第22讲 圆锥曲线新定义题型归纳讲义-2026届高考数学二轮复习椭圆专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线新定义题型，涵盖丹德林双球、斜率相关轨迹、第二定义及双纽线、心形线等12类核心考点，按“定义理解-方法归纳-真题应用”逻辑架构知识体系，通过题型梳理、典型例题精讲、变式训练分层突破，帮助学生构建新定义问题的转化思维与解题框架。 讲义创新采用“问题转化+参数建模+动态直观”教学策略，如双纽线问题中引导学生用坐标法推导轨迹方程，培养数学抽象与几何直观能力，设置选择、填空、解答题分层练习，配合解题技巧总结，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统指导。

第22讲 圆锥曲线新定义题型归纳 目 录 题型01：丹德林双球与圆锥曲线的立体视角 2 题型02：与斜率和，差，积，商有关的轨迹问题与应用 4 题型03：圆锥曲线第二定义与应用 6 题型04：如何用矩形折出圆锥曲线 10 题型05：双纽线 13 题型06：心形线 18 题型07：卡西尼卵形线 23 题型08：四叶草曲线 28 题型09：黄金椭圆、双曲线 34 题型10：曼哈顿距离 39 题型11：其他新曲线 48 （一）单选题 48 （二）多选题 51 （三）填空题 54 （四）解答题 54 题型12：圆锥曲线与数列 67 1、常见圆锥曲线新定义问题处理思路 （1）将新定义问题转化为常规问题.例如“分隔线”问题转化为直线与曲线位置关系的判定. （2）反客为主：若直接求解困难，可逆向分析.例如黄金椭圆中通过切线斜率之积反推离心率. （3）新定义曲线建立方程→分类讨论→验证性质 （4）新定义交汇题联立方程→参数法→几何性质转化 （5）几何模型应用题识别模型（如阿基米德三角形）→应用性质（如中线平行、面积最小值） 2、核心原则 （1）定义优先：紧扣新定义的数学表达，避免套用常规套路. （2）参数为王：复杂问题引入参数简化运算，如双曲线有理参数法. （3）图形辅助：动态绘制示意图，直观捕捉对称性、范围等关键信息. 3、解题技巧与思想方法 （1）分类讨论与特殊化验证 当新定义涉及范围限制时，需分区间讨论. 特殊点验证：代入特殊点（如原点、顶点）快速判断选项. （2）数形结合与动态分析 绘制示意图辅助理解.例如“双扭线”（新定义曲线）的对称性分析. 动态轨迹：若问题涉及动点轨迹（如阿基米德三角形顶点轨迹），可结合参数方程与几何性质推导. 题型01：丹德林双球与圆锥曲线的立体视角 【典型例题】如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，，这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，球，的半径分别为1、4，则椭圆的长轴长为___________．（公众号：凌晨讲数学） 解析：如图，A、B为圆锥的一条母线与球的切点，连接、，则，连接，过作交于点D，则，在直角中，，所以，解得，故，在和中，，，为公共边，所以，有.同理可得，由椭圆的定义，得长轴+.故答案为：. 【变式训练1-1】如图是数学家 Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________. 【变式训练1-2】如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面和平面相切，两个球分别与平面相切于点，丹德林（）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面截圆锥得的是焦点在轴上，且离心率为的椭圆，圆锥的顶点到椭圆顶点的距离为，圆锥的母线与椭圆的长轴垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，A，B中点为D，过点F2的直线MF2与AB垂直，且与直线l：交于点M，求证：O，D，M三点共线. 题型02：与斜率和，差，积，商有关的轨迹问题与应用 【典型例题1】已知函数，则下列说法中不正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域内为增函数 C．曲线上任意一点与两点连线的斜率之和为定值 D．曲线的切线的斜率的最大值为2 解析：A.函数的定义域是， ，所以函数是奇函数，故A正确； B.设，且，，因为，所以，因为，，所以，则，即， 即，所以，即，所以函数在定义域内是增函数，故B正确； C.设函数上任一点，，，故C正确； D.，，根据导数的几何意义可知，曲线的切线的斜率的范围是，故D错误.故选：D 【典型例题2】（多选）已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹关于轴对称 B．点的轨迹关于原点对称 C．若且，则恒成立 D．若且，则恒成立 解析：因直线的斜率存在，故.由可得，，整理可得，因，故得，即点的轨迹方程为：. 如上作出函数的图象，由图易得A错误； 对于B，由，可得， 即函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； 对于C，当且时，因，即得恒成立，故C正确； 对于D，当且时，设，因，，故在且时不能恒大于0，即不能恒成立,故D错误.故选：BC. 【变式训练2-1】（多选）已知点，直线相交于点，且它们的斜率之和是2．设动点的轨迹为曲线，则（    ） A．曲线关于原点对称 B．的范围是的范围是 C．曲线与直线无限接近，但永不相交 D．曲线上两动点，其中，则 【变式训练2-2】（多选）设，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为常数，则下列结论正确的是（    ） A．时，点的轨迹为焦点在轴的双曲线（不含与轴的交点） B．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点） C．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点） D．时，点的轨迹为椭圆（不含与轴的交点） 【变式训练2-3】（多选）已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是（    ） A．当时，点的轨迹是双曲线. B．当时，点在圆上运动. C．当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大. D．无论n如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形. 【变式训练2-4】（多选）设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（    ） A．当时，点的轨迹是椭圆的一部分 B．当时，点的轨迹是双曲线的一部分 C．当时，点的轨迹是抛物线的一部分 D．当时，点的轨迹是椭圆的一部分 【变式训练2-6】已知点，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为1，过M作圆C：的切线MP，P为切点，则的最小值为______. 题型03：圆锥曲线第二定义与应用 【典型例题1】已知椭圆，左焦点为，在椭圆上取三个不同点、、，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 解析：在椭圆中，，，，如下图所示： 椭圆的左准线为，以为顶点，轴的正方向为始边的方向，为角的终边，当时，过点作，过点作，垂足分别为点、， 易知四边形为矩形，则，由椭圆第二定义可得，则，又因为轴，则，所以，，所以，，因为，即，所以，， 同理可知，当为任意角时，等式仍然成立，同理可得，，因此， ，故的最小值为.故选：B. 【典型例题2】如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：． (1)求椭圆的方程； (2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值． 解析：（1）设椭圆方程为．因焦点为，故半焦距，又右准线的方程为，从而由已知，因此，，故所求椭圆方程为. （2） 记椭圆的右顶点为A，并设（1，2，3），不失一般性，假设 ，且，．又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有  ． 解得 ． 因此， 而， 故为定值．综上，椭圆方程为；. 【变式训练3-1】已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，与双曲线的右准线相交于点，点为右焦点，若，，则实数的值为_________. 解析：记、在右准线上的射影分别为点、，由及双曲线第二定义知：，又，所以，从而，则. 【变式训练3-2】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差． 【变式训练3-3】证明：角度形式焦半径：上加下减，即 【变式训练3-4】设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右准线方程分别为：，：.如图，由椭圆上的动点向，分别作垂线，垂足分别为，.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率（，）.请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式，. （2）借助（1）中焦半径公式解决问题：已知为椭圆上两个不同的点，为右焦点，，若线段的垂直平分线交轴于点，求. 【变式训练3-5】椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线有许多相似性质．比如三种曲线都可以用如下方式定义（又称圆锥曲线第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的点的轨迹为圆锥曲线．当为椭圆，当为抛物线，当为双曲线．定点为焦点，定直线为对应的准线，常数e为圆锥曲线的离心率．依据上述表述解答下列问题． 已知点，直线动点满足到点F的距离与到定直线l的距离之比为 (1)求曲线的轨迹方程； (2)在抛物线中有如下性质：如图，在抛物线中，O为抛物线顶点，过焦点F的直线交抛物线与A，B两点，连接，并延长交准线l与D，C，则以为直径的圆与相切于点F，以为直径的圆与相切于中点．那么如图在曲线E中是否具有相同的性质？若有，证明它们成立；若没有，说明理由． 题型04：如何用矩形折出圆锥曲线 【典型例题1】如图，矩形ABCD中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N都在椭圆上． 解析：由题得，，所以，所以直线的方程为，①，由题得，所以，所以直线的方程为，②，联立方程①②解之得所以直线的交点为， 代入椭圆方程得，所以直线的交点在椭圆上.同理ES与、ET与的交点M，N都在椭圆上． 【典型例题2】把矩形的各边n等分，如图连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆上，为什么？ 解析：设矩形的长，宽，以的中点为原点，所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系，则由于整个图形关于轴对称，我们只研究第一象限，设点是上自右到左的第个分点，点是上自上到下的第个分点，则，， 所以①，②，①，②式相乘且整理得③，因为点是直线与的交点，所以点满足方程③ 故点在椭圆上． 【典型例题3】如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？    解析：设，取所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设第组对应直线与的交点为，且点在第一象限， 则，，，，直线的方程为，①直线的方程为，② 点坐标满足方程①②，①②相乘得，即（点在第一象限），所以点在双曲线的右支上半部分上运动.     . 【典型例题4】如图，将一张长方形纸片ABCD的一只角斜折，使点D总是落在对边AB上，然后展开纸片，得到一条折痕l．这样继续下去，得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？ 解析：设点折后落到边上的点，则线段被折痕垂直平分，在折痕上取一点，且，则可得，，即折痕围成的轮廓上的任意一点到定直线的距离与它到定点的距离相等，∴根据抛物线的定义可知折痕围成的轮廓曲线是以为焦点，为准线的抛物线. 【变式训练4-1】如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上， ，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为_______________. 【变式训练4-2】在矩形中，，，、、、分别为矩形四条边的中点，以，所在直线分别为，轴建立直角坐标系（如图所示）.若、分别在线段、上.且. （1）求证：直线与的交点总在椭圆：上； （2）若、为曲线上两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【变式训练4-3】如图，矩形中，，.、、、分别是矩形四条边的中点，设，. （1）证明：直线与的交点在椭圆：上； （2）已知为过椭圆的右焦点的弦，直线与椭圆的另一交点为，若，试判断是否成等比数列，请说明理由. 【变式训练4-4】已知常数，在矩形中，，，为的中点，点、、分别在、、上移动，且，为与的交点（如图），问是否存在两个定点，使到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 题型05：双纽线 【典型例题1】在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点为双纽线上任意一点，则下列结论正确的个数是（    ） ①关于轴不对称 ②关于轴对称 ③直线与只有一个交点 ④上存在点，使得 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】用定义法把动点的轨迹方程求出来，利用代换，方程没有变化，可知双纽线关于轴，轴，原点对称，再利用它与联立方程组，解得只有一组解，可知③正确，再利用原点到的距离正好是,可知满足题意，所以④正确，从而可以做出所有选项的判断. 【详解】①设到定点的距离之积为4， 可得.，整理得， 即曲线的方程为， 由用代换，方程没变，可知曲线关于轴对称， 由用代换，方程没变，可知曲线关于轴对称， 由用代换，用同时代换，方程没变，可知曲线关于原点对称， 图象如图所示： 所以①不正确，②正确； ③联立方程组，可得，即，所以， 所以直线与曲线只有一个交点，所以③正确. ④原点满足曲线的方程，即原点在曲线上，则， 即曲线上存在点与原点重合时，满足，所以④正确. 故选:C. 【典型例题2】（多选）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（   ） A． B．点在C上，则 C．点N在椭圆上，若，则 D．过作x轴的垂线交C于A，B两点，则 【答案】ACD 【详解】由题意，，即， 对于A，因曲线过原点，将代入，解得，故A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，故错误； 对于，椭圆的焦点坐标恰好为与，则， 由，得：， 则，，故C正确； 对于D，设，则，而，则， 又根据勾股定理得，则，化简得， 解得，因此，故D正确； 故选：ACD． 【典型例题3】中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线也称为卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中到两定点、距离之积为的点的轨迹是双纽线，其轨迹为一条连续的封闭曲线， (1)判断是否在曲线上； (2)若点在椭圆上，，证明：； (3)若直线与曲线只有一个交点，求的取值范围. 【答案】(1)在，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）记点，则， 故点在曲线上. （2）对于椭圆，，，则， 故、分别为椭圆的左、右焦点， 由椭圆的定义可得， 因为，由勾股定理可得， 因为， 所以，故. （3）任取曲线上一点，则， 即，即， 整理可得，故曲线的方程为， 易知原点在曲线上，所以直线与曲线一定有公共点， 联立，结合题意可知无非零实数解， 即无非零实数解，则，可得，解得或， 因此实数的取值范围是. 【变式训练5-1】“四二一广场”是重庆第一中学校的文化地标（如图1），广场中心的建筑形似火炬宛若花开，三朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比乌斯带（如图2）.将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号“∞”.在平面直角坐标系中，设线段AB长度为2a（），坐标原点O为AB中点且点A，B均在x轴上，若动点P满足，那么点P的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“∞”（如图3）.若，点P在第一象限且，则（    ）    A． B． C． D．2 【变式训练5-2】（多选题）双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是时的双纽线上一点，则（    ） A．关于原点成中心对称 B．上满足的点有2个 C．面积的最大值为 D．当直线与有3个交点时，的取值范围是 【变式训练5-3】（多选题）双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（   ） A． B．上存在点，使得 C．上的点的纵坐标的最大值为 D．若直线与恰有一个公共点，则的取值范围为 【变式训练5-4】造型在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线.已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为4，若动点满足，则动点的轨迹就是一个双纽线.下列说法正确的是 . ①轨迹仅经过一个整点（即横､纵坐标都是整数的点）； ②若点位于椭圆上，且，则的离心率为； ③点与原点之间的距离不超过； ④若直线与曲线有且仅有一个公共点，则或. 【变式训练5-5】中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线. 在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线. (1)求曲线C的焦点，的坐标； (2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由. 题型06：心形线 【典型例题1】曲线和曲线组合围成“心形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析在第一象限的图形，发现第一象限的面积等于曲线与轴的交点及坐标原点所围成的直角三角形的面积， 由对称性可求得第四象限的面积，再计算第二、三象限面积，为两个半圆，由此可算得“心形”区域的面积. 【详解】如图所示，设，线段的中点为， 因为曲线关于点对称， 所以可将曲线与轴，轴围成的区域割补为直角三角形的区域， 于是曲线与轴，轴围成的区域面积就是直角三角形的面积， 即； 根据对称性，可得曲线与轴，轴围成的区域面积为， 又曲线所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为， 所以曲线所围成的“心形”区域的面积等于. 故选：C. 【典型例题2】（多选题）如图，数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，爱心曲线就是其中之一，下列结论正确的是（   ） A．曲线上的点的横坐标取值范围是 B．曲线上的点到原点的距离最大值为 C．曲线恰好经过6个整数点（即横坐标、纵坐标均为整数） D．曲线所围成的“心形”区域面积大于3 【答案】BCD 【分析】对于A，由判别式的计算即可判断，对于B，借助基本不等式即可判断，对于C，计算出所有整点即可判断，对于D，借助割补法计算即可判断. 【详解】对于A，根据题意，曲线， 当时，曲线的方程为， 移项可得， 关于的一元二次方程的判别式， 解得，又因为，所以， 当时，曲线的方程为， 则曲线关于轴对称， 所以曲线上的点的横坐标取值范围是，故A错误； 对于B，当时，曲线的方程为， 则有，变形可得，当且仅当时等号成立， 又由曲线关于轴对称，则曲线上任意一点都满足， 曲线上的点到原点的距离最大值为，故B正确； 对于C，曲线， 当时，，所以，即曲线经过，； 当时，方程为，有， 解得，所以只能取整数1， 当时，有，解得或，即曲线经过，， 根据对称性可得曲线还经过，，所以曲线一共经过6个整点，C正确； 对于D，因为在轴上方，曲线围成图形的面积大于四点，， ，围成的矩形面积， 在轴下方，图形面积大于三点，， 围成的等腰直角三角形的面积， 故曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，D正确； 故选：BCD 【典型例题3】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一.设曲线与轴交于两点，与轴交于两点，点是上一个动点，给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②曲线恰好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③面积的最大值为1； ④（为坐标原点）. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】曲线上的任意点，其关于的对称点为，代入曲线方程验证判断①，根据方程易知，均在曲线上判断②，结合曲线的对称性研究时的曲线性质确定最大值，结合即可判断③，在上，才能保证最大，再应用三角换元及三角恒等变换、正弦型函数的性质求范围判断④. 【详解】曲线上的任意点，其关于的对称点为， 代入曲线左侧有，即点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，①对； 由方程易知，均在曲线上，曲线至少经过4个整数点，②错； 由，即，且，根据曲线关于轴对称，只需研究时的曲线性质，对于，当且仅当时取等号，对于在上单调递增，则，令，则，可得，结合曲线的对称性有， 所以，最大，③对；在上，才能保证最大，令且，此时，所以，且，所以，当且仅当取等号，④对. 故答案为：①③④ 【变式训练6-1】如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】如图，心形曲线与y轴交于A，B两点，点P是上的一个动点，则（ ） A．点和点均不在上 B．的最大值与最小值之和为22 C．点P的纵坐标的最大值为 D． 【变式训练6-3】（多选题）曲线：是一条形似的“比心曲线”.设点是上一个动点，且它与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，则（   ） A．点和点都在曲线E上 B．且 C．在E上存在点P，使 D．对于E上任意点P，有 【变式训练6-4】（多选题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，而心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为，图形如图所示．当时，点是其中一条心形线C上不同的两点，且，对于这条心形线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．该心形线围住的区域面积 D．该心形线上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【变式训练6-5】蝴蝶曲线是一种优美的数学曲线，因其形状宛如一只蝴蝶而得名，由美国南密西西比大学的坎普尔·费伊于1989年发现．它不仅是数学与美学结合的经典案例，也是非线性动力学系统的典型案例，更在计算机编程、艺术设计、科学研究和工程领域，展现了跨学科的应用潜力．其核心价值在于将抽象的数学方程转化为可视化的动态图形，成为连接理性与感性的桥梁．已知某种蝴蝶曲线，如图所示，在平面直角坐标系中，曲线的方程为：，若点在上运动，为坐标原点，则的最大值为 ． 题型07：卡西尼卵形线 【典型例题1】（多选题）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C，则下列结论正确的是（ ） A．曲线C与y轴的交点为和 B．曲线C关于x轴、y轴对称，不关于原点O对称 C．点的横坐标的范围是 D．的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据题意，求得曲线的轨迹方程为，利用轨迹方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】解：设点，因为，可得， 整理得：， 对于A中，当时，解得，即曲线C与y轴的交点为，所以A正确； 对于B中，因为， 用替换，方程不变，则曲线关于x轴对称， 用替换，方程不变，则曲线关于y轴对称， 同时用替换，用替换，方程不变，可得曲线关于原点对称，所以B错误； 对于C中，因为，即可得， 即，即，解得， 即，所以点P的横坐标的取值范围是，所以C正确； 对于D中，因为， 由C项知，所以，故，所以D错误． 故选：AC. 【典型例题2】（多选题）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（    ） A．曲线的方程是 B．曲线关于坐标轴对称 C．曲线与轴没有交点 D．的面积不大于 【答案】ABD 【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点的轨迹方程，即可判断A；由对称性代入即可判断B；在的轨迹方程中令，可解出，即可判断C；由三角形的面积公式，即可判断D. 【详解】设，由， 得， 化简得，故A正确； 该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确； 在方程中，令得， 当时，或，当时，，当时，，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD. 【典型例题3】（多选题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形线、卵形线等．已知卵形线C：，则（   ） A．C关于直线对称 B．C上横、纵坐标均是整数的点恰有4个 C．C上存在点P，使得P到点的距离小于1 D．C围成区域的面积大于4 【答案】ABD 【分析】根据曲线方程分析曲线的性质，有曲线为封闭曲线，过点，关于x轴对称，画出曲线大致图形，结合圆、四边形在曲线内部判断各项的正误. 【详解】由，则，对于曲线上任意点，其关于轴对称点为， 把代入成立，曲线关于直线对称，A对； 所以，得，故， 时；时；时， 故曲线过点， 曲线C上恰好有4个整点，B对； 由圆过点，故圆上点均在曲线上或内， 所以曲线上不存在点，使得P到点的距离小于1，C错； 如图中，四边形在曲线内部，故曲线所围成区域的面积大于，D对. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据曲线方程分析出曲线的相关性质，并画出大致图形为关键. 【变式训练7-1】（（多选题）在平面内，到两定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知曲线C上的动点P到两定点，的距离之积为，O为坐标原点，则（   ） A．C关于x轴和y轴均对称 B．的面积的最大值为 C．周长的最小值为6c D．的取值范围为 【变式训练7-2】（多选题）到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知两定点，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列命题错误的是（   ） A．曲线过原点 B．的横坐标最大值是2 C．的纵坐标最大值是 D． 【变式训练7-3】（多选题）卡西尼线型，特别是卡西尼卵形线，在天文学和航天工程中有广泛的应用，最初是在研究土星及其卫星的运动规律时发现的，土星的环和某些卫星的轨道轨迹可以通过卡西尼卵形线来描述，这些卵形线是卫星围绕土星运动的轨迹.而在数学领域，卡西尼卵形线是解析几何中研究的重要曲线之一，我们把平面内与两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线.现已知平面内有一卵形线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线过原点 B．曲线既是中心对称图形又是轴对称图形 C．曲线上点的横坐标的取值范围是 D．曲线上任意一点到原点距离的取值范围是 【变式训练7-4】我们在学习解析儿何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.若定点，动点满足，其中均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线，它的轨迹方程为. (1)求参数的值（用含的式子表示）； (2)若为曲线上一点，求证：，； (3)若，求证：曲线恰经过个整点（横、纵坐标均为整数的点）. 【变式训练7-5】（多选）平面内到两定点的距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是天文学家卡西尼在研究卫星运行规律时发现的.已知曲线上的点到与的距离之积为2，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．曲线围成的图形面积不超过 D．面积的最大值为1 【变式训练7-6】（多选）天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点，，动点P满足（且均为常数）．设动点P的轨迹为曲线E．则下列说法正确的是（    ） A．曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．的最小值为2a C．曲线E与x 轴可能有三个交点 D．时，曲线E上存在Q点，使得 【变式训练7-7】在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：，下列结论不正确的是（    ） A．曲线C关于y轴对称 B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．的取值范围为 【变式训练7-8】（多选）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知平面直角坐标系中，，，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（   ） A．曲线C关于原点对称 B．点P的横坐标的取值范围为 C．面积的最大值为2 D．的取值范围为 【变式训练7-9】（多选）双纽线是卡西尼卵形线的一类分支， 在数学曲线领域占有至关重要的地位， 同时也具有特殊的有价值的艺术美. 双纽线的图形轮廓像 “ ”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素. 已知在平面直角坐标系中， ，满足 的动点 的轨迹为曲线 . 则下列结论正确的是（   ） A．曲线 既是中心对称又是轴对称图形 B．曲线 上满足 的点 有 2 个 C． D．曲线 上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为 0 【变式训练7-10】1675年，卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹．已知点，动点满足，则面积的最大值为 ． 【变式训练7-11】17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知两定点，，动点满足，动点P的轨迹为曲线E，直线与曲线E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 (1)求曲线E的方程; (2)求的取值范围; (3)求证： 题型08：四叶草曲线 【典型例题1】四叶草曲线是数学中的一种曲线，某方程为，因形似花瓣，又被称为四叶玫瑰线（如图），在几何学、数学、物理学等领域中有广泛的应用.例如，它可以用于制作精美的图案、绘制函数图象、描述物体运动的轨迹等等.根据方程和图象，给出如下4条性质，其中错误的是（    ） A．四叶草曲线方程是偶函数，也是奇函数； B．曲线上两点之间的最大距离为； C．曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点）； D．四个叶片围成的区域面积小于. 【答案】A 【分析】根据函数与方程的定义可判断A；设曲线上的点到原点的距离为，利用基本不等式可得的范围可判断B；由的范围可得的范围，可得曲线上的整点可判断C；由的范围得曲线上的点到原点的距离最大值为，求出以为圆心，为半径的圆的面积可判断D. 【详解】对于A， 用替换方程中，方程不变，四叶草曲线方程不是函数的解析式， 所以不是偶函数，也不是奇函数，只是四叶草曲线关于轴、原点对称，故A错误； 对于B， 设曲线上的点到原点的距离为，因为，所以 ，，所以， 可得，即，根据对称性可得两点之间的最大距离为，故B正确； 对于C， 由B可知，所以，可得曲线上的整点有，曲线经过5个整点，故C正确； 对于D，由B可知，曲线上的点到原点的距离最大值为， 以为圆心，为半径的圆的面积为，所以四个叶片围成的区域面积小于，故D正确. 故选：A. 【典型例题2】（多选题）四叶草又称“幸运草”，有一种说法是：第一片叶子代表希望､第二片叶子表示信心､第三片叶子表示爱情､第四片叶子表示幸运.在平面直角坐标系中，“四叶草形”曲线的方程为，则下列关于曲线的描述正确的有（    ） A．其图象是中心对称图形 B．其图象只有2条对称轴 C．其图象绕坐标原点旋转可以重合 D．其图象上任意两点的距离的最大值为 【答案】AC 【分析】根据曲线的方程，结合点关于原点、、的对称点，及旋转后的点的坐标逐一分析即可判断，曲线上任意两点的距离的最大值即为曲线的外接圆的直径，结合基本不等式可得，即曲线在圆的内部，即可判断. 【详解】在方程中，以替换，以替换，方程不变， 所以其图象是中心对称图形，故正确； 在方程中，以替换，以替换，方程不变， 所以其图象关于直线对称， 同理，以替换，以替换，方程不变，所以其图象关于直线对称， 所以其图象有4条对称轴，故错误； 在方程中，以替换，以替换，方程不变， 设为曲线上任意一点， 则点绕坐标原点旋转得到的点为或， 将点或的坐标代入曲线的方程，方程不变， 所以图象绕坐标原点旋转可以重合，故正确； 曲线上任意两点的距离的最大值即为曲线的外接圆的直径， ， ， 所以曲线在圆的内部， 所以曲线上任意两点的距离的最大值小于，故错误. 故选：. 【典型例题3】数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的周长是为 ；若是曲线C上任意一点，的最小值为 . 【答案】 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断即可． 【详解】曲线C：，当，时，曲线C的方程可化为； 当，时，曲线C的方程可化为；当，时，曲线C的方程可化为；当，时，曲线C的方程可化为，所以曲线C的图象如图所示， 曲线C由4个半圆以及坐标原点组成，其周长为；到直线的距离，当，时，曲线C的方程可化为曲线为圆心为，半径为的圆的一部分，如图所示，而到直线的距离为，由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为，故的最小值为. 【变式训练8-1】数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶草玫瑰线”（如图），现给出下列三个结论：正确的是（    ）    ①曲线C关于直线对称： ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1； ③存在一个以原点为中心.边长的正方形，使曲线C在此方形区域内（含边界） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式训练8-2】（多选题）如图所示，这是曲线，设和为曲线上的任意两点，且满足，则下列结论正确的有（   ） A． B．满足且的点共有4个 C．曲线关于直线对称 D．任取一点，该点满足且的概率为 【变式训练8-3】（多选题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（   ） A．四叶草曲线有四条对称轴 B．设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D．四叶草曲线的面积小于 【变式训练8-4】四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功，幸福，平安，健康，表达了人们对美好生活的向往，梵客雅宝公司在设计四叶草吊坠时，利用了曲线，进行绘制，点在曲线上，点，则下列结论错误的是（   ） A．曲线围成的图形面积为 B．的最小值是 C．直线PQ的斜率的最大值为1 D．的取值范围为 【变式训练8-5】（多选题）经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（   ）    A． B．曲线经过的整数点个数为4个 C．的取值范围均为 D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为 【变式训练8-6】（多选题）曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论，正确的有（   ） A．曲线C关于直线交于不同于原点的两点，则 B．存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）； C．存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）； D．曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于. 【变式训练8-7】在平面直角坐标系xOy中，曲线的图象是四叶草曲线，设为E上任意一点，且满足或，则任取一点P，该点为格点（横、纵坐标均为整数）的概率为 ． 题型09：黄金椭圆、双曲线 【典型例题1】（多选题）我们把短轴长与长轴长的平方比为的椭圆称为“黄金椭圆”．已知椭圆是“黄金椭圆”，其左、右焦点分别是，，，左、右顶点分别为，上、下顶点为，则（   ） A．椭圆C的离心率为 B．a，b，c成等比数列 C．是直角三角形 D．以，为直径的圆是菱形的内切圆 【答案】BCD 【分析】由“黄金椭圆”的定义得到的值，进而求出离心率，即可判断A；由和离心率的值，验证是否成立，即可判断B，求出三边的长，验证是否成立，即可判断C，分别求出菱形的内切圆半径，及圆心到直线的距离，验证是否成立，即可判断D. 【详解】对于A，由“黄金椭圆”的定义可知，即. 所以椭圆的离心率， 因为椭圆的离心率，所以，故A错误； 对于B，由可得， 由可得，所以， 所以，即a，b，c成等比数列，故B正确； 对于C，由题意可知， 所以，，， 因为， ， 所以，所以是直角三角形，故C正确； 对于D，以，为直径的圆的方程为， 菱形的边长为，周长为. 菱形的面积， 设菱形的内切圆半径为， 则菱形的面积周长，所以. 直线的方程为，即， 设圆心到直线的距离为， 则， 所以以，为直径的圆是菱形的内切圆，故D正确. 故选：BCD 【典型例题2】（多选题）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．过右焦点且斜率为1的直线与双曲线右支有2个交点 D．直线与双曲线的一条渐近线垂直 【答案】ABD 【分析】根据黄金分割比计算可得A正确，利用点差法计算可得，即B正确，确定一条渐近线的斜率为，可判断C错误.由斜率之积可判断D. 【详解】对于A，设线段长度为1，较大部分为，则较小部分为， 由题黄金分割比为，且 若为黄金双曲线， 则离心率为，即A正确； 对于B，设，其中， 又在双曲线线上，所以， 两式相减可得， 即，可得， 所以，可得B正确； 对于C，由离心率为可得，解得， 可得一条渐近线的斜率为，因为， 根据渐近线性质可知过右焦点且斜率为1的直线与双曲线左、右两支各有1个交点，即C错误. 对于D，易知，， 则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以 ， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故D正确. 故选：ABD 【典型例题3】定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆E：（）是“黄金椭圆”，则 ，若“黄金椭圆”C：（）两个焦点分别为、，，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则 ． 【答案】 【分析】由离心率的定义可求得，利用结合椭圆定义可求解． 【详解】由题，，所以． 如图， 连接，设内切圆半径为， 则，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，熟悉离心率公式即可，第二问的关键是利用数形结合，由结合椭圆定义、三角形的面积公式即可顺利求解. 【变式训练9-1】（多选题）一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（   ） A．椭圆是“黄金椭圆” B．若椭圆是黄金椭圆，则 C．设“黄金椭圆”C的左右焦点分别为，存在椭圆C上一点P，使得 D．设过原点的直线与焦点在x轴上的“黄金椭圆”分别交于A、B两点，“黄金椭圆”上动点P(异于A，B)，设直线PA，PB的斜率分别为，则 【变式训练9-2】（多选题）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”）.若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D．直线与双曲线的左支有两个不同的交点 【变式训练9-3】（多选题）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线的左，右顶点分别为，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（    ） A． B． C．顶点到渐近线的距离为 D．的外接圆的面积为 【变式训练9-4】（多选题） “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【变式训练9-5】已知椭圆的左、右焦点分别是、，若离心率，则称椭圆C为“黄金椭圆”．则在黄金椭圆C中，以，，，为顶点的菱形ADBE的内切圆面积为 ． 【变式训练9-6】数学美的表现形式多种多样，我们称离心率的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点O为圆心，短轴长为直径作圆O，P为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于两点，求的值. 【变式训练9-7】我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为 ． 题型10：曼哈顿距离 【典型例题1】曼哈顿距离（Manhattan Distance）是一种用于衡量两个点在空间中距离的度量方式.它的名称来源于纽约曼哈顿的网格状街道布局：在这种布局下，从一个点到另一个点需要沿着街道行走（只能沿水平或垂直方向移动），而不能走对角线，故曼哈顿距离又称城市街区距离.已知点，，定义，两点间的曼哈顿距离.在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，动点满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，且，则， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由，交点为， 由，交点为， 由，交点为， 由，交点为， 所以是正方形各边上运动的动点， 由满足，即在以原点为圆心，1为半径的圆上， 所以，则，如下图示， 由图知，与原点的距离最大时，一定在线段上， 又，且到直线的距离， 所以，故， 当且仅当重合，且共线，在的两侧时取得最大值. 故选：A 【典型例题2】（多选）已知是，两点的曼哈顿距离，点是函数图象上的动点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．若动点满足，则点的轨迹是一个边长为的正方形 B．的图象与两坐标轴围成的区域的面积是 C．若，则点的轨迹是以为原点，6为半径的圆上的一段圆弧，且长度为 D．若，将点的轨迹逆时针旋转后得到的曲线与点的轨迹关于轴对称 【答案】ACD 【详解】对于A，设，由，得， 所以点的轨迹是以原点为中心，，，，为顶点的正方形， 且边长为，故A正确； 对于B，的图象是以原点为圆心，6为半径的圆在第一象限内的圆弧， 即的图象与两坐标轴围成的区域的面积是，故B错误； 对于C，如图，当时，点的轨迹是以原点为中心，      对角线分别在轴和轴上且边长为的正方形， 所以当时，满足条件的点对应的轨迹是 函数的图象落在正方形边上及正方形外部的部分. 易知该正方形在第一象限的边长所在的直线为. 过点作于点，易知，所以直线与圆弧相交， 记交点分别为C，D，连接OC，OD，即点的轨迹为， 在Rt中，， 所以，所以， 即的长度为，故C正确； 由选项C的分析，结合点的轨迹， 知将点的轨迹逆时针旋转后得到的曲线与点的轨迹关于轴对称，故D正确. 故选：ACD. 【典型例题3】已知在平面直角坐标系中有两个点，数学上，我们常把定义为欧几里得距离，把定义为曼哈顿距离.分别记为双曲线的右顶点和右焦点，若，则点的轨迹与双曲线的公共点个数是 . 【答案】1 【详解】设的焦距为，， 则，， 可得. 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 可知点的轨迹是以为中心且其一条对角线在轴上的正方形. 又因为，即。 可知当点在点正上方或正下方时，， 所以点的轨迹与双曲线仅有1个公共点. 故答案为：1. 【典型例题4】人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，， (2) (3)存在， 【详解】（1）已知，，则由题意可得欧几里得距离为； 曼哈顿距离为； 因为，， 所以， 则余弦距离为. （2）设，由题意得：， 由， 作出表示的图形，为如图所示的正方形， 其中，，，， 即点在正方形的边上运动，，， 结合图形，由可知， 当取最小值时，最大. 相应的有最大值.因此，点有如下两种可能： ①点为点时，，则：； ②点在线段上运动时，此时与方向相同，， 则. 因为，所以点在点时，有最大值，最大值为.        （3）设，则，， ， ， ，，即或. 联立，解得，， 联立，解得，， ，，，，则； ，则； ，则. 【变式训练10-1】曼哈顿距离（）是由十九世纪赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点，它们之间的曼哈顿距离．已知点，点是直线上的动点，点是直线上的动点，其中．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（　　） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是5 D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4 【变式训练10-3】“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼．闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，即对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到达另一点的距离是在南北方向上旅行的距离加上在东西方向上旅行的距离，“欧几里得距离（简称欧氏距离）”是指平面上两点的直线距离，如图所表示的就是曼哈顿距离，所表示的就是欧氏距离，若、，则两点的曼哈顿距离，而两点的欧氏距离为，设点，在平面内满足的点组成的图形面积记为，的点组成的图形面积记为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-4】在平面直角坐标系中，定义为，两点间的“曼哈顿距离”，已知椭圆，点，，在椭圆上，轴．点，满足，．若直线与的交点在轴上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-5】在平面直角坐标系中，若 ，则称 “ ” 是 两点的 “曼哈顿距离”. 若动点 到两定点 的 “曼哈顿距离” 之和为定值 ，则称点 的轨迹是 “曼哈顿椭圆”.若点 是该 “曼哈顿椭圆” 上一点，关于命题: ① 面积的最大值是 ；②该 “曼哈顿椭圆” 的周长是 ， 下列说法正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 【变式训练10-6】（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，，则 B．若对于三点A，B，C，则“”当且仅当“点A在线段BC上” C．对于平面上任意一点N，若，则动点的轨迹长度为8 D．若点M在圆上，点P在直线上，则的最小值是 【变式训练10-7】（多选）“曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则（    ） A．点和点的曼哈顿距离为3 B．设，则 C．的最小值为 D．的最大值为 【变式训练10-8】（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（    ） A．若点，，则在轴上不存在点，使得 B．若点，点在直线上，则的最小值是2 C．若点在函数图象上，点在直线上，则的值可能是4 D．直线交于点，，，M，N与都不重合，且，若，则的最小值为 【变式训练10-9】（多选）在平面直角坐标系中，若，，则称“”为M，N两点的“曼哈顿距离”，若动点E到两定点，的“曼哈顿距离”之和为定值，则称点E的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点P为该“曼哈顿椭圆”上一点，则（   ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．该“曼哈顿椭圆”的面积为 D．该“曼哈顿椭圆”的周长为 【变式训练10-10】“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设、，则、两点间的曼哈顿距离，已知点，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为 ． 【变式训练10-11】平面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为 . 【变式训练10-12】在平面直角坐标系中，已知点 定义为“曼哈顿距离”.若，则点P 的轨迹所围成图形的面积为 ；圆上一点与直线上一点的“曼哈顿距离”的最小值是 【变式训练10-13】在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的“曼哈顿距离”为．若点，点， (1)求； (2)已知直线，求点到直线上动点的“曼哈顿距离”最小值； (3)求平面内与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积． 【变式训练10-14】出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan  Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. (1)已知点，，求的值； (2)记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点，直线：，求； (3)已知三维空间内定点，动点P满足，求动点P围成的几何体的表面积. 【变式训练10-15】常用测量距离的方式有3种．设，，定义欧几里得距离；定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中（O为坐标原点）． (1)求满足的点H的轨迹所围成的图形面积； (2)若，，求的取值范围： (3)动点P在直线上，动点Q在函数图象上，求的最小值． 题型11：其他新曲线 （一）单选题 【典型例题1】曲线：，其中，均为正数，则下列命题错误的是（    ） A．当，时，曲线关于中心对称 B．当，时，曲线是轴对称图形 C．当，时，曲线所围成的面积小于 D．当，时，曲线上的点与距离的最小值等于 【答案】C 【分析】根据给出的的值，A项从而可判断求解，B项，不难发现其曲线关于对称，从而判断求解；C项利用转化法不难证明曲线上任意一点到原点的距离大于或等于，从而可判断求解；D项结合的取值范围，即可判断求解. 【详解】对A：当，时，，即，由函数为奇函数其关于原点 中心对称，所以得关于中心对称，故A正确. 对B：当，时，，对于曲线上任意一点， 则点关于直线对称点也在曲线上，所以曲线关于直线对称，故B正确. 对C：当，时，，所以，，可知曲线图象是一个封闭的图形， 所以可设曲线上任意一点，且到原点距离， 又因为，所以， 因为，所以，所以当，即或， 而此时，又因为曲线是个封闭图形，所以其面积，故C错误； 对D：当，时，，所以，，设曲线上任意一点，则， 又因为，所以，因为，所以， 所以当，即或时，有最小值，所以的最小值为，故D正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：C项中转化法求出曲线上任一点到原点距离都大于或等于，从而可求解；D项中根据的取值范围从而可求出最小值. 【变式训练11-1】数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过 C．曲线与有8个交点 D．曲线所围成图形的面积小于2 【变式训练11-2】已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【变式训练11-3】是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（     ）. A． B． C． D． 【变式训练11-4】已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（   ） A．曲线围成的图形的面积为 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．曲线有且仅有2条对称轴 【变式训练11-5】如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则下列说法错误的是（   ）    A．开口向上的抛物线的方程为 B．四叶图上的点到点的距离的最大值为 C．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2 D．四叶图的面积小于32 【变式训练11-6】在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”是；当是原点时，定义的“伴随点”是它自身；定义曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线为曲线的“伴随曲线”.则下列命题中，真命题的序号是（    ） ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点； ②圆心在坐标原点的单位圆的“伴随点曲线”是它自身； ③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称. A．② B．③ C．①② D．②③ 【变式训练11-7】如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法不正确的是（   ）    A．关于直线对称 B．的弦长最大值大于 C．直线被截得弦长的最大值为 D．的面积大于 （二）多选题 【典型例题】（多选题）我们把形如的曲线叫作拉梅曲线，该曲线是法国数学家加布里埃尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的．下列说法正确的是（    ） A．若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为 B．若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于 C．若拉梅曲线与曲线恰有4个公共点，则 D．若为拉梅曲线上第一象限内一点，则 【答案】BCD 【分析】对拉梅曲线的理解后，根据在特定参数下曲线的性质和所围成区域面积的计算，通过分析各个选项，结合拉梅曲线的基本定义和性质，逐一验证每个选项的正确性即可求解． 【详解】当时，拉梅曲线方程为为菱形，与坐标轴交于点，， 则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为2ab，A不正确． 当时，根据对称性，不妨考虑拉梅曲线在第一象限的情形， 此时由可得，下证， 即证，即证， 即证，即证，即证， 即证，即证，这显然成立． 因为（）表示圆心为，半径为a的四分之一圆弧， 所以其与第一象限围成的封闭区域的面积为， 则拉梅曲线与第一象限围成的封闭区域的面积小于， 则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于，B正确． 当拉梅曲线与曲线恰有4个公共点时， 根据对称性可知，它们在第一象限恰有1个公共点，由， 整理得恰有1个正根，则， 解得，即，C正确． 若为拉梅曲线上第一象限内一点， 则，从而，D正确． 故选：BCD． 【变式训练11-1】（多选题）在平面直角坐标系中，定义原点的“相伴点”是原点，当不是原点时，的“相伴点”为．平面曲线上所有点的“相伴点”所构成的曲线定义为曲线的“相伴曲线”，则下列说法正确的是（   ） A．若的坐标为，则的“相伴点”的坐标为 B．若不在直线上的点的“相伴点”是点，则直线与直线关于直线对称 C．若曲线是以原点为圆心的圆，则其“相伴曲线”也是圆 D．若曲线是一条直线，则曲线的“相伴曲线”也是一条直线 【变式训练11-2】（多选题）“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（    ） A．点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6 B．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7 C．若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为 D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为 【变式训练11-3】（多选题）如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线绕坐标原点分别旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影区域），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，则（    ）    A． B．的面积为16 C．的值比32小 D．直线截第二象限“花瓣”的弦长可能为 （三）填空题 【典型例题】1688年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：.若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为 .    【答案】 【分析】互换方程不变，可得笛卡尔叶形线关于直线对称，求出曲线与直线在第一象限的交点，数形结合求解. 【详解】在方程中，互换得，方程不变，所以笛卡尔叶形线关于直线对称，令，得，解得或，即笛卡尔叶形线与在第一象限的交点为，由图象知，笛卡尔叶形线上第一象限内的点离原点距离最大，所以的最大值为. 【变式训练11-1】卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是 . ①卵圆关于轴对称 ②卵圆上不存在两点关于直线对称 ③线段长度的取值范围是 ④的面积最大值为 （四）解答题 【典型例题】对于椭圆E：，定义其“椭圆值函数”.对于平面上的点，以及，，若，则称A，B关于点P“-共轭”，它们互为“-共轭点”；如果A，B还满足同时在椭圆E上，则称A，B为点P的“-共轭点对”，对于椭圆：. (1)已知点，，若A，B关于点P“-共轭”，求点B的坐标； (2)对椭圆外任意点P，证明：点P的“-共轭点对”必存在； (3)若点P在直线上运动，，且A，B为点P的“-共轭点对”，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用A，B关于点P“-共轭”的定义计算得解. （2）利用A，B为点P的“-共轭点对”的定义列出方程组，再判断方程组有解即可. （3）利用（2）的信息求出直线方程，再与椭圆方程联立，利用韦达定理、结合三角形面积公式求出函数关系，借助对勾函数单调性求出最大值. 【详解】（1）依题意，， 则，，而， 因此，，所以点. （2）设，，，并记， 则，因此， 即， 于是，即， 因此只要证明方程组有解即可，令，，，， 则只要证明方程组有解即可，而点P在椭圆外，则，即， 圆的圆心到直线的距离， 因此直线和圆相交，即方程组有解， 所以存在点A，B使得它们关于点P构成“-共轭点对”. （3）设，，，由（2）知直线的方程为， 由消去得，， 又，则 ，令，函数在上单调递增， 当时，，即当时，， 所以面积的最大值为.    【变式训练11-1】定义:若点（x0，y0），（x0’，y0’）在椭圆M:（a > b > 0）上，并满足，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点（x0，y0）关于M的一个共轭点为（x0’，y0’）.已知点A（2，1）在椭圆M:上，O是坐标原点. (1)求点A关于M的所有共轭点的坐标: (2)设点P，Q在M上，且∥，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值. 【变式训练11-2】定义：对于椭圆上不同的两点，，若向量，满足，则称点为该椭圆的一个“类共轭点对”，点为一对类互为共轭点．已知为坐标原点，点，是焦距为4的椭圆的一个“0类共轭点对”，且． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点是椭圆上的一个动点，点是上不同的两点，且都与点是一对类互为共轭点，点关于轴的对称点为，若直线的斜率都存在，设直线的斜率分别为，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式训练11-3】定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求“共轭点对”中点所在直线的方程； (3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 【变式训练11-4】已知椭圆的左、右焦点分别为，直线l的斜率为k，在y轴上的截距为m. (1)设，若的焦距为2，l过点，求l的方程； (2)设，若是上的一点，且，l与交于不同的两点A、B，Q为的上顶点，求面积的最大值； (3)设是l的一个法向量，M是l上一点，对于坐标平面内的定点N，定义.用a、b、k、m表示，并利用与的大小关系，提出一个关于l与位置关系的真命题，给出该命题的证明. 【变式训练11-5】古希腊数学家帕普斯（Pappus  of  Alexandria）在《数学汇编》中，清晰地阐述了椭圆的“焦点一准线”定义：平面内到定点的距离与到定直线：的距离之比为常数的动点轨迹为椭圆，其标准方程为，其中，点F叫做右焦点，直线叫做右准线.已知椭圆：的一个焦点为，一条准线为：.点M是椭圆的右顶点，将射线绕点逆时针旋转后得到的射线与椭圆相交于点A. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，证明：； (3)已知当时，（2）中的结论依然成立.若直线与椭圆的另一个公共点为B，经过点F且与垂直的直线交椭圆于两点C，D，求四边形面积的取值范围. 【变式训练11-6】如图，造型可以看作图中曲线的一部分，其中过原点，且上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线（）的距离之积为.    (1)求的值； (2)若点在上，求证：； (3)如图，过作两条互相垂直的弦，分别交于点，，，，其中（），求四边形的面积的最小值. 【变式训练11-7】在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线. (1)求的方程; (2)若是四边形的等线，求四边形的面积; (3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线 【变式训练11-8】在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆．椭圆过， (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在．证明：为定值． 【变式训练11-9】在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比. (1)已知的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”所得曲线的方程； (2)射线的方程，如果双曲线经“伸缩变换”后得到双曲线，若射线与双曲线、分别交于两点、，且，求双曲线的方程； (3)对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换得抛物线，如此进行下去，对抛物线作变换，得，若，，求数列的通项公式. 【变式训练11-10】已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线以坐标原点为顶点，为焦点，的一个公共点为．若，则称为“－相伴”． (1)若为“－相伴”，求直线的斜率． (2)若为“－相伴”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，，的方程为，直线与交于点，判断是否存在定点，使得直线与的倾斜角互补，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【变式训练11-11】定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. (1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (2)如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；    (3)若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围. 【变式训练11-12】已知椭圆可由椭圆绕原点逆时针旋转得到.经过（）变换：可将椭圆的方程转化为的方程. (1)若上的点经过（*）变换后得到上的对应点的坐标为，求的值； (2)设椭圆的焦点为（其中在第一象限）. （i）求的坐标； （ii）过在第一象限内的顶点作切线，过作轴的垂线，在上且在外的一点作的两条切线，切点分别为，直线和分别交直线于两点.证明：直线和的交点在定直线上. 【变式训练11-13】已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”． (1)证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式． (2)证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． (3)若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求． 【变式训练11-14】定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆：. (1)若椭圆：，试判断与是否相似?如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由； (2)写出与椭圆相似且短半轴长为b，焦点在x轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求实数的取值范围. 【变式训练11-15】我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． (1)设椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，M是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为6，求椭圆的方程； (2)如图，已知“盾圆”D的方程为设“盾圆”D上的任意一点M到的距离为，M到直线：的距离为，求证：为定值． 【变式训练11-16】定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆．已知椭圆，椭圆（且）是椭圆的相似椭圆，点为椭圆上异于其左、右顶点的任意一点． (1)当时，若与椭圆有且只有一个公共点的直线恰好相交于点，直线的斜率分别为，求的值； (2)当（e为椭圆的离心率）时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值． 【变式训练11-17】已知曲线，当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“椭圆群”． (1)求“2-1椭圆群”中椭圆的离心率； (2)若“椭圆群”中的两个椭圆、对应的t分别为、，且，则称、为“和谐椭圆对”．已知、为“和谐椭圆对”，P是上的任意一点，过点P作的切线交于A、B两点，Q为上异于A、B的任意一点，且满足，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；否则，说明理由． 【变式训练11-18】造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为    (1)求a的值; (2)当点在C上时，求证： (3)如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值. 【变式训练11-19】若一个椭圆的焦距为素数（素数又叫质数，即大于1，只能被1和本身整除的自然数），且离心率的倒数也为素数，则称这样的椭圆为“朴素椭圆”. (1)证明：椭圆为“朴素椭圆”； (2)是否存在实数，使得椭圆为“朴素椭圆”？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (3)设斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，且与交于两点，，试问是否为“朴素椭圆”，说明你的理由. 【变式训练11-20】如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. (1)求“等差椭圆”的离心率； (2)在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且. （ⅰ）求与和都相切的直线的方程； （ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值. 【变式训练11-21】已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． (1)写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； (2)已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； (3)若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 【变式训练11-22】．阅读材料： 在平面直角坐标系中，若点与定点（或的距离和它到定直线（或）的距离之比是常数，则，化简可得，设，则得到方程，所以点的轨迹是一个椭圆，这是从另一个角度给出了椭圆的定义.这里定点是椭圆的一个焦点，直线称为相应于焦点的准线；定点是椭圆的另一个焦点，直线称为相应于焦点的准线. 根据椭圆的这个定义，我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离.若点在椭圆上，是椭圆的右焦点，椭圆的离心率，则点到准线的距离为，所以，我们把这个公式称为椭圆的焦半径公式. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的右焦点为，点是该椭圆上第一象限的点，且轴，若直线是椭圆右准线方程，点到直线的距离为8. (1)求点的坐标； (2)若点也在椭圆上且的重心为，判断是否能构成等差数列？如果能，求出该等差数列的公差，如果不能，说明理由. 【变式训练11-23】过抛物线上任意一点能作圆的两条切线，与交于另外两点，，若直线也与相切，则称圆具有性质．已知抛物线的焦点为，圆：在内部，过上一点作的两条切线，分别交于点，． (1)若，点，求； (2)若，，判断圆是否具有性质，并说明理由； (3)若，圆具有性质，求． 【变式训练11-24】定义：在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为2，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，判断：在点处的切线是否为的等线，并说明理由． 【变式训练11-25】若曲线C上的动点P沿着曲线无限远离原点时，点P与某一确定直线L的距离趋向于零，则称直线L为曲线C的渐近线．当渐近线L的斜率不存在时，称L为垂直渐近线．例如曲线具有垂直渐近线；当渐近线L的斜率存在且不为零时，称L为斜渐近线，例如双曲线存在两条斜渐近线． (1)请判断正弦曲线是否存在垂直渐近线或斜渐近线，不必说明理由； (2)证明曲线存在垂直渐近线、斜渐近线； (3)求曲线的渐近线，并作出曲线的简图． 【变式训练11-26】在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点绕原点逆时针旋转后得点，且旋转变换的表达式为，曲线的旋转变换也如此． (1)将点绕原点逆时针旋转得到点，求点坐标； (2)已知曲线，绕原点逆时针旋转得到曲线． （ⅰ）求曲线的方程； （ⅱ）P为曲线上一点，P不在x轴上，过P作交曲线于B，D两点，求证：BD与曲线在P点处的切线垂直． 【变式训练11-27】已知关于坐标旋转的结论：在平面直角坐标系中，将任意向量绕原点，沿逆时针方向旋转角，会得到向量. (1)将绕着原点沿逆时针方向旋转后得到，且，求的坐标； (2)若为曲线上任意一点，将绕着原点沿逆时针方向旋转后得到，记点的轨迹曲线为. （i）求的方程； （ii）若等腰直角的三个顶点均在曲线上，求面积的最小值. 【变式训练11-28】平面直角坐标系中， ，为不同两点，为线段的中点，若点满足，则称为，的“相关点”. (1)设，，若点是，的“相关点”，求的值； (2)对于，设，，若坐标轴上不存在，的“相关点”，求的所有可能取值； (3)设，，已知曲线，若对于任意，曲线上均存在，的“相关点”，求的取值范围. 【变式训练11-29】在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点P绕坐标原点O逆时针旋转角度后变为点，点的坐标为，则有如下的坐标关系：，据此回答下列问题： (1)曲线绕坐标原点O逆时针旋转角度后变为曲线，求曲线的方程与离心率； (2)已知曲线，动直线与曲线从上至下交于两点，动直线与曲线从上至下交于两点， ①是否存在定点F使得为定值，若存在，请求出一个点的坐标：若不存在，请说明理由； ②求四边形面积的最大值． 【变式训练11-30】阅读材料： 在平面直角坐标系中，若点与定点（或的距离和它到定直线（或）的距离之比是常数，则，化简可得，设，则得到方程，所以点的轨迹是一个椭圆，这是从另一个角度给出了椭圆的定义.这里定点是椭圆的一个焦点，直线称为相应于焦点的准线；定点是椭圆的另一个焦点，直线称为相应于焦点的准线. 根据椭圆的这个定义，我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离.若点在椭圆上，是椭圆的右焦点，椭圆的离心率，则点到准线的距离为，所以，我们把这个公式称为椭圆的焦半径公式. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的右焦点为，点是该椭圆上第一象限的点，且轴，若直线是椭圆右准线方程，点到直线的距离为8. (1)求点的坐标； (2)若点也在椭圆上且的重心为，判断是否能构成等差数列？如果能，求出该等差数列的公差，如果不能，说明理由. 题型12：圆锥曲线与数列 【典型例题1】已知椭圆：的焦距和短轴长相等，且长轴长与焦距之差为． (1)求椭圆的方程； (2)按下面方法进行操作：过点作两条互相垂直且不与坐标轴重合的直线与，直线交椭圆于，两点，直线交椭圆于，两点，令弦与的中点分别为与，直线与轴交于点，其中相互平行，直线相互平行． （ⅰ）证明：为等比数列； （ⅱ）记的面积，数列的前项和为，若对于，均有，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）的最小值为. 【详解】（1）设焦距为，由题意得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）由题意，设直线的斜率为k，则的斜率为， 因为直线过点，所以方程为， 与椭圆联立，整理得， 设，则中点的横坐标， 纵坐标，即， 同理直线的方程为， 与椭圆联立，得， 设，则中点的横坐标， 纵坐标，即， 则直线的斜率， 则直线的方程为， 令，解得， 所以是以1为首项，为公比的等比数列. （ⅱ）的面积可分为和的面积之和（在x轴上，在x轴两侧）， 则的长度为， 又， 则， 令， 设， 令，当且仅当时取等号， 所以， 因为在单调递增，所以， 则，当且仅当，即时取等号， 此时， 因为是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的前项和， 当，， 因为对于，均有，所以的最小值为 【典型例题2】已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求的坐标； (2)证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，公比为； (3)证明见解析. 【详解】（1）∵渐近线为．又过点， 代入双曲线的方程得，，即双曲线的方程为， 若，则过对应的直线方程为，与双曲线联立得： 或（舍去）． 代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点． （2）过斜率为直线为：， 与双曲线联立得：， 因为，则， 由韦达定理得， . 将代入直线方程，并取相反数得 ， ①， ②， 得，由条件可知首项为， 所以数列是公比为的等比数列． （3）要证明为定值，只需证明． 与求面积时，都看作以为底， 则原问题转化为高相等，即需证明两点到直线的距离相等， 进而转化为证明，即只需证明，以下为其证明. 将点的坐标代入双曲线方程得到两式作差并整理得： ，由合比的性质得，③， 同理可得④， 由第（2）问的①②可知数列是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列. ④式可化为⑤， 由③⑤两式得到：. 故，所以为定值. 【典型例题3】平面直角坐标系中，已知点和动点，以线段为直径的圆始终与轴相切，记点的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的标准方程； (2)按照如下方法依次构造点列(其中 ):设，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点. (i) 求证: 数列 和 均为等比数列; (ii) 记 的面积为 ，当 时，求证: . 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）设动点的坐标为，则的中点为， 以为直径的圆的半径， 因为该圆与轴相切， 所以， 化简得， 所以曲线的标准方程为. （2）（i）过且斜率为的直线方程为： 代入得， 由韦达定理：①, 设直线的方程为 ，代入得, 则,可得②， 同理，由 ，可得③, 则直线的斜率 直线的方程为：， 代入化简得（*）， 将②③代入 ，结合①可得 ， 代入（*）式，化简得， 由于，满足， 则，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）可得，， ， ， ， 代入得， 化简得， 所以是首项为，公比为2的等比数列，. 其中， . , , 由于, ， 所以 综上得证. 【变式训练12-1】已知点和是椭圆上的两个点． (1)求的方程； (2)过点作的切线，切点为． （i）求数列的通项公式； （ii）设数列的前项和满足，，将数列中属于的项去掉后，中余下的项从小到大排列，得到数列，记的前项和为，求满足的最小的值． 【变式训练12-2】数列、构成点列，点列均在直线上，O为坐标原点．椭圆，且． (1)求数列、的通项公式； (2)若点、在椭圆上，求椭圆C的离心率； (3)若直线与椭圆交于、两点且，椭圆离心率为，证明：． 【变式训练12-3】已知椭圆的离心率. (1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程. (2)若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设. ①求； ②记，求数列的前项和. 【变式训练12-4】在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换. (1)若曲线的方程为. （i）求经过伸缩变换后所得到曲线的标准方程； （ii）设曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线与曲线交于M，N两点，直线与交于点T，证明：点T在一条定直线上； (2)已知，抛物线经过伸缩变换，得到抛物线，设，，.求数列的前n项和. 【变式训练12-5】已知双曲线的渐近线方程为，点在上．按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记． (1)求； (2)求数列的通项公式，并说明理由； (3)记的面积为，证明：． 【变式训练12-6】双曲线冷却塔模型的外形如图1，是由双曲线的右支的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图2），其中双曲线冷却塔模型的上、下口是分别由的右支上的点、点旋转成的圆，的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为，高为. (1)如图3所示，在所在的平面内，以的实轴所在的直线为轴，虚轴所在的直线为轴，建立直角坐标系，求的方程； (2)按照如下方式依次构造点，为点关于轴的对称点，过作与平行的直线与的右支交于点，记的坐标为. ①求证：数列为等比数列. ②求数列的前项和. 【变式训练12-7】已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为. (1)求点，的坐标； (2)记，证明：数列为等比数列； (3)为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值. 【变式训练12-8】在矩形中，，以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，点、满足，直线与直线交于点，记点及其关于轴、轴和原点的对称点的轨迹为． (1)求的方程； (2)点在上，按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与交于另一点为关于轴对称点． （Ⅰ）证明为等比数列； （Ⅱ）记为的面积，求数列的通项公式． 【变式训练12-9】已知抛物线的准线与圆相切． (1)求抛物线E的方程； (2)依次构造点列，，，．设，，，过点作斜率为的直线与曲线E分别交于点，，直线与曲线E交于另一点，直线与曲线E交于另一点，直线与x轴交于点．    （ⅰ）求数列和的通项公式； （ⅱ）记的面积为，当时，求证：． 【变式训练12-10】已知抛物线C：上的一点，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一点，且关于y轴的对称点为，记的坐标为． (1)求抛物线在点处的切线方程； (2)求证：数列是等差数列，并求，的表达式； (3)求的面积． 【变式训练12-11】已知抛物线，点在上，为常数，，按照如下方式依次得到不同的点及：过点作斜率为的直线与交于点，过点作斜率为的直线与交于点．设直线交轴于点，直线交轴于点，记点的横坐标为． (1)若，求； (2)求证：数列为等差数列； (3)记的面积为，令求证：当时，． 【变式训练12-12】在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线，关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比. (1)已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的方程； (2)射线的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆，分别交于两点，，且，求椭圆的方程； (3)对抛物线，伸缩变换，得抛物线；对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，…，若，，若，是数列前项和，求.（注：.） 【变式训练12-13】已知抛物线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线与交于另一点，再过点作斜率为的直线与交于点，记的坐标为． (1)证明：数列是等差数列； (2)设的面积为． （ⅰ）证明：数列为常数列； （ⅱ）为何值时，取得最大值，并求出该最大值． 【变式训练12-14】已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于另一点，当（为坐标原点）的面积为1时，求直线的方程； (3)若对，点都在双曲线上，且，设.证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式. 【变式训练12-15】已知点在抛物线上，的焦点为． (1)点在上，且满足，求． (2)设为常数，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线与交于点（异于点），令为关于轴的对称点，记的坐标为，且． （ⅰ）若，求； （ⅱ）若，设点到轴的距离为，求数列的前项和． 【变式训练12-16】已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设． (1)求t的值； (2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； (3)求的面积． 【变式训练12-17】已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为. (1)求点的轨迹方程； (2)设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知. （i）求数列的通项； （ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值. 【变式训练12-18】已知，抛物线的准线与交于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知圆心在轴上，半径为的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点. （i）证明：数列为等差数列； （ii）过点作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $第22讲圆锥曲线新定义题型归纳 录 题型01：丹德林双球与圆锥曲线的立体视角 2 题型02：与斜率和，差，积，商有关的轨迹问题与应用 题型03：圆锥曲线第二定义与应用… 9 题型04：如何用形折出圆锥曲线。 15 题型05：双纽线 21 题型06：心形线.… 31 题型07：卡西尼卵阴形线 40 题型08：四叶草曲线… 53 题型09：黄金椭圆、双曲线… 65 题型10：曼哈顿距离… 75 题型11：其他新曲线 97 （一）单选题 97 (二)多选题… 106 (三)填空题… 112 (四)解答题 114 题型12：圆锥曲线与数列… 173 解题策略 1、常见圆锥曲线新定义问题处理思路 （1)将新定义问题转化为常规问题例如“分隔线”问题转化为直线与曲线位置关系的判定. (2)反客为主：若直接求解困难，可逆向分析.例如黄金椭圆中通过切线斜率之积反推离心率. (3)新定义曲线建立方程→分类讨论→验证性质 (4)新定义交汇题联立方程→参数法一几何性质转化 (5)几何模型应用题识别模型（如阿基米德三角形）→应用性质（如中线平行、面积最小值） 2、核心原则 (1)定义优先：紧扣新定义的数学表达，避免套用常规套路。 (2)参数为王：复杂问题引入参数简化运算，如双曲线有理参数法」 (3)图形辅助：动态绘制示意图，直观捕捉对称性、范围等关键信息. 3、解题技巧与思想方法 (1)分类讨论与特殊化验证 当新定义涉及范围限制时，需分区间讨论， 特殊点验证：代入特殊点（如原点、顶点）快速判断选项. (2)数形结合与动态分析 绘制示意图辅助理解例如“双扭线”（新定义曲线）的对称性分析. 动态轨迹：若问题涉及动点轨迹（如阿基米德三角形顶点轨迹），可结合参数方程与几何性质推导。 题型01：丹德林双球与圆锥曲线的立体视角 【典型例题】如图所示，在圆锥内放入两个球Q,O2它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图 中粗线所示)分别为⊙C,⊙C2,这两个球都与平面o相切，切点分别为F,E,丹德林(G·Dandelin)利 用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆，F,F为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双 球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为30°，球O,O2的半径分别为1、4，则椭圆的长轴长为 .(公 众号：凌晨讲数学) 解析：如图，A、B为圆锥的一条母线与球O,、O的切点，连接O,O2、OB、O,A,则OB⊥AB、O,A⊥AB, 连接0E、O,P、PF、O,A、O2B,过O作OD⊥O2B交于点D,则∠0,0D=30°，在直角△O,0,D中， D0,=4-1=3,所以cos∠0,0D=cos30=0D-00-9- ,解得002=6，故 002 002 2 AB=V0,0,2-0,D2=36-9=3W5,在△0，PE和△0，PA中，0，E=0A=1,∠0，AP=L0,EP=90°，O,P为 公共边，所以△OPF兰△O,PA,有PF=PA.同理可得PF2=PB,由椭圆的定义，得长轴2a=PE+ PF,=PA+PB=AB=3V3,故答案为：3V5 【变式训练1-l】如图是数学家Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两 个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球O,球O,的半径分别为4和2，球心距 离O,O,=2V10,截面分别与球O,球O2相切于点E,F(E,F是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于 .0 OD OF 1 解析：设O,O2nEF=D,由 OD od5·a,川-2o4-4 3 O,D+O,D=210 所以DE= 4W10 42 3DF 210 2-名，所以2c=+ =2,c=1, 3 3 33 设直线EF与圆锥的母线相交于点A,圆锥的母线与球相切于B,C两点，如图所示， 则AB=AE,AC=AF,两式相加得AB+AC=AE+AF=a-c+a+c=2a,即BC=2a,过O2作 0,G10,B，垂直为G,则四边形BG0,C为矩形，所以2a=BC=210-22=6,a=3,所以椭圆的离心 率为1 1 为。3故答案为：月 【变式训练1-2】如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球O,O,,使得它们分别与圆锥的侧面和平面α相切， 两个球分别与平面a相切于点F,F,丹德林(G·Dandelim)利用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为 椭圆，F,F,为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面a截圆锥得的是焦点在x轴上，且离 心率为；的椭圆，圆锥的顶点y到椭圆项点4的距离为8、5，圆锥的母线%与椭圆的长轴44垂直，圆锥的母 3 线与它的轴的夹角为30° A2 O (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点F的直线与椭圆交于A,B两点，A,B中点为D,过点F2的直线MF2与AB垂直，且与直线1： x=4交于点M,求证：O,D,M三点共线， 解析：(1)因为圆锥的母线与它的轴的夹角为30°，所以A,VA2=60°，且VA,⊥AA,所以直角三角形VAA,中， π8V5√5 AA=A×sin33x2 =4=2a,所以a=2,又因为e=9=} 一。2所以c=1,62=a2-c=3,故椭圆的 (2)设A(x,y),B(x2,2),D(xD,yD),M(xM,yM),由题可知直线AB的斜率存在且不为0， 设其方程为y=kx-1,代入椭圆+广=1，得：(42+3)x2-8kx+4k-12=0 43 所以x+x2= 8k2 +2所以Dc 4k2+3 1 3 由题可知直线M的方程为)y=-x-),且，=4，所以w=衣 -3k 求得：ko=42+3- 3 3 4k2 4转'人ou-上=-3，所似kao=kam,枚O.D,M三点共线 44k 4k2+3 题型02：与斜率和，差，积，商有关的轨迹问题与应用 【典型例题1】已知函数(=x->),则下列说法中不正确的是() A.∫x为奇函数 B.∫(x)在其定义域内为增函数 C.曲线y=∫(x)上任意一点与A(1,0),B(1,O)两点连线的斜率之和为定值 D.曲线y=∫(x的切线的斜率的最大值为2 A 解析：A.函数的定义域是(-oo,-1U1,+o), -=-子(--，所以照数是奇弱数，故A正确 B陵la且，--5小-传 =(x-x1+ 因为x<,所以x-<0,因为>1，>1，所以小>1.则 <1,即 1 -1< <1 xX2 即1+∈(0,2，所以了(x)-<0,即x)<,,所以函数)在定义域内是增函数，故B正确： 1 1 c没数e上维点P4-0B+6子+产号生-2放cE疏 x-x- x+1 x-1 xx D.了"(=1+e(1,2),>1.根据导数的几何意义可知。曲线y=f(x)的切线的斜率的范围是1,2列，故D 错误.故选：D 【典型例题2】（多选)已知A,B两点的坐标分别为-1,0)，1,0)，直线AM,BM相交于点M(x,y),且直线AM 的斜率与直线BM的斜率之和是2，则下列说法正确的有() A.点M的轨迹关于y轴对称 B.点M的轨迹关于原点对称 C.若x>0且x≠1，则y<x恒成立 D.若x>0且x≠1，则y>lnx恒成立 解析：因直线AM,BM的斜率存在，故x≠士1.由k+kw=2可得，少+_y,=2,整理可得y=x2-1,因 x+1x-1 x+0,故得)=x-,即点N(xy)的轨迹方程为：y=x-x+士1，x≠0). =X' 如上作出函数的图象，由图易得A错误： 对于B.由f=x-1x≠士1，x≠0，可得f)=-x+=-f. 即函数∫(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确： 对于C,当r>0且x≠1时，因f)-x=x-1-x=-1<0,即得f<x恒成立，故C正确： 对于D,当x>0且x*1时，设g)=f)-hx=x--nx,因g=上-e+1=+e- -<0, e ge)=e--1=c-e-l>0,故8)在x>0且x￥1时不能恒大于0，即y>r不能恒成立，故D钻误，故远 e e BC. 【变式训练2-1】（多选）已知点A-1,0),B(1,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之和是2.设动点 M(x,y)的轨迹为曲线C,则() A.曲线C关于原点对称 B.x的范围是{xx≠O,y的范围是R C.曲线C与直线y=x无限接近，但永不相交 D.曲线C上两动点P(a,b),2(c,d,其中a<0,c>0,则Pgl。=2y22-2 解析：设M(xy),由题意kw+v=2,即+》=2.化简得y=2-1. x+1'x-1 即y=-1=x-x≠0且x≠D), x 对于A,将-x,-y)代入得-y=-x-二，即y=x-二，所以曲线C关于原点对称，故A正确； -x 对于B,由A选项知，x的范围是{xx≠0且x≠±，故B错误； 对于C,由y=x-1,得y-x=-1,当x→∞时，-1→0，即y-x→0，当x→0时，-1→0，即 y-x→0，所以曲线C与直线y=x无限接近，但永不相交，故C正确； 对行D.要使PQ1最小，则自线C在RQ两点的切线平行，由y=上得y=1+·则1+=1+之所 以。=e,因为a<0e>0,所以a=e,则Pe,e+启ee- 所以pg-2a+2c-23-c+82c-8=22w-2 4 当且仅当8c2= V2 时取等号，所以P。=2V2√2-2，故D正确。 故选：ACD 【变式训练2-2】（多选）设A,B两点的坐标分别为-5,0)，(5,0)，直线AM,BM相交于点M,且它们的斜 率之积为常数k(k≠0)，则下列结论正确的是() A.k>0时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点） B.-1<k<0时，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆（不含与x轴的交点） 6 C.k<-1时，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆（不含与x轴的交点） D.k<0时，点M的轨迹为椭圆（不含与x轴的交点） 爵标：设M田，则kw三'0 一5则w6w=-0.-0 k x+5x-5 皿得=大一25x去士均，整理面圈5文K丰，当>0时，易知点M的机透为焦点在x轴的配 曲线（不含与x轴的交点），故A正确： 当-1<素<0时，可化为 y2 =1,因为25>-25k>0,以点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆（不含与x轴的 25-25k 交点)，故B正确； <1时，可化为5+1，因为-25>25，所以点M的机迹为焦点在)福，以A,B为短轴端点M 圆（除去点A,B),故C错误； 若k=-1,则y2+x2=25x≠±5)，表示以原点为圆心，5为半径的圆（除去点A,B),故D错误；故选：AB 【变式训练2-3】（多选）已知ABC的两个顶点A,B的坐标分别是-5,0)，5,0)，且AC,BC所在直线的斜率之 积等于m(m≠0)且斜率之差等于n,则正确的是() A.当m>0时，点C的轨迹是双曲线， B.当m=-1时，点C在圆x2+y2=25上运动. C.当m<-1时，点C所在的椭圆的离心率随着m的增大而增大. D.无论n如何变化，点C的运动轨迹是轴对称图形. 解n设C.则e本5g之x封，所以ke=习 x2-25=m(x≠±5)， kac-knc=-y-_y-10y 术+5x-5-25=m(x≠5)，整理得 2525m =1(x≠±5)，nx2+10y-25n=0(x≠±5) 所以对于A选项，m>0时，点C的轨迹是去除了两个点(-5,0)，5,0)的双曲线上，故A选项错误， 对于B选项，当m=-1时，点C的轨迹为圆x2+y2=25x≠±5)，故在圆x2+y2=25上运动，故B选项正确； 对于C选项，当m<-1时，点C的轨迹为二+=1x≠5)表示焦点在y轴上的椭圆，离心率为 25-25m V-25m-25 a V-25m +工，故当m<-1时，精圆的离心率随着m的增大而被小，故C选项错误： 1+ 对于D选项，由于，点C的运动轨迹nx2+10y-25n=0(x≠±5，对任意的点(-x,y)与x,y)(x≠±5均在 nx2+10y-25n=0(x≠±5)，故曲线nx2+10y-25n=0(x≠±5)关于y轴对称，点C的运动轨迹为 x2 y2 =1(x≠±5)，可能为椭圆，双曲线，圆，但均为轴对称图形，故D选项正确.故选：BD 2525m 【变式训练2-4】（多选）设A,B两点的坐标分别是-1,0)，1,0)，直线AM,BM相交于点M,设直线AM、BM的 斜率分别为k、k2,下列说法正确的是() A.当kk=一一时，点M的轨迹是椭圆的一部分 9 B.当kk,=4时，点M的轨迹是双曲线的一部分 9 C.当k-k2=2时，点M的轨迹是抛物线的一部分 D.当k,+k2=2时，点M的轨迹是椭圆的一部分 解标设M(xy)则=本人= x当6=-时，即yy=上4 x+1x-1x2-1=91 有x2+9y=1x≠士却，故A正确： 4 当法时，有学=到，款B确当-6=成光=2， 即y=-x2+1x≠±1，故C正确： 当k+k,=2时，y十y=29=2,即y=X-1x≠士圳显然不是椭圆，故D错误 x+1x-1x2-1 故选：ABC 【变式训练2-5】（多选）在平面直角坐标系x0y中，已知A(-1,-1),B(1,-1),C(0,-2),直线AM,BM相交于点 M,且AM与BM的斜率之差为2，则MC的最小值为 +1'w=y*1 解析：设M(x川(x≠士)，则k=y+. 所以少+1-少+1三2即少=一x2》 x+1x-1 方程为y=-x,x打，所以MC=2+y+2=√y+y+2=y+ 当=-时wc= 7√7 故答案为： 2 【变式训练2-6】已知点A(2,I,B(-2,1),直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率 之差为1，过M作圆C:x2+(y-4)2=1的切线MP,P为切点，则MP的最小值为 解标：令M0m,0,由题设有kw-kw=”-)”。=-少=1，即m=4n, m-2m+2m2-4 又圆心C(0,4)且半径r=1,则MP2=CP2-r2=m2+(n-4)2-1=(n-2)2+11, 所以，当n=2时1MPmn=V1.故答案为：√1. 题型03：圆锥曲线第二定义与应用 【典型例题1】已知椭圆C:+上 =1,左焦点为F,在椭圆C上取三个不同点P、Q、R,且 3627 2 3 ∠PFQ=∠QFR=∠RFP= 2π ,则FP+FOFR的最小值为(） A.45 B. 45 C.425 D.45 36 39 39 33 解析：在椭圆C中，a=6,b=3V3,c=3,如下图所示： 椭圆的左准线为x=-Q =-12,以F为顶点，x轴的正方向为0始边的方向，FP为角0的终边，当0<日<元时， 过点P作PN⊥I,过点F作FM⊥PN,垂足分别为点N、M, 易知四边形EFMV为矩形，则MW=EF=￠-c=12-3=9,由椭圆第二定义可得 We,则 PF1 PN=2PF,又因为PNx轴，则∠FPN=0,所以，cos0= PM 所以，PM=PF cos0,因为 WEPM+MN,p2 PF-PFco0+9,所.以PF=2 9 同理可知，当0为班意角时，等式PF2Q9” sg仍然成立，同理可得FO- 2-cos0+ 2π 3 9 2cos0t40因，1232cos042co04207 FR=- 3 6-3c0s9+4n 3 FP FO FR9 9 mar2arlo+omo,】-os9-oae0+isn0-0-3 1 -sin0 2 1 2 3 392 ,故选：B 39 【典型例题2】如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),，右准线1的方程为：x=12. 0 P (1)求椭圆的方程； 1 (2在椭圆上任取三个不同点R,B,B,使∠RF=∠BFR=∠BFR.证明：FR十F阴十FR为定值.并求此 定值 解析：(1)设椭圆方程为 +京三1，因焦点为F3,0,故半焦距c=3,又石准线1的方程为x=云，从而 知Q =12,a2=36,因此a=6,6=a2-c-27=35,故所求椭圆方程为+上- =1 3627 (2) P P3 记椭圆的右顶点为A,并设∠4FP=a,(i=1,2,3)。不失一般性，假设0≤a,≤5，且a,=a, 2π 3 3 4π 03=1+ 3 又设点P在1上的射影为Q,因椭圆的离心率e=C= ,从而有 lPl=lPee-（gc-pekasaje=o-Fplksa)t=l2a. (=1,2,3). 阿实南引ma+emao+皆训 1 而c0sa,+cosa,+3 +c0cosa-cosa 4π】 sin 2c0sa1+】 3sina=0 1 1,12 1 1 12 图记+FB职为定值，综上，椭钢方程为+：可PFA 3627 【变式训练3-1】已知直线MN与双曲线C:二- =1的左右两支分别交于M、N两点，与双曲线C的右准线 a2 b2 10 相交于P点，点F为右焦点，若FM=2FN,NP=元PM(0<元<)，则实数元的值为 解析：记M、N在右准线上的射影分别为点M1、N,由FM=2FW及双曲线第二定义知：MM=2NN,, 又MM,P NNP,所以MP=2N,从面P-号PM,则A=号 1 0 M 【变式训练3-2】已知斜率为k的直线1与桶圆C:号+二-1交于A,B两点，线段AB的中点为 43 M1,m)(m>0). (1)证明：k<2 1 (2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP+FA+FB=0.证明：F风，FP,FB成等差数列，并求 该数列的公差。 解：(1)设A,,8小，则士+公-1安+公=1，两式相藏，并自-上=k得 43 43 X1-X2 +5+上十k=0.由愿设知5+五=1，上+五=m,于是k=-30 4 3 2 2 4m 3 的题设得0<m≤故k<- 2 (2)由题意得F(1,0),设P(33),则(x-1,y3)+(x-1,y)+(x2-1,y2)=(0,0) 图及盟设得无3：+x直火=少+yE2m<0,义点P在C,历以m面 P0,-P卡于是 团G-+界--+30-至2-子F非2-之 2 所以F1+F历非4-+x,)=3.放21历HF+1P历，即，历历成等差数列设该数列 的公若为d.则2d历-F非卡写-名卡G+户-4式@，将m-代入0两k=1所 4 7 以1的方程为y=-x+一，代入C的方程，并整理得： 4 7-14+0故写+写=2.=8代入3的d3 所以该数列的公差为3V21或 4 28 28 3v21 28 【变式训练3-3】证明：角度形式焦半径：上加下减，即 63 2F2= a-c…cos0lPFl= b2 a+ccos日AB= 2ab2 a2-c2.c0s20 证明：设椭圆E: 42 b2(Q>b>O)的准线x=a与x轴交于C点，F,E为椭圆的左右焦点， c F的直线1与稀圆E交于P,Q两点设∠CF,P=0,过P,Q丙点向准线x=Q引垂线，垂足记为E,下点根 据椭圆第二定义， 1PE,=e,OE,=e.过P,Q两点再向x轴引垂线，垂是记为G,H点 OE 显然PEHCG HCF,1-1R,GHCR,1-1PR,1cos0=gc-PR,1eos0.再入 F,=e可得 PE IPE, =e B2 a --c-PF2 l.cos0 整理化简：PF,= a+c·cos0 b2 同理可得： F= a-c·cos0 4 4 类地，双自线若芳-口>06>0的一个点为R,P为双的线上作童一点。设∠PF0:a·则双自线的 b2 半径PF= 2ab2 ,若直线PF交双曲线于另一点Q,则双曲线的焦点弦PQ a2 -c2 cos2 a (焦半径公 ccosa±a 式中取“+”还是取“一”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负) 【变式训缘3-4】设圆后+茶-1(a办>0)的左、右焦点分别为那，（-60)·B1c0,东、右准线方和 分别为4：x=C,么：x=如图，由椭因上的动点P(X0y。)向，马分别作垂线，垂是分别为N,N,· PFPF 椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率e= PNPN (a2-b2=c2,c>0).请利用椭圆的第二定义证 12 明：焦半径公式PF=a+ex,PF=a-exg (2)借助(1)中焦半径公式解决问题：已知4B为椭圆二+广=1上两个不同的点，F为右焦点， 1612 AF+BF=6,若线段AB的垂直平分线交x轴于点T,求FT. 解析：(1)由e= 限P得得=ep,P=epN-(x+g PFPF P--所以PA=ePw=+）a+P=ePN=-a- 即PF=a+exo,|PF=a-ex. 2)由题意，在椭圆+5=1中，a=4,c=2,e=2F2.0)投A(xy)B(Xy) 1612 抽生半径公式得4F+-(4小4小-6，所以+与=4.所以段4的中点为 E2,+上 2 设T(m,0).由想意知，直线AB与坐标轴不平行，且直线AB的斜率kB=片二上，所以线段AB的 x1-x2 垂直平分线的斜率为-一五，则线段4B的垂直平分线方程为y=-X-5(x-2)+少十业.代入Tm,0),得 乃-y2 y1-y2 2 m-2= 2(x1-x2 2(x-x2) 2-一专5+)=多解得m=所以F可=2-3 好-别 3 2 22 B 【变式训练3-5】椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线有许多相似性质.比如三种曲线都可以用如下方式定义（又 称圆锥曲线第二定义)：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的点的轨迹为圆锥曲线.当0<<1为椭圆， 当e=1为抛物线，当e>1为双曲线.定点为焦点，定直线为对应的准线，常数e为圆锥曲线的离心率.依据上述 表述解答下列问题. 13 己知点F(L,O),直线：x=4动点E满足到点F的距离与到定直线1的距离之比为) B (1)求曲线E的轨迹方程； (2)在抛物线中有如下性质：如图，在抛物线y2=2px(p>0)中，O为抛物线顶点，过焦点F的直线交抛物线与A, B两点，连接AO,BO并延长交准线1与D,C,则以CD为直径的圆与AB相切于点F,以AB为直径的圆与 CD相切于CD中点，那么如图在曲线E中是否具有相同的性质？若有，证明它们成立；若没有，说明理由. c=1 c=1 解析：(1)由题知，曲线E的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c1,所以 a=2 a 2 所以椭圆E的轨迹方程为二+上-1 43 (2)以AB为直径的圆与CD不相切.理由如下：当焦点弦AB的最大值为长轴长，此时圆方程为x2+y2=4,圆 与直线CD相离：当B上x辅时焦点弦B的最短，此时国方程为x-+广-}，圆与直线CD相离：以CD为 直径的圆与AB相切于点F,证明如下： 设A(x,,),B(x2,y2),直线AB的方程为x=y+1 6m x=y+1 y1+y2=- 3m2+4 通于上化简海3m+4y产+6m90间达宽莲得 9 yy=- 3m2+4 直线AM的方程为y=”,(x-2),令x=4,得D4, 2y X-2 x1-2 同理C42 CF.DF=9+ 4y y2 七3-2 （x-2)(x2-2) (-2刘3-2)=(my-lm,-)=my-m片+，+1=m2×,9 3m2+4m 、-6m+1=,4 3m2+43m2+4 :.CF.DF=9+ G-2,-2=0,:CF⊥DF,所以，以CD为直径的圆过点F 4y y2 又因为CD中点坐标为E 4,+ 2山方2品m. x-2'x2-2my-1'my2-1(my-1(my2-1) E(4,-3m) 所以kEF= -31m =-m,:EF⊥AB,所以CD为直径的圆与AB相切于点F 4-1 14 题型04：如何用矩形折出圆锥曲线 【典型例题1】如图，矩形ABCD中，|AB=2a,|BC=2b(a>b>0).E,F,G,H分别是矩形四条边的中 点，R,S,T是线段OF的四等分点，R',S',T是线段CF的四等分点.证明直线ER与GR'、ES与GS'、 T与G7的交点MN都在样因后+号=a>6>0)上 G E 解析：由趣得E0,-)，R40),所以三、4 49 0。所以吉线R的方积为)-色-6，@，自题得 6-3b G0,b.Ra,,所以ka b 4 b,所以直线GR'的方程为y=- x+b,②，联立方程①②解之得 4a 0-a 4a x=8.y=15b 17少 17 所以直线ER,GR'的交点为L8a,156 17'17 64a2225b2 代入椭圆方程得289+289=1，所以直线ER,GR'的交点L在椭圆上.同理ES与GS”、ET与GT'的交点M, a b2 V祁有年随员x,+2三1（口>b>O)人● 【典型例题2】把矩形的各边n等分，如图连接直线，判断对应直线的交点是否在一个椭圆上，为什么？ 解析：设矩形A'ABB'的长A'A=a,宽AB=b,以AA的中点O为原点，AA所在的直线为x轴，AA的中垂线 为指，建立直角坐标系。则号4行0©行》日于整个图形关于)轴有，我们只碍究第一象， 设M点是BB上自右到左的第k(0<k≤n,k∈N)个分点，N点是AB上自上到下的第k(0<k≤n,k∈N)个分 点，则传小Ng》 x2 B) 1 ③，因为点 2 2 15 P(x,y)是直线AM与A'N的交点，所以点P(x,y)满足方程③ 故点P在椭圆上. A 0 【典型例题3】如图，在矩形ABB'A'中，把边AB分成n等份.在边BB的延长线上，BB'的n分之一为单位长 度连续取点.过边AB上各分点和A作直线，过BB延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P, P在什么曲线上运动？ ⊙ A 解析：设AA'=2a,AB=2b,取AA所在的直线为x轴，AA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设第m组 对应直线AQ与A'R的交点为P(x,y),且P(x,y)点在第一象限， 2bm 2bm 则A'(-a,0),Ra, n (a.0,ea+28 直线AR的方程为y=”(x+a)=bm(x+a,①直 2a an 线A0的方程为y a+2am 一x-al=0(x-a,② am -a 有坐标满足方@②，02用来得驴2a,即之 。存=1(P)点在第一象限，所以点P在双自 线的右支上半部分上运动. 【典型例题4】如图，将一张长方形纸片ABCD的一只角斜折，使点D总是落在对边AB上，然后展开纸片，得 到一条折痕1.这样继续下去，得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？ 16 B D 解析：设点D折后落到AB边上的点D,则线段DD'被折痕I垂直平分，在折痕I上取一点M,且MD'⊥AB, 则可得，MD'=MD,即折痕围成的轮廓上的任意一点到定直线AB的距离与它到定点D的距离相等，∴根据抛物 线的定义可知折痕围成的轮廓曲线是以D为焦点，AB为准线的抛物线。 D' B M 【变式训练4-1】如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,E,F,G,H,分别是矩形四条边的中点，点Q在 直线HF上，点N在直线BC上， OO=kOH,CN=kCF,k∈R,直线EQ与直线GN相交于点R,则点R的轨迹方程为 R G D R E 解析：以HF所在直线为x轴，GE所在直线为y轴建立平面直角坐标系（见右图）， 因为AB=8,BC=6,所以00,0)，H(-4,0),F(4,0,E0,-3),G(0,3,C(4,3), 所以0ǖ=(-4,0)CF=(0,-3),0C=(4,3),又因为00=k0i,CN=kCF, 所以00=（-4k,0),CN=(0,-3k),所以2(-4k,0),N(4,3-3k) 圆的E0,-3.0-4k,0,所以线0的方程为y三3面 因为G0,3),N(4,3-3k),所以直线GN的方程为y= 3k x+3②.由①可得 4 3x k=- 4y+3 x≠0)，代入②化简可得上2_x2 =1，(x≠0)，结合图象易知点R可到达G0,3),但不可 916 17 到达E(0,-3),所以点R氧迹方程为。。=y≠-3)： 916 故答案为： y2 x2 =1,y≠-3. 916 【变式训练4-2】在矩形ABCD中，AB=23,AD=2,E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF ,GE所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系（如图所示）.若R、R分别在线段OF、CF上.且 ORCR'1 OF CF n y D G E (1)求证：直线ER与GR'的交点P总在椭圆2： +y=1上： 3 (2)若M、N为曲线2上两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为了，求证：直线MN过定点. 解析：(1) o8--小5"） OFCFn 又G(0,1)则直线GR'的方程为y=- n 1 1 V=- x+1 ①，又B(0,-1则直线BR的方程为y=5x-1②，联立0②： 3n 2V3nn2-1 解得P n n2+1’n2+1 2v3n 12 n2+1 n2-1 2 s1’ :直线以与Gg的交点P在桶圆Q:号+少=1 3 n2+1 @0当线vm率不，使w:5c1间，列w,写y写 1 koskey=写不合题意， ②当直线MN的斜率存在时，设MN:y=+b,M(x1,y),N(x2,y2). y=kx+b 得1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0,则△=12(32-b2-1>0,x+x2 -6b 联立方程+y= 1+3k2, 3 18 ,又k·k=-1-1kxx3+kb-x+x2+b- X X2 XX2 3 3-255+3616-++36-=0,将+%-0-代入上式得6-3.直线 -6b 1+3k2 过定点T(0,-3) 【变式训练43】如图，矩形ABCD中，AB=4,|BC=2.A、B、A、 B B,分别是矩形四条边的中点，设0R=10A,,A,T=(1-2)4,C(0<入<1). P D (1)证明：直线BR与，T的交点M在椭圆K:+y广=1上： 4 (2)已知PQ为过椭圆K的右焦点F的弦，直线MO与椭圆K的另一交点为N,若MN/1PQ,试判断 |PQ,MN4A是否成等比数列，请说明理由. 解析：(1)设M(x,y),依题意，R(22,0),T(2,1-元)，B,(0,-I),B2(0,1),则直线B,R的方程为y+1 2元x@, 直线87的方程为5-1：今@ 区②得：P-上，即+Y=山敌直线BR与，T的交点M在椭圆k:+1上 4 4 (2)依题意，直线PQMO的斜率均不为零，故设直线PO的方程为x=my+√5， x2 直线MO的方程为x=my,由4 )=1得：(m+4y2+25my-1=0, x=my+3 2v3m 1 .y+y2= m2+4=- m2+41 ∴Pg=1+m2y-y=+m 2√3m 4(m2+1) m2+4 m2+4 +y2=1 由4 得y=± 4Vm2+1 m2+4 :MNI=+myy= x=my √m2+4 AA=4,MN2=PQAA2,即PO MN A A2成等比数列。 【变式训练4-4】已知常数a>0,在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O为AB的中点，点E、F、G分别 19 在BC、CD、DA上移动， 18 C-CD-DA,P为GE与0F的交点（如图，问是否存在两个定点，使P到 BE CF DG 这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 E P B x 餐析按恩意有4-20B20,C24a,D24a,设C-5- =k(0≤k≤1)由此有E(2,4ak), F(2-4k,4a,G(-2,4a-4ak),直线0F的方程为：2ax+(2k-1)y=0① 直线GE的方程为：-a(2k-1)x+y-2a=0②，从①，②消去参数k,得点P(x,y)的坐标满足方程 x -d- 2a2x2+y2-2ay=0,整理得：1+ a2 2 当2=二时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点 2 1 当a2≠。时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长 2 当0<a2<三时，点P到椭圆两个焦点 V2 的距离之和为定值√2 当口>时，点P到椭圆两个焦点 的距离之和为定值2a. 2 【变式训练4-5】如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为10.0)，点C的坐标为0,10，分别 将线段OA和AB十等分，分点分别记为A,A2,,A,和B,B2,…,B。,连接OB,过A:作轴的垂线与OB交于点 P(i∈N*,l≤i≤9： (1)求证：点P{i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程； (2)过点C作直线1与抛物线E交于不同的两点M,N,若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线1的方程 解析：(1)依题意，过Ai∈N,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x=i,B的坐标为(10，)，所以直线 x=i OB的方程为y= x.设P的坐标为(x,y),由i得y 0 y=,x =2,即x2=10y所以点 10 10 Pi∈N,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2=10y 20 y=kx+10 (2)依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为y=kx+10由 1x2=10y 得x2-10k-100=0,此时 A=100k2+400>0,直线S与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.设M(x,乃)，N(x2,y2),则 无=-100圆为5c业=45c,所以=4又写，<0.所以x=-4:分别代入上述韦达 x1+x2=10k -3x2=10k 3 定理，得 -4x=-100' 解得k=±2所以直线/的方程为y=±3x+10,即3x-2y+20=0或 2 3x+2y-20=0 题型05：双纽线 【典型例题1】在平面直角坐标系x0y中，把到定点F(-a,0),F2(a,0)距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为双 纽线.若a=2,点P(xo,yo)为双纽线C上任意一点，则下列结论正确的个数是() ①C关于x轴不对称 ②C关于y轴对称 ③直线y=x与C只有一个交点 ④C上存在点P,使得PF=PF A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】用定义法把动点的轨迹方程求出来(x2+y2)=8x2-y2),利用-x,-y代换，方程没有变化，可知双纽 线关于x轴，y轴，原点对称，再利用它与y=x联立方程组，解得只有一组解，可知③正确，再利用原点到 F,F的距离正好是2，可知满足题意，所以④正确，从而可以做出所有选项的判断. 【详解】①设M(x,y)到定点F(-2,0),F(2,0)的距离之积为4， 可得x+2y2+y2.Vx-22+y2=4,整理得(x2+y2)=8x2-y2) 即曲线C的方程为x2+y2)=8x2-y2) 由x用一x代换，方程没变，可知曲线C关于y轴对称， 由y用y代换，方程没变，可知曲线C关于x轴对称， 由x用-x代换，y用y同时代换，方程没变，可知曲线C关于原点对称， 图象如图所示： 21 所以①不正确，②正确： ③联立方程组 (x2+少=8(x2-少），可得x=0,即x=0,所以y=0, y=x 所以直线y=x与曲线C只有一个交点0(0,0)，所以③正确， ④原点O(0,0)满足曲线C的方程，即原点O在曲线C上，则OF=OF,, 即曲线C上存在点P与原点O重合时，满足PF=PF,所以④正确。 故选：C 【典型例题2】（多选）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其 作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距 离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.已知曲线C(如图 所示)过坐标原点O,且C上的点P(x,y)满足到两个定点F,-a,0),F,a,0)(a>0)的距离之积为4，则下列结 论正确的是() A.a=2 B.点M(x,1)(x>0)在C上，则M=2QW2 C.点N在椭圆兰+上-1上，若FN⊥F,N,则NEC 62 D.过E作x轴的垂线交C于A,B两点，则AB<2( 【答案】ACD 【详解】由题意，PFPF,=4,即Vc+a2+y.Vc-a2+y2=4, 对于A,因曲线C过原点0，将O(0,0)代入，解得a=2,故A正确： 对于B,由点M(x,c>0)在C上，得MEME=[(x+2+1][(x-2+1=4, 22 化简得x-6x2+9=0,解得x=√3，MF=V(W5+2)2+1≠2W2,故B错误； 对于C,椭圆+上=1的焦点坐标恰好为F,-2,0与F,(2,0),则FN+FN=26, 62 由FN⊥E,N,得：EN+FN=16, 尉FMEM-作N+FNE+4·VC,枚c正 对于D.设42，川，则d=2.而4eC,则=可 16 又根据勾股定理得4=16+y,则=16+y广.化简得)+16y2-16=0, 解得y2=4V5-8,y2-1=4V5-9<0,因此y<1,AB<2,故D正确； 故选：ACD. 【典型例题3】中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有 着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线也称为卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系xOy中 到两定点F,（-2,0)、F,(2,0)距离之积为4的点的轨迹C是双纽线，其轨迹为一条连续的封闭曲线C, (1)判断(-2V2,0)是否在曲线C上： 2若点Q在椭圆二+上-1上，F01FQ,证明：Q∈C; 62 (3)若直线y=x与曲线C只有一个交点，求k的取值范围. 【答案】(1)在，理由见解析 (2)证明见解析 (3)-0,-1U[1,+0j 【详解】(1)记点P(-25,0),则PF-PE2+22+2=(22°-2=4. 故点(-2V2,0)在曲线C上. (2)对于椭圆父+ 62 =1,a=√6，b=√2，则c=Va2-b2=V6-2=2, 故F、分为相后号=1的，古长 由椭圆的定义可得QF+QF=2a=2√6， 因为FQ⊥FQ,由勾股定理可得QF2+QE,2=EF,2=(2c=4c2=16, 因为l№r+l№r=l№F+l№F,+2№r№rl=16+2l№F№Fl=24, 23 所以QFQF,=4,故Q∈C. (3)任取曲线C上一点P(x,y),则PEPF=√x+2+y2Vx-22+y2=4, 即(x2+y2+4-4x小(x2+y2+4+4x=16,即(x2+y2+4)2-16x2=16, 整理可得(x2+y2)=8x2-y2）,故曲线C的方程为x2+y2)=8x2-y2), 易知原点在曲线C上，所以直线y=:与曲线(x2+y2)2=8(x2-y2)一定有公共点(0,0)， 联立儿+y)=8女-少)，给合题盒可知r1+9=8-)r无零实数解， y=kx 1-k2) 即x21+k2)=81-k2)无非零实数解， 则 1+22 ≤0，可得k2≥1，解得k≤-1或k≥1， 因此实数k的取值范围是(-o,-1U[1,+∞). 【变式训练5-1】“四二一广场”是重庆第一中学校的文化地标（如图1），广场中心的建筑形似火炬宛若花开，三 朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比乌斯带（如图2）.将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号“∞”在平面 直角坐标系中，设线段AB长度为2a(a>0),坐标原点O为AB中点且点A,B均在x轴上，若动点P满足 PA×PB=a2,那么点P的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“∞”（如图3）.若a=1,点P在第一象限 .3 且cos∠POB=4,则P=（） A B 图1 图2 图3 A. B. c.√2 D.2 【答案】C 【分析】设P(x,y),根据双纽线的定义求出点P的轨迹方程，设OP=r,∠POB=0,则P(rcos0,rsin0),代 入方程求出OP,再在POB中，利用余弦定理求出PB,即可得解 24 【详解】A(-1,0),B(1,0),设P(x,y), 由双纽线的定义得PAx PB=1, 即Vx+1)2+y2×x-1)2+y2=1, 化简得(x2+y2)2=2(x2-y2）, 显然OB=1,设OP=r,∠POB=0,则P(rcos0,rsin0）, 代入方程(x2+y2)=2(x2-y2）,得r4=2r2(cos20-sin20）=2r2cos20, 所以2-2os20-22cos0--2×2x8--4 1 由余弦定理得|PB=lOP+lOB-2 OPeos∠POB=+1-2xxIx3 31 4 2 42 所以P= 1 所以P4=P用5. 故选：C。 【变式训练5-2】（多选题）双纽线0最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他发现的曲线.在平面 直角坐标系xOy中，把到定点F(-a,0),F,(a,0)的距离之积等于a(a>0)的点的轨迹称为双纽线.已知点 P(x,yo)是a=1时的双纽线C上一点，则() A.C关于原点成中心对称 B.C上满足PF=PF,的点P有2个 C.△PFR,面积的最大值为) D.当直线y=x与C有3个交点时，k的取值范围是(-1，I) 【答案】ACD 【分析】对于A,设动点C(x,y),把(x,y)关于原点对称的点(-x,-y)代入轨迹方程，显然成立：对于B,易得 若PF=PF,I则P(xo,yo)在y轴上再根据P(xy)的轨迹方程求解即可；对于C,由三角形得面积公式 S所in∠P，所求解判即可：对于D,联立方程组，由判别式分析术解即可。 【详解】对于A,设动点C(x,y),由题可得C的轨迹方程Vx+a2+y2Vx-a)2+y2=a2, 把(x,y)关于原点对称的点(-x,-y）代入轨迹方程显然成立，故A正确； 25 对于B,a=1时的双纽线的方程为Vx+1)2+y2Vx-)2+y2=1, 若PF=PF,则P(x,yo)在FE的中垂线y轴上，故此时x。=0, 代入得y。=0,即P(0,0),所以只有一个点P,故B错误； 对于C,因为P(x,,是x+12+y2Vx-12+y=1上的一点， 故s%P州Pm∠KP所=n☑RP所 当sin∠EPF,=1,即PF⊥PF时等号成立， 下面说明垂直时可取到， PE=(-1-x,-y),PF=(1-x,-y),则PF·PF,=x+y=1, 代入Vx+12+Vx-1)2+=1, 得玉+2+1-巧，-2+1-=1，解得x,=±5，放C正确 2 对于D,直线y=x与C有3个交点时， 联立y=与Vx+1)2+y2Vx-12+y2=1, 得(1+k2)x+(2k2-2x2=0,当x=0时，适合上述方程， 当x≠0时，(1+k2)2x2+(2k2-2)=0, 即(1+k2)x2=2-2k2,则2-22>0，则-1<k<1, 所以直线y=c与C有3个交点时，k的取值范围是(-1，)，故D正确； 故选：ACD 【点晴】关键点点晴：本题D选项的关键是利用方程的思想，转化为方程根的问题即可 【变式训练5-3】（多选题）双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”.如图，曲线Cx2+y2)'=ax2-y2)是 双纽线，关于曲线C,下列说法正确的是() A.a=9 B.C上存在点(，)，使得V+>3 26 C.C上的点的纵坐标的最大值为3V迈 D.若直线y=x与C恰有一个公共点，则k的取值范围为-0，-U[1,+o】 【答案】ACD 【分析】根据图象所过的定点，即可判断A,根常方程可得0<r+y=9(:一 ≤9，即可判断B,根据方程 x2+y2 的转化，变量的转化，利用韦达定理和判别式求y得到取值范围，判断C,联立方程后，方程的根只有O,求k的 取值范围，即可判断D. 【详解】由图可知，点(3,0)在C上，所以a=9,A正确， 设线C上任-点Px,川，(+y=9-y小，可得0<+y9-59:+53. x2+y2 即C上不存在点(x,y),使得√x2+y2>3,B不正确，方程(x2+y2)=9x2-y2)可化为 x4+2y2-9x2+y2(y2+9=0,令t=x2,得2+2y2-9)t+y2y2+9=0, 4=(2y2-9}-4y2(y2+9=-98y2-9≥0， 由6+t3=-2y2-920, 可得0号，即5s)35,等号成立，枚C上的 4 4 42=y2(y2+9)≥0， 点的纵坐标的最大值为3正，C正确.直线y=:与C均经过原点(0,0)，则直线y=:与C除原点外无其他公 4 共点.联立方程组 2+y=9(x-y）整理得x1+k2-9x21-k)=0. y=kx, 当1-k2=0时，方程x=0仅有一解x=0,满足题意， 当1-≠0时，当x=0时，方程恒成立，即恒有解，当x≠0时，方程化简得2 91-2） (1+22 即当1-k2<0时，方程无解，满足题意，综上，1-k2≤0，解得k≥1或k≤-1，D正确. 故选：ACD 【变式训练5-4】造型0在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线.已知椭圆 李+3三a>b>0的左、石焦点分别为E,E,焦距为4，若动点M满足MFMF,=4,则动点M 2就是一个双纽线.下列说法正确的是」 ①轨迹2仅经过一个整点（即横、纵坐标都是整数的点）： ②右点M位于椭圆C上，且∠RM=号，则C的离心率为5 3 27 ③点M与原点0之间的距离不超过2√2； ④若直线y=:与曲线2有且仅有一个公共点，则k≥1或k≤-1. 【答案】①③④ 【分析】根据双纽线定义利用MFMF,=4求得轨迹2的方程为(x2+y2=8x2-y2）,利用换元法构造方程可 得Q经过整点(0,0)：再由椭圆定义以及余弦定理计算可知当∠FM,=?时，C的离心率为y6,由曲线方程可 得点M与原点0之间的距离为、√X2+y2 8x2-y2 18x2+y2 =2√2；联立直线和曲线Ω方程根据交点个 x2+y2 x2+y2 数解不等式即可得k≥1或k≤-1. 【详解】对于①，由题意可知E(-2,0),F(2,0), 设M(x,y),则MEME=Vx+22+y2.Vx-22+y2=4, 化简(x2+y）=8x2-y），即轨迹Ω的方程为x2+y）=8(x2-y）: 令t=x2,则(1+y2=8t-y2）,整理可得2+(2y2-8+y+8y2=0, 则△=(2y2-8-4y+8y2）≥0，解得-1≤y≤1： 当y=0时，x=0或x=2√2或x=-2√2， 当y2=1时，x=√5或x=-√5，故2经过整点(0,0)，因此轨迹2仅经过一个整点，即①正确： 对于②，若点M位于椭圆C上，所以MF+MF,=2a, (ME+ME)=MF+ME+2MFIMF=ME+ME+8=4a2. 可得MRr+ME=4a-8,又∠FM,=受，所以MFf+M=4o-8=FF=16: 可两。=6，可释C的高心率为忌-5.甲3特误 对于③，当点M与点0重合时，点M与点0之间的距离为0： 当点M与点0不重合时，点M与点0之间的距离为Vx2+y2= 8x2-y2) 8x2+y2） -22, x2+y2 x2+y2 则点M与点0之间的距离不超过2√2，即③正确： 对于④，因为直线y=x与曲线2有且仅有一个公共点，直线y=x和曲线Ω都经过原点， 因此除原点外，直线y=x与曲线2再无公共点， y=kx 由{x+y=8r-y可+r=8-), 28 81-k2） 因此当x≠0时，方程x2= 1-k2 (1+22 无解，则 ≤0， 1+k2) 解得k≥1或k≤-1，即④正确.故答案为：①③④ 【变式训练55】中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国 人喜爱.它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双 纽线.在xOy平面上，我们把与定点F(-a,0),F,(a,0)(a>0)距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线， F,F为该曲线的两个焦点.数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究.已知曲线 C:(x2+y2)=9x2-y2)是一条伯努利双纽线. (1)求曲线C的焦点F,F的坐标； (2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A,B(异于坐标原点O),使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果 存在，求出A,B坐标；如果不存在，请说明理由， (2)不存在，理由见解析 【详解】(1)方法一：设焦点E(-a,0),F,a,0)(a>0, 曲线C:(x2+y2)=9x2-y2)与x轴正半轴交于点P(3,0), 由题意知PFPF,=(3+a(3-a=9-a2=a2, 32 于是a=3:a3 2 9小小 方法二：设焦点F(-a,0)，F2a,0)a>0, 由题意知[(x+a)2+y2](x-a2+y2]=a, 即[(x2+a2+y2）+2ax][(x2+a2+y）-2ax]=a, 整理得(x+y=2a2(x2-y),于是a=-9 2 毗小月 (2)假设曲线C上存在两点A,B,使得以AB为直径的圆过坐标原点O,即OA⊥OB, 29 由题意知直线OA,OB斜率均存在， 不妨设直线OA的方程为y=kx,直线OB的方程为y=k2x, 将直线OA的方程与曲线C联立，得1+)}'x=9x21-k), 即x2= 91-k) >0 (（1+)2 解得-1<k<1,同理-1<k2<1, 因此kk2=-1不可能成立，于是假设不成立， 即曲线C上不存在两点A,B,使得以AB为直径的圆过坐标原点O. 题型06：心形线 【典型例题1】曲线y=cosx+1(0≤x≤π)和曲线x2+(y-)2=1(x≤0)组合围成“心形图”（如下图所示），记 “心形图”为曲线C,曲线C所围成的“心形”区域的面积等于() C -2 A.π+6 B.π+8 C.3π D.4π 【答案】C 【分析】首先分析在第一象限的图形，发现第一象限的面积等于曲线与，y轴的交点及坐标原点所围成的直角三角 形的面积， 由对称性可求得第四象限的面积，再计算第二、三象限面积，为两个半圆，由此可算得“心形”区域的面积. 【详解】如图所示，设F(π，0)，E(0,2),线段EF的中点为G 2 30 E F 因为曲线y=cosx+1(0≤x≤π关于点G对称， 所以可将曲线y=cosx+I(0≤x≤π)与x轴，y轴围成的区域割补为直角三角形0EF的区域， 于是曲线y=cosx+1(0≤x≤π与x轴，y轴围成的区域面积就是直角三角形OEF的面积， 即sag-oEo-2xx=x: 根据对称性，可得曲线y=-cosx-1(0≤x≤π与x轴，y轴围成的区域面积为刀， 又由线C所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为×元x+与×元x=元， 所以曲线C所围成的“心形”区域的面积等于π+π+π=3π· 故选：C。 【典型例题2】（多选题）如图，数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，爱心曲线C:x2+y2=1+xy就是其 中之一，下列结论正确的是() 44 A.曲线C上的点的横坐标取值范围是 33 B.曲线C上的点到原点的距离最大值为√2 C.曲线C恰好经过6个整数点（即横坐标、纵坐标均为整数） D.曲线C所围成的“心形”区域面积大于3 【答案】BCD 【分析】对于A,由判别式的计算即可判断，对于B,借助基本不等式即可判断，对于C,计算出所有整点即可判 断，对于D,借助割补法计算即可判断. 【详解】对于A,根据题意，曲线C:x2+y2=1+xy, 当x≥0时，曲线的方程为x2+y2=1+xy, 移项可得y2-y+x2-1=0, 关于y的一元二次方程的判别式△=（-x)-4×1×x2-1≥0， 解得2V3 x≤25，又因为x20,所以0≤x≤25， ≤x≤ 3 3 3 当x<0时，曲线的方程为x2+y2=1-y, 则曲线C关于y轴对称， 所以曲线C上的点的横坐标取值范围是 2323 33 故A错误； 对于B,当x≥0时，曲线的方程为x2+y2=1+xy, 则有x2+y2=1+y≤1++y2 ,变形可得x2+y2≤2，当且仅当x=y时等号成立， 2 又由曲线C关于y轴对称，则曲线C上任意一点(x,y)都满足x2+y2≤2， 曲线C上的点到原点的距离最大值为√2，故B正确； 对于C,曲线C:x2+y2=1+|x|y, 当x=0时，y2=1,所以y=±1，即曲线经过(0,1)，(0，-1： 当x>0时，方程为y2-y+x2-1=0,有△=x2-4x2-1=4-3x2≥0， 解得x∈0 2√3 所以x只能取整数1， 当x=1时，有y2-y=0,解得y=0或y=1,即曲线经过(1,0)，(L,1), 根据对称性可得曲线还经过(-1,0)，(-1，)，所以曲线一共经过6个整点，C正确： 对于D,因为在x轴上方，曲线围成图形的面积大于四点(-1,0)，(1,0)， (1,1),(-1,1)围成的矩形面积1×2=2， 在x轴下方，图形面积大于三点(-1,0)，(1,0)， 0,-)国成的等膜直角三角形的面积号×21=-1， 故曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，D正确； 故选：BCD 【典型例题3】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线E:x2+(y-)2=1就是其中之一.设曲线E与x轴 32 交于A,B两点，与y轴交于C,D两点，点P是E上一个动点，给出下列四个结论 ①曲线E关于y轴对称； ②曲线E恰好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）： ③△PAB面积的最大值为1； ④10P≤5+1(0为坐标原点). 2 其中正确结论的序号是 【答案】①③④ 【分析】曲线E上的任意点P(x,y),其关于y的对称点为(-x,y),代入曲线方程验证判断①，根据方程易知 (O,±)，（仕1，）均在曲线上判断②，结合曲线的对称性研究0≤x≤1时的曲线性质确定|y最大值，结合 |ABV2即可判断③，在0≤x≤1上，y=x+V-x才能保证OPV2+少2最大，再应用三角换元及三角恒 等变换、正弦型函数的性质求1OP=√x2+y2范围判断④ 【详解】曲线E上的任意点P(x,y),其关于y的对称点为(-x,y), 代入曲线左侧有(-x)2+(0--x=x2+(y-x)2=1,即点(-x,y)也在曲线上，所以曲线E关于y轴对称，①对； 由方程易知(0，±1)，（仕1，）均在曲线上，曲线至少经过4个整数点，②错： 由(0y-x2=1-x2∈[0，小，即-1≤x≤1，且y=x士V-x2,根据曲线E关于y轴对称，只需研究0≤x≤1时的曲 线性质，对于y=x+Fs2+1-巧=2，当且仅当x=2时取等号，对于y=x-在0上单 调递增，则y-小，令y:0,则0-)=1-产，可得x=万结合曲线的对称性有4B5, 所以，最大5s分x5=1,@对：在0x1上，=+-F才能保证0P件+最大令 x=cos0且0∈[0,1，此时y=sin0+cos0=2sin(0+子∈[l,V2],所以 OP |=cos20+(sin0+cos0)2=cos20+1+2sin0 cos0 /sin20+ c0s20+ =2 sin(20+p)+ 2 tan=- ,所以oPs, V5+3 2W5+6_5+1. 当且仅当sin(20+p)=1取等号，④对. 2 4 2 1B\ 0 A1 故答案为：①③④ 55 【变式训练61】如图，是某心形二次曲线C,则C的方程可能为() A.x2+y2-xy=1 B.x2+y2+xy=1 C.x2+y2-xy=1 D.x2+y2+xy =1 【答案】A 【分析】利用排除法，根据对称性排除CD,令x=1,解方程排除B 【详解】显然图象关于y轴对称，即把x换成-x方程不变，可知CD错误； 对于B:令x=1,可得y2+y=0,解得y=-1或y=0,不合题意； 故选：A」 【变式训练6-2】如图，心形曲线T:x2+(y-2x2=4与y轴交于A,B两点，点P是「上的一个动点，则() 小r上 B.OP的最大值与最小值之和为22 C.点P的纵坐标的最大值为√ D.PA+PB≤32+16N2 【答案】D 2V5 【分析】代入 5 0可得A错误；设曲线的参数方程，结合两点间距离公式和二倍角的正余弦公式以及辅助 角公式可得B错误、D正确；由B结合辅助角公式可得C错误； 34 【详解】对于A, 25。 等，0代入曲线方程可得 -24 即点 2v5 5,0 在『上，故A错误： x=2cos0 对于B,根据对称性不妨设 =4cos0+2sing' 2 0p2=N2cos0-0)2+(4cos0+2sin0-0)2 =4cos20+16cos20+16sin0 cos0+4sin20 =4+16x0s20+8sm29=12+85sn20+ 2 由正弦函数的值域可得最大值与最小值的差为24，故B错误： 对于C,由B可得y=4cos0+2sin0=2√5sin(0+p), 点P的纵坐标的最大值为2√5，故C错误； 对于D,当x=0时，可得A(0,2),B(0,-2), 2 所以P4+PB=V4cos20+(4cos0+2sin0-2 +4cos0+(4cos0+2sin0+2)2 =8cos20+24cos0+2sin0)2+8 =40cos20+32sin0 cos0+8sin20+8 =32×1+cos20 +16sin20+16 =32+162sin20+s32+16√2，故D正确。 4 故选：D 【变式训练6-3】（多选题）曲线E:x2+(y-x)=1是一条形似的“比心曲线”设点P(x,y)是E上一个动点， 且它与x轴交于A,B两点，与y轴交于C,D两点，则() A.点(-1，-1和点 , 都在曲线E上 B.-1≤x≤1且-1≤y≤V2 C.在E上存在点P,使SP4B=1 D.对于E上任意点P,有PC+PDs2V5 【答案】BCD 36 【分析】对于A,将两点分别代入曲线的左侧，判断是否等于右侧即可判断A:对于B,利用不等式即可求解范围； 对于C,注意到当P为 ,V2 时， △PAB面积刚好为1；对于D,当PC+PD=2V3时，P 的轨迹为椭圆，联立椭圆与曲线方程，可得其交点，画出图形即可判断. 【1在s本令0-号所以号小侣小网- 令x=0得y=±1，所以C(0,-1,D(0,1, 曲线E的大致形状如图所示. 对于A,将点(-1，-1， 2 所以点(-1，-)不在曲线E上，点 ,V2 在曲线E上，故A错误； 对于B.令y=5得2x-22川+1=0，即(2-=0，所以x=±2 2 所以直线y=√反与曲线E交于点 2 √2 结合图象可得点P的纵坐标的最大值为√2 由x2+y-x=1得x2≤1，所以-1≤x≤1，等号当且仅当y=1成立 由x2+(y-=1得y≥-1-x,所以当x=0时，ym=-1,所以-1≤y≤√2故B正确： aPHB面积的最大值为×刘4x5-×V2x5=l,枚C正确 对于D,因为坐标平面内到定点C,D的距离和为2√3的点的轨迹是以C,D为焦点，长轴长为2√3的椭圆 设椭国方程为若+后=a>6>0,已知。：5，c,等松=-12 历以丽方为号+号1 3 36 =1 联立 ,得9x2+4y2-12xy=0, r+(y-= 所以3-2y=0,所以x=±25 故椭圆上 =1与曲线E的交点为 32 5 如图所示， 体 B 因此曲线E上的所有点都满足故选PC+PD≤2V3,D正确， 故选：BCD. 【变式训练6-4】（多选题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，而心形线 也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为x2+y2+ay=a√x2+y2,a>0,图形如图 所示.当a=1时，点P(x,y),P2（x2,y2是其中一条心形线C上不同的两点，且xx2≠0，对于这条心形线，下 列说法正确的是() VA A.若0P110E,,则PP=2 B2斯5号 C,该心形线围住的区域面积S< D.该心形线上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】ABD 【分析】根据三点共线可得直线过原点，联立直线与曲线的方程，求解后即可根据弦长公式得A;令x=0,再结 37 合图象可得y>-2,再借助换元法令1=V+少(20)，计算可得y≤年即可得B:代入x=1得y=0或 y3+2y2+2y+2=0,则可得y=0或y∈ 73 4’2 则可将原图形分割成多个部分放缩计算从而得C；利用换 元法可得y的整数解，即可求解方程的整数根 【详解】依题意，心形线C的直角坐标方程为x2+y2+y=√x2+y2, 对A:心形线C过原点0(0,0)，由0P/0P,,可知O,,D三点共线， 可设直线PP:y=x,由 x+y+y=x+y2 y=tx 消去y,得1+)x2-V1+2x+x=0.不妨设x1>0,x2<0, 则5兰 1+t2 PB卡i+Fx-5+r2+r =2,故A正确： 1+t2 对B:令x=0,可得y=0或y=-2,由图可知y2-2, 但由于点要求不在y轴上，故y>-2, 令1=√x2+y2(t≥0)，则心形线C的方程可化为t2-t+y=0, 百A三1-4少之0，即y≤4故B正确 对C:令x=士1，与心形线可围成矩形， 代入x=1得y2+y+1=V2+1,则y(y+2y2+2y+2)=0, 则y=0或y3+2y2+2y+2=0, 令∫(y=y3+2y2+2y+2,则f'(y)=3y2+4y+2,4=16-24=-8<0, 故∫'(y)≥0恒成立，则∫(y)单调递增， f到-(+2-2+2超<0 38 (引（+2x引-2x3+2=日0 故+2+2+2=0时，有解（子-引】 3 1 11 故中间矩形的面积S>2×二=3，顶部两个弧形面积和S2>2×二×1×二 2 2 44 1 11 底部弧形面积S>。×2×二= 2 44 故心形线围住的区域面积S>3+二+二=。 十4+=)，故C错误； 对D:由B知，-1+y=0,-2<≤4' 1 当y=0,t2-t=0,.t=0或t=1,进而可得x=±1或0， 当y=-1时，方程无整数解； 当y=-2时，t2-1-2=0,.1=2,故x=0, ∴.C上有4个整点-1,0)，1,0)，0,0)，0，-2)，故D正确. 故选：ABD. 【点晴】方法点晴：对于给定的曲线方程，要研究该曲线的性质，往往需要结合曲线方程的特征合理换元（如平方 和转化为距离等)· 【变式训练6-5】蝴蝶曲线是一种优美的数学曲线，因其形状宛如一只蝴蝶而得名，由美国南密西西比大学的坎 普尔·费伊于1989年发现.它不仅是数学与美学结合的经典案例，也是非线性动力学系统的典型案例，更在计 算机编程、艺术设计、科学研究和工程领域，展现了跨学科的应用潜力.其核心价值在于将抽象的数学方程转化为 可视化的动态图形，成为连接理性与感性的桥梁.已知某种蝴蝶曲线M，如图所示，在平面直角坐标系中，曲线 M的方程为：（x2+y2)-y13x2+y2）=0,若点P在M上运动，0为坐标原点，则OP的最大值为 【答案】13③ 【分析】假设OP=r,以x正半轴为始边，射线OP为终边对应的角为O,则P(rcos0,rsi0),故将方程进行转 化，进而得r=-12sin30+13sin0,利用换元法，结合导数即可求最值. 【详解】记OP=r,以x正半轴为始边，射线OP为终边对应的角为O,由图知0∈[0，π，则P(rcos0,rsin0, 39 所以(x2+y22-y13x2+y2）=0→(r2cos20+rsin29)2-sin013r2cos20+rsim20）=0 →r=sin0131-sin20)cos20+sin20=-12sin0+13sin0,不妨i记1=sin0e[0,l1→r=-12r2+131,1e[0,1. 记f(x=-12x3+13x,f'(x=-36x2+13,则f 6 f'(x<0,所以f(x)在0 V13 上单调递增，在 V13 上单调递减， 6 6 故：|OP=rnx V131313 6 9 题型07：卡西尼卵形线 【典型例题1】（多选题)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在 研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B(2,0),动点P满足 PAPB=5,其轨迹为一条连续的封闭曲线C,则下列结论正确的是() A.曲线C与y轴的交点为(0,1)和(0，-1) B.曲线C关于x轴、y轴对称，不关于原点O对称 C.点P的横坐标的范围是[-3,3] D.OP的取值范围为[1,2] 【答案】AC 【分析】根据题意，求得曲线C的轨迹方程为x2+y2=V16x2+25-4,利用轨迹方程，结合选项，逐项判定，即 可求解。 【详解】解：设点P(x,y),因为PPB=5,可得[(x+2+y][x-2)2+y=25, 整理得：x2+y2=V16x2+25-4, 对于A中，当x=0时，解得y=±1，即曲线C与y轴的交点为(0，-1)，(0，)，所以A正确； 对于B中，因为x2+y2=√16x2+25-4, 用y替换y,方程不变，则曲线C关于x轴对称， 用-x替换x,方程不变，则曲线C关于y轴对称， 同时用-x替换x,用y替换y,方程不变，可得曲线C关于原点对称，所以B错误； % 对于C中，因为x2+y2=V16x2+25-4,即可得y2=V16x2+25-4-x2≥0， 即V6x2+25≥4+x2,即x-8x2-9≤0，解得0≤x2≤9， 即-3≤x≤3，所以点P的横坐标的取值范围是[-3,3]，所以C正确； 对于D中，因为引0P2=x2+y2=V16x2+25-4, 由C项知-3≤x≤3，所以OP∈[1,9]，故1≤OPK3,所以D错误. 故选：AC. 【典型例题2】（多选题)到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设F(-c,0)和 F,(c,0)且c>0,动点M满足MFMF,=a2(a>0),动点M的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线 为曲线C,则下列描述正确的是() A.曲线C的方程是(x2+y2)2-2c2(x2-y2）=a4-c B.曲线C关于坐标轴对称 C.曲线C与x轴没有交点 D.AMFE的面积不大于女 【答案】ABD 【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点M的轨迹方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2=a-c,即可判断A: 由对称性代入-x,-y)即可判断B;在M的轨迹方程中令y=0,可解出x,即可判断C；由三角形的面积公式， 即可判断D. 【详解】设M(x,y),由MFMF,=a2(a>0), x+c)'+y.x-c)'+y=a2, 化简得(x2+y2)°-2c2(x2-y2）=a4-c4,故A正确； 该方程中把x改为一x或把y改为y方程均不变，故B正确； 在方程(x2+y2-2c2(x2-y)=a-c中，令y=0得x2=c2±a2, 当c=a时，x=0或x=±V2c,当c<a时，r=±Vc2+a2，当c>a时，x=±C2±a,故C不正确； Sa=AFFksin.∠RMS,sMEM=a2,故D正确， 故选：ABD 【典型例题3】（多选题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形线、卵形线等.己知卵形线 41 C:x-2√F+y2=0,则() A.C关于直线y=0对称 B.C上横、纵坐标均是整数的点恰有4个 C.C上存在点P,使得P到点1,0)的距离小于1 D.C围成区域的面积大于4 【答案】ABD 【分析】根据曲线方程分析曲线的性质，有曲线C为封闭曲线，过点(0,0)，(L,±)，(4,0)，关于x轴对称，画出曲 线大致图形，结合圆(x-1)2+y2=1、四边形0ACB在曲线C内部判断各项的正误 【详解】由C:x-2√+y2=0,则C:(F-1)2+y2=1,对于曲线上任意点(x,y),其关于x轴对称点为(x,-y), 把(x,-y)代入x-2√+(-y)2=x-2+y2=0成立，曲线关于直线y=0对称，A对； 所以y2=1-(F-I)2≤1→-1≤y≤1，得0≤Vx≤2，故0≤x≤4， x=0时y=0;x=1时y=±1；x=4时y=0, 故曲线过点(0,0)，(1，±1)，(4,0)，曲线C上恰好有4个整点，B对； 由圆(x-1)2+y2=1过点(0,0)，(L,±1)，(L,0),故圆上点均在曲线上或内， 所以曲线C上不存在点P,使得P到点(L,0)的距离小于1，C错： 1 如图中，四边形OACB在曲线C内部，故曲线C所围成区域的面积大于SocB= ×2x4=4,D对： 故选：ABD B 【点晴】关键点点晴：根据曲线方程分析出曲线的相关性质，并画出大致图形为关键 【变式训练7-1】(（多选题）在平面内，到两定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，已知曲线C 上的动点P到两定点F(0,-c),F(0,c)的距离之积为4c2(c>0),O为坐标原点，则() A.C关于x轴和y轴均对称 B.△PFF,的面积的最大值为2c C.△PFF周长的最小值为6c D.loP的取值范围为V5c,5c] 【答案】ACD 42 【分析】设P(x,y),应用两点间距离公式化简得出轨迹整理判断A,换元结合二次函数的值域判断B,应用基本 不等式化简求解判断C,设V4c2+y2=t(t≥2C)确定t的范围，从而得OP的取值范围，即可判断D. 【详解】设P(x,y),因为在平面直角坐标系x0y中，E(0,-c),F(0,c),动点P满足PFPF=4c2, 所以V2+(y+c2V2+(y-c)2=4c2, 化简得x2+y2=2c4c2+y2-c2, 对于A,将x换成-x可得x2+y2=2c4c2+y2-c2,将y换成y可得x2+y2=2c4c2+y2-c2, 所以C关于x轴和y轴均对称，故A正确： 对于B,设V4c2+y2=tt≥2c,则y2=2-4c2, 所以x2=-t2+2ct+3c2=-(t-c2+4c2(t≥2c),故x2≤3c2,则x≤V3c, 故aPFB面积的最大值为2×2cxV5c=5c,故B不正确： 对于C,因为PFPF=4c2,所以PF+PF≥2PEPF=4c, 当且仅当PF=PF,=2c时，△PFF,周长的最小值为6c,故C正确： 对于D,0P=x2+y2=2ct-c2≥3c2,所以OP≥√3c, 由x2=-t2+2ct+3c2≥0，可得t≤3c,所以0P=2ct-c2≤5c2,所以OP≤V5c, 故OP的取值范围为5c,V5c,故D正确. 故选：ACD. 【变式训练7-2】（多选题）到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知两定点 F(-2,0),F(2,0),动点P(x,y)满足PFPF,=4,设P的轨迹为曲线C,则下列命题错误的是() A.曲线C过原点 B.P的横坐标最大值是2 C.P的纵坐标最大值是 2 D.y≤2ln(x+1) 【答案】BC 【分析】对于A,由题求出P(xo,y)的轨迹方程，令x。=0,计算y。=0即可判断；对于B,求出横坐标的取值 范围，即可判断；对于C,化简方程可得乃=-（、+1-2+1≤1，即可判断；对于D,令1=√+1∈1,3： 将y行≤2n(x+1)化为t2-4t+4lnt+3≥0，结合构造函数，利用导数判断单调性，即可判断. 43 【详解】由题意知动点P(xyo)满足PFPF,=4,F(-2,0),E(2,0), 故[6+2+6][(x-2+]=16, 即[(x+6+4到+4x][(x+乃+4)-4x]=16, 即(x后++4)-16x=16,则后=-x+4+1-4, 对于A,当x。=0时，y。=0,即曲线C过原点，A正确： 对于B,由-x+4Vx后+1-4≥0，得x+4≤4Vx后+1， 则x。≤8x,解得-2V2≤x。≤2√2，即P的横坐标最大值是22，B错误； 对于C,因为片=-(6+1-46+1+4+1=-6+1-2+1≤1， 当且仅当x=±√3时取等号，即P的纵坐标最大值是1，C错误； 对于D,若y6≤2ln(x+),即-x+4√x6+1-4≤2lnx+1, 令1=Vx后+1∈[1,3，则-+41-3≤2ln2,即-41+4lnt+3≥0， 吸0-f-+8.w--4+-j0 即f)在1,3]上单调递增，故f(t)≥f)=0,即t2-4t+41nt+3≥0成立， 故y≤2ln(x+1)成立，D正确， 故选：BC 【变式训练7-3】（多选题）卡西尼线型，特别是卡西尼卵形线，在天文学和航天工程中有广泛的应用，最初是在 研究土星及其卫星的运动规律时发现的，土星的环和某些卫星的轨道轨迹可以通过卡西尼卵形线来描述，这些卵形 线是卫星围绕土星运动的轨迹而在数学领域，卡西尼卵形线是解析几何中研究的重要曲线之一，我们把平面内与 两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线.现已知平面内有一卵形线 E:√+1)2+y2Vx-1)2+y2=4,则下列说法正确的是（) A.曲线E过原点 B.曲线E既是中心对称图形又是轴对称图形 C.曲线E上点的横坐标的取值范围是-V5,V51 D.曲线E上任意一点到原点距离的取值范围是V5,√5] 【答案】BCD 44 【分析】把原点坐标代入曲线E方程不成立可得选项A错误；把(-x,y)、(x,-y)、(一-x,-y)代入曲线E方程成立 可得曲线E既是中心对称图形又是轴对称图形，选项B正确；通过不等关系可得(x2-1)≤16，计算结果可判断 选项C正确：对曲线E方程进行变形得(x2+y2+1∈[16,36]，利用点到原点的距离公式可得选项D正确」 【详解】对于A,(0,0)不满足方程、√x+12+少2√-1)2+y=4,A错误： 对于B,将(-x,y),（x,-y,(-x,-y代入Vx+1)2+y2V(x-1)2+y2=4, 均为Vx+1+y2Vx-12+y2=4,B正确： 对于C,因为[x+12+y2][x-1)2+y2]=16,(x+12+y2≥(x+102,(x-1)2+y2≥(x-12, 所以(x+1)2(x-1)2≤16，即x2-1≤16， 所以-4≤x2-1≤4，所以x∈[-V5,V5],C正确： 对于D,设点P(x,y在曲线E上，有[x+)2+y2][(x-1)2+y2]=16, 即(x2+y2+1+2xx2+y2+1-2x)=16, 所以x2+y2+1}2=16+4x2, 因为x∈[-5,5]，所以x2+y2+1∈16,36. 即x2+y2∈3,5]，所以0P=V2+y2e[V5,V5],D正确 故选：BCD 【变式训练7-4】我们在学习解析儿何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、距离之 差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨 迹，我们称之为卡西尼卵形线.若定点F(-c,0),F(C,0),动点P满足PFPF=a,其中a,c均为正数，记该 卡西尼卵形线为曲线C,它的轨迹方程为x2+y2}'+入(x2-y2)=4· (1)求参数，μ的值（用含a,c的式子表示）： 2若P叫x列为自线上一点，求证，以s受小s+2: (3)若a=c= 3V 2 2,求证：曲线C恰经过3个整点（横、纵坐标均为整数的点）· 【答案】(1)1=-2c2,μ=a4-c4 (2)证明见解析 (3)证明见解析 45 【详解】(1)设P(x,y)为曲线上一点，则由PPF=a2可得Vx+c)2+y2x-c2+y2=a2 整理可得(x2+y2)°-2c2(x2-y2）=a4-c4, 结合题意可知：1=-2c2,u=a4-c4 (2)据(1)的结论有(x2+y2)-2c2(x2-y2）=a-c -方面，a4-c4=(x2+y2)2-2c2(x2-y2）=(x2+y2-c22+4e2y2-c≥4c2y2-c‘,故a≥4c2y2. ·号 可得少2s4 另一方面，x=(x2)≤(x2+y2)=2c2(x2-y2）+a-c≤2c2x2+a-c,从而x-2cx2+c-a≤0，即 (x2-c2-a2）x2-c2+a2）s0. 从而-(c2+a2）≤c2-a2≤x2≤c2+a2,所以x≤a2+c2. (3)将a=c35代入，可得C的轨迹方程为+y-9-y)=0.同时摆2)的结论有≤3 2 4 x≤3. 若，y均为整数，则由1<35<2，可知s1. 4 若y川=1，则(x2+1-9x2-1=0,即x4-7x2+10=0,故(x2-2x2-5)=0. 故x2=2或x2=5,但2和5都不是整数的平方，矛盾. 所以y=0,从而x‘-9x2=0,这就得到x2(x-3)(x+3)=0,所以x可以取-3,0,3. 这表明曲线经过的整点只可能有(-3,0)，(0,0)，(3,0). 经验证，曲线经过这3个整点，结论得证 【变式训练7-5】（多选）平面内到两定点的距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是天文 学家卡西尼在研究卫星运行规律时发现的.已知曲线C上的点M到F（-1,0)与F,(1,0)的距离之积为2，则下列结 论正确的是() A.曲线C的方程为x2+y2+1=9x2+9B.曲线C关于x轴对称 C.曲线C围成的图形面积不超过4√3D.△MFF,面积的最大值为1 【答案】BCD 【详解】设M(x,y),由题意，MFMF,=2, 6 即x+1)2+y2x-12+y2=2,化简得(x2+y2+1刂=4x2+4, 即曲线C的方程为(x2+y2+12=4x2+4,故A错误； 对于B,将点(x,-y)代入曲线C的方程得： 「x2+-y2+1=4x2+4,即x2+y2+12=4x2+4, 所以曲线C关于x轴对称，故B正确： 对于C,由(x2+y2+12=4x2+4, 得y2=22+1-x2-1=-（2+1-1+1≥0，解得0≤+1≤2， 又因为Vx2+1≥1，所以1≤Vx2+1≤2， 所以-V5≤x≤√5， 又因为y2=-2+1-+1s1,所以y∈-1，， 所以曲线C围成的图形面积不超过2×2√5=45，故C正确： 对于D,由C选项知，△MFE,面积的最大值为，×2×1=1，故D正确。 故选：BCD 【变式训练7-6】（多选）天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离 之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线.已知定点F(-c,0),F,c,0),动点P满足PF:PF=a2(c>0且 a,c均为常数).设动点P的轨迹为曲线E.则下列说法正确的是() A.曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形B.PF+PF,的最小值为2a C.曲线E与x轴可能有三个交点 D.S≥5时，曲线E上存在Q点，使得Q51QR a 2 【答案】ACD 【详解】a2=PFI-PE=x+c+y2x-c2+=x2+y2+c2-4c. 化简得a4+4c2x2=(x2+y2+c2)'→x2+y2+c2=Va+4c2x2, 对于A,用-x代替x得x2+y2+c2=√4c2x2+a,所以曲线关于y轴对称， 用y代替y得x2+y2+c2=V4c2x2+a4，所以曲线关于x轴对称， 用-x代替x,-y代替y得x2+y2+c2=V4c2x2+a,所以曲线关于原点对称， 所以曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以A正确： 4 对于B,当a>0时，PF+PF,≥2 PF PF=2a, 当a=0时，显然P与F或E重合，此时PF+PF,=2c,所以B错误： 对于C,x2+y2+c2=V4c2x2+a中，令y=0得x2+c2=V4c2x2+a, 即(x2-c22=a→x2-c2=±a2, 若a=c,则x=±√2c或x=0,此时曲线E与x轴有三个交点，所以C正确： 对于D,假设存在点Q,使得QF⊥QF2,则QE⊥QE,, 因为QE=（-c-x,-y),0E=(c-x,-y), 所以0F·0E=(-c-x,-y)(c-x,-y)=-c2+x2+y2=0, 故x2+y2=c2, 由x2+y2+c2=V4c2x2+a得2c2=V4c2x2+a≥a2, 二≥巨，反之，也成立，所以D正确。 a 2 故选：ACD 【变式训练7-7】在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.在平面直角 坐标系xOy中，动点P(x,y)到两个定点F-1,0),F,1,0)的距离之积等于3，化简得曲线C: x2+y2+1=√4x2+9,下列结论不正确的是() A.曲线C关于y轴对称 B.PF+PF的最小值为2√3 C.AFP吹面积的最大值为号 D.1OP的取值范围为V2,2] 【答案】C 【分析】用用-x代替x,判断曲线的对称性，判断A的真假：利用基本（均值）不等式求PF+PF,的最小值， 判B的真假利用)广=4+9--1，可求y的取值范国，结合5%=F.可求5%的最大值， 判断C的真假；利用y2=√4x2+9-x2-1≥0先求x的取值范围，结合x2+y2=√4x2+9-1,可得x2+y2的范 围，即OP的范围，可判断D的真假. 【详解】对A:因为用-x代替x,方程不变，所以曲线C关于y轴对称，故A正确： 6 对B:PF+PF≥2 PE PE,=2V5,当P点在y轴上取得等号，故B正确； 对C圆为=479-r-1=49.复-4r+9列-r-] =4r+9-2-9 因为V4x2+9≥3，所以y2≤2→-√2≤y≤√2. 所以5,5FF=方×2，小-，≤5故C错误 对D:因为y2=V4x2+9-x2-1≥0→V4x2+9≥x2+1→4x2+9≥x+2x2+1→x4-2x2-8≤0→ (x2-4x2+2)≤0→x2≤4； 所以V4x2+9≤5， 所以x2+y2=V4r2+9-1∈2,4，所以0P∈「V2,2],故D正确。 故选：C 【点晴】方法点晴：对卡西尼卵形线的性质的分析，分别求x,y的取值范围是解决问题的关键曲线方程可化为 y2=V4x2+9-x2-1,利用配方法可得y的取值范围；利用y2≥0，可得x的取值范围， 【变式训练7-8】（多选）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年法国天文 学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.己知平面直角坐标系中，A(-2,0),B(2,0),动点P满足 PAPB=4,记动点P的轨迹为曲线C,则下列结论正确的是() A.曲线C关于原点对称 B.点P的横坐标的取值范围为[-3,3 C.△PAB面积的最大值为2 D.PA+PB的取值范围为4,42 【答案】ACD 【详解】设P(x,),由题意P4PB=Vx+2)2+y2Vc-2)2+y2=4,变形得x+2y2+y4-8x2+8y2=0, 点(-x,-y)代入有(-x)4+2(-x)2(-y)2+(-y)4-8(-x)2+8(-y)2=x4+2x2y2+y4-8x2+8y2=0, 所以点(-x,-y)为P(x,y)关于原点对称的点，也在曲线上，即曲线关于原点对称，A对， 曲线方程整理为(y2)2+2(x2+4)y2+x4-8x2=0, 令1=x2,则t2+2(x2+4)1+x-8x2=0,此关于t的方程有实数解， 则△=4(x2+4)2-4(x4-8x2)=416x2+16)>0, 又1=x2≥0，即方程有非负数解， 4y 所以x4-8x2≤0，解得-2√2≤x≤2√，当x=±25时，y=0,即(2V2,0)和(-2√2,0)是曲线上的点， 所以横坐标范围是[-2√2,22]，B错， 选项C,曲线C的方程整理为(x2)2+2(y2-4)x2+y+8y2=0, 因此△=4(y2-4)2-4(y4+8y2)≥0，解得-1≤y≤1， y=1时，x=±√3，y=-1时，x=±3，即点（仕√3,1）在曲线C上， 所以(pw）m4Bl分x4x1-2.C正确， 选项D,首先PA+PB≥AB=4,当P是AB中点时，PA=PB=2,PA+PB=4, 不妨设PA≥PB,则PA-|PB≤AB,|PA≤4+PB, PAPB≤PB(PB+4),PB+4PB≥4，解得PB≥2N2-2, P=025+2.称框得25-2sP6s25+2. P1+P-PAtP,记u=P8,则P4+P8=u+子eI2-2.2+2: 由对勾函数性质知函数y=M+4在[2√2-2,2]上单调递减，在2,25+2]上单调递增， u=2时，y=4,u=2√2±2时，y=4√2， 所以4≤PA+PB≤4V2,D正确. 故选：ACD 【变式训练7-9】（多选）双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具 有特殊的有价值的艺术美.双纽线的图形轮廓像“0”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素.已知在平面直 角坐标系中，(-2,0)，F(2,0),满足PF·PF,=4的动点P的轨迹为曲线C·则下列结论正确的是() A.曲线C既是中心对称又是轴对称图形 B.曲线C上满足PF=PF的点P有2个 C.|oP≤2W2 D.曲线C上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为O 【答案】ACD 【分析】由题意中等式结合两点间距离公式表示出曲线方程可得A正确；由PF=PF,=2可得这样的P点只 50 有1个，即为原点可得B错误；由曲线方程整理出x2+y2= 8(x2-y2） ≤8，可得C正确；由图象观察可得D正 x2+y2 确：也可由导数的意义求出 【详解】对于A,设P点坐标为x,y)则曲线C:Vx-22+y2Vx+2+少2=4，故A正确： 对于B,若PF=PF,,则PF=PF,=2,这样的P点只有1个，即为原点，故B错误； 对于C,由x-22+2Vx+22+=4得，[x-2+y][x+2+y]=16 整理得.(+=8x-y)·所以x+y8- x2+y2 ≤8，OP≤2√2，故C正确： 对于D,从双纽线的图形上，可以观察有四个点处切线的斜率为0，另外，由(x2+y2)=8x2-y）得 y2=4Vx2+1-(x2+4,则2yy= 4x-2x,令=0→X=±5或0，经计算曲线C在原点处的 Vx2+1 切线方程为y=±2x,故D正确.故选：ACD. 【变式训练7-10】1675年，卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平 面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹.已知点E(-2,0),F,（2,0),动点P满足PE引·PF=6,则△PFF2面 积的最大值为 【答案】3 【分析】根据题意可列等最关系，化简可得广=6+36--4=心6+36-+？，即可求解≤由 面积公式即可求解。 【详解】已知定点为E(-2,0),F(2,0), 因为动点P(x,y)满足PFPF,=6, 所以点P的轨迹方程为Vx+2)2+y2.√x-2)+y=6, 两边同时平方可得(x2+y2+4)2=36+16x2, 整理得产=i6+36-r-4=i62+36-8+}, 所叶名 此S所F5时=分×4≤3.当且仅当2-子：广=时，取得最大值 4 故答案为：3 【变式训练7-11】17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个 定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点， 51 己知两定点F(-1,0),F(1,0),动点P(x,y)满足PF PF=3,动点P的轨迹为曲线E,直线y=x+b与曲 线E相交于A,B两点，线段AB的中点为M,直线OM的斜率为k。· (1)求曲线E的方程； (2)求OP的取值范围； 球面：子-方 1 【答案】(1)x2+y2+1=√4x2+9; 2[2,2]: (3)证明见解析 【详解】(1)由题意Vx-1)2+y2Vx+1)2+y2=3, 整理可得(x2+y2+1)2-4x2=9, :曲线E的方程为x2+y2+1=√4x2+9: (2)|0P2=x2+y2=V4x2+9-1, 由曲线E的方程可知y2=√4x2+9-x2-1≥0， .V4x2+9≥x2+1,即x4-2x2-8≤0， 解得-2≤x2≤4，xe[-2,2], 0pP=x2+y2=V4x2+9-1∈[2,4， :0P的取值范围为V2,2: (3)(x,,B(x,y),M (xo,yo) [x++1=V4x+9 由题意可知 x号+y+1=V4x+9 则x好+y-x2+y)=√4x号+9-V4x+9, (号-)+(-)= 4x号-x) V4x+9+V4x+9 由题意可知x≠士x2, 52 1+ 4 x5-x2 V4x+9+V4x+9' y2+y 由题意k=占-4，k。=出=2=乃+当， X2-x1 xo x2+x2+ 2 4 .1+kk= V4x+9+V4x2+9' 由(2)可知x,x2∈[-2,2]， 则3≤V4x2+9≤5,3≤V4x3+9≤5， 2 4 2 5 V4x+9+V4x2+93' 2 2 1+6 3 5 题型08：四叶草曲线 【典型例题1】四叶草曲线是数学中的一种曲线，某方程为x2+y)=8xy2,因形似花瓣，又被称为四叶玫瑰 线（如图），在几何学、数学、物理学等领域中有广泛的应用例如，它可以用于制作精美的图案、绘制函数图象、 描述物体运动的轨迹等等.根据方程和图象，给出如下4条性质，其中错误的是() A.四叶草曲线方程是偶函数，也是奇函数； B.曲线上两点之间的最大距离为2√2； C.曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点）； D.四个叶片围成的区域面积小于2π. 【答案】A 【分析】根据函数与方程的定义可判断A;设曲线上的点(x,y)到原点的距离为d=√x+y2,利用基本不等式可 得d的范围可判断B;由d的范围可得x,y的范围，可得曲线上的整点可判断C；由d的范围得曲线上的点到原点 53 的距离最大值为√2，求出以0为圆心，√2为半径的圆的面积可判断D. 【详解】对于A,用--y替换方程中xy,方程不变，四叶草曲线方程(x2+y2)=8x2y2不是函数的解析式， 所以不是偶函数，也不是奇函数，只是四叶草曲线关于x、y轴、原点对称，故A错误： 对于B,设曲线上的点(x,y)到原点的距离为d=√x2+y2,因为x2+y2≥2xy,所以 y≤+，任+-y≤sx任+，所u≤2 4 4 可得d2≤2，即0≤d≤√2，根据对称性可得两点之间的最大距离为22，故B正确： 对于C,由B可知0≤d≤√2，所以-√2≤x,y≤√2，可得曲线上的整点有0,0)，1，，(1，-1，-1,1)，(-1，-1， 曲线经过5个整点，故C正确； 对于D,由B可知0≤d≤√2，曲线上的点到原点的距离最大值为√2， 以O为圆心，√2为半径的圆的面积为2π，所以四个叶片围成的区域面积小于2π，故D正确. 故选：A. 【典型例题2】（多选题）四叶草又称“幸运草”，有一种说法是：第一片叶子代表希望、第二片叶子表示信心第三 片叶子表示爱情、第四片叶子表示幸运在平面直角坐标系中，“四叶草形”曲线的方程为 (x2+y2)=4a2xy'(a>0),则下列关于曲线r的描述正确的有() A.其图象是中心对称图形 B.其图象只有2条对称轴 C.其图象绕坐标原点旋转90可以重合 D.其图象上任意两点的距离的最大值为4a 【答案】AC 【分析】根据曲线厂的方程，结合点关于原点、y=x、y=一x的对称点，及旋转90°后的点的坐标逐一分析即可 判断A,B,C,曲线「上任意两点的距离的最大值即为曲线厂的外接圆的直径，结合基本不等式可得x2+y2≤a2, 即曲线T在圆x2+y2=4a2的内部，即可判断D. 【详解】在方程(x2+y2'=4a2x2y2(a>0)中，以-x替换x,以y替换y,方程不变， 所以其图象是中心对称图形，故A正确： 在方程(x2+y2)=4a2x2y2(a>0)中，以x替换y,以y替换x,方程不变， 所以其图象关于直线y=x对称， 54 同理，以少替换x,以-x替换y,方程不变，所以其图象关于直线y=-x对称， 所以其图象有4条对称轴，故B错误； 在方程(x2+y2)=4a2x2y2(a>0)中，以-y替换x,以x替换y,方程不变， 设P(x,y)为曲线T上任意一点， 则点P绕坐标原点旋转90°得到的点为Q(-y,x)或Q'(y,-x), 将点Q或Q的坐标代入曲线Γ的方程，方程不变， 所以图象绕坐标原点旋转90°可以重合，故C正确： 曲线「上任意两点的距离的最大值即为曲线Γ的外接圆的直径， (x2+y2）3=4a2x2y2≤a2(x2+y2, x2+y2≤a2, 所以曲线T在圆x2+y2=4a2的内部， 所以曲线r上任意两点的距离的最大值小于4a,故D错误. 故选：AC, 【典型例题3】数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论 证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线C:x2+y2=2x+2y就 是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的周长是为一；若T(a,b)是曲线C上任意一点，4a+3b-18的 最小值为一 【答案】 4V2π 11-5√2 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断即可 【详解】曲线C:x2+y2=2x+2y,当x≥0，y≥0时，曲线C的方程可化为(x-1)2+(y-)2=2; 当x≤0，y≥0时，曲线C的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=2;当x≥0，y≤0时，曲线C的方程可化为 (x-1)2+(y+1)2=2;当x≤0，y≤0时，曲线C的方程可化为x+12+(y+12=2,所以曲线C的图象如图所 示， 4x+3y-18=0 55 曲线C由4个半圆以及坐标原点组成，其周长为2×2π×√2=4√2π；T(a,b)到直线4x+3y-18=0的距离 d=4a+3b-18 当x≥0，y≥0时，曲线C的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=2曲线为圆心为1，)，半径为V2 的圆的一部分，如图所示，而1,1山)到直线4x+3y-18=0的距离为4+3-18_山， =,由圆的性质得曲线C上一点 5 5 到直线4x+3y-18=0的距离最小为；-巨，故4a+36-18的最小值为11-52 【变式训练8-1】数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2)=4x2y2被称为“四叶草玫瑰线”（如图），现 给出下列三个结论：正确的是() ①曲线C关于直线y=-x对称： ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1； ③存在一个以原点为中心.边长√2的正方形，使曲线C在此方形区域内（含边界） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】A 【分析】用(-y,-x)替换方程中的x,y),即可判断①，结合基本不等式代入计算即可判断②，结合②的结论即可 判断③. 【详解】对于①，用(-y,-x)替换方程中的x,y),方程形式不变，所以曲线C关于直线y=-x对称，故正确， 对于②，设点P(x,y是曲线上任意一点，则(x2+y2)=4x2y2, 跟装为v子，+-arys4个任： 解得√x2+y2≤1，故正确， 对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1， 所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆， 即正方形的边长最短为2，故错误 故选：A. 50 【变式训练8-2】（多选题）如图所示，这是曲线E:x2+y2)°=8x2y2,设P(x,)和Q(x,月)为曲线E上的任 意两点，且满足P∈{(x,ox∈Z或，∈Z,则下列结论正确的有() A.x2+y2≤2 B.满足x。∈Z且∈Z的点P(x,y)共有4个 C.曲线E关于直线y=±x对称 D.任取一点P(o,小，该点满足，∈Z且，∈Z的概率为 3 【答案】ACD 【分析】对于A,用基本不等式的推论即可证明： 对于B,根据A可判断x≤√2，再代入整数计算即可判断； 对于C,代入(y,x),(-y,-x即可判断： 对于D,求出所有横坐标或者纵坐标为整数的点的个数，再利用古典概型求概率即可. 【详解】：(+'=8xs8+ 、2 “x+2≤2，当且仅当x2=y2=1时取等号，：A项正确； (2 x+≤2，∴x≤V2,:满足x∈Z且∈Z的点P共有(-1，-1)，(-1,1)，(0,0)，(1，-1)，(1,1)这5个， :B项错误：：将点(y,x)代入曲线E:x2+y2)=8x2y2,可得(x2+y2)=8xy2,所以y=x对称，点 (-y,-x代入曲线￡(x2+y2)=8x2y2,可得(x2+y2)=8x2y2,所以y=-x对称，“C项正确： :曲线E具有对称性，：只研究曲线E在第一象限上的点的横坐标或纵坐标为整数的情况，令x。=1,则 1+y2)=8y2,不妨设y>0,则有1+y2=2y,令y=t,1>0,则1+=21· -r1-=0.能得=度1-5.+旷-2少消个正根1利 V5- :结合曲线的对称性可知在第一象限横坐标或纵坐标为整数的点共有3个：(1,1) 57 四个象限一共12个，再加上(0,0)，：整个曲线上横坐标或纵坐标为整数的点共有13个， 2 :任取点P(,小，该点满足xeZ且，eZ的概率为名，D项正确，旋运：ACD 【变式训练8-3】（多选题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程 为(x2+y2)3=x2y2，则下列说法正确的是（) A.四叶草曲线有四条对称轴 B.设P为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过P作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面 积的最大值为日 C。四叶草白线上的点到原点的最大距离为} D.四叶草曲线的面积小于 4 【答案】ABD 【分析】对于A,将x换为-x方程不变，y换为y方程不变，x换为y,y换为x方程不变，x换为y,y换为 一x方程不变，可知有四条对称轴；对于B,设曲线C第一象限任意一点为(x,y),则围成矩形面积为y,求最大 值即可；对于C,设距离为d,d=√x2+y2,即求x2+y2的最大值即可；对于D,易得四叶草曲线在以原点为 圆心，为半径的圆内。故四叶草面积小于交即可判断。 【详解】对于A,将x换为一x方程不变，所以曲线关于y轴对称 将y换为y方程不变，所以曲线关于x轴对称 将x换为y,y换为x方程不变，所以曲线关于y=x对称； 将x换为y,y换为一x方程不变，所以曲线关于y=一x对称故A正确： 对于B,设曲线C第一象限任意一点为(x,y),则围成矩形面积为y, 则(x2+y2=x2y2≥8(xy)3, 即w≤令当且仅当x=y=正时取得最大值。枚B正确 4 58 对于C,设距离为d,d=√x2+y2,要求d的最大值，即求x2+y2的最大值， 显然d>0,2+少2≠0，又+ _x2y2 当且仅当x2=y2=。时，等号成立， 所以曲线C上的点到原点距离√：+y严最大值为)，故C错误； 对于D,由C可知，得四叶草曲线在以原点为圆心，？为半径的圆内， 故西叶查面积小于子，故D正确 故选：ABD 【变式训练8-4】四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功，幸福，平安，健康，表达了人们对美好生活 的向往，梵客雅宝公司在设计四叶草吊坠时，利用了曲线2：x2+y2=x+y,进行绘制，点P(α，b)在曲线Ω上， 点Q(2,0),则下列结论错误的是() A.曲线2围成的图形面积为π+2 B.a+b+3的最小值是√2 C.直线PQ的斜率的最大值为1 D.PQ的取值范围为 0-V2V26+2 2 2 【答案】B 【分析】对A:根据曲线与圆的关系，结合面积公式，直接求解即可；对B:将问题转化为求P到直线 x+y+3=0的距离的最小值问题，数形结合解决问题；对C:根据直线和圆的位置关系，数形结合，求解问题； 对D:根据圆外一点到圆上一点距离的最值求解方法，数形结合，求解即可. 【详解】对曲线方程：x2+y2=x+y, 当x≥0，y≥0时，可化为x2-x+y2-y=0,即 故曲线Q在第一象限是同心为》，半径为受的同上的一段园： 根据对称性可知，该曲线关于x轴，y轴，以及坐标原点均对称，故其曲线绘制如下： 59 ·A ○ 对A,记点B(0,),C(1,0),显然B,C在曲线2上，如下图所示： 因为k4B=kc=-1,故A,B,C三点共线，则该曲线在第一象限内的面积为一个半圆的面积和△BOC面积之和，故 曲线Ω围成的图形面积S=4× 元+2，故A正确： 对B:设点P(a,b)到直线x+y+3=0的距离为d,则a+b+3=V2d, 根据对称性可知。曲线n在第三象限肉的部分是在国心为分》半径为受的圆道。 11 11 数形结合可知，点P,创到直线x+y3=0的距离最小值为2？_反.万-2_巨. √2 2 22 故a+b+3引n=1,故B错误； 对C:根据题意，作图如下： 0 数形结合可知，当且仅当PQ为过Q且与曲线Ω在第四象限内的圆弧相切时，其斜率取得最大值： 60 根据对称性，曲线Ω在第四象限的部分是在圆心为 11 22 半径为5的圆弧， 2 其方程为 (x20,y≤0)， 1 -k+ 设过点Q,且斜率存在的直线为y=k(x-2),故可得22=0 Vk2+1 整理得：7k-6k-1=0,(7k+1(k-1=0,解得k=一7 (舍去)或k=1, 故斜率的最大值为1，故C正确； 对D:记曲线2在第一和第二象限圆弧的圆心分别为A 22 如下图所示： B ·A 根据圆上一点到圆外一点距离的最值求解，数形结合可知：当点P在第一，第四象限时，PQ可以取到最小值； 当点P在第二，第三象限时，PQ可取到最大值，为方便，只讨论第一，第二象限的情况 当点P在第一象限时，PO的最小值为AO- 22 2 当点P在第二象限时，|PQ的最大值为BQ+ 片96 2+ 2 2 0-√2√26+√2 故P的取值范围为 故D正确。 2 2 故选：B 【变式训练8-5】（多选题）经过A1,0),B(0,1两点的曲线C:ax2+by2-xy=1如图所示，关于曲线C,下列 说法正确的是() 61 A.a=b=1 B.曲线C经过的整数点个数为4个 C.x,y的取值范围均为 2V32W5 3,3 D.若点P在曲线C上，则以OP为半径的圆的面积的最大值为2π 【答案】ACD 【分析】对于A,将已知点代入方程，可得正误；对于B,利用赋值法，由一元二次方程，可得正误；对于C,由 一元二次方程根的存在性判别，可得正误；对于D,由基本不等式，结合圆的面积，可得正误. 详解】对于A,格AL0与B0入方程a+,可得故A正确， 对于B,由A可知曲线C:x2+y2-y=1,当x=0时，y2=1,解得y=1; 当x=1时，1+y2-y=1,解得y=-1或0或1；同理可得当x=-1时，y=-1或0或1： 当x=m,m≥2，meZ时，m2+y2-my=1,即y2±my+m2-1=0, 由4=m2-4m2-1=4-3m2<0,则方程无解， 综上可得曲线C经过的整数点有(0,1)，(0，-1)，(1，-1)，(1,0)，(1,1，（-1，-1)， -1,0),(-1,1),共8个，故B错误； 对于C,将曲线C的方程等价转化为关于y的一元二次方程y2±xy+x2-1=0, 则4=2-4(x2-1刂=4-3x2≥0，解得-25sx≤25】 -≤x≤ 3 3 同弹可得25≤y≤25，枚C正确 3 3 年D,+y1+飞+山，当且仪当例时，等号成0 由r2+y≤+少+1，则x+y≤2，即OP的最大值为V2,所以圆的面积最大值为2，枚D正确 2 故选：ACD. 62 【变式训练8-6】（多选题）曲线C:x2+y2=4x2y2被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）.给出下列四个结 论，正确的有（) A.曲线C关于直线y=axa≠0)交于不同于原点0的Ax,y),B(x2,y2)两点，则x+x2++y=0 B.存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界)： C.存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）： D.曲线C上存在一个点M,使得点M到两坐标轴的距离之积大于 【答案】AC 【分析】由对称性判断A,利用基本不等式求得曲线上的点到原点距离的最大值后可判断BCD 【详解】因为由(x2+y2)'=4x2y2可得(x)2+(←y)=4(-x)2(仁y)2,所以曲线关于原点对称， 又直线y=ax(a≠0)过原点，所以Ax,y)与B(x2,y2)两点关于原点对称， 所以x+x2+片+2=0，所以A正确； 直4ry≤4+少}=2+yy,所以+y≤x2+2y, 2 即：+少≤10，当r=产-号取等号，此时，点P5,马在曲线上 2’2 上2，所以P2凸不可能在一个以原点为中心、边长为1的正方形内，所及 2,2 点P5,5)可以在一个以原点为中心、半径为1的圆上，枚C正确， 2’2 由Q①武知xy≤，一≤乞·所以D错误 故答案为：AC 【点晴】方法点晴：利用方程研究曲线的性质，利用基本不等式求曲线上的点到原点距离的最大值 【变式训练87】在平面直角坐标系xOy中，曲线E(x2+y2=8xy2的图象是四叶草曲线，设P(x,y为E 上任意一点，且满足P∈{x,yo)川x,∈Z或∈Z},则任取一点P,该点为格点（横、纵坐标均为整数）的概率 为一 63 【答案】 3 【分析】由题意明确曲线的性质，确定符合题意的点的个数，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 2 【详解】由(x2+y2)=8x2y2≤8 x2+y2 得x2+y2≤2，当且仅当x2=y2=1时取等号， 2 可知x≤V2,故满足x∈Z且∈Z的点P仅有(-1，-1)，(-1,1)，(0,0)，1，-1)，(1，)，共5个 令x,=0,则y,=0,由于Ex2+y2)=8x2y2的图象关于x轴、y轴、坐标原点、y=x对称， 因此只需研究第一象限图象上横坐标或纵坐标为整数的点的情况， 令x。=1,则1+y2)=8y2,不妨设y>0,则有1+y2=2y 2 令=61>0，则有1+r-21,化简有1-+1-1)=0.解得1=1或=5-1， 2 2 2 则1+y2=2y有两个正根1， 5-1 2 故结合曲线对称性可知在第一象限，横坐标或纵坐标为整数的点共有3个： 故整个曲线上横坐标或纵坐标为整数的点共有13个， 厅以任取一点卫，该点为格点的概率为3 故答案为： 5 13 【点晴】关键点晴：解答本题的关键是明确四叶草曲线的对称性，由此确定符合题意的点的个数 题型09：黄金椭圆、双曲线 【典型例避1】（多选爆）我们把短轴长与长轴长的平方比为5一」的椭圆称为“黄金桶圆”.已知椭圆 2 =1(a>b>0)是“黄金椭圆”，其左、右焦点分别是F,F(c,0),c>0,左、右顶点分别为A,B,上、 下项点为D,E,则() 64 A.椭圆C的离心率为 2 B.a,b,c成等比数列 C.△BDE是直角三角形 D.以E,E为直径的圆是菱形AEBD的内切圆 【答案】BCD 【分析】由“黄金椭园”的定义得到的值，进而求出离心率C,即可到断A:白分和离心率c的值，验证 Q b2=aC是否成立，即可判断B,求出BD,DF,BF三边的长，验证BD2+DF2=BF2是否成立，即可判断C,分 别求出菱形AEBD的内切圆半径r,及圆心(O,O)到直线BD的距离d,验证d=r是否成立，即可判断D. 【详解】对于A,由“黄金椭圆”的定义可知 2,25-1 2b)25-1 2a2 a 2 所以椭圆的离心率e=C= 5-13-5 a 2=V2 因为椭圆的离心率0<e<1,所以e=5-1,故A错误， 2 对于B,由=5-1可得62=5-1. a2 2 2 2a.所以c=5. 由S-5-1可得c=5la, 2 所以b2=ac,即a,b,c成等比数列，故B正确： 对于C,由题意可知B(a,0),D(0,b),E(-c,0), 所以BD2=a2+b2，DE2=c2+b2,BF2=(a+c, 周+5j-5。 BD2+DE2=a2+b2)+(c2+b2）=a2+2b2+c2 所以BD+DF=BF2,所以△BDE是直角三角形，故C正确； 对于D,以E,F为直径的圆的方程为x2+y2=c2, 菱形AEBD的边长为Va2+b2,周长为4Va2+b2. 1 菱形AEBD的面积S=。×2a×2b=2ab, 2 设菱形AEBD的内切圆半径为r, ab 则菱形AEBD的面积S=2×周长xT,所以r= va2+b2 直线BD的方程为1：+兰=1，即bx+ay-ab=0, a b 设圆心0,0)到直线BD的距离为d, 则d= -abab va2+b2 Va2+b=r. 所以以E,E为直径的圆是菱形AEBD的内切圆，故D正确 故选：BCD 【典型例题2】（多选题）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线《“黄金分割比”为5-). 2 黄全双面线C名，a>0b>0的点分为4,4，虚推上下两点粉别为8，乌，左右焦点酚 别为F,F,EF为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，M为EF的中点.设O为坐标原点，双曲线 C的离心率为e,则下列说法正确的有() A.e=5+1 2 B.kgrkou e2-1 C.过右焦点且斜率为1的直线与双曲线右支有2个交点 D.直线FB,与双曲线C的一条渐近线垂直 【答案】ABD 【分析】根据黄金分割比计算可得A正确，利用点差法计算可得kr·koM=2-1，即B正确，确定一条渐近线的 斜率为k= 5+1 2 >1,可判断C错误.由斜率之积可判断D. 【详解】对于A,设线段长度为1，较大部分为x,则较小部分为1-x, 由题黄金分割比为x,且x=-今2+x-1=0三=1+5 2 :aF=1(a>0,b>0)为黄金双曲线. 66 1 √5+1 则离心率为e=5- 2，即A正确； X1+X2 x0= 对于B,设E(x,),F(x2,2),M(x,yo,其中 2 %=当+上 2 又E,F在双曲线线上，所以 a2 b2 la2 b2 两式相减可得-芝_广-龙=0， 3 b2 即》-业-分5+五=62%-五-及.5-0 b21 G-5a+y2y。aa0可得kak 所以kEE·kOM= b2 c2-a2 =e2-1,可得B正确； a2 a2 于C,由离心率为e=可府1+么行 W5+1 a 2 b 可得一条渐近线的斜率为k=D 5+1 因为1< 5+1 a -V2 2 根据渐近线性质可知过右焦点且斜率为1的直线与双曲线左、右两支各有1个交点，即C错误. 对于D,易知B,(0,-b),F(-c,0), 则k。。:-,双由线C的一条近线的斜率k6一 a ac 1 5+1,2 =-e+ =-1, e 2V5+1 所以直线FB,与双曲线C的一条渐近线垂直，故D正确. 故选：ABD 【典型例题3】定义离心率是5-的椭圆为“黄金椭圆.已知椭圆E:。+上=112>m>0)是“黄金椭 12m 图国则m=一若“黄金圆”C等+若=1(a>6>0)两个点分w为-e0、5.>0 P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是△PFF的内心，连接PM并延长交FE于点N,则 PM MN 【答案】 6V5-6 5+1 【分析】白离心率的定义可求得m,利用。 S.MFF MN PN 结合椭圆定义可求解。 ,b2 如图， F ON F 连接MF,MF,设aPFF内切圆半径为r, 则P所+P所r+F61r=S5即2a+2刘r=S5· Rr=成w%=方20 ∴NM -CINPI, a+c IPME1--cIPN=-a-IPNI. a+c a+o a IPMI=atc_a=1_15+1 MNIe-c5-1 2 a+c 2 故答案为：65-6：5+1. 2 S.MFF 【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，然悉离心率公式即可，第二间的关键是利月数形结合，由了 MN PN 结合椭圆定义、三角形的面积公式即可顺利求解， 【变式训练9-1】（多选题》一般地，我们把离心率为5-」的精圆称为“黄金椭圆？，则下列命题正确的有《） A.椭园，+上-1是“黄金椭圆” 三十 "1+V52 B.若椭圆亡+卫-1是黄金椭圆，则m=6N5-6 12m 68 C.设“黄金椭圆”C的左右焦点分别为F,F,存在椭圆C上一点P,使得P℉⊥PF, D.设过原点的直线与焦点在x轴上的“黄金椭圆”分别交于A、B两点，“黄金椭圆”上动点P异于A,B), 设直线PA,PB的斜率分别为，k,则人点，=1-5 2 【答案】AD 【分析】根据新定义判断A,由椭圆的标准方程求m判断B,利用新定义判断椭圆与以焦点连线为直径的圆的关 系判断C,设椭圆方程为女 ,?+21,设P(),直线AB方程为y=x,计算kk,后判随 【详解】选项A.c2=a2-6=1+5-2=5-1,离心率为e==5-5- ,A正确： a5+1 2 选项B.若焦点在X销白e=2m=51得，m=65-6,若焦点在y轴，白e=m-卫_5-得， 12 2 m 2 m=6V5+6,B错： 1 5+1c>c,所以b>c, 2 因此当P为椭圆短轴顶点时，OP最小，且PO=b>c=OF,则P在以FF为直径的外，所以不存在P使得 PF⊥PF,C错； 选项D,郴椭圆方程为，+少 3,eY5-,设P,直线AB方程为y=c(P不在直线B 2 ab ab y=kx X=- X=- k2a2+b2 Vk2a2+b2 、。+21昊 kab 或 kab y= y=- Vk2a2+b2 Vk2a2+b2 ab kab ）,B(- ab kab 即A( k'a2+b2ka2+b2 Vka+b ka+b 69 : kab kab o+ k2a"b2 .02a2+b yo-katb ab b xo+ka+b a'b2 x0一 Vk'a2+b2 k2a2+b2 号+答=1即-o.代府 a b2(a2-x)k2a2b2 h.k-ai kaish=b--a=e-1=1-15 a2 2，D正确. F 故选：AD 【变式训练9-2】（多选题）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较 大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”).若黄金双曲线 C:x_y :云厅=1(>0,6>0)的左右两顶点分别为4,4，虚轴上下两端点分别为B,，B,左右焦点分别为 F,F,EF为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，M为EF的中点.设双曲线C的离心率为，则() A.e=5+1 2 B.kr·kow=e2 C.直线F,B,与双曲线C的一条渐近线垂直 D.直线y=y6 x+1与双曲线C的左支有两个不同的交点 【答案】AC 【分析】根据黄金分割比计算可得A正确，利用点差法计算可得kE·koM=2-1,即B错误，由两直线的斜率关 系可判断C正确，易知一条渐近线的斜率为k= 5+1V6 可判断D错误. 2 2 【详解】对于A,设线段长度为1，较大部分为x,则较小部分为1一x, 由题黄金分割比为x,且x= -1x→x2+x-1=0→x=1+5 2 70 若C 。存=a>0,b>0)为黄金双曲线， 1 V5+1 则离心率为e= V5-1 2，即A正确； 2 )=5+3 对于B,设E(x,),F(x,y2),M(xyo),其中{ 2 %=当+业 2 又E,F在双曲线线上.所以口 (a2b2 两式相减可得-￡_广-足=0， 即上-2=b.5+五=b.2x=bB.五-6。- b21 无-6a+52a2,云为a。- ,可得kEr=石Ko 所以kEF·koN= B-c2-a=e2-1,可得B错误： a-a 、-b-0b 对于C,易知E(-6,0),B0,-b),所以ka,0--d-c 易知双曲线的一条渐近线斜率为k=b, _a 则kk=-bb。公-a2-c1 -=--e= 2-5+1=-1, c a acac e5+1 2 因此直线FB,与双曲线C的一条渐近线垂直，即C正确； 8) 对于D,由离心率为e=S-5+1可得，【+ 5+,解得- 5+1 a 2 a V 2 可得一条新近线的斜率为k=。- 5+1 而直线y=y6,」 +1的斜率V6 W5+1 2 2<V2 根据渐近线性质可知直线y=y6 x+1与双曲线C的左右两支各有一个交点，即D错误. 2 故选：AC 【变式训练9-3】（多选题）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把5，」y5,10.61S称为黄金数.腐心 22 率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线若黄金双曲线E: 京-广=1(a>0)的左，右顶点分别为4,4，虚 轴的上端点为B,左焦点为F,离心率为e,则() A.ae=1 B.A,B·FB=0 C.顶点到渐近线的距离为e D.△4，FB的外接圆的面积为2+V5, 4 【答案】ABD 【分析】利用双曲线的几何性质，结合图形进行计算即可. 【详解】 设双曲线的半焦距为C,则c=V?+L,C 2 aV5-1' 伯题意知√a2+15+→a2=Y5,-1,c2=5,+1ae=ac=1A正确 2 A2(a,0),B(0,1),F-c,0),AB=（-a,1,FB=(c,1,AB.FB=12-ac=0,B正确. 对于C,双曲线号-少=1的近线方程为x士w=0, a I 所以顶点到新近线距离d后中下。。，C辑误。 对于D,因为A,B·FB=0,所以AF⊥FB,所以△A,FB为直角三角形，且∠A,BF=90°，A,F=a+c, 所以4FB的外接国半径为“生，故：4FB外接球面积5=x(a9 (2 =a2+c2+2c=2+5 4 4π，D正确 故选：ABD. 【变式训练9-4】（多选题）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线(“黄金分割比”为 5-l.若黄金双曲线C:-片 :京1(a>0,b>0)的左右两项点分别为4,4，虚轴上下两端点分别为B,B, 左右焦点分别为F,F2,EF为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，M为EF的中点.设O为坐标原 点，双曲线C的离心率为e,则下列说法正确的有() 72 A.e=5+1 B.ker'kou =e2 2 C.直线FB,与双曲线C的一条渐近线垂直D.44EF引=B,B, 【答案】ACD 【分析】A由黄金分割比定义可判断选项正误；B由点差法可判断选项正误；C判断k,·k是否等于-1可判断选 项正误；D由ac=b2,计算41AFF,=4ac,B,B2=4b2,可判断选项正误 122x5+刊5+1 【详解】对于A,由题得离心率e= 5-15-14 2，故A正确； 对于B,设E(x,小，F(x,,则点M西+，+少 22 导萨，兰器-1，两价老得5。。】 b2 则owkr=当+业.当-2=片-竖B2c2 名+5-为子-店。日1=-1，故B不正确； 对于C,易知B,0,-,(-e,0,则品=。0-。，双白线C的条布近钱的率k- 0+cc a 所以s）-Ce+-5++2 、caac-ae =-1, e2V5+1 所以直线FB,与双曲线C的一条渐近线垂直，故C正确： 对于D,4142FF,=2a×2c=4ac,BB,2=4b2, 由C选项可知有ac=b2,所以4ac=4b2, 所以AAE=B,B,,故D正确. 故选：ACD 变式训练9-5】已知精圆c名+0>6>0的左、有焦点分别是-6,0、R(c,0,若离 e=5-(e≈0.618，则称椭圆C为“黄金桶圆.则在黄金椭圆C中，以4-a,0),B(a,01,D0,-b1, 2 E(O,b)为顶点的菱形ADBE的内切圆面积为 【答案】 V5-1πb 【分析】首先求内切圆的半径，再代入圆的面积公式，以及离心率表示α，b,c的关系，即可求解. 73 【详解1若e=c=5-1,设c=5-k,a=2k,则b=a2-c2=(25-2k,所以62=ac a 2 由等面积公式。以及样圆的对移性可知，菱形4DBE的内切圆的半径r一 ab 则其内切圆的面积S=2=a6-a2ac_@2c_ac_ 2πb2 5-1πb2 a2+b2 a-+ac a+c l+e V5+1 2 故答案为： √5-1)πb2 2 【变式训练9-6】数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=5-」的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方 2 +京=1(a>b>0),若以原点0为圆心，短轴长为直径作圆O,P为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P b2 a2 作圆O的两条切线，切点分别为A,B,直线AB与x,y轴分别交于M,N两点，求 M'OwP的值. 【答案】5+1 2 【分析】直线AB是以OP为直径的圆与圆O的相交弦所在直线，两圆相减求出直线AB方程，进而求出点M,N坐 标，代入所求式化简可得。 【详解】依题意有O,A,P,B四点共圆，设点P坐标为P(x,y), 则该圆以OP为直径，方程为xx-x)+y(y-yo)=0,即x2-xx+y2-yoy=0, 将两圆方程：x2+y2=b2与x2-xx+y2-yy=0相减， 得切点所在直线方程为1B:xx。+y,=b2, b2 b2 当x=0时，y=;当y=0时，x= yo 74 b2 d2=b+a-bx号+a2=ab2=a-=1=2=5+1 所以OM+ON6+6 =61-e6-2 x后 【变式训练9-7】我们把离心率为5+的双曲线称为“黄金双曲线”.已知“黄金双曲线” 2 2W5-2尔=1b>0),则C的虚轴长为 C: y2 【答案】4 【分析】根据条件及离心率的定义，得到，1+- 型网 【详解】因为e= =1+。 +,5+1,即1+，，6+25 ,解得b=2,所以C的虚轴长为 a 25-22 25-24 4, 故答案为：4. 题型10：曼哈顿距离 【典型例题l】曼哈顿距离(Manhattan Distance)是一种用于衡量两个点在空间中距离的度量方式.它的名称 来源于纽约曼哈顿的网格状街道布局：在这种布局下，从一个点到另一个点需要沿着街道行走（只能沿水平或垂直 方向移动)，而不能走对角线，故曼哈顿距离又称城市街区距离.已知点A(x,y),B(x2,y2,定义A,B两点间 的曼哈顿距离D(A,B)=x-x+以-y2.在平面直角坐标系x0y中，己知点P(3,4),动点M满足OM=1,动 点N满足D(N,P)=2,则MN的最大值为() A.3V5+1 861 C.41+1 D.211+1 【答案】A 【详解】令N(x,y),且P(3,4),则D(N,P)=x-3+y-4=2, 当x≥3，y≥4时，x+y-9=0, 当x≥3，y<4时，x-y-1=0, 当x<3,y≥4时，x-y+3=0, 当x<3,y<4时，x+y-5=0, x+y-9=0x=3 "x-y+3=0=6交点为4B,6), 由 x+y-9=0.x=5 由 → x-y-1=0y=4' 交点为B(5,4), x+y-5=0 x=3 由 x-y-1=0 交点为C(3,2), x+y-5=0x=1 由 x-y+3=0 y=4:交点为D1,4), 所以N(x,y)是正方形ABCD各边上运动的动点， 由M满足OM=1,即M在以原点为圆心，1为半径的圆上， 所以MN IS ON|+|OM HON1+l,则MNLa=ONn:+1,如下图示， B 由图知，N(x,y)与原点的距离最大时，一定在线段AB上， 叉10A=V4>10B=V4,且0到直线x+y-9=0的距离d=9 81 221 所以OAOB>d,故MNns=3V5+1, 当且仅当AN重合，且M,O,N共线，M,N在0的两侧时取得最大值. 故选：A 【典型例题2】（多选）已知AB=x,-x,+y1-y2是Ax,y),B(x2,y2)两点的曼哈顿距离，点P是函数 f(x)=V36-x2(x>0)图象上的动点，0为坐标原点，则下列说法正确的是() A.若动点Q满足OQ=1,则点Q的轨迹是一个边长为√2的正方形 B.∫(x)的图象与两坐标轴围成的区域的面积是18π C.若0P≥35+1，则点P的轨迹是以0为原点，6为半径的圆上的一段圆弧，且长度为刀 D.若OP≥3(V5+),将点P的轨迹逆时针旋转后得到的曲线与点P的轨迹关于y轴对称 【答案】ACD 【详解】对于A,设Q(x,y),由OQ=1,得x+y川=1， 所以点Q的轨迹是以原点0为中心，（-1,0)，(1,0)，(0,1，(0，-1为顶点的正方形， 76 且边长为√2，故A正确； 对于B,∫(x)的图象是以原点为圆心，6为半径的圆在第一象限内的圆弧， 即f(x)的图象与两坐标轴围成的区域的面积是二π×62=9π，故B错误； 对于C,如图，当0P=3√5+1时，点P的轨迹是以原点为中心， D 对角线分别在x轴和y轴上且边长为3√6+√2)的正方形， 所以当OP≥3V3+1时，满足条件的点P对应的轨迹是 函数∫(x的图象落在正方形边上及正方形外部的部分. 易知该正方形在第一象限的边长所在的直线为1：x+y-3V3-3=0. 过点0作OM11于点M,易知OM= 36+2) <6,所以直线1与圆弧相交， 2 记交点分别为C,D,连接OC,OD,即点P的轨迹为CD, 在RtAOMD中，cos∠MOD=OM=V6+巨 OD 4 所以c0s∠C0D=cos2∠M0D=2cos'∠M0D-1= 所以LC0D=五， 2 6 即CD的长度为严x6=元，故C正确； 由选项C的分析，结合点P的轨迹， 知将点P的轨迹逆时针旋转”后得到的曲线与点P的轨迹关于y轴对称，故D正确 故选：ACD 【典型例题3】已知在平面直角坐标系x0y中有两个点A(x,y),B(x2,y2),数学上，我们常把 |4B=Vx-x)'+(y-为，)尸定义为欧几里得距离，把D(A,B)=:-x+以-定义为曼哈顿距离.分别记 E,F为双曲线C:女- =1的右顶点和右焦点，若D(F,A)=EF,则点A的轨迹与双曲线C的公共点个数是 a2 b2 77 【答案】1 【#相】设c号是=1他E为2ac>0,5小， E (a,0),F(c,0),EF =c-a, 可得D(F,A)=x-c+y=c-a. 当x≥C,y≥0时，可得x-c+y=c-a,即x+y=2c-a; 当x≥C,y<0时，可得x-c-y=c-a,即x-y=2c-a; 当x<c,y≥0时，可得c-x+y=c-a,即x-y=a; 当x<C,y<0时，可得C-r-y=C-a,即x+y=a; 可知点A的轨迹是以F为中心且其一条对角线在x轴上的正方形. VA b-(c-a)=ci-a-acta-clc-a)>0. 又因为 a2 ->c-a。 62 可知当点A在点F正上方或正下方时，AF=c-a< 所以点A的轨迹与双曲线C仅有1个公共点E. 故答案为：1. 【典型例题4】人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场 安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官 间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的 测量方式主要有3种设A(x,),Bx,)，则欧几里得距离D(A,B)=√x-x)}+(以-)尸；曼哈顿距离 d(A,B)=k,-x+y-y；余弦距离A,B)=1-cosA,B),其中cos(A,B)=cos(OA,OB)(0为坐标原点). (1)若点M(2,4),N(4,2),求M,N之间的欧几里得距离D(M,N),曼哈顿距离d(M,N)和余弦距离 e(M,N); (2)若点M(2,4,d(M,N)=2,求eM,N)的最大值： (3)已知点M(2,4),，曲线C:y=x2,问曲线C上是否存在点N使得d(M,N)≥V2D(M,N),若存在，求 78 eM,N)的值；若不存在，请说明理由. 【容案]D叫M,N=25,dM,N=4,dM,N=号 12)5-2V5 5 3)存在，e(M,N=1-2 【详解】(1)已知M(2,4,N(4,2),则由题意可得欧几里得距离为D(M,N)=V2-4+(4-2=2√2； 曼哈顿距离为d(M,W)=2-4+4-2=4; 因为OM=(2,4),0N=(4,2), 所以Cos(M,N)=cosOM,ON= 0M.0N2×4+4×2164 MOW22+42205' 则余弦距离为e(M,N)=1-cosM,N=l-55 41 (2)设V(x,y),由题意得：d(M,N)=x-2+y-4=2, x+y-6,x22且y≥4 x-y+2,x≥2且y≤4 由d(M,W)=x-2+y-4= -x+y-2,x≤2且y≥4' -x-y+6,x≤2且y≤4 作出x-2+y-4=2表示的图形，为如图所示的正方形ABCD, 其中A(0,4),B2,2,C(4,4,D2,6), 即点N在正方形ABCD的边上运动，OM=(2,4),ON=(xy), 结合图形，由eM,n=1-cosM,N)可知， 当cos(M,N)=cosOM,ON取最小值时，OM,ON最大. 相应的M,N)有最大值.因此，点N有如下两种可能： ①点N为点A时，ON=(0,4,则：cos(M,N)=cosOM,ON= 0M.0N_2×0+4×425 oM·oW4V22+42 5 ②点N在线段BC上运动时，此时ON与BC=(2,2)方向相同，ON=(2,2), cos(M,N)cos(OM,ON)=- 2×2+4×23V10 22+22×V22+4210 79 因为25310 5 10 所以点N在点A时，eM,N有最大值，最大值为5-25 5 D M B 0 (3)设N(x,,则d=(M,N)=x-2+y-4,D(M,N=x-2)+(y-4)2, x-2+y-4≥2Vx-22+y-42, (0x-2+y-402≥2[x-2+y-4}]. (0x-2-y-402≤0，x-2=y-4,即y=x+2或y=-x+6. 2子 x=2x=-1 立+6.子 x=-3 ly=x2 y=4'1y=91 .N(2,4),N,-1,1,N,(-3,9),.cosOM,ON=1,则M,N)=0: CosOM,ON,= ,2+4-D,则eM,N=1- 25.√210 10 30√ cos0M,0N=90.N202 则e(M,N=1-5 2 【变式训练l0-1】曼哈顿距离(Manhattan Distance)是由十九世纪赫尔曼一闵可夫斯基所创词汇，是使用在几 何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和.例如：在平面直角坐 标系内有两个点A(x,y),B(x2,2),它们之间的曼哈顿距离d(A,B)=k-x2+以-2.已知点B(1,0),点M是 直线-y+k+3=0上的动点，点N是直线x+y-4k+1=0上的动点，其中k≥0.则d(B,M）+d(B,V)的最 小值为() A.4 B. 24 5 C.5 D.16 3 【答案】A 【详解】记直线l:kx-y+k+3=0,则l:x+1)k+(3-y)=0, 80 3-s0德 x+1=0 x=-1 由 y=3·恒过定点(-1,3)： 记直线l2:x+y-4k+1=0,则l2:x+1+y-4)k=0, x+1=0 少-4=0得： 由 少=4,4恒过定点(-1,4)： x=-1 k×1+-1×k=0,.l⊥2； 若过点8,0)，则2法+3=0，解得：人=多与k≥0不盾，4不过点BL,0: 若6过点8L,0,则2-4张=0，解得：k=分，符合题意，4可过点8101： 设曼哈顿距离d(A,B)=x,-x,+少，-y2=1,其中B(1,0),则A点到定点B(1,0)的曼哈顿距离为定值t的轨迹是 正方形，该正方形以B(1,0)为中心，其中一条对角线在x轴上，另一条对角线平行于y轴，且对角线长的一半为 定值t,如下图所示， ∠AFE=T,AE⊥BF,:AE=EF, 4 AE+BE=EF+BE=BF=t,可知A轨迹为该正方形； :当正方形与l相交于一点M时，d(B,M)=BM;当正方形与Z相交于一点N时，d(B,N)=BN, ∴.d(B,M+d(B,N)=BM+BN≥BM(当Z过B(1,0),即B,N重合时取等号)， 当过8L0=令时4- +20,4x+2-1=0,则M1,4: d(B,M)+d(B,N)的最小值为4 故选：A. 81 【变式训练10-2】“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任 意两点Ax,y,B(x2,2)的曼哈顿距离d(A,B)=x,-x,+出-2，则下列结论正确的是（) A.若点P(2,4),0(-2,1,则d(P,9)=6 B.若点M(-1,0),N(1,0),则在x轴上存在点P,使得dP,M)+d(P,N)=1 C.若点M(2,1),点P在直线x-2y+6=0上，则dP,M)的最小值是5 D.若点M在圆x2+y2=4上，点N在直线2x-y+8=0上，则dM,N)的值可能是4 【答案】D 【详解】A选项，d(P,Q)=2-（-2+4-1=7,A错误； B选项，设P(m,0),则d(P,M)+dP,N)=m+1+m-1≥m+1-(m-1=2, 当且仅当-1≤m≤1时，等号成立， 故在x轴上不存在点P,使得d(P,M)+dP,W=1,B错误； C选项，点P在直线x-2y+6=0上，设P(2y-6,), 9-3yoy<1 则d(P,M）=|2%-6-2+y。-1=|2y%-8+%-1={7-o,1≤≤4， 3y-9,y>4 当y∈(-oo,4时，d(P,M)单调递减，当y。∈(4，+o)时，d(P,M）单调递增， 故当yo=4时，dP,M)取得最小值，最小值为3×4-9=3，C错误： D选项，设M(0,2),N-2,4),此时d(M,N)=|0+2+2-4=4, 故d(M,N)的值可能为4，D正确. 故选：D 【变式训练10-3】“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼.闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几 何学用语，即对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到达另一点的距离是在南北方向 上旅行的距离加上在东西方向上旅行的距离，“欧几里得距离（简称欧氏距离）”是指平面上两点的直线距离，如图 a所表示的就是曼哈顿距离，b所表示的就是欧氏距离，若A(x,乃)、B(x2,y2),则两点的曼哈顿距离 D(4B)=x-+以-，而两点的欧氏距离为d(A,B)=Vx-x)}+(y-y,),设点0(0,0)，在平面内满 足d(M,O)≤1的点组成的图形面积记为S,D(M,0)≤1的点组成的图形面积记为S2,则S,-S,=（) 82 A.0 B.π-2 C.π-1 D.4-元 【答案】B 【详解】设点M(x,y),则d(M,0)=Vx2+y2≤1，可得x2+y2≤1， 方程x2+y2=1表示以原点为圆心，半径为1的圆，则S,=π×12=π， D(M,O)=x+y≤1，对于方程x+y=1, 当x≥0、y≥0时，则有x+y=1; 当x≤0、y≥0时，则有-x+y=1,即x-y=-1: 当x≤0、y≤0时，则有-x-y=1,即x+y=-1; 当x≥0、y≤0时，则有x-y=1. 作出方程x+y=1表示的图形如下图所示： 所以，方程+y川=1表示的图形是边长为√2的正方形，则S,=(2)=2, 故S1-S,=π-2. 故选：B 【变式训练10-4】在平面直角坐标系x0y中，定义d(A,B)=x,-x2+以-y2为A(x,y),B(x2,2)两点间的 “曼哈额距离”、已知椭圆C号+-1，点P,Q,R在嘴圆C上，PQ上镇，点M,N满足=亚， PN=2NO.若直线MQ与NR的交点在x轴上，则d(R,Q)的最大值为() A.2W5 B.2√2 c.4v6 D.4 3 【答案】A 83 【详解】设点P位于第一象限，P(x,),R(x,2),则Q(x,-), 因为=-师，网=0，所以M任生兰，生》 设直线MQ与NR的交点为T(t,0),则QT1/MQ,R7/RN, 而Q7=t-x,y,M0=5,,-3y+ 2 2 3y+y2 同理由R7/可得1=+3少，所以2++=出+3x业」 y+3y2 3y+y2 y+3y2 化简可得(x-x)=y》2(x-x), 因为x≠x2,y≠0，所以少=y2, 又椭圆对称性可知x1=一x2, 所以d(R,Q)=x-x+y-y2=2x+2y, 因为点P在椭圆C上，所以于+=1， 2 设x=5cos0,y=sn0,0e0》 则d(R,Q)=2x+2y=2v2cos0+2sin0=25sin(0+p),且tano=√2， 所以当0+p=亚时，d(R,Q取得最大值为25， D M 故选：A. 【变式训练10-5】在平面直角坐标系中，若M(xy),N(x,乃)，则称“d=k,-x+以-，”是M、N 两点的“曼哈顿距离”.若动点E到两定点F(0,-c,F(0,C(c>O)的“曼哈顿距离”之和为定值 2a(a>c,则称点E的轨迹是“曼哈顿椭圆”.若点P是该“曼哈顿椭圆”上一点，关于命题： ①aPFE,面积的最大值是c(a-c);②该“曼哈顿椭圆”的周长是4V2a+1-V2)c, 下列说法正确的是() 84 A.①②都是真命题 B.①是真命题②是假命题 C.①是假命题②是真命题 D.①②都是假命题 【答案】A 【详解】设P(x,y),则P,F两点的“曼哈顿距离”d,=x+|y+c|,P,F2两点的“曼哈顿距离” d2=x1+ly-cl, ad +d,=2x|+ly+c+ly-cl, 易得“曼哈顿”椭圆关于坐标原点及对称轴对称， 研究第一象限及x轴和y轴非负半轴上点的轨迹， 2x+2y,x≥0，y≥c d,+d2= 2x+2c,x20,0≤y<c 2x+2y=2a,x≥20，y≥c 作曲线 2x+2c=2a,x≥0,0≤y<c1 根据对称性可作出如图“曼哈顿圆”， y B C 0 F 则A(0,a),C(a-c,0),B(a-c,c), 对于①，当点P与C重合时△PFE,面积最大为；×FF,lx1OCFe(a-c),故O是真命题， 对于②，|AB|+|BC=√2(a-c)+c=√2a+(1-V2)c, 所以该“曼哈顿椭圆”周长为4[√2a+(1-√2)c],故②是真命题. 故选：A. 【变式训练10-6】（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐 标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面Oxy上任意两点Ax,y),B(x2,y2)的曼哈顿距离 dA,B)=x-x,+以-2，则下列结论正确的是() A.若点P(1,3,Q(2,4,则dP,Q)=2 85 B.若对于三点A,B,C,则“d(A,B)+d(A,C)=d(B,C)”当且仅当“点A在线段BC上” C.对于平面上任意一点N,若d(N,O),则动点N的轨迹长度为8 D.若点M在圆x2+y2=4上，点P在直线x-2y+8=0上，则dP,M的最小值是4-√ 【答案】AD 【详解】对于A,d(P,Q)=1-2+3-4=2,所以A正确： 对于B,取不共线三点A1,0),B(1,1),C(2,0),则d(A,B)=1-1+0-1=1,d(AC)=1-2+0-0=1, dB,C)=1-2+1-0=2,所以d(A,B)+d(A,C)=d(B,C).所以B不正确： 对于C,设N(x,y),则x+y=2,所以点N的轨迹是如图所示四条线段，所以其长度为4×2√2=8√2.所以C 不正确： A B 0 2 对于D,因为当a>0,b>0时，√2√a2+b2≥a+b≥Va2+b2. 所以要想使d(P,M)最小，点M到直线的距离最小 所以如图所示，过原点O作OM⊥直线x-2y+8=0且交圆于点M. P C b -8 b 1 设M(a,b),则0M的斜率为二×。=-1，所以b=-2a. a 2 代入圆的方程，得M- 2V54V5 5,5 设P(x,),则d(P,M)=+ ,25,.45 5 +y0- 5 86 当ab=0时，a+b≥√a2+b2成立： 当x。+250时，=为+4=V5 5 S+4,此时d(P,M)=k,+3 当%-4 5=0时，k=2-8-85-8,此时d0P,M)=5+ 25.45 +y5 5 =8-25； 5 5 因为4-√5<8-25，所以d(P,M)的最小值为4-√5. 所以D正确. 故选：AD. 【变式训练10-7】（多选）“曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直 角坐标系中，点P(x,y小Q(x,2)的曼哈顿距离为：Le=x-x+-.若点P(1,2),点0为圆 C:x2+y2=4上一动点，则() A.点P(1,2)和点A-1,3)的曼哈顿距离为3 1-2sm0-4o0≥ B.设0(2cos0,2sin0),则Lp0= 3-2v2sim9+π 1 2 C.Lro的最小值为3-2√2 D.Lp0的最大值为3+22 【答案】ABD 【详解】对于A,易知点P1,2)和点A-1,3)的曼哈顿距离为L4=-1-1+3-2=2+1=3,即A正确； 对于B,若2(2cos0,2sin0),可得Lpo=|2cos6-1+2sin0-2, 易知2sin0-2=2-2sin0, 当cos027时，可得Lm=2c0s0-1+2-2sim0=-2sin9-cos0=1-2V2sin0-） 4 当cos0<时，可得Lw=1-2cs0+2-25in0=3-2sn0+cos0)=3-25n0+号} 2 所以可得Lp0= 4}cos031 1-2V2sim0-π. 2 3-2/2sin ·即B正确， 4.cos0< 2 87 对于C,D,由B选项分析可知不妨取0e[0,2π， 2 因此可知当0-7时，w取得最大值为1+2反，当0=行时，4，的最小值为2-5： 若0=头时，L0取得大值为3+25，当6道近于背时，L心趋近于2-5： 4 综上可知，L0的最小值为2-√5，L0的最大值为3+2√2，可知C错误，D正确. 故选：ABD 【变式训练10-8】（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐 标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A(x,y),B(x2,y2)的曼哈顿距离 d(A,B)=x-x,+以-2，则下列结论正确的是() A.若点M(-1,0),N1,0),则在x轴上不存在点P,使得d(P,M+dP,N)=1 B.若点M(2,1,点P在直线x-2y+6=0上，则dP,M)的最小值是2 C.若点M在函数y=x2图象上，点N在直线2x-y+8=0上，则d(M,N)的值可能是4 D.直线l:axr+y-1=0,2:x-ay-2=0交于点P(x,yo),M(x,y)∈，N(x2,2el,M,N与P都不 重合，且4x-x=-2,若d(P,M)=1,则PN的最小值为2√2 【答案】ACD 【详解】对于A选项，可根据题目给出的定义，d(P,M)=x-(-1)曰x+1川，d(P,N)x-1川，由绝对值的几何 意义，可得：d(P,M)+d(P,N)x+1|+|x-122,A选项正确： 对于B选项，设点P(x,y),P点在直线x-2y+6=0上，可得y=2x+6), d(M,P)x-2|+|5x+3-1月x-2|+|三x+2|, 26x<-4 2x+4,-4≤x<2, 可将此距离写成分段函数的形式：d(M,P)= 3 5x≥2 不难得到当x=2时，距离的最小值为3，B选项错误： 对于C选项，可取特殊点M(0,0),N(-4,0)满足题意，C选项正确： 88 对于D选项，d(P,M)=x-x+-y=(1+a）x-x=1, 1PM=Vx-xo)2+(0y-)=V1+a2.x。-xl, 由基本不等式：1+a2≥21a,当且仅当|a1时等号成立，即1+a2≥1+1a)2, 肉边开平方后，1+02≥2+1aD,叫PW2Y2 计算PN=V-xo)2+(y2-y)2=Va2(y-2)2+0-)2 =+a2y。-y,=4V1+a2.x,-x=4PM≥2V2,当且仅当|a1时等号成立，可判断D选项正确。 故选：ACD 【变式训练10-9】（多选)在平面直角坐标系中，若M(),N(cy2),则称“d=x,-x2+以，-y2”为M, N两点的“曼哈顿距离”，若动点E到两定点F(0,-c),F,(0,c)(c>0)的“曼哈顿距离”之和为定值2a(a>c), 则称点E的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点P为该“曼哈顿椭圆”上一点，则() A.△PFF,的周长为2a+2c B.△PFF,面积的最大值为c(a-c) C.该“曼哈顿椭圆”的面积为2(a2-c2)D.该“曼哈顿椭圆”的周长为4[V2a+(1-√2)c] 【答案】BCD 【详解】设点P的坐标为(c,), 则P,F两点的“曼哈顿距离”d,=+y+c,P,两点的“曼哈顿距离”d,=x+y-c,则 d +d,=2x +y+c+y-c, 易得“曼哈顿椭圆”关于坐标原点(0,0)及坐标轴对称，可以先研究第一象限及x轴和y轴非负半轴上点的轨迹， 2x+2y,x≥0，y≥c 2x+2y=2a,x≥0，y2c d,+d2= 2x+2c,x20,0sy<c,作曲线 x+2c=2a,x≥0,0≤y<c 根据对称性，可作出如图“曼哈顿椭圆”，则A(0,a),C(a-c,O),B(a-C,c), 对于A,B,当点P与C重合时，△PFF2的周长为2c2+(a-c)2+2c≠2a+2c, 此时△PF,的面积最大为)×FF,×OC=C(a-c),故A不正确，B正确： 对于C,梯形01BC的面积为40+aC女0C口，G一所以该“曼哈颜稀圆”的面积为2@-c),枚CD 2 确； 对于D,又AB+BC=V2(a-c)+c=V2a+(1-√2)c, 89 所以该“曼哈顿椭圆”的周长为4[V2a+(1-√2)c],故D正确. 故选：BCD. A F B C O F 【变式训练10-10】“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x,y)、B(x2,y2), 则A、B两点间的曼哈顿距离d(A,B)=x,-x2+y,-y2,已知点M(4,6),点N在圆0：x2+y2=4上运动，若 点P满足d(M,P)=2,则PN的最大值为一 【答案】4V5+2/2+4V5 【详解】设点P(x,y),当x≥4，y≥6时，则有d(M,P)=x-4+y-6=x+y-10=2,可得x+y-12=0: 当x≤4，y≥6时，则有d(M,P)=4-x+y-6=-x+y-2=2,可得x-y+4=0: 当x≤4，y≤6时，则有d(M,P)=4-x+6-y=10-x-y=2,可得x-y-8=0; 当x≥4，y≤6时，则有d(M,P)=x-4+6-y=x-y+2=2,可得x-y=0. 如下图所示： E G 则点P的轨迹为正方形EFGH，且点E(2,6)、F(4,4、G(6,6、H(4,8), 国为音1，如名1，所以.0、F、G三点共钱，0G1GH, 当点P与点H重合时，OP取最大值，且OPlx=OH川=V4+8=4V5, 所以，PW≤OH+ON=4√5+2， 90 当且仅当N为直线HO与圆O的交点，且HO、ON方向相同时，等号成立， 因此，PN的最大值为4√5+2. 故答案为：4√5+2. 【变式训练10-11】平面直角坐标系中，任意两点A(,),B(x,),定义d=Vx-x)'+(片-y2)2为“A, B两点间的距离”，定义AB=x一x,+y一y为“A,B两点间的曼哈顿距离”，已知O0,0)为坐标原点， P(x,yx≥0，y≤0)为平面直角坐标系中的动点，且OP=2,则dop的最小值为」 【答案】2 【详解】设P(x,y),则由OP到=x+y=2, 因为x≥0，y≤0，所以x-y=2, dop的最小值为点O到线段的距离， 2=2 dom的最小值为2 故答案为：√2 【变式训练10-12】在平面直角坐标系x0y中，己知点Ax以)，B(x2M2),定义d(A,B)=x,-x2+以-y2为 “曼哈顿距离”.若d(0,P)=2,则点P的轨迹所围成图形的面积为；圆x2+y2=1上一点与直线 2x+y-2√5=0上一点的“曼哈顿距离”的最小值是」 【答案】 8: 5 2 【详解】第一空：设P(x,y),则d0,P)=x+y川=2①， 将(x,-y)代入①得x+-y川=x+y=2,将-x,y)代入①得x+y=x+y=2, 所以曲线x+y=2关于x轴和y轴对称， 故曲线x+y=2所围成图形的面积，等于x+y=2与x轴和y轴所围成图形面积的4倍， 易知x+y=2分别与x轴和y轴交于点(2,0)，(0,2)， 所以x+y=2与x轴和y轴所围成图形面积为二×2×2=2， 所以曲线x+y=2所围成图形的面积为2×4=8. 第二空：设圆x2+y2=1上动点为M(cos0,sin0),0∈[0,2x,直线2x+y-2V5=0上动点为W,25-2I, d(M,N)=t-cos+2v5-2t-sin0. 当M(cos0,sin0)固定不动时， -3t+25-sin0+cos0,t<cos0 记f(t)=t-cos0+2V5-2t-sin0={-1+2W5-sin0-cos0,cos0≤t≤V5-1sin0, 2 3-25+sin0-cos0,>5-sin0 则t=5-sin0时，f取得最小值， f0m=-5-2sn0小+2w5-sn0-eos0=5-5 sin(0+). 2 其中sin0= 5,c0s6=25 5 当M(cos0,sin0)在圆上运动时，sin(0+p的最大值为1， 所以d(M,N=5-5.5 22 故答案为：8； 2 【变式训练10-13】在平面直角坐标系x0y中，0是坐标原点，定义点P(x,)与点Q(x2,y2)的“曼哈顿距离” 为dP,Q=x-x+y-l.若点F(-1,0),点F1,0), (1)求d(F,F): (2)已知直线2x-y+2=0,求点E到直线上动点的“曼哈顿距离”最小值： (3)求平面内与两定点F和F的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积. 【答案】(1)2 (2)2 (3)6 92 【详解】(1)由“曼哈顿距离”的定义可得d(F,F)=1-（-1+0-0=2. (2)设直线2x-y+2=0上动点C的坐标为x,), -3x。-1,x。<-1 则dF,C)=x。-1+y=x。-1+2x+2=x+3,-1≤x≤1， 3x,+1,x>1 由一次函数单调性可知，当x。<-1时，d(F2,C)>2;当-1≤右≤1时，2≤d(F2,C)≤4； 当x。>1时，d(F2,C)>4. 综上，d(F2,C)的最小值为2. (3)设点D(x,y),则d(E,D+d(F2,D)=4, pr--川++k-+=4,即=2-x++-0, 将(，-月代入上述方程得-列=2-++-0=， 所以，方程=2-，仆x++x-)表示的曲线关于x轴对称。 故曲线小=2-北+小+k-川所围成的面积等于曲线)=2x++x-)与x轴所围成的面积的2倍 x+2,x<-1 作出函数y=2-x++x-)=1-1≤x≤1的图象，如图： 2-x,x>1 A G E -3/-2 -10 易知E(-2,0),F(-1,1,G1,1,H2,0), 四边形EFGH的面积为S=】x2+4)x1=3, 所以所求轨迹围成的面积为6. 【变式训练10-l4】出租车几何或曼哈顿距离(Manhattan Distance)是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所 创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和. 例如：在平面直角坐标系中，若Ax,y),B(x2,y2),两点之间的曼哈顿距离d(A,B)=x2-x+y2-: (1)已知点A1,4),B(3,-3),求d(A,B)的值； 93 (2)记dB,l为点B与直线1上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点B1,1),直线1：4x-y+2=0,求dB,1)； (3)已知三维空间内定点A1,1,1,动点P满足d(A,P)=1,求动点P围成的几何体的表面积. 【答案】(1)9 a (3)4√5 【详解】(1)d(A,B)=1-3+4-(-3)=9,所以d(A,B)=9. (2)设动点P(x,y)为直线1上一点，则y=4x+2, 所以d(B,l=x-1+4x+2-1=x-1+4x+1, 5x,x≥1 即dB,1=3x+2,-4 1 x<1, -5x,x<-4 1 当x≥1时，d(B,l)≥5； 当x<1时.d8小<5 当x时，48小>经 综上d川小为好 (3)动点P围成的几何体为八面体，每个面均为边长√2的正三角形， 其表面为8分5xx9-45 2 证明如下： 不妨将A平移到A(0,0,0)处，设P(x,y,z), 若d(A,P)=1,则x+y+z=1, 当x,y,z≥0时，即x+y+z=1(0≤x,y,z≤1)， 设M1(1,0,0),M20,1,0),M3(0,0,1), M P=(x-1,y,z)=(-y-z,y,z)=yM M,+zM M3, 所以P,M1,M2,M3四点共面， 94 所以当x,y,z≥0时，P在边长为√2的等边三角形MM,M3内部（含边界）· 同理可知等边三角形内部任意一点Q(x',y',z),均满足x'+y+z=1. 所以满足方程x+y+z=10≤x,八，z≤1)的点P, 构成的图形是边长为、√2的等边三角形内部（含边界）· 由对称性可知，P围成的图形为八面体，每个面均为边长为√2的等边三角形 枚该几何体表面织5=8x5×个-45. 4 【变式训练10-15】常用测量距离的方式有3种.设Ax,y),B(x2,y2),定义欧几里得距离 D(A,B)=Vx-x)了+(-)；定义曼哈顿距离M(A,B)=k-x+以-，，定义余弦距离 e(A,B)=1-cos(A,B),其中cos(A,B)=cosO4,OB(O为坐标原点). (1)求满足M(O,H）=I的点H的轨迹所围成的图形面积； (2)若CV6x-x,x-3,D(-1,5,求e(C,D)的取值范围： (3)动点P在直线y=2x-2上，动点Q在函数y=x2图象上，求M(P,Q)的最小值. 【答案】(1)2 (2e(C,D)∈ a}. 【详解】(1)设H(x,y),则x+y=1, 当x≥0，y≥0时，则x+y=1;当x≥0，y<0时，则x-y=1; 当x<0,y≥0时，则x-y=-1;当x<0,y<0时，则x+y=-1. 如图，点H的轨迹是一个边长为、√2的正方形， x+y=1 -X-y=】 x-y=1 95 ∴.点H的轨迹所围成的图形面积为（√2）=2 (2)因eosC.D)=6x-t5(-3》.-6r-F-5x+35: 3×2 6 令V6x-x-√3x+35=t,则V6r-x=√5x-35+i, 即y=V6x-x2与y=√5x-3V5+1有交点， 也即半圆x2+y2-6x=0(y≥0)与直线y=√5x-3√5+t有交点， 下面，先计算直线与半圆相切和经过点(6,0)时的情况 由圆心(3,0)到直线y=5x-35+1的距离d==3解得，1=±6， 由题知此时t>0,即t=6; 又由y=√5x-3√3+1，代入点(6,0)，解得t=-33. 如图， VA 图是他两者有交点，-516：C,0-名- 国xca-1cmcn. (3)设动点P(x,2x-2),Q(x,x) 则M0=-2话-2--+-+受月 因1}P<0,所以%<1+ ①当x≥1+时，M(P,0)=x-x,+2x-2-x=3x-x-x,-2, 2 树MQ0=,}亏-5-25-名1.当取当6=15时取称 2 96 ②当x3,<x<1+兰时，M(P,0)=x-x3-(2x-2-x)=-x+巧-x+2, 时M0>+}-+2-对-， ③当x≤x时，M(P,2)=-(x-x)-2x-2-x)=-3x+x号+x2+2, 此时M(P,Q)mn=-3x2+x+x3+2=x子-2x2+2, 又店-2+2+小10 所以x3-2x2+2> x, 2 -x2+1, 综合得MPQ-+1--户+分分当==1+-时取等号 22 即MP,Q)的最小值为) 题型11：其他新曲线 (一）单选题 【典型例题1】曲线C:x"+y”=1,其中m,n均为正数，则下列命题错误的是() A.当m=3,n=1时，曲线C关于(0,1中心对称 1 B.当m)n时，由线C是称图形 C.当m=4,n=2时，曲线C所围成的面积小于刀 D.当m=3,n=2时，曲线C上的点与(0,0)距离的最小值等于1 【答案】C 【分析】根据给出的m,n的值，A项x+y=1从而可判断求解，B项x2+y2=1,不难发现其曲线关于y=x对称， 从而判断求解；C项x4+y2=1利用转化法不难证明曲线上任意一点到原点的距离大于或等于1，从而可判断求解； D项x3+y2=1结合x,y的取值范围，即可判断求解. 【详解】对A:当m=3,n=1时，x3+y=1,即y=-x3+1,由函数y=-x3为奇函数其关于原点(0,0) 中心对称，所以得y=-x+1关于(0，中心对称，故A正确 97 对B:当m=n=时，+时对于曲线上任意一点P,小， 1 则点P关于直线y=x对称点P'(yo,x)也在曲线上，所以曲线关于直线y=x对称，故B正确. 对C:当m=4,n=2时，x+y2=1,所以x≤1，y≤1，可知曲线图象是一个封闭的图形， 所以可设曲线上任意一点T(c,,且到原点距离OT=c2+t2, 又因为c4+2=1,所以0T=c2+t2=1+c2-c4, 因为0<c≤1，所以c2-c4≥0，所以当c2-c4=0,即c=1或c=-1, 而此时OT≥1，又因为曲线是个封闭图形，所以其面积S≥π×12=π，故C错误； 对D:当m=3,n=2时，x3+y2=1,所以x≤1，y∈R,设曲线上任意一点N(a,b),则ON=a2+b2, 又因为a3+b2=1,所以0N=a2+b2=a2+1-a3,因为a≤1，所以a2-a3≥0， 所以当a2-a3=0,即a=0或a=1时，ON有最小值1，所以ON的最小值为1，故D正确. 故选：C 【点晴】方法点睛：C项中转化法求出曲线上任一点到原点距离都大于或等于1，从而可求解；D项中根据x,y的 取值范围从而可求出最小值. 【变式训练11-1】数学中有许多形状优美的曲线.例如曲线：x”+y”=1(n>0),当n=2时，是我们熟知的圆； 当n弓时，自线E引x+=1是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计。则下列关 2 3 于曲线E说法错误的是() A.曲线E关于x轴对称 B.曲线E上的点到x轴，y轴的距离之积不超过} C.曲线E与x+y=1有8个交点 D.曲线E所围成图形的面积小于2 【答案】C 2 【分析】对A,在方程+y=1中，以x,-y替代x,y方程不变，可判断：对B,由基本不等式求解判断：对C, 易得曲线E在x+y=1的内部，作出图象判断交点个数；对D,易求x+y=1围成的正方形面积为2，又曲线 E在x+y=1的内部，得解 2 2 【详解】对于A,在方程x+5=1中，以x,-y替代x,y方程不变，所以曲线E关于x轴对称， 98 同理，以-x,y;-x,-y替代x,y方程均不变，所以曲线E关于y轴，坐标原点对称，如图，故A正确： 对于B,曲线E上点(x,y)到x轴的距离为，到y轴的距离为x, 向示+-1≥2-2，当且仅当-时取等号，s安故B正确， 对于C.在第一象限内，+=+y-1<x+y,所以曲线E在直线x+y=1的下方，所以两者有4个交 点，分别为-1,0)，(1,0)，0,1,0，-1，故C错误： 对于D,如图，+y=1围成的正方形面积为√2×√2=2，所以曲线E围成图形的面积小于2，故D正确. 故选：C 【变式训练11-2】已知圆锥曲线Γ的对称中心为原点O,若对于「上的任意一点A,均存在「上两点B,C,使 得原点O到直线AB,AC和BC的距离都相等，则称曲线厂为“完美曲线”.现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”. 下列判断正确的是() A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①②都是真命题 D.①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于命题①，通过考虑以原点为圆心的圆与椭圆上直线的位置关系来判断； 对于命题②，通过取双曲线项点，分析以原点为圆心的圆与双曲线相关直线的位置关系来判断. 【详解】判断命题①：已知过椭圆上任意一点A作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于B,C两点，连接 BC.根据直线与圆的位置关系，当BC与圆相切时，满足给定条件.当BC与圆相交时，因为圆的圆心是固定的 原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近BC,直到BC与圆相切；同理，当BC与圆相离时，扩大圆 的半径，也能使圆靠近BC直至相切所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使 yy 得BC与圆相切，故①正确。 判断命题②：当A在双曲线顶点时，过A作圆的切线，交双曲线于另外两点B,C, 由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过项点作圆的切线与双曲线相交得到的线段BC,其 整体位置与以原点为圆心的圆是相离的这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的 切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确. 故选：A. 【变式训练11-3】P是平面直角坐标系x0y内一点，我们以x轴正半轴为始边，射线OP为终边构成角 0∈[0,2π]，OP的长度r作为O的函数，若其解析式为：r=2sin20+sin40,则P的轨迹可能为：(). 【答案】B 【分析】证明得到r是以为周期的函数，排除C、D.再研究0∈0，刀 的函数性质，借助导数即可. 4 【详1rp1-pn20n40,-0+引-psm20+m40+引=psm9+m40=no. 100