期末重难点检测卷（培优卷）（考试范围：15-18章 ）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 期末培优卷覆盖七年级下册全部内容，以“双减”政策、租车方案等真实情境和光的折射实验探究题，培养几何直观、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|一元一次不等式、反证法、三角形面积|结合多地期中真题，注重基础概念辨析| |填空题|12/24|三角形三边关系、角平分线、规律探究|17题探究三角形内外角平分线夹角，发展推理意识| |解答题|7/64|不等式组求解、全等证明、实际应用|23题租车方案渗透模型意识，25题光的折射实验体现跨学科探究|

期末重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：15 ~ 18章 （七年级下册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26七年级下·上海普陀·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海崇明·期中）用反证法证明“如果，那么”是真命题时，应先假设（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海·期中）如图，若，且，，，，则的面积为（　） A．8 B．6 C．5 D．10 4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 6．（2026·山西晋城·二模）利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2026·河南平顶山·一模）不等式组的解集为______． 8．（25-26七年级下·四川广安·期中）对于命题“同角的余角相等”，题设是________，结论是________． 9．（25-26七年级下·广东深圳·期中）关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示为如图所示，这个不等式可以是______． 10．（25-26七年级下·辽宁铁岭·月考）已知三角形的两边长分别为2和7，第三边长为偶数，则三角形的周长为__________． 11．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）如图，已知直线相交于点，平分，且，则的度数是___________． 12．（2026·山西太原·模拟预测）植树节来临之际，学校组织320名学生进行植树活动，计划种植杨树和松树两种树苗，已知种植1棵杨树需要3名学生，种植1棵松树需要5名学生．若要种植的两种树苗总棵数不少于100棵，则种植杨树的学生至少______人． 13．（2026·四川成都·二模）如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 14．（2026·重庆·模拟预测）如图，、分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是______． 15．（2026·山东济宁·一模）如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为_____． 16．（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）如图①，将一条两边互相平行的长方形纸带沿所在直线折叠，，将图①纸带继续沿所在直线折叠成图②，则__________． 17．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图1，在中，与的平分线交于点，，则__________； （2）如图2．的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求__________（用表示）： （3）如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求__________（用表示）： （4）如图4，外角、的平分线交于点，，、的平分线交于点，则__________；延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则__________． 18．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图1，，是直线上方一点． （1）写出，，之间的数量关系：________________． （2）如图2，为直线，之间一点，，，写出，之间的数量关系：________________． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 20．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，，，求证：． 21．（24-25八年级上·广东江门·月考）如图，在中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 22．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，平分，交于点D． (1)若，求的度数； (2)尺规作图：在中，作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 23．（25-26七年级下·广西北海·期中）某公司有A，B型号两种客车出租，它们的载客量和租金如表： 客车 A型号 B型号 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 900 750 已知某中学计划租用A，B型号客车共10辆，同时送八年级师生到柳州参加社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过8600元． (1)最多能租用多少辆A型号客车？ (2)若八年级的师生共有380人，请写出所有可能的租车方案 24．（25-26七年级下·四川成都·期中）学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点，使得； ④测得的长度为39米． (1)猜想、两点间的距离为___________米． (2)请你利用数学方法说明此方案正确的理由 25．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）科学社团课上，同学们用激光笔做光的折射实验．如图，一束平行于主光轴的光线和经过凸透镜的折射后，折射光线交于主光轴上一点P，小组围绕光线形成的角度展开探究． (1)操作发现 小兰通过测量发现，由此他得出___________；从而小组经过探究得出和三个角之间满足的数量关系是___________． (2)类比探究 小组成员把凸透镜换成我们熟悉的三角板，如图，，直角边交于点H，交于点Q，试探究和之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 如图，小组成员将一副三角板按照下图的方式摆放，使点E在直线上，点N在直线上，请直接写出和这三个角之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：15 ~ 18章 （七年级下册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26七年级下·上海普陀·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义逐一判断选项，一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式． 【详解】解：∵A选项满足所有三个条件，是一元一次不等式； B选项中未知数次数为2，不满足条件； C选项含有两个未知数，不满足条件； D选项中是分式，不等号左边不是整式，不满足条件． 2．（25-26七年级下·上海崇明·期中）用反证法证明“如果，那么”是真命题时，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，求出原结论的否定即可得到答案． 【详解】解：∵用反证法证明命题时，应先假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立． 原命题结论为，的否定为． ∴应先假设． 3．（25-26七年级下·上海·期中）如图，若，且，，，，则的面积为（　） A．8 B．6 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用线段垂直平分线的性质，将的长度转化为的周长来求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E， ∴ ∵的周长为. 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 6．（2026·山西晋城·二模）利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 【答案】C 【分析】甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明；乙同学的钝角三角形要先延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点，证明，再证明，然后即可证明；丙同学的锐角三角形，先过点作交于点，过点作交于点，证明，因缺少条件无法证明，逐一判断即可． 【详解】选项A，甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明，故选项A不符合题意； 选项B，乙同学的钝角三角形，如图，延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故选项B不符合题意； 选项C，丙同学的锐角三角形，如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵缺少条件证明，故选项C符合题意； 选项D，综上各个选项，选项D不符合题意． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2026·河南平顶山·一模）不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】分别求解每个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：． 8．（25-26七年级下·四川广安·期中）对于命题“同角的余角相等”，题设是________，结论是________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【详解】解：将命题“同角的余角相等”改写为“如果……那么……”的形式：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， “如果”之后的内容是题设，“那么”之后的内容是结论， ∴题设是两个角是同一个角的余角，结论是这两个角相等． 9．（25-26七年级下·广东深圳·期中）关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示为如图所示，这个不等式可以是______． 【答案】(答案不唯一） 【分析】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式的解集；解题的关键是根据数轴上的空心圆圈和箭头方向确定解集形式，再构造符合条件的一元一次不等式． 先根据数轴确定解集为，再构造一个解为的一元一次不等式即可． 【详解】解：由数轴可知，该不等式的解集为， 可构造一元一次不等式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 10．（25-26七年级下·辽宁铁岭·月考）已知三角形的两边长分别为2和7，第三边长为偶数，则三角形的周长为__________． 【答案】15或17 【分析】设三角形第三边长为，根据三角形三边关系定理得到的取值范围，再结合第三边长为偶数确定的所有可能值，最后分别计算三角形周长即可． 【详解】解：设三角形第三边长为， 根据三角形三边关系定理得， ， 第三边长为偶数， 或， 当时，三角形周长为； 当时，三角形周长为， 综上所述，三角形的周长为15或17． 11．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）如图，已知直线相交于点，平分，且，则的度数是___________． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义求出 的度数，再根据对顶角相等即可求出 的度数． 【详解】解：因为 平分 ， 所以 因为直线 、 相交于点 所以 ． 12．（2026·山西太原·模拟预测）植树节来临之际，学校组织320名学生进行植树活动，计划种植杨树和松树两种树苗，已知种植1棵杨树需要3名学生，种植1棵松树需要5名学生．若要种植的两种树苗总棵数不少于100棵，则种植杨树的学生至少______人． 【答案】270 【分析】设种植杨树的学生人数为未知数，根据总学生数表示出种植松树的学生人数，再根据总棵数的限制条件列出一元一次不等式，解不等式得到种植杨树学生人数的最小值． 【详解】解：设种植杨树的学生有人，则种植松树的学生有人． 由题意可知，杨树总棵数为，松树总棵数为，根据两种树苗总棵数不少于棵，列一元一次不等式： 不等式两边同乘去分母得： 去括号得： 合并同类项得： 系数化为得： 故种植杨树的学生至少为人． 13．（2026·四川成都·二模）如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的对应边相等，得出，，然后根据已知线段的长度求出结果即可． 【详解】解：∵， ，， ∵， ， ∵， ，即． 14．（2026·重庆·模拟预测）如图，、分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是______． 【答案】 /度 【分析】利用等腰三角形三线合一的性质求出，再结合等腰三角形两底角相等求出，最后根据角平分线的定义算出的度数． 【详解】解：∵，是的中线， ∴根据等腰三角形三线合一，可得平分， ∴ ∴等腰中，底角 ∵是角平分线，平分， ∴． 15．（2026·山东济宁·一模）如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为_____． 【答案】 【分析】连接，，，根据正六边形的性质可得，则为等边三角形，再根据切线的性质得，于是可得，利用正六边形的边长等于它的半径可得正六边形的边长，同理可得正六边形的边长，依此规律计算即可； 【详解】解：如图，连接，，， 六边形是正六边形， ， 为等边三角形， 正六边形的外接圆与正六边形的各边相切， ， ， 正六边形边长为， 同理可得：正六边形的边长为， 正六边形的边长为， 正六边形的边长． 16．（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）如图①，将一条两边互相平行的长方形纸带沿所在直线折叠，，将图①纸带继续沿所在直线折叠成图②，则__________． 【答案】 【分析】根据平行的性质，折叠的性质得到，，由，即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： ． 17．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图1，在中，与的平分线交于点，，则__________； （2）如图2．的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求__________（用表示）： （3）如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求__________（用表示）： （4）如图4，外角、的平分线交于点，，、的平分线交于点，则__________；延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则__________． 【答案】 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，，结合角平分线的性质可得，因此； （2）由三角形外角的性质可得，，，结合角平分线的性质可得，，，因此； （3）由三角形的内角和定理可得，，结合平角的定义可得，，由角平分线的性质可得，，因此； （4）根据前三问的结论，代入数值计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （4）同理（3）可得，， 同理（1）可得，， 同理（2）可得，． 18．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图1，，是直线上方一点． （1）写出，，之间的数量关系：________________． （2）如图2，为直线，之间一点，，，写出，之间的数量关系：________________． 【答案】 【分析】（1）如图1，过点E作，证明，得到，根据角的和差计算即可； （2）如图2，过点E作，过点F作，证明，证明．证明，可得，进而可知． 【详解】解：（1）如图1，过点E作， ， ． ， ， ， ， ， ． （2）如图2，过点E作，过点F作， ，， ， ， ， ， ， ． ，， ， ， ， ． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见详解 【详解】解：， 解①，得． 解②，得． 则，数轴如下图所示： 20．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，，，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据平行线的性质得出，根据得出，即可得出． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（24-25八年级上·广东江门·月考）如图，在中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差关系即可证明结论； （2）利用即可证明． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴； （2）证明：由（1）得， 又∵，， ∴． 22．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，平分，交于点D． (1)若，求的度数； (2)尺规作图：在中，作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后由平角的定义可得答案； （2）根据垂线的尺规作图方法作图即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ； （2）解：如图所示，即为所求． 23．（25-26七年级下·广西北海·期中）某公司有A，B型号两种客车出租，它们的载客量和租金如表： 客车 A型号 B型号 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 900 750 已知某中学计划租用A，B型号客车共10辆，同时送八年级师生到柳州参加社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过8600元． (1)最多能租用多少辆A型号客车？ (2)若八年级的师生共有380人，请写出所有可能的租车方案 【答案】(1) 最多能租用辆型号客车 (2) 共有两种可能的租车方案：方案一、租用型号客车辆，型号客车辆；方案二、租用型号客车辆，型号客车辆 【分析】（1）设租用型号客车辆，则租用型号客车辆，根据该中学租车的总费用不超过8600元建立不等式求解即可； （2）根据八年级的师生共有380人可知所有客车的载客量之和要不低于380，据此建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设租用型号客车辆，则租用型号客车辆， 依题意，得， 解得， 为非负整数 ， 的最大值为， 答：最多能租用辆型号客车； （2）解：依题意，得， 解得， 又为整数，且， 或， 当时，，即租用型号客车辆，型号客车辆 ； 当时，，即租用型号客车辆，型号客车辆 ； 答：共有两种可能的租车方案：方案一、租用型号客车辆，型号客车辆；方案二、租用型号客车辆，型号客车辆． 24．（25-26七年级下·四川成都·期中）学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点，使得； ④测得的长度为39米． (1)猜想、两点间的距离为___________米． (2)请你利用数学方法说明此方案正确的理由 【答案】(1)39 (2)见解析 【分析】证明，推出，即可得到结论． 【详解】（1）解：猜想、两点间的距离为39米； （2）解：理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴测得的长就是A、B两点间的距离，即39米． 25．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）科学社团课上，同学们用激光笔做光的折射实验．如图，一束平行于主光轴的光线和经过凸透镜的折射后，折射光线交于主光轴上一点P，小组围绕光线形成的角度展开探究． (1)操作发现 小兰通过测量发现，由此他得出___________；从而小组经过探究得出和三个角之间满足的数量关系是___________． (2)类比探究 小组成员把凸透镜换成我们熟悉的三角板，如图，，直角边交于点H，交于点Q，试探究和之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 如图，小组成员将一副三角板按照下图的方式摆放，使点E在直线上，点N在直线上，请直接写出和这三个角之间的关系． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可； （2）过点作，得到，推导出，得到，则，即可解答； （3）过点作，得到，推导出，继而证明，得到，则，化简即可解答． 【详解】（1）解∶， ， ， ， ， ，， ， 即； （2）解：过点作，如图 ， ， ， ， ， 即； （3）解：过点作，如图 ， 即， ， ， ， ， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $