黑龙江佳木斯市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 佳一中高二下学期期中数学试卷，以函数、导数、数列为核心，通过狄利克雷函数、运动参赛等情境，分层考查数学抽象、逻辑推理与模型应用，解答题融合切线截距求和等创新设计，适配期中综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、函数求值、不等式|基础概念辨析，如第4题运动参赛人数计算| |多项选择|3/18|函数性质、逻辑|创新情境，如第10题狄利克雷函数考查数学抽象| |填空|3/15|函数解析式、周期性、最值|简洁应用，如第14题正实数最值求解| |解答题|5/77|数列证明与求和、导数应用、函数性质证明|综合探究，如19题证明函数性质考查逻辑推理；17题切线截距与数列求和体现数学应用|

期中数学试题答案 1-8 DDCBB ABC 9-11 BD ABC AD 12f=+1 e 2,x2013.405214.4 15.(1)a,-3n-1,bn=23m- (2)Tn=3n2-n+ 23m+2-4 7 16.(1)因为ar2-(a+2)x+2≤0，(x-1(ax-2)s0. ①当a=0时，不等式为-2(x-1)≤0，解集为{xx≥1}： ②当0<a<2时， 1，不等式化--0，架果为ex引 ®当a=2时，2-1，不等式可化为2(x-≤0，解集为{dx=1: ④当a>2时， 子<1，不等式可化为(--引0，筛案为女日≤到小， 综上，当a=0时，解集为xx≥：当a<0时，解集为树x≥1或x≤名： 当0<a<2时， 解集为1sx≤：当a=2时，解集为x= (2)知不等式-3x+3≥2+大对任意x>1恒成立，只需，3x+3）≥26+. x-1 x-1 min 图为x+3（-x-,且 x-1 x-1 所以56-+六3- x-1 x即x=2时，等号成立， 当且仅当x-1= 22+k≤1，k+2k-)≤0，故实数k的取值范围为2 (3)设g(a=-(a+2)x+2,则若对任意ae-l,ga)>2恒成立，即80>2 8(-1)>2则x∈(-10) 17.(1)f(x)极大值=f(-)=e (2)由(1)x>3,函数()单调递增，故g()单调递增，则3a+5>+1>3,解得2<a<4 1/4 (3)由题意得f(m)=e2,f(m)=6n(n+l)e2r 则切线方程为y-e2r=6n(n+)e2*(-n）, 1 ie). x=n- 令y=0,得 动 18. (1）Fa)=a+a-3单调递增aeB7]Fam=F3)=2, 由题意不妨设x>x3>2,则e>e得 ff2,→fk)-2e>f）2,设6w=f6-2c,则G()>G) e-e. 故函数G0单调递增，则G()≥0，故m≥1 (2) 当x>0时，e-1>0,不等式变为即m<c+1① e*-I 令g(x)=e+1,则 '()=e(e-x-2) (e-, e*-1 函数()=e-x-2在(0，+o）,N)=e-1>0上单调递增，而h0<0,h(2)>0,h(在(0，+切)上存 在唯一的零点， 故8'()在(0，+0)上存在唯一的零点.设此零点为，则，∈山，2)· 当x∈(0，)时，g'<0:当x∈(6+w)时，g'(四>0。 ∴8()在0，+w)上的最小值为g().由g()=0,可得e=x+2,g)=x+1e(2,3 由于①式等价于m<g(xo),m≤2故整数m的最大值为2. 【详解】【详解】(1)函数f()的定义域为0+∞)，了()=-2+{-2， 19. Γx2xx2 当x∈(0,2)时，∫'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(2，o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以∫(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 因为f(x)=f(x),不妨设0<x<2<x2, 2/4 令t=5 ,则1>1，x2=优， x 由f6)=f5,得2+nr-2+l,即2-2=1s-15,即25-）-n5 x1 x2 XX2 即2-=，解得5-2少，飞= 2t(t-1) 所以x+x2= 212-2 1 tInt 故要证5+5>4，即证x+5-4>0,即证2-2-4>0，即证2r-24h>0, tlnt tlnt 因为t=点>1，所以nl>0,所以即证2x2-2-4t>0, 令H()=22-2-4ntt>10,H'()=4t-4lnt-4t>1), 因为r)=4-4-4-少>0，所以H日在L,+四）)上是增函数， tt 所以H'(t)>'()=0,所以H(t)在(1，+o)上是增函数， 所以H0>H0=0,所以2r-24r>0, tlnt 所以x+x2>4. (2)(1)当k=2时，F()=n(c+)-2x+sim,x>-1,则F'(x)=L-2+cosx x+1 令中2+ea,则到=Dmr x+1 1 当xe(1,0时，+<-l,-si血x≤1，故()<0，h单调递减 h(0)=1-2+1=0,故x∈(-1,0)时，h(x)>0,即F'(x)>0. 当re0aj时：4<osxs1,改412+as0,Fs0 综上，单调递增区间：（-1,0)，单调递减区间：(0，+∞) (l)由)知，当x>0时，F(x)=ln(x+1)-2x+sinr<F(O)=0,即sinx+ln(x+1)<2x 因此 -5=a+62t…动》 1 当t∈(1,2]时，1--<nt. 取t= (n≥2，此时te.2.则1n-1<n”<n n-1 n n-1n"n-1 3/4 所以1 (n+1.2n） In2 n+1 2n n 2n-1 所以s-S.<2n2 4/4 佳一中2025-2026学年度第二学期高二学年期中考试 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 第I卷（选择题 共 5 8 分 ） 一、单项选择题(共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有 一 项符合题目要求，选对得5分，选错或者漏选得0分。) 1．已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 2．已知函数f(x)＝则=（    ） A． B．1 C． D．2 3．已知,的则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．4 4．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，同时只参加田径比赛和球类比赛的有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，则“”是单调函数”是“”的（   ） 条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 7．已知，其中为函数的导数，则（   ） A．2 B．0 C．2026 D．2027 8．现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、 多项选择题(共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分。) 9．下列说法正确的是（   ） A．已知若 B．已知 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若函数的定义域为(-1,2)，则函数的定义域为(0,3) 10．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．函数的图像关于直线=0对称 C．函数是周期函数，无最小正周期 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 11．已知函数，则（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．函数为奇函数 D．若方程有三个解，且这三个解从小到大依次成等差数列，则 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题(共3道小题，每题5分，共15分。) 12．已知,则函数的解析式为_________. 13．已知函数对于任意实数满足条件，若，则________. 14．已知正实数，满足，则的最小值____________． 四、解答题(共5道小题，共77分。) 15. (13分)数列的前n项和为，满足 若， (1)证明：数列为等比数列 (2)记，数列的前项和为 16． (15分)已知函数，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意恒成立，则实数的取值范围 17． (15分)已知函数 (1)求函数的极大值 (2)若函数，且满足，则实数的取值范围； (3)设在点处切线的轴截距为，求数列的前n项和为 18． (17分)已知函数 (1)若对任意的，且、，总存在，使得成立，则 实数m的取值范围 (2)若为整数，当时，恒成立，求m的最大值； 19． (17分)已知函数 (1)证明：对任意两个正实数，且，若=，则+ (2)设函数 (I)若,求函数的单调区间 (II)若,设数列的前n项和为,且求证：当时，有 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $