第4章因式分解精选练习-2025-2026学年数学八年级下册北师大版

**基本信息** 北师大版八年级下册第4章因式分解单元卷，通过基础巩固、情境应用及跨学科问题设计，全面覆盖因式分解定义、方法与应用，适配单元复习，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|因式分解定义（第1题）、公因式确定（第4题）、几何面积应用（第7题）|密码解码情境（第10题）、卡片拼图创新题（第9题）| |填空题|6|因式分解（第13题）、系数求解（第11题）、几何与代数结合（第16题）|利用因式定理求参数（第15题）| |解答题|6|综合分解（第18题）、阅读材料应用（第21题）、跨学科探究（第22题）|含甲/乙看错参数的推理题（第17题）、整除证明（第20题）|

第4章因式分解精选练习-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 3．下列各数中，不能整除的是（　　） A． B． C． D． 4．多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 5．多项式因式分解的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 7．如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 8．设为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，只有一个同学计算正确，那么正确的结果应该是（   ） A．2514 B．2184 C．5241 D．6418 9．如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 10．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 江 爱 阴 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．我爱江阴 B．美丽江阴 C．我爱美丽 D．我爱丽江 二、填空题 11．已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 12．多项式有一个因式是，则多项式的另一个因式是______． 13．因式分解：______． 14．已知，，则的值为______． 15．若多项式分解因式的结果中有因式和，则_____． 16．如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b．若阴影部分的面积为48，，则的值为______． 三、解答题 17．在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 18．因式分解 (1)； (2)． 19．先分解因式，然后计算求值：，其中，． 20．求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂．因此，可以对底数或者指数变形、转化后，从而解决问题． (1)已知，，，求的值； (2)若，，判断a，b的大小关系，并说明理由； (3)判断能否被9整除，并说明理由． 21．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 22．阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第4章因式分解精选练习-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D B A C B C A 1．C 【详解】解：对选项A，右边不是整式，不符合要求，∴A错误； 对选项B，左边是单项式，不是多项式，不符合要求，∴B错误； 对选项C，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，∴C正确； 对选项D，变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，不是因式分解，∴D错误． 2．C 【分析】对于二次项系数为1的二次三项式，因式分解满足，根据对应系数相等即可求出的值． 【详解】解：∵多项式分解因式的结果是， ∴根据因式分解的规律可得， ，， 计算得 ，． 3．D 【分析】本题利用提取公因式法对原式分解因式，根据分解结果得到原式的因数，即可选出不能整除原式的选项． 【详解】解：， 因此不能被整除， 故选：D． 4．D 【分析】先求系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者相乘得到公因式即可解题． 【详解】解：多项式各项的公因式是． 5．B 【分析】将互为相反数的项变形为相同形式，再提取公因式得到结果． 【详解】 ． 6．A 【分析】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 7．C 【分析】根据用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解： ， ∵阴影部分的面积为10， ∴． ∴的值不变． 8．B 【分析】本题考查因式分解的应用，对代数式因式分解后可得其为三个连续自然数的乘积，根据三个连续自然数的性质，乘积必能被6整除，先排除不符合的选项，再验证得到正确结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 表示三个连续自然数的乘积， ∵ 三个连续自然数中，必有一个偶数，且必有一个是3的倍数， ∴ 一定能被6整除； 选项C，5241是奇数，不能被2整除，排除； 选项D，，19不能被3整除，因此6418不能被3整除，排除； 选项A，，，2514介于两个乘积之间，不存在自然数使结果为2514，排除； 由此，选项B正确． 9．C 【分析】设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，根据题意可得为完全平方式，据此即可解答． 【详解】解：设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 则组成的图形面积为， 无缝隙、无重叠地拼成一个正方形， 为完全平方式， 可取，，， 即，符合要求， m的值可以是． 10．A 【分析】先对密文用提取公因式法和平方差公式因式分解，再对应密码表得到明文即可． 【详解】解：∵ ， ∵8对应明文“我”，对应明文“阴”，对应明文“爱”，对应明文“江”， ∴组合后明文可为“我爱江阴”． 11．6 【分析】先设另一个因式为，根据多项式乘法展开后与二次三项式对应系数相等，从而求解出n的值． 【详解】解：设二次三项式 的另一个因式为， ， 所以有，，， 解得，． 12． 【分析】根据分解因式的定义，设出未知因式，利用多项式相等时对应项系数相等求解. 【详解】解：设多项式的另一个因式为，则 将等式右边展开，得， 由多项式相等，对应项系数相等，可得 解得， 因此多项式的另一个因式为， 故答案为 13． 【分析】将原式提取公因式即可解答． 【详解】解：． 14．30 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可求解． 【详解】解：． 15． 【分析】本题考查了因式分解与多项式根的关系（因式定理），解题的关键是利用因式定理，若多项式含有因式，当时，则，建立关于参数的方程组求解． 根据因式定理，由多项式含因式和，得和是方程的根，代入方程得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，再代入计算结果． 【详解】解：设多项式分解因式的结果中有因式和， 当和时，， 即 化简得 即 由得，代入，得， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 16．8 【分析】根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，由此可求解． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为， ， ， ， ， ， ， ． 17．1 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 18．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．， 【详解】解： 当，时，原式 20．(1) (2) (3)见详解 【分析】（1）逆用同底数幂的乘除法运算法则即可解答； （2）将化为底数为3的数字，再比较即可； （3）将原式各项化为含底数7的幂的表达式，提取公因式后，判断所得结果是否含有因数9，即可证明． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴． （3）证明： ， 即能被9整除． 21．(1) (2)7 (3)1 【分析】本题考查配方法，涉及公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据公式可直接得出答案； （2）根据题目要求配方得，利用平方的非负性即可求解； （3）根据题目要求配方可得，利用平方的非负性即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得，， 则，， 故． （3）解：， ， ， 即的最小值为1． 22．（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $