四川成都市2025-2026学年八年级数学下学期阶段测试（北师大版下册第五章）

**基本信息** 初中数学分式与分式方程单元卷，通过基础题与创新题结合，融入机器人、无人机等科技情境，考查分式概念、方程及应用，适配单元复习，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式概念、最简分式、分式值为0等|基础巩固，梯度合理| |填空题|5/15|分式运算、最简公分母，含原创题|结合代数变形，考查抽象能力| |解答题|6/55|分式方程、实际应用（无人机配送）、创新定义（和整分式）|突出模型意识，融入科技情境，培养推理与应用能力|

第五章　分式与分式方程 单元测试卷 【答案及解析】 1．C　解析：，，是分式。故选C。 2．C　解析：对于A，＝，不符合题意；对于B，＝＝，不符合题意；对于C，是最简分式，符合题意；对于D，＝＝，不符合题意。故选C。 3．C　解析：由题意可得，x2－9＝0且x－3≠0，解得x＝－3。故选C。 4．D　解析：对于A，＝－，故A错误；对于B，＝，故B错误；对于C，＝，故C错误；对于D，＝，故D正确。故选D。 5．D　解析：根据题意得x＋1≠0且x－2≠0且x－3≠0，即x≠－1且x≠2且x≠3。故选D。 6．D　解析：∵－＝，∴－＝＝，∴＝－2。故选D。 7．A　解析：原方程两边都乘x(x＋1)，得x＋1＝2x。故选A。 8．D　解析：＝－1，＝，·(2－x)＝·(2－x)，3－ax＝－a＋x－2，ax＋x＝a＋5，x(a＋1)＝a＋5。当a＋1＝0，即a＝－1时，原方程无解；当a≠－1时，x＝，则有＝2，解得a＝3。故选D。 9．A　解析：小红的骑行速度为x km/h，则小亮的骑行速度是1.2x km/h，根据两人各自骑行了6 km，小亮的骑行时间＋4 min＝小红的骑行时间可列方程为＋＝。故选A。 10．A　解析：由题意得－＝1，去分母得3－3x＋1＝9x－3，解得x＝，检验：当x＝时，3(3x－1)≠0，∴分式方程的解为x＝。故选A。 11．1　解析：原式＝＝＝1。 12．6(a－b)(a＋b)2　解析：∵的分母为3(a＋b)2，的分母为2a2－2b2＝2(a－b)(a＋b)，∴两个分式的最简公分母为6(a－b)(a＋b)2。 13.　解析：＋－＝＋－＝，∵2a＝3b，∴a＝b，把a＝b代入，得＝。 14. 解析 ，∵，∴（，即,∴ = 15.或10　解析：由题意得，当x<5时，＝2，解得x＝，经检验，x＝是该分式方程的解；当x>5时，＝2，解得x＝10，经检验，x＝10是该分式方程的解。综上，x的值为或10。 16．解：方程两边都乘(x－1)(x＋2)，得 3(x+2)＝5(x-1)， 3x+6＝5x-5， 3x－5x＝-5-6， －2x＝-11， x＝－5.6。 检验：当x＝－5.5时，(x－1)(x＋2)≠0， ∴x＝－5.5是原方程的解。 17．解：原式＝·＝。 ∵x， ∴x=0时， 原式＝ ＝ 18．解：(1)设G1机器人每小时完成套动作序列，则H2机器人每小时完成套动作序列。 根据题意，H2机器人完成套的时间与G1机器人完成套的时间相同，可列方程： 方程两边同乘，得： 解得： 经检验，是原分式方程的解，且符合题意。 答：G1机器人每小时完成套动作序列。 (2)设采购H2机器人台，则采购G1机器人台。 根据题意得： 解第一个不等式得：，即。 解第二个不等式得：，即，。 ∵为正整数，且需满足 ∴的取值范围为。 ∴共有种采购方案。 设总费用为万元。 因为，所以随的增大而增大。 当时，总费用最低。 （万元）。 此时采购方案为：G1机器人台，H2机器人台。 答：购买台G1机器人和台H2机器人时总费用最低，最低费用为万元。 19．解：(1)由题意可得，小正方形的边长为×40＝10(m)，圆的半径为××40＝10(m)， 故阴影部分的面积为 40×40－4×102－3×102＝900(m2)。 答：阴影部分的面积为900 m2。 (2)设原计划每天铺设x m2， 根据题意，得＝3＋1＋， 解得x＝100， 经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意。 答：原计划每天铺设100 m2。 20．解：(1)A与B互为“和整分式”。 ∵A＝，B＝， ∴A＋B＝＋＝＝2， ∴A与B互为“和整分式”，“和整值”k＝2。 (2)①∵C＝，D＝， ∴C＋D＝＋＝。 ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3， ∴3x2＋2x－8＋G＝3(x2－4)＝3x2－12， ∴G＝3x2－12－3x2－2x＋8＝－2x－4。 ②∵D＝＝＝－，且分式D的值为正整数t，x为正整数， ∴x－2＝－1或x－2＝－2， ∴x＝1(x＝0舍去)。 (3)由(2)②可知t＝2， ∴P＋Q＝＋＝2， ∴＝2， ∴(3－m)x－2＝2x－6。 整理，得(1－m)x＝－4。 ∵该方程无解， ∴1－m＝0或方程有增根x＝3。 当1－m＝0时，解得m＝1； 当1－m≠0，方程有增根x＝3时， 3(1－m)＝－4，解得m＝。 综上，m的值为1或。 21．答案： (1)传统无人机每小时配送货物40件。 (2)①(，且为整数)； ②安排新型无人机5架，传统无人机5架时，总配送成本最低，最低成本是10000元。 解析：(1)设传统无人机每小时配送货物件，则新型无人机每小时配送货物件。 根据题意，得： 解得：。 经检验，是原方程的解，且符合题意。 答：传统无人机每小时配送货物40件。 (2) ①由(1)知，传统无人机每小时配送40件，新型无人机每小时配送50件。 设安排新型无人机架，则传统无人机为架。 根据题意，得 解得：。 解得：。 ∵为整数， ∴。 总配送成本。 ∴函数关系式为(，且为整数)。 ②在中，因为，所以随的增大而增大。 当时，取得最小值，此时。 此时传统无人机数量为（架）。 答：安排新型无人机5架，传统无人机5架时，总配送成本最低，最低成本是10000元。 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 成都八年级数学下学期阶段测试（北师大版八年级下册第五章）（细目表） 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 1 分式的定义 (识别代数式是否为分式) 选择题 3 0.8 2 最简分式的概念与约分判别 选择题 3 0.75 3 分式值为零的条件 (分子为零且分母不为零) 选择题 3 0.7 4 分式的基本性质与符号法则 (恒等变形) 选择题 3 0.65 5 分式除法有意义条件 (分母不为0，除数不为0) 选择题 3 0.7 6 分式恒等变形与整体代入求值 (已知1/a-1/b) 选择题 3 0.62 7 分式方程去分母化为整式方程 选择题 3 0.78 8 含参分式方程无解问题 (增根+化简无解) 选择题 3 0.5 9 分式方程的实际应用——行程问题 (列方程) 选择题 3 0.65 10 新定义运算与分式方程求解 (a★b) 选择题 3 0.6 11 同分母分式的加减运算 填空题 3 0.72 12 最简公分母的确定 (因式分解后找公分母) 填空题 3 0.68 13 分式化简求值 (条件2a=3b，整体代入) 填空题 3 0.6 14 倒数关系与分式变形求值 (已知x-1/x=4) 填空题 3 0.55 15 程序流程图与分式方程建模 (理解运算规则解方程) 填空题 3 0.58 16 解可化为一元一次方程的分式方程 (检验) 解答题 6 0.7 17 分式混合运算化简求值 (选择使分式有意义的数值代入) 解答题 6 0.65 18(1) 分式方程应用——工作效率问题 (H2与G1机器人) 解答题 4 0.68 18(2) 一元一次不等式组的方案设计 、 一次函数最值 (采购方案优化) 解答题 4 0.58 19(1) 几何图形阴影面积计算 (正方形,圆,小正方形, π取3) 解答题 5 0.7 19(2) 分式方程解决工程问题 (工作效率提高60%，提前3天) 解答题 6 0.58 20(1) “和整分式”新定义理解与分式加法验证 解答题 3 0.68 20(2)① 根据和整分式确定未知分式G (通分恒等变形) 解答题 3 0.52 20(2)② 分式值为正整数求整数x (整除分析) 解答题 3 0.5 20(3) 分式方程无解的综合问题 (含参讨论，增根与化整式无解) 解答题 3 0.42 21(1) 分式方程实际应用——配送效率问题 (新型无人机) 解答题 5 0.64 21(2) 一次函数与不等式综合 (总成本最低优化, 自变量取值范围) 解答题 7 0.55 Sheet2 Sheet3 $ 第五章　分式与分式方程 单元测试卷 (满分：100分　时间：100分钟) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.（3分）代数式－x，，x＋y，，，，中，是分式的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（3分）下列分式中，是最简分式的是(　　) A． B． C． D． 3.（3分）若分式的值为0，则x的值为(　　) A．0 B．3 C．－3 D．3或－3 4.（3分）下列分式中变形正确的是(　　) A．＝－ B．＝ C．＝ D．＝ 5.（3分）若分式÷有意义，则x的取值范围是(　　) A．x≠－1且x≠2 B．x≠－1且x≠3 C．x≠2且x≠3 D．x≠－1且x≠2且x≠3 6.（3分）已知－＝，则的值是(　　) A． B．－ C. 2 D．－2 7.（3分）将分式方程＝去分母后得到的整式方程为(　　) A．x＋1＝2x B．x＋2＝1 C．1＝2x D．x＝2(x＋1) 8.（3分）若关于x的分式方程＝－1无解，则a的值为(　　) A．2 B．3 C．0或2 D．－1或3 9.（3分）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6 km，小亮比小红少用了4 min。设小红的骑行速度为x km/h，则可列方程为(　　) A．＋＝ B．＋4＝ C．－＝ D．－4＝ 10.（3分）对于非零的两个实数a，b，规定a★b＝－，若3★(3x－1)＝1，则x的值为(　　) A． B． C．－ D．－ 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11.（3分）计算：－＝________。 12.（3分）分式，的最简公分母为____________。 13.（3分）已知2a＝3b，则＋－＝________。 （原创）14.（3分）若，则计算：的值为________。 15.（3分）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的a，b后，按照程序图运行，会输出一个结果。若a＝5，b＝x时，输出的结果为2，则x的值为________。 三、解答题(本题共6小题，共55分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16.(6分)解分式方程：＝。 （原创）17.(6分)先化简，再求值：，在选择一个合适的值作为x的值代入求值。 （原创）18.(8分)2026年央视春晚以“骐骥驰骋，势不可挡”为主题，机器人成为舞台焦点。宇树科技的H2和G1机器人化身“功夫高手”，与武校学员同台演绎《武BOT》。在表演筹备阶段，工程师需要对机器人的动作执行效率进行精确计算，以确保集群表演的整齐划一。某科技馆计划引进宇树科技的G1和H2机器人用于科普展示和武术表演。 （1）在《武BOT》节目的动作编排中，需要机器人完成一项特定的“武术套路动作序列”。已知H2机器人每小时比G1机器人多完成套动作序列，且H2机器人完成套动作序列所需的时间与G1机器人完成套动作序列所需的时间相同。求G1机器人每小时完成多少套动作序列？ （2）科技馆准备投入万元预算采购这两种机器人。已知春晚同款G1进阶版售价为万元/台，H2进阶版售价为万元/台。若科技馆计划采购G1和H2机器人共台，且要求G1机器人的数量不少于H2机器人数量的倍，请问共有几种采购方案？哪种方案的总费用最低？最低费用是多少万元？ 19.(11分)为了美化环境，某学校在教学楼前铺设广场地面，其图案如图所示，正方形广场地面的边长是40 m，中心建一个直径为正方形广场边长一半的圆形花坛，四个角各留一个小正方形花坛，其边长均为正方形广场边长的四分之一，在其中种植高大的树木。图中阴影部分铺设广场砖。 (1)计算阴影部分的面积(π取3)。 (2)某施工队承包铺设广场砖的任务，计划在一定时间内完成任务，按原计划工作一天后，改进了铺设技术，工作效率提高了60%，结果提前3天完成任务，原计划每天铺设多少平方米？ 20.(12分)如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，那么称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”。如分式M＝，N＝，M＋N＝＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1。 (1)已知分式A＝，B＝，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整值”k；若不是，请说明理由。 (2)已知分式C＝，D＝，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，若x为正整数，分式D的值为正整数t。 ①求G所代表的代数式； ②求x的值。 (3)在(2)的条件下，已知分式P＝，Q＝，若关于x的方程P＋Q＝t无解，求实数m的值。 （原创）21.(12分)2026年5月，某物流企业为提升配送效率，引入了一批新型配送无人机。已知新型无人机每小时的配送件数比传统无人机提高了25%。 (1)若新型无人机配送400件货物所用的时间，比传统无人机配送360件货物所用的时间少1小时，求传统无人机每小时配送货物的件数。 (2)该企业计划投入新型无人机和传统无人机共10架，负责某区域一批共1800件货物的配送任务。已知新型无人机每架工作4小时的配送成本为1200元，传统无人机每架工作4小时的配送成本为800元。 ①若要求在4小时内完成全部配送任务，且新型无人机的数量不超过传统无人机数量的2倍，设安排新型无人机架，求总配送成本（元）与之间的函数关系式，并确定的取值范围； ②在上述条件下，如何安排两种无人机的数量，才能使总配送成本最低？最低成本是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $