精品解析：安徽宿州市灵璧中学2025-2026学年高一下学期5月检测数学试卷

灵璧中学高一年级数学试卷 20260512 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 正三棱锥就是正四面体 B. 七面体可以有10个顶点，5条侧棱 C. 圆锥的轴截面是圆锥所有过顶点的截面中面积最大的 D. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 2. 在复平面内，复数对应的点是，则（    ） A. 5 B. C. 2 D. 3. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则m，n是异面直线 D. 若m，n是异面直线，，，，，则 5. 如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A. B. C. D. 6. 已知的面积是，，，是的内角平分线，在边上，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A. 28π B. 27π C. 19π D. 29π 8. 已知点为所在平面内一点，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z，w均不为0，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是边长为的等边三角形，点在内（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则点P的轨迹长度为 D. 若，则 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 直线与直线为异面直线 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 13. 记的面积为，的外接圆半径为，且，则为____． 14. 如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：直线、、三线共点． 16. 如图所示，已知直角梯形中，，；设（其中），为线段的中点． （1）当时，若三点共线，求的值； （2）若的面积为，求的最小值． 17. 如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm． （1）求四棱台的表面积； （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比． 18. 如图，在正方体中，M为的中点． （1）求证：平面； （2）若N为的中点，求证：平面平面； （3）求三棱锥与正方体的外接球半径之比． 19. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角C； （2）求的取值范围； （3）若点为边上的中点，，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灵璧中学高一年级数学试卷 20260512 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 正三棱锥就是正四面体 B. 七面体可以有10个顶点，5条侧棱 C. 圆锥的轴截面是圆锥所有过顶点的截面中面积最大的 D. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间几何体的结构特征，即可判断ABD,根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式即可判断C. 【详解】对于A,如果正三棱锥侧棱与底面边长不相等，就不是正四面体，故A错误； 对于B, 七面体如五棱柱，有7个面，10个顶点，5条侧棱，B正确； 对于C, 过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长， 设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为， 显然当，面积最大，故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时， 圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故C错误； 对于D, 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，但此几何体不是棱柱，故D错误. 2. 在复平面内，复数对应的点是，则（    ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，可得，根据运算法则，结合求模公式，即可得答案. 【详解】由题意知，，则， 所以. 3. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据斜二测画法可知，平行于轴方向长度不变，平行于轴方向长度变成原来的一半， 轴与轴所成角为，把直观图转变为原图就是相反过程，如图所示， 在直角梯形中，由于，， 所以，为等腰直角三角形，故 由，，得 ，， 四边形的周长是. 4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则m，n是异面直线 D. 若m，n是异面直线，，，，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由，得平行、相交或者是异面直线，A错误； 对于B，由，得或，B错误； 对于C，由，得平行、相交或者是异面直线，C错误； 对于D，由，得存在过的平面，则，而， 是异面直线，则是相交直线，又，不在内，则， 又，是内的两条相交直线，因此，D正确. 5. 如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出圆锥侧面展开图，根据最短路程和母线长，利用余弦定理可求得侧面展开图扇形的圆心角，结合扇形弧长公式和勾股定理可求得圆锥底面半径和高，代入圆锥体积公式即可. 【详解】设圆锥的顶点为，以母线为轴可作出圆锥侧面展开图如下图所示， 小虫爬行的最短路程为，，又， ，， 设圆锥底面半径为，高为， 则，解得，， 圆锥体积. 6. 已知的面积是，，，是的内角平分线，在边上，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为的面积是，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，解得， 因为，所以， 又是的内角平分线， 所以， 所以，所以，所以. 7. 在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A. 28π B. 27π C. 19π D. 29π 【答案】D 【解析】 【详解】如图,根据题意补全为长方体，三个长度为三个对面的对角线的长，设长、宽、高分别为, 则，所以， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 8. 已知点为所在平面内一点，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，以为邻边作平行四边形，利用可得答案. 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z，w均不为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设，，x，y，a，，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算判断选项. 【详解】设，，x，y，a，，则 对A，令，则，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，取，，则， ，故，故C错误， 对D，，， 得到，故，故D正确. 故选：BD 10. 已知是边长为的等边三角形，点在内（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则点P的轨迹长度为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义可判断A选项；由平面向量的线性运算可得出，再利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；分析可知点的轨迹是以半径为，圆心角为的圆弧，结合扇形的弧长公式可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，若，则，所以， 故 ，故，B对； 对于C选项，，则点的轨迹是以半径为，圆心角为的圆弧， 故点的轨迹长度为，C对； 对于D选项，如下图所示： 因为，， 所以 ，解得， 因为，故，所以， 所以 ，D对. 故选：BCD. 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 直线与直线为异面直线 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 【答案】## 【解析】 【详解】由，得， 即，解得， 所以. ， ，. 所以在方向上的投影向量为 . 13. 记的面积为，的外接圆半径为，且，则为____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由正弦定理把已知等式中的角用边表示，再结合余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】， 由正弦定理， ，代入上式得： ，所以， 又，，所以，所以. 14. 如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造面面平行的方法，判断出点的轨迹，从而求得的取值范围. 【详解】设分别是的中点，连接. 根据正方体的性质可知， 由于平面，平面， 所以平面， 又因，可得，则得， 由于平面，平面，所以平面， 由于平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面， 而平面，平面，平面平面， 故点的轨迹即线段. ， 三角形是等腰三角形，底边上的高为， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：直线、、三线共点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等体积法结合棱锥的体积公式计算可得；（2）先证明直线相交，设交于，同理可得直线相交于点，再由可得三线共点. 【小问1详解】 【小问2详解】 由于且，故直线相交，设交于， 则， 同理可得直线相交于点，则， 故与重合，故直线三线相交于点O， 故直线三线交于一点． 16. 如图所示，已知直角梯形中，，；设（其中），为线段的中点． （1）当时，若三点共线，求的值； （2）若的面积为，求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）用作基底表示向量，根据三点共线，可求． （2）利用三角形面积可求得，根据，结合向量的运算可求的最小值． 【小问1详解】 依题意， =， 因为三点共线，故，解得． 【小问2详解】 因为，故， =，所以； ， 所以 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 17. 如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm． （1）求四棱台的表面积； （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比． 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）分别取的中点，连接，过作于，然后根据已知条件求出斜高，再根据表面积公式可求得结果； （2）由题意可知最大的圆台是上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为棱台的高，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可求出削去部分的体积，从而可求出削去部分与圆台的体积之比． 【小问1详解】 在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连接，则 分别取的中点，连接，过作于， 因为在正四棱台中，，， 所以， 在中，， 所以正四棱台的表面积为 （）； 【小问2详解】 若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高， 则圆台的上底面半径为，下底面半径为，高， 所以圆台的体积为（）， 因为正四棱台的体积为（）， 所以削去部分的体积为（）， 所以削去部分与圆台的体积之比. 18. 如图，在正方体中，M为的中点． （1）求证：平面； （2）若N为的中点，求证：平面平面； （3）求三棱锥与正方体的外接球半径之比． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，证明，利用线面平行的判定定理即可求证； （2）连接，证明，得平面，结合（1）由面面平行的判定定理即可求证； （3）将棱锥放入长方体中即可求外接球半径，在正方体中利用体对角线求出外接球半径即可求解. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 在正方体中，底面为正方形，所以为的中点， 又为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 连接，由（1）有平面， 由为中点，为中点， 所以，且， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面； 【小问3详解】 设正方体外接球半径为，所以外接球的直径为， 由，解得， 设三棱锥的外接球半径为， 分别取的中点，连接， 由， 所以三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 其外接球的直径等于长方体的对角线的长， 由， 所以，解得， 所以， 所以三棱锥与正方体的外接球半径之比. 19. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角C； （2）求的取值范围； （3）若点为边上的中点，，求线段的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，结合正弦定理角化边求解得即可得答案； （2）由正弦定理边化角，结合内角和定理，三角恒等变换得，再结合的范围求解即可； （3）根据得，再结合余弦定理与基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 解：因为， 所以，由正弦定理可得，整理得， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以． 【小问2详解】 解：由正弦定理，可得， 因为为锐角三角形，且， 所以，解得， 所以，，， 所以， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 解：因为点为边上的中点，所以， 所以， 因为，， 所以，由余弦定理得， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以， 所以，即线段的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $