第4章三角形精选练习-2025-2026学年数学七年级下册北师大版

**基本信息** 本单元卷针对七年级下册三角形单元复习，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，覆盖三角形性质、全等判定等核心知识，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|三角形三边关系（第1题）、等腰三角形性质（第2题）、全等判定（第6题）|生活情境（跷跷板问题）、几何直观（重心位置）| |填空题|6题|三角形高（第12题）、动点全等（第16题）|分类讨论（等腰三角形高夹角）、跨学科（小孔成像）| |解答题|6题|全等证明（第18题）、实践测量（第20题）、动态探究（第22题）|实践应用（斜坡高度测量）、创新思维（拓展延伸题）|

第4章三角形精选练习-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．已知m，n是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为（    ） A．13 B．13或20 C．20 D．13或19 3．如图，点D、B在上，，，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 5．下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 6．某公园准备在活动区安装一个跷跷板，如图，A和D为跷跷板两个座位到达最高点的位置，B和C为落地点，M为跷跷板的支撑点，为确保，工作人员只需要测量A、B两点到M的距离，距离相等便可说明．其中的依据是全等三角形的判定条件（   ） A．SSS B．AAS C．SAS D．ASA 7．如图，在中，，，点P从点B出发以的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是（    ） A． B． C． D． 8．综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（    ） A． B． C． D． 9．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在三角形中，边上的高，若点M在边上移动，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．5 二、填空题 11．在三角形中，，，第三边的取值范围是______． 12．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 13．如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 14．图1是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段，其像可视为线段，光线与光线交于小孔点．已知点到像的距离与点到蜡烛火焰的距离相等，且点，，三点共线．像的高度为，则蜡烛火焰的高度为_________． 15．如图，在中，点在上，点、在上．若，，，，，，则四边形与的面积比为________． 16．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时点从点出发以的速度沿射线匀速运动，点到点时，，两点同时停止运动．若存在某一时刻，与全等，则的值为_______． 三、解答题 17．如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交于点； (2)过点画的高； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 18．如图，线段交于点F，，点C在线段上，且，，连接．求证：． 19．如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 20．如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 21．如图，在Rt中，．，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时的值； (2)如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； (3)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时的值． 22．如图，与是具有公共顶点的两个三角形，且，，且点在的外角的平分线上，连接． (1)【问题发现】如图1，在和中，． 填空：①线段与的数量关系是________；②的度数是________． (2)【类比探究】 如图2，在和中，，请问（1）中的结论还成立吗？并说明理由． (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，若，连接AE，请直接写出当是直角三角形时的长． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第4章三角形精选练习-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B B C D A D B 1．B 【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可得出答案． 【详解】解：①选30厘米、50厘米、60厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、60厘米能钉成一个三角木架，符合题意； ②选30厘米、50厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ③选30厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、60厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ④选50厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选50厘米、60厘米、90厘米能钉成一个三角木架，符合题意； 综上所述，木工的选法有2种． 2．C 【分析】利用绝对值和平方的非负性先求出m，n的值，再结合等腰三角形性质和三角形三边关系，分情况讨论计算周长，排除不成立的情况得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， 分两种情况讨论等腰三角形的边长： 情况1：若腰长为2，底边长为9，则三边长为2， 2， 9， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立； 情况2：若腰长为9，底边长为2，则三边长为9， 9， 2， ∵，满足三角形三边关系． ∴周长为． 3．C 【分析】由得到，则，再由线段和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 5．B 【分析】根据不同类型三角形的特征逐一判断选项即可． 【详解】解：∵钝角三角形只有1条高在三角形内部，2条高在三角形外部， ∴ A选项错误； ∵钝角三角形有2条高不在三角形内部，直角三角形有2条高在三角形边上（不在内部），锐角三角形3条高都在三角形内部，不存在3条高都不在三角形内部的情况， ∴三角形三条高至多有两条不在三角形内部，B选项正确； ∵直角三角形三条高的交点在直角顶点，即交点在三角形边上，既不在三角形内部，也不在三角形外部， ∴C选项错误； ∵任意三角形内角平分线的交点都在三角形内部， ∴ D选项错误． 6．C 【分析】根据“边角边”证明，可得． 【详解】解：根据题意，得，则， ∵， ∴， ∴． 7．D 【分析】设运动的时间为秒，则有，，从而可求，由，列方程，即可求解． 【详解】解：设运动的时间为秒，则有 ，， ， 是以为底的等腰三角形， ， ， 解得：． 8．A 【分析】作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出即可． 【详解】解：由作图可得， ， ∴， ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是， 9．D 【分析】确定三边中线的交点即可得出答案． 【详解】解：由图可知边、边上的中线交于点G， 即正好与的重心位置重合的白棋是G． 10．B 【分析】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短．此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度即可． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当垂直于时，的长度最短， ∵， ∴， 解得． 11． 【分析】根据三角形的三边关系可知，，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ，即， 第三边的取值范围是． 12．或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 13．6 【分析】根据全等三角形的对应边相等，得出，，然后根据已知线段的长度求出结果即可． 【详解】解：∵， ，， ∵， ， ∵， ，即． 14． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 15． 【分析】先证明得出，根据等高模型可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ 设，则 ∴四边形与的面积比为 16．或 【分析】设运动的时间为，则，，则，分两种情况：当时，，，当时，，，列方程求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，则，，则， ①当时，，， ，， 解得，， ②当时，，， ，， 解得：，， 答案：或． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直的定义，过点作； （2）根据三角形的高的定义，过点作，线段即为所求； （3）根据点到直线的距离的定义可知：线段的长度是点到直线的距离． 【详解】（1）解：下图直线即为所求， （2）解：下图线段即为所求， （3）解：线段的长度是点到直线的距离． 18．见解析 【分析】先结合平行线的性质得，再根据，，证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴ 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ； （2）解：， ，， ， ． 20．斜坡上一点的竖直高度为2米 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用竖直线段的平行关系找到相等的角，结合已知直角和边相等的条件证明三角形全等． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴(米)． 答：斜坡上一点的竖直高度为2米． 21．(1)，，秒时， (2) (3)2或 【分析】（1）当在线段上运动，在线段上运动时，，，则，由，可得方程，解方程即可． （2）当在线段上时，，则，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当时，在线段上运动，在线段上运动．②当时，在线段上运动，在线段上运动．③当时，在线段上运动，在线段上运动时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动． ∴，， ∵ ∴， ， ， ． 即秒时，； （2）解：当在线段上时，， 则， 三角形的面积等于三角形面积的， ， ， 解得：． 即秒时，三角形的面积等于三角形面积的； （3）解：由题意可知，在线段上运动的时间为6秒，在线段上运动时间为4秒， ①当时，在线段上运动，在线段上运动，，， 则，， ， ， 解得； ②当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， 解得； ③当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， 解得，不合题意舍去 综上所述，为2或时，． 22．(1)①；② (2)不成立，理由见详解 (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，特殊角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，特殊角的锐角三角函数等知识点． （1）①根据等边三角形的判定和性质证明，继而得到． ②根据等边三角形的性质和角平分线的定义得到，继而得到，根据，得到． （2）通过证明，得到对应边成比例，进而证明，得到对应边成比例、对应角相等，进而得到，． （3）证明不可能是直角，根据和，分两种情况讨论，根据（2）中的结论，得到的长为或． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； ②∵平分，， ∴， ∴， 由①可知，， ∴； （2）解：（1）中的结论不完全成立，理由如下， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（1）中的结论不成立，正确的结论是； （3）解：由（2）知为直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵是直角三角形，且， ∴不可能是直角，分两种情况讨论， 如图，当时， 在中，， 由（2）知， ∴； 如图，当时， 在中，， ∴， ∴当是直角三角形时，的长为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $