为该反比例函数在第三象限的图象上的一个动点， ∴， ∴， 解得， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知数轴上点P表示的数为x，且． （1）当时，化简，并求x的值； （2）结合数轴（如图）分析，满足条件的点P共有几个？分别求出这些点表示的数． 【答案】（1）， 的值为3 （2）满足条件的点 共有2个，这些点表示的数分别是和3 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义与分类讨论思想（根据绝对值内式子的符号分段化简），要求对绝对值的性质深度理解，且能严谨分类求解． 根据绝对值的几何意义与分类讨论思想展开，由x的取值范围化简绝对值求解． 【小问1详解】 解：当时，， ． ， ， 解得 ，即 的值为3． 【小问2详解】 解：当时，， 则，解得 ， 点 表示的数为； 当时，，故不符合题意； 当时，由（1）可知，点 表示的数为3． 综上所述，满足条件的点 共有2个，这些点表示的数分别是和3． 18. 将连续的正整数按照图1的方式排成一个“数阵”（“数阵”第一个数字可以任选），随机用一个“工”字形框圈出相应数字． 【初探】如图2，在一个“数阵”中，用“工”字形框圈出任意7个数字，所圈数字分别用a，b，c，d，e，f，g表示．若，求的值； 【猜想与验证】嘉嘉同学猜想，在任意一个“数阵”中，随机用“工”字形框按照图2的记数方式，圈出7个数字a，b，c，d，e，f，g，则，其中k为常数．请你验证该猜想的正确性，并求出常数k的值． 【答案】【初探】 【猜想与验证】该猜想正确，理由如下： 根据题意，设，则， ，，，， ， 该猜想正确，常数的值为6． 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给数阵发现数字排列的规律是解题的关键． 【初探】根据所给排列方式，发现上下，左右数之间的关系即可解决问题． 【猜想与验证】根据上面发现的规律进行计算即可． 【详解】解：【初探】根据题意可知，， ，，，，． 【猜想与验证】略 19. 电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房，成为中国电影票房榜冠军．某数学兴趣小组为了解大家对电影的喜爱程度，随机从观影过的观众中抽取了200名观众对电影进行评分（评分为整数，满分10分），所抽取的观众评分均在6分及以上．将评分数据整理成不完整的条形统计图，如图． （1）补全条形统计图； （2）这组数据的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ； （3）该兴趣小组又从观影过的观众中随机抽取了一些观众，这些观众的评分刚好相同，与之前的200个数据合在一起，发现众数变为8分和9分，那么第二次抽取了多少名观众？数据合起来之后，中位数是变大了，还是变小了？ 【答案】（1） 补全条形统计图如图． （2）8.5分；8.5分；8分 （3）第二次抽取的观众有10人；数据合在一起后，中位数变为9分，中位数变大了 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，平均数，从条形图中获取信息等知识； （1）先求出8分的人数，再补图即可； （2）根据平均数，中位数，众数的定义求解即可； （3）根据众数的定义求解新调查的人数，进一步分析即可； 【小问1详解】 解：评分为8分的观众有（人）， 图略； 【小问2详解】 解：平均数为：（分）， ∵排在最中间的数是8，9； ∴中位数为（分）， ∵出现次数最多的数是8， ∴众数为 分； 【小问3详解】 解：∵众数变为8分和9分，且抽取的评分刚好相同，原来8分的人数为70，9分的人数为60， ∴第二次抽取的观众有（人），他们的分数均为9分， ∴数据合在一起后，中位数变为9分，中位数变大了． 20. 淇淇家位于学校正东方向处，周末她和同学约好去学校附近的体育馆打篮球，已知体育馆位于学校北偏西方向，距离学校． （1）请根据描述画出淇淇家、学校和体育馆的方位示意图； （2）求体育馆到淇淇家的直线距离； （3）若淇淇步行从家出发，先以的速度匀速走到学校，但到达学校后，发现忘带篮球，于是立即以的速度原路返回家中．取到篮球后，为了赶时间，她以的速度从家直接走到体育馆，求淇淇全程所用的时长．（计算结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】（1） 解：画出示意图如图1． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，方位角，解题的关键是熟练掌握方位角定义和三角形函数定义． （1）根据题意画出图形即可； （2）连接 ，过点 作，交 的延长线于点 ，则，根据三角形函数定义解直角三角形，结合勾股定理求出结果即可； （3）根据时间 路程速度，求出时间即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接 ，过点 作，交 的延长线于点 ，则， ，， ，， 体育馆到淇淇家的直线距离约为． 【小问3详解】 解：淇淇全程所用的时长为： ． 21. 在年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．某快递公司为提高配送效率，使用智能配送机器人．已知机器人充满电后开始工作；其剩余电量与行驶时间 （分钟）的关系如图所示．机器人每次配送前都充满电；且当剩余电量时停止行驶，等待充电． （1）求剩余电量 与行驶时间 的函数关系式（无需写自变量的取值范围）． （2）若某次配送需要分钟，该机器人是否需要中途充电？请说明理由． （3）为提高效率，技术人员将机器人的电量消耗速度降低． ①写出优化后的剩余电量 与行驶时间 的函数关系式； ②计算优化后的单次最远行驶时间． 【答案】（1） （2）解：该机器人不需要中途充电，理由如下： 当时，， ∴该机器人不需要中途充电； （3）①；②分钟 【解析】 【分析】（ ）利用待定系数法解答即可； （ ）把代入（ ）所得函数解析式求出 的值即可判断； （ ）由图知，原先每行驶 分钟，电量消耗，即得优化后，每行驶 分钟，电量消耗为，进而即可求解；②把代入①所得函数解析式求出 的值即可求解； 本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设，将代入得， ， 解得， 与 的函数关系式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①由图知，原先每行驶 分钟，电量消耗， ∴优化后，每行驶 分钟，电量消耗为， ∴优化后的 与 的函数关系式为； ②令，则， 解得， ∴优化后的单次最远行驶时间为分钟． 22. 已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线 ，并把 折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【答案】问题解决：（1）证明：由操作过程可知，． 设，则， ， 由折叠的性质，得， ， ， 矩形是黄金矩形． （2）作图如图． 拓展延伸： 解：矩形也是黄金矩形． 证明：由问题解决（1）可得，， ， ， 矩形也是黄金矩形． 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合题，黄金矩形的定义，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，翻折变换，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由操作过程可知，．设，则，表示，结合，计算，可得矩形是黄金矩形． （2）在线段 的延长线上截取，过 作 的垂线交于 ，结合（1）的结论可得矩形是黄金矩形． （3）根据问题解决（1）可得，，求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 拓展延伸 ：略 23. 已知AB为的直径，，C为 上的动点，D为上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接，， ． （1）如图1，当C为 的三等分点，且时， ． （2）如图2，若点C在半径上（点C不与点O重合），将 绕点C逆时针旋转后得到，且点落在所在直线上，设，，求y与x之间的关系式，并写出y的取值范围． （3）如图3，若，延长 交于点E，在 上取一点F，使得． ①求的值； ②连接 ，记，直接写出d的最小值． 【答案】（1）2 （2）， （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用同高的两个三角形之间的面积关系可得答案； （2）如图1，过点 作于点 ，作于点 ，则，证明，可得，设点 到 的距离为，可得，即，进一步可得答案； （3）①根据题意可知，．如图2，连接 ，证明，结合，证明，进一步可得结论； ②如图2，取 的中点 ，连接，过点 作于点 ，由①可知，，求解，在中，，求解，，，结合，可得答案. 【小问1详解】 解：∵当C为 的三等分点，且时， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图1，过点 作于点 ，作于点 ，则． 由旋转，得． 是的直径， ， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， 设点 到 的距离为， 则， ，即． ， 的取值范围是． 【小问3详解】 解：①根据题意可知，． 如图2，连接 ， 是的直径， ， ， ∵， 在和 中，， ， ，； ②如图2，取 的中点 ，连接，过点 作于点 ， 由①可知，， ． 在中，， ，， 在中，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B． （1）求点A的坐标． （2）当时． ①求抛物线C的解析式； ②连接 ，M是抛物线C在第一象限部分上的动点，过点M作于点N．当 的长度最大时，求点M横坐标的值． （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中有一条长度为2的线段 ，且轴，点Q在点的右侧．若线段 沿着x轴方向向右平移，并设平移距离为． ①若抛物线C与线段 有公共点，求d的取值范围； ②若抛物线C与线段 没有公共点，直接写出d的取值范围． 【答案】（1）点 的坐标为 （2）① ；②点 横坐标的值为 （3）① 的取值范围是或；② 的取值范围是或或 【解析】 【分析】（1）对，令，得 或3，故点A的坐标为； （2）①对，令 ，得，，由，，得，得，即得 ；②过点M作轴于点E，交 于点D，求出，得，求出 解析式为 ，设，则，∴，得，得时， 有最大值，即得点M横坐标的值为； （3）①根据点，得， 中，当 时，得或，根据抛物线与线段 有公共点，得线段 沿着x轴方向向右平移距离的取值范围为或；②根据抛物线与线段 没有公共点，得或或． 【小问1详解】 解：对于， 令，则 或3， 故点A的坐标分别为； 【小问2详解】 解：①对于， 令 ， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ②过点M作轴于点E，交 于点D， 则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设 解析式为 ， 代入， 得 ， 解得 ， ∴ ， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴当时， 有最大值， 故点M横坐标的值为； 【小问3详解】 解：①∵长度为2的线段轴，点Q在点的右侧． ∴， 对 ， 当 时，， 解得或， ∴线段 沿着x轴方向向右平移时，过抛物线于点与， ∵平移距离为，抛物线与线段 有公共点， ∴， 即， 或， 即； 综上，或； ②∵抛物线与线段 没有公共点， ∴， 即； 或， 即； 或， 即． 综上或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形判定和性质，线段长和二次函数综合，求二次函数最值，平移等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平考试 数学 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 对于，若，则其结果为（ ） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 不能确定 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 据每日经济新闻报道，DeepSeek App从2025年1月11日上线以来至2025年2月9日，累计下载量已超1.1亿次，周活跃用户规模最高近9700万．下列说法错误的是（ ） A. 1.1亿用科学记数法表示为 B. 9700万用科学记数法表示为 C. 1.1亿与9700万的差用科学记数法表示为 D. 1.1亿与9700万的和用科学记数法表示为 4. 如图，两只手的食指和拇指在同一平面内，在以下四种摆放方式中，它们构成的一对角可以看成同旁内角的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于任意实数x，规定，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个几何体的主视图，则该几何体可以看作是由下列哪个图形绕直线l旋转一周得到的（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形 的对角线交于点O，则是 的（ ） A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 中位线 8. 已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线 的延长线交边于点K，则（ ） A. B. C. D. 10. 某农业无人机在麦田上方执行喷洒任务，它先从地面垂直匀速起飞至10m高度，然后保持这个高度水平飞行，过一会儿，又匀速降至4m高度并低速巡航，保持这个高度完成喷洒，则无人机飞行的高度h（m）与飞行时间t（s）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平行四边形 中，，，， 是对角线 上的动点，连接 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，边 与 轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转 ，则经过次旋转后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 14. 如图是一个圆形靶子，三个同心圆的半径分别为1，2，3．嘉淇向靶子随机投掷一次飞镖（若飞镖落在分隔线上，则重新投掷），则飞镖落在阴影部分的概率是______． 15. 如图，在等腰三角形 中，，，D是边上靠近点C的三等分点，且满足，点是点B关于直线的对称点，则线段的长为______． 16. 对于反比例函数，称，为该反比例函数图象的两个“焦点”，且若P为反比例函数图象上的任意一点，则恒有．如图，M，N为反比例函数的图象的两个焦点，A为该反比例函数在第三象限的图象上的一个动点，B为的平分线上的一点，且，，则k的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知数轴上点P表示的数为x，且． （1）当时，化简，并求x的值； （2）结合数轴（如图）分析，满足条件的点P共有几个？分别求出这些点表示的数． 18. 将连续的正整数按照图1的方式排成一个“数阵”（“数阵”第一个数字可以任选），随机用一个“工”字形框圈出相应数字． 【初探】如图2，在一个“数阵”中，用“工”字形框圈出任意7个数字，所圈数字分别用a，b，c，d，e，f，g表示．若，求的值； 【猜想与验证】嘉嘉同学猜想，在任意一个“数阵”中，随机用“工”字形框按照图2的记数方式，圈出7个数字a，b，c，d，e，f，g，则，其中k为常数．请你验证该猜想的正确性，并求出常数k的值． 19. 电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房，成为中国电影票房榜冠军．某数学兴趣小组为了解大家对电影的喜爱程度，随机从观影过的观众中抽取了200名观众对电影进行评分（评分为整数，满分10分），所抽取的观众评分均在6分及以上．将评分数据整理成不完整的条形统计图，如图． （1）补全条形统计图； （2）这组数据的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ； （3）该兴趣小组又从观影过的观众中随机抽取了一些观众，这些观众的评分刚好相同，与之前的200个数据合在一起，发现众数变为8分和9分，那么第二次抽取了多少名观众？数据合起来之后，中位数是变大了，还是变小了？ 20. 淇淇家位于学校正东方向处，周末她和同学约好去学校附近的体育馆打篮球，已知体育馆位于学校北偏西方向，距离学校． （1）请根据描述画出淇淇家、学校和体育馆的方位示意图； （2）求体育馆到淇淇家的直线距离； （3）若淇淇步行从家出发，先以的速度匀速走到学校，但到达学校后，发现忘带篮球，于是立即以的速度原路返回家中．取到篮球后，为了赶时间，她以的速度从家直接走到体育馆，求淇淇全程所用的时长．（计算结果保留整数．参考数据：，，） 21. 在年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．某快递公司为提高配送效率，使用智能配送机器人．已知机器人充满电后开始工作；其剩余电量与行驶时间 （分钟）的关系如图所示．机器人每次配送前都充满电；且当剩余电量时停止行驶，等待充电． （1）求剩余电量 与行驶时间 的函数关系式（无需写自变量的取值范围）． （2）若某次配送需要分钟，该机器人是否需要中途充电？请说明理由． （3）为提高效率，技术人员将机器人的电量消耗速度降低． ①写出优化后的剩余电量 与行驶时间 的函数关系式； ②计算优化后的单次最远行驶时间． 22. 已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线 ，并把 折到图3中 处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 23. 已知AB为的直径，，C为 上的动点，D为上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接，， ． （1）如图1，当C为 的三等分点，且时， ． （2）如图2，若点C在半径上（点C不与点O重合），将 绕点C逆时针旋转后得到，且点落在所在直线上，设，，求y与x之间的关系式，并写出y的取值范围． （3）如图3，若，延长 交于点E，在 上取一点F，使得． ①求的值； ②连接 ，记，直接写出d的最小值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B． （1）求点A的坐标． （2）当时． ①求抛物线C的解析式； ②连接 ，M是抛物线C在第一象限部分上的动点，过点M作于点N．当 的长度最大时，求点M横坐标的值． （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中有一条长度为2的线段 ，且轴，点Q在点的右侧．若线段 沿着x轴方向向右平移，并设平移距离为． ①若抛物线C与线段 有公共点，求d的取值范围； ②若抛物线C与线段 没有公共点，直接写出d的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $