第11讲 概率统计新定义（思维导图+解题技巧+题型归纳+巩固提升）讲义-2026年高考数学二轮复习概率统计（新高考通用）

第11讲 概率统计新定义 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 题型归纳 3 题型01：二项式定理新定义 4 题型02：排列组合新定义 11 题型03：概率新定义 16 题型04：统计方法新定义 20 题型05：信息熵问题 27 题型06：切比雪夫不等式 31 题型07：卡特兰数 35 题型08：概率密度函数 42 题型09：二维离散型随机变量 46 题型10：多项式拟合函数 55 题型11：最大似然估算与大数定律 57 题型12：其它定义新运算新概念 64 巩固提升 98 一、考情定位 属于高考概率统计模块压轴级难题，多在选填压轴/解答题后两问考查，全国卷、新高考Ⅰ/Ⅱ卷、地方自主命题卷均高频出现，核心考查信息提取、知识迁移、逻辑建模能力，分值约5~8分。 二、命题特征 1. 定义类型：以概率统计基础概念为基底，衍生新定义（如新事件、新概率模型、新统计量、新计数规则），无超纲知识，仅对教材概念做延伸。 2. 背景载体：多结合生活实际（抽奖、游戏、检测、决策）或纯数学情境，文字阅读量中等，关键信息隐蔽性较强。 3. 考查核心：不考定义记忆，考对新定义的快速理解→转化为已知概率统计模型→用公式/思想求解，侧重逻辑推理和运算求解。 4. 关联知识：常融合古典概型、互斥/独立事件、分布列与期望、二项分布、超几何分布、统计图表、数字特征，偶尔结合排列组合、不等式。 三、核心考查方向 方向1：新概率/新事件定义 给出新的概率计算规则、新事件判定条件，要求计算概率、判断事件关系，如“互赢事件”“有效事件”“条件概率变式定义”。 方向2：新统计量/新模型定义 定义新的统计量（如自定义“偏离度”“相似度”）、新的概率模型（如古典概型变式、二项分布拓展），要计算统计量、求分布列与期望。 方向3：新计数/新规则定义 结合排列组合，给出新的计数规则（如“有序抽取变式”“分组新规则”），要求计算基本事件数、进而求解概率。 一、基础认知目标 1. 能快速提取新定义题干核心信息，精准拆解定义中的限定条件、运算规则、适用范围，无理解偏差。 2. 熟练对接教材基础知识点，明确新定义与古典概型、条件概率、分布列、数字特征等核心内容的关联逻辑。 二、能力应用目标 1. 建模转化能力：能将陌生新定义转化为已学的概率统计模型，实现“新问题→旧模型”的合理转化，不强行套用模型。 2. 逻辑推理能力：能依据新定义进行分步推理，判断事件关系、确定随机变量取值、推导统计量计算方式，推理过程严谨。 3. 运算求解能力：结合新定义完成排列组合计数、概率计算、分布列与期望方差求解，保证运算准确，符合概率取值范围、分布列归一性等要求。 4. 信息整合能力：能处理含生活实际/纯数学背景的新定义问题，融合图表、文字等多类信息，快速定位解题关键。 三、解题规范目标 1. 答题时能规范体现新定义的应用过程，先说明定义适用依据，再建模、再计算，分步书写推导过程。 2. 能按高考要求规范命名事件、标注随机变量取值、验证模型合理性，避免因步骤缺失丢失分数。 四、应试实战目标 1. 能在规定时间内完成新定义问题解答（选填≤5分钟，解答题≤8分钟），实现快速读题、精准建模、高效解题。 2. 能规避理解偏差、模型误用、运算粗心等高频易错点，提升解题正确率。 3. 面对分层设问的新定义难题，能做到“会做的题不丢分，不会做的题拿步骤分”，最大化应试得分。 五、思维迁移目标 1. 形成“精读定义→拆解规则→转化建模→分步求解→验证结果”的固定解题思维流程，可迁移至各类新定义型数学问题。 2. 培养抽象概括能力，能从不同类型的新定义问题中总结共性规律，提升应对陌生数学问题的综合素养。 一．解题核心策略 步骤1：精读题干，拆解新定义 圈画定义关键词、限定条件、运算规则，用通俗语言转述新定义（如“若事件A、B满足XX，则称A、B为M事件”→ 明确M事件的充要条件），避免遗漏细节。 步骤2：转化建模，对接已知知识 将新定义转化为教材中已学的概率统计模型，核心转化方向： ①新概率→古典概型/条件概率/互斥/独立事件公式； ②新模型→分布列（超几何/二项/离散型随机变量）→求期望/方差； ③ 新统计量→结合统计图表、数字特征（均值、方差）计算。 步骤3：分步求解，验证逻辑合理性 新定义问题多为“分步设问”（先理解定义→简单计算→综合应用），按设问顺序解题，每一步结果需贴合新定义，避免脱离定义用旧模型硬解；复杂问题可举简单特例验证定义理解是否正确。 步骤4：规范运算，注意取值范围 概率值需满足0≤P≤1，随机变量的取值范围由新定义限定，分布列需验证“概率和为1”，期望/方差计算注意公式适用条件。 二．易错点规避 1. 对新定义理解偏差：未抓住核心限定条件，如忽略“有序/无序”“放回/不放回”“互斥/独立”等关键； 2. 模型强行套用：将新定义问题直接归为熟悉的模型，脱离题干规则； 3. 运算粗心失误：排列组合计数错误、分布列概率求和不为1、期望公式代入错误； 4. 答题不规范：未按新定义命名事件、未说明建模依据、直接写结果无推导过程。 三．备考建议 1. 基础夯实：熟练掌握古典概型、条件概率、分布列与期望、二项/超几何分布等核心知识，做到公式烂熟、模型能快速识别； 2. 专项训练：集中练习近5年高考新定义概率统计题，总结定义类型和转化方法，形成“读定义→转模型→解问题”的固定思维； 3. 提升信息提取能力：刻意训练快速圈画题干关键信息，缩短读题时间，避免因读题慢导致解题超时； 4. 重视解题规范：书写时先明确新定义的应用、再建模、再计算，分步得分，即使最终结果错误，也能拿到步骤分。 题型01：二项式定理新定义 【典型例题1】产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在件产品中有件不合格品，在产品中随机抽件做检查，发现件不合格品的概率为，其中是与中的较小者，在不大于合格品数（即）时取0，否则取与合格品数之差，即 根据以上定义及分布列性质，请计算当时， ；若，请计算 .（两空均用组合数表示） 【答案】 (或) 【解析】当时，, 因为， 所以. 当时， 因为, 所以, 所以 . 【典型例题2】“数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设是非零实数，对任意，定义“数”利用“数”可定义“阶乘”和“组合数”，即对任意， (1)计算：； (2)证明：对于任意， (3)证明：对于任意， 【解析】（1）由定义可知， . （2）因为， . 又 , 所以 （3）由定义得： 对任意. 结合（2）可知 即， 也即. 所以， ， …… . 上述个等式两边分别相加得： . 【变式训练1-1】莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数 (1)求； (2)若正整数互质，证明：； (3)若且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：． 【解析】（1）因为，易知， 所以； 又，因为5的指数，所以； （2）①若或，因为，所以； ②若，且存在质数，使得或的质因数分解中包含，则的质因数分解中一定也包含， 所以， ③若，且不存在②中的，可设， 其中均为质数，则， 因为互质，所以互不相等， 所以， 综上可知 （3）由于，所以可设，为偶数， 的所有因数，除了1之外都是中的若干个数的乘积，从个质数中任选个数的乘积一共有种结果， 所以 ， 所以． 【变式训练1-2】甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）. (1)比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据） (2)现单独研究棱长，记（且），其展开式中含项的系数为，含项的系数为. ①若，对成立，求实数，，的值； ②对①中的实数，，用数字归纳法证明：对任意且，都成立. 【解析】（1）如图所示： 由题意设为正四棱锥的高，为中点， 由于正四棱锥的底面边长和高都是2， 所以，所以， 由对称性以及三线合一可知， 若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形， 则的所有可能取值为， 且， 所以， 若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条， 则的所有可能取值为， ， 代入参考数据，得， 若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条， 则的所有可能取值为， ， 所以. （2）①因为中项的系数为， 一般地，从中的第个因式中取一个，其余因式中取常数即可得到一个项， 而这一项的系数为，， 因为中项的系数为， 一般地，从中的第个因式中各取一个，其余因式中取常数即可得到一个项， 而这一项的系数为，从而， 从而， ， 由题意得，解得； ②用数学归纳法证明：且时，. 当时，，故结论对成立， 假设结论对成立，即， 则 ， 所以结论对也成立， 故，对任意成立. 题型02：排列组合新定义 【典型例题1】由0和1组成的序列称为0－1序列，序列中数的个数称为这个序列的长度，如01011是一个长度为5的0－1序列，在长度为8的0－1序列中，所有1互不相邻的序列个数为（    ） A．20 B．54 C．55 D．280 【答案】B 【解析】当长度为8的0－1序列中，若有一个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有两个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有三个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有四个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有超过四个1，一定不满足题意； 所以共有种. 故选：B 【典型例题2】一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表： 岗位 业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值 合计分值 会计（1） 2 1 5 4 12 业务员（2） 5 2 3 5 15 后勤（3） 2 3 5 3 13 管理员（4） 4 5 4 4 17 对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标. (1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数； (2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录. （i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位； （ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值. 【解析】（1）将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据， 又，所以这组数据的第三四分位数为. （2）（i）由图表知，会计岗位的样本点为，则， 业务员岗位的样本点为，则， 后勤岗位的样本点为，则， 管理员岗位的样本点为，则， 所以，故小刚最适合业务员岗位. （ii）四种职业的推荐率分别为，且， 所以，得到， 又均小于20，所以，且， 故可得到， 设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为，且，， 依题有①， ②， ③， ④， 由①③得， ， 整理得：， 故有三组正整数解， 对于第一组解，代入④式有，不成立； 对于第二组解，代入①式有， 解得或，代入②④式均不成立； 对于第三组解，代入②式有， 解得，代入①②③④均成立，故； 故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为. 【变式训练2-1】对于各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是（   ） A．13 B．24 C．15 D．25 【答案】A 【解析】在各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数）中任取2个数， 这2个数要么“顺序”（当时有），要么“逆序”，因此“顺序数”与“逆序数”的和为， 各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则其“顺序数”为， 显然数组的“逆序数”等于数组的“顺序数”， 所以的“逆序数”是13. 故选：A 【变式训练2-2】设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和，定义. (1)当时，若，直接写出所有使同时成立的的元素； (2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同元素.求集合中元素个数的最大值； (3)给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由. 【解析】（1） 满足条件的 有 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 又 ， 满足条件的 有 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 （2）列出集合A的元素 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素α，β，d(α，β)≥2 满足条件的集合B的元素的个数的最大值为4. 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 （3） d(α，β)≥2 B中的元素应该含有奇数个1 若n=2，则含有奇数个1的元素有 个； 若n=3，则含有奇数个1的元素有 个； 若n=4，则含有奇数个1的元素有 个； 若n=5，则含有奇数个1的元素有 个； 当n=3时， 题型03：概率新定义 【典型例题1】混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数． (1)证明：； (2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性． 【解】（1）由题意可得满足二项分布， 由知，，当且仅当时取等号； （2）记（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性）， （混管中恰有i例阳性）=，， 令，， 则， 当时，，为单调递减， 当时，，为单调递增，所以， 且，， 所以当，即，两边取自然对数可得， 所以当，时， 所以， 则． 故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性. 【典型例题2】混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数． (1)证明：； (2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性． 【解析】（1）由题意可得满足二项分布， 由知，，当且仅当时取等号； （2）记（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性）， （混管中恰有i例阳性）=，， 令，， 则， 当时，，为单调递减， 当时，，为单调递增，所以， 且，， 所以当，即，两边取自然对数可得， 所以当，时， 所以， 则． 故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性. 【变式训练8-1】条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的期望为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率．某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p（），射击进行到击中目标两次时停止.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数． (1)求，； (2)求，． 【解】（1）由题设，， . （2）由题设，； 同（1），，， 所以. 【变式训练8-2】条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的期望为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率．某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p（），射击进行到击中目标两次时停止.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数． (1)求，； (2)求，． 【解析】（1）由题设，， . （2）由题设，； 同（1），，， 所以. 【变式训练8-3】在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，发送每个信号数字之间相互独立．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0． (1)记发送信号变量为，接收信号变量为，且满足，，，求； (2)当发送信号0时，接收为0的概率为，定义随机变量的“有效值”为（其中是的所有可能的取值，），发送信号“000”的接收信号为“”，记为，，三个数字之和，求的“有效值”．（，） 【解析】（1）由题意可知：，， 所以. （2）由题意可知：当发送信号0时，接收为0的概率为，接收为1的概率为， 可知：的可能取值有0，1，2，3， 则， ， 可得的“有效值” ， 即的“有效值”约为0.45. 题型04：统计方法新定义 【典型例题1】在学业测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第i题的难度，为答对该题的人数，N为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 16 16 14 14 8 (1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数； (2)定义统计量,其中为第i题的实测难度，为第i题的预估难度(i=1，2，…，n).规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.试据此判断本次测试的难度预估是否合理. 【解】（1）因为第5题的实测难度为 所以估计这240名学生中第5题的实测答对人数为（人）. （2）根据题干中数据可得：， 故， . 故本次测试的难度所估合理. 【典型例题2】冰雪运动是深受学生喜爱的一项户外运动，为了研究性别与学生是否喜爱冰雪运动之间的关系，从某高校男、女生中各随机抽取100名进行问卷调查，得到如下列联表． 喜爱 不喜爱 男生 女生 (1)当时，从样本中不喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调研不喜爱的原因，记这3人中女生的人数为，求的分布列与数学期望． (2)定义，其中为列联表中第行第列的实际数据，为列联表中第行与第列的总频率之积再乘以列联表的总额数得到的理论频数，如，．基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立），然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立．根据的计算公式，求解下面问题： ①当时，依据小概率值的独立性检验，分析性别与是否喜爱冰雪运动有关？ ②当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少名男生喜爱冰雪运动？ 附： 0.1 0.025 0.005 2.706 5.024 7.879 【解析】（1）当时，用分层抽样的方法抽取的不喜爱冰雪运动的6人中，男生有2人，女生有4人， 由题意可知，的可能取值为1，2，3． ，，， 的分布列为 1 2 3 P ． （2）①零假设为：性别与是否喜爱冰雪运动独立，即性别与是否喜爱冰雪运动无关联． 当时，，，，， ，，，， ． ∵， ∴根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与是否喜爱冰雪运动有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005． ②， 由题意可知，，整理得． 又，，∴，的最大值为4． 又，∴至少有76名男生喜爱冰雪运动． 【变式训练4-1】为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表： 购买新能源汽车（人数） 购买传统燃油车（人数） 男性 女性 (1)当时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X，求X的分布列与数学期望； (2)定义，其中为列联表中第i行第j列的实际数据，为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数.基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立〉，然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立.根据的计算公式，求解下面问题： （i）当时，依据小概率值的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新能源汽车有关； （ⅱ）当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车? 附： 0.1 0.025 0.005 2.706 5.024 7.879 【解】（1）当m=0时， 用分层抽样的方法抽取购买传统燃油车的6人中，男性有2人，女性有4人. 由题意可知，X的可能取值为1，2，3. X的分布列如下表 X 1 2 3 . （2）（i）零假设为： 性别与是否购买新能源汽车独立，即性别与是否购买新能源汽车无关联. 当m=0时， ， ， ∴根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与是否购 买新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005. （ⅱ） 由题意可知， 整理得， ， 所以的最大值为4， 又， 至少有76名男性购买新能源汽车. 【变式训练4-2】某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，． (1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到）． (2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同．记在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数． （i）记，．证明：． （ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到）． (3)比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势． 注：参考公式与参考数据．；；． 【解析】（1） 由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为 （2）（i）证明：因为和都是1，2，，的一个排列，所以 ， ， 从而和的平均数都是． 因此，， 同理可得， 由于， 所以； （ii）由题目数据，可写出与的值如下： 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识竞赛成绩排名 1 5 3 4 9 8 7 6 10 2 同学编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩排名 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 知识竞赛成绩排名 12 14 13 11 16 15 17 18 19 20 所以，并且． 因此这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是 （3）答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系； 答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系． 【变式训练4-3】在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 16 16 14 14 4 (1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数； (2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理. 【解析】（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为， 所以估计240人中有人实测答对第5题． （2）的可能取值是0，1，2． ；；．   的分布列为： 0 1 2 ． （3）第1题的实测难度为，同理可得：第2题的实测难度为， 第3题的实测难度为，第4题的实测难度为，第5题的实测难度为0.2， 故． 因为 ， 所以，该次测试的难度预估是合理的． 题型05：信息熵问题 【典型例题】在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值的随机变量，分别记作和.条件概率，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量的平均信息量定义为：.当时，信道疑义度定义为 (1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的点数的平均信息量； (2)设某信道的输入变量与输出变量均取值0，1.满足：.试回答以下问题： ①求的值； ②求该信道的信道疑义度的最大值. 【解析】（1）设表示扔一非均匀股子点数，则 1 2 3 4 5 6 扔一次平均得到的信息量为 . （2）①由全概率公式，得 ②由题意，. 所以， ; 其中. 令 . 时时，, . 【变式训练5-1】信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵. (1)当时，计算； (2)若，判断并证明当增大时，的变化趋势； (3)若，随机变量所有可能的取值为，且，证明：. 【解析】（1）当时，则，所以 （2）随着的增大而增大. 当，则， 设，则， 因此随着的增大而增大. （3）证明：若，随机变量所有可能的取值为，且. . ， 因为，故 故， 由于，所以， 所以，所以， 所以. 【变式训练5-2】在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）. (1)若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值； (2)若，（），求此时的信息熵. 【解析】（1）当时，,， 令，， 则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为. （2）因为，（）， 所以（）， 故， 而， 于是， 整理得 令， 则， 两式相减得 因此， 所以. 题型06：切比雪夫不等式 【典型例题1】切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 . 【答案】1250 【解析】由题意知，所以，， 若，则， 即，即， 由切比雪夫不等式知， 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内， 则，解， 所以估计信号发射次数n的最小值为1250. 故答案为：1250 【典型例题2】概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．马尔科夫不等式的形式如下： 设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有， 马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．当为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下： 设的分布列为其中，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和． 切比雪夫不等式的形式如下： 设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有 (1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立． (2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信． 【解析】（1）法一：对非负离散型随机变量及正数使用马尔科夫不等式， 有． 法二：设的分布列为 其中，记，则对任意， . （2）设在100名患者中治愈的人数为．假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的， 那么在此假设下，． 由切比雪夫不等式，有． 即在假设下，100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过0.04，此概率很小， 据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信． 【变式训练6-1】19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为. (1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的， ①当时，求； ②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值； (2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值. 【解析】（1）①由题意， 所以. ； ②由题意，则，， 若，则， 所以， 又，解得，即发射次数至少为次. （2）依题意， 则， ， ，解得， ，解得， 又，所以当时，最大. 【变式训练6-2】某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 12 18 36 30 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式： 若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立. （i）若，证明：； （ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件） 【解析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到两个合格品， （2）（i）由题：若，则 又 所以或 由切比雪夫不等式可知， 所以； （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为， 假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则， 所以， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信. 题型07：卡特兰数 【典型例题1】清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有 种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有 种不同的走法.    【答案】 35 14 【解析】 从左下角走到右上角共需要7步，其中3步向上，4步向右， 故只需确定哪3步向上走即可，共有种不同的走法； 若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线）， 则由卡特兰数可知共有种不同的走法， 又到达右上角必须最后经过，所以满足题目条件的走法种数也是14. 故答案为：35；14 【典型例题2】Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个Catalan数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，中，满足“对任意，都有”的数列的个数等于. 已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为. (1)设粒子第3秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）求及； （ii）设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为，求. 【解析】（1）依题可知，的可能取值为， ，， ，， 的分布列如下： -3 -1 1 3 . （2）（i），， （ii）设事件：粒子在第秒末第一次回到原点， 事件：粒子第1秒末向右移动一个单位. ， 记粒子往左移动一个单位为，粒子往右移动一个单位为， 以下仅考虑事件. 设第秒末粒子的运动方式为，其中；沿用（1）中对粒子位置的假设， 则粒子运动方式可用数列表示， 如：表示粒子在前4秒按照右､右､左､左的方式运动. 由粒子在第秒末第一次回到原点，可知 数列的前项中有个1和个. ，， 粒子在余下秒中运动的位置满足， 即， 粒子在余下秒中运动方式的总数为， ，又， . 【变式训练7-1】五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利. (1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望； (2)记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求，并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大； (3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的，在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的，有 【解析】（1）依题可知，的可能取值为. ，，， 所以，的分布列如下： 0 2 4 所以，． （2）依题可知，时，，所以时胜利的概率最大. （3）记事件“机器人行走步时恰好第一次回到初始位置”，“机器人第一步向前行走”，则“机器人第一步向后行走”. 下面我们对事件进行分析. 发生时，假设机器人第步是向前行走，则之前的步机器人向前走的步数比向后走少一步，而因为机器人第一步为向前行走， 这说明存在使得机器人走了步时回到了初始位置，这与的发生矛盾，所以假设不成立.即机器人第步为向后行走， 从而机器人第2步到第步向前和向后行走的步数均为，且从第2步开始，到第步的这步，任意时刻机器人向前走的步数均不少于向后走的步数(否则在这过程中机器人会回到初始位置). 根据卡特兰数，从第2步到第步共有种行走方式.通过上述分析知，， 所以． 由于， ，故等式成立． 【变式训练7-2】大连育明高级中学高三学生在交流2016年全国新课标Ⅲ卷单选压轴题时，各抒己见展示各自的解法. 题干：定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有[14]个. A同学发现数据较少，可以列出所有情况，得到14个； B同学在组合数学中学过卡特兰数，，所以此题是的情况，. 在一次活动课上，甲、乙俩人设计了一个游戏，抛硬币一次，若正面向上加一分，反面向上减一分.若起始分为零分，出现负分游戏立刻停止. (1)求在一次游戏中，恰好在第十一次后结束，中途只出现过两次零分的概率； (2)如果一个人在一次游戏中，连续抛了十次硬币，求此时积分的分布列和期望； (3)参与一次游戏，记总共抛硬币次数为，的期望为，求满足的最小正整数. 【解析】（1）对题目中给出的卡特兰数，事实上我们有恒等式， 先不考虑第11次，考虑前10次. 前10次中我们设第一次零分出现在第次，第二次零分出现在第10次，. 那么这种时候可能的情况有种， 所以总共的情况有种， 所以所求概率. （2）使得的情况只有种； 使得的情况有种（反面向上可以出现在除了第1次以外的任意一次）； 使得的情况有种（反面向上不能出现在第1次，也不能同时出现在第2次和第3次）； 使得的情况有种（反面向上不能出现在第1次，若出现在了第2次， 则剩下两次反面向上不能出现在第3次，也不能同时出现在第4次和第5次； 若未出现在第2次，则反面向上不能同时出现在第3次、第4次和第5次） 使得的情况有种； 使得的情况有种. 所以所求分布列为 且. （3）由于的全部可能值为，而， 故. 但我们有， 解得. 用替换，可得， 再求导就得到. 代入可得， 所以. 所以不存在满足条件的正整数. 【变式训练7-3】卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692年-1763年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：且．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到，0≤n有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为 (1)证明是卡特兰数； (2)求的通项公式． 【解析】（1）若先走到则合法路径， 若先走到且不走到， 相当于走到后向右走到再走到， 合法路径 若先走到且不走到， 相当于走到后再从走到， 合法路径， 于是，即为卡特兰数. （2）记直线，则所有不合法路线都会与直线有交点， 记第一个交点为， 将之后的路径都沿着对称， 那么这条不合法路径的终点成为了， 于是总路线为，不合法路线为， 合法路径为， 即. 题型08：概率密度函数 【典型例题1】设随机变量X的概率密度函数为，则，若对X的进行三次独立的观测，事件至少发生一次的概率为； （1）对X做n次独立重复的观测，若使得事件A至少发生一次的概率超过95%，求n的最小值．（，） （2）为满足广大人民群众对接种疫苗的需求，某地区卫生防疫部门为所辖的甲、乙、丙三区提供了批号分别为1、2、3、4、5的五批次新冠疫苗以供选择，要求每个区只能从中选择一个批号的疫苗接种．由于某些原因甲区不能选择1、2、4号疫苗，且这三区所选批号互不影响．记“甲区选择3号疫苗”为事件B，且； ①求三个区选择的疫苗批号互不相同的概率； ②记甲、乙、丙三个区选择的疫苗批号最大数为K，求K的分布列． 【解析】（1） 所以解得，所以 用Y表示对X的n次独立重复观察中事件A发生的次数，则， ，则，即 解得 ，对X至少做11次独立重复观测； （2）① 记“三个区选择疫苗批号互不相同”为事件C， ②依题意的可能取值为， 则，， 所以分布列如下： K 3 4 5 P 【变式训练8-1】设随机变量X的概率密度函数为，则，若对X的进行三次独立的观测，事件至少发生一次的概率为； （1）对X做n次独立重复的观测，若使得事件A至少发生一次的概率超过95%，求n的最小值．（，） （2）为满足广大人民群众对接种疫苗的需求，某地区卫生防疫部门为所辖的甲、乙、丙三区提供了批号分别为1、2、3、4、5的五批次新冠疫苗以供选择，要求每个区只能从中选择一个批号的疫苗接种．由于某些原因甲区不能选择1、2、4号疫苗，且这三区所选批号互不影响．记“甲区选择3号疫苗”为事件B，且； ①求三个区选择的疫苗批号互不相同的概率； ②记甲、乙、丙三个区选择的疫苗批号最大数为K，求K的分布列． 【解析】（1） 所以解得，所以 用Y表示对X的n次独立重复观察中事件A发生的次数，则， ，则，即 解得 ，对X至少做11次独立重复观测； （2）① 记“三个区选择疫苗批号互不相同”为事件C， ②依题意的可能取值为， 则，， 所以分布列如下： K 3 4 5 P 【变式训练8-2】设随机变量的概率密度函数为（当为离散型随机变量时，为的概率），其中为未知参数，极大似然法是求未知参数的一种方法.在次随机试验中，随机变量的观测值分别为，，…，，定义为似然函数.若时，取得最大值，则称为参数的极大似然估计值. (1)若随机变量的分布列为 1 2 3 其中.在3次随机试验中，的观测值分别为1，2，1，求的极大似然估计值. (2)某鱼池中有鱼尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求的极大似然估计值. (3)随机变量的概率密度函数为，.若，，…，是的一组观测值，证明：参数的极大似然估计值为. 【解析】（1）依题意得：， 所以. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以时，取得最大值，所以的极大似然估计值为. （2）依题意得：，所以. 令，得，令，得， 又，所以… 所以或200时，取得最大值，所以的极大似然估计值为或200. （3）依题意得： 所以 令，， 则，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，取到最大值. 即时，取得最大值，即取得最大值. 所以参数的极大似然估计值为. 【变式训练8-3】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间（样本数据），经数据分析得到如下结果： 坐公交车：平均用时30min，方差为36 骑自行车：平均用时34min，方差为4 (1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由. (2)分别用X和Y表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X和Y的概率密度曲线如图（a）所示，如果某天有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由. （提示：（2）中X和Y的概率密度曲线分别反映的是X和Y的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图（b）中阴影部分的面积表示的就是X取值不大于38min时的概率.） 【解析】（1）李明平时选择骑自行车更稳妥， 由已知得坐公交车平均用时30min，骑自行车平均用时34min，差距不大；但是坐公交车的方差为36，骑自行车的方差为4，由于方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小，则坐公交车所花费的时间不稳定，即李明平时选择骑自行车更稳妥. （2）由图（a）中可知，X和Y的概率密度曲线可知 ， 由此可知，如果某天有38min可用，那么李明坐公交车迟到的概率大于骑自行车迟到的概率，应选骑自行车； 由图（a）中可知，X和Y的概率密度曲线可知 ， 由此可知，如果某天有34min可用，那么李明坐公交车迟到的概率小于骑自行车迟到的概率，应选坐公交车. 题型09：二维离散型随机变量 【典型例题1】已知是二维离散型随机变量，其中X、Y是两个相互独立的离散型随机变量，的分布列用表格表示如下： X 0 3 6 0 5 (1)求和； (2)“”表示在条件下的的取值，求“”的分布列； (3)为的数学期望，为“”的分布的期望，证明：. 【解析】（1）由已知. （2）法一：“”可取的值为， 因为 所以， ， ， 所以“”分布列为 0 3 6 法二：“”可取的值为，由已知，随机变量相互独立， 故，其中， 由已知，， 所以得“”分布列为 0 3 6 （3）法一：因为，所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以. 法二： . 【变式训练9-1】设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式； 现有个球等可能的放入编号为的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为，落入第2号盒子中的球的个数为． (1)当时，求的联合分布列，并写成分布表的形式； (2)设且，求的值． （参考公式：若，则） 【解析】（1） 若，的取值为0，1，2，的取值为0，1，2， 则， ， ，， ，， ， 故的联合分布列为 （2）当时，， 故 所以，由二项分布的期望公式可得． 【变式训练9-2】如果离散型随机变量的取值为，离散型随机变量的取值为，，则称为二维离散型随机变量.称取，的概率为的联合分布律.记分别称为关于和关于的边缘分布律.用表格形式表示如下： 边缘分布律 边缘分布律 1 (1)现袋中有质地大小均相同的2只白球，3只黑球，现先后随机摸球两次，定义分别求有放回和不放回取球下的联合分布律和边缘分布律（表格形式表示）； (2)若二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律满足则称随机变量与相互独立. （i）那么（1）中有放回和不放回取球下的（）是否相互独立并说明理由； （ii）证明：若与相互独立，则分布律中任意两行（或任意两列）对应成比例. 【解析】（1）有放回取球下的联合分布律和边缘分布律； ， ， ， 0 1 边缘分布律 0 1 边缘分布律 1 不放回取球下的联合分布律和边缘分布律； ， ， ， 0 1 边缘分布律 0 0.3 0.3 0.6 1 0.3 0.1 0.4 边缘分布律 0.6 0.4 1 （2）（i）由（1）知有放回取球下的联合分布律和边缘分布律中， ， ， 经检验，满足. 所以与相互独立. 在不放回摸球联合分布律中， ，不满足满足，，则与不是相互独立. （ii） 边缘分布律 边缘分布律 1 任取分布律中的一行为， 另一行为，其中 因为二维离散型随机变量与相互独立，的联合分布律与边缘分布律满足， 所以 因为 所以，则分布律中任意两行对应成比例. 同理可证分布律中任意两列也对应成比例. 【变式训练9-3】设是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为，其中，，则称为二维随机变量的联合分布列．定义：，称（，，…）为关于X的边际分布列，，称（，，…）为关于Y的边际分布列；对于固定的j，称（）为给定条件下的离散型随机变量的条件分布列，则二维离散型随机变量的联合分布列与边际分布列如表： … … … … … … … … … … … 1 (1)求证：对于，； (2)若的联合分布列与边际分布列如表： 1 2 3 1 0.3 0.1 0.1 0.5 2 0.05 0.1 0.15 0.3 3 0.05 0.1 0.05 0.2 0.4 0.3 0.3 1 求给定条件下Y的条件分布列； (3)把三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中．记放入1号盒子的球的个数为，放入2号盒子的球的个数为，则是一个二维离散型随机变量．列出的联合分布列与边际分布列． 【解析】（1） （2）因为，所以用第二行的值分别除以0.3， 可得给定条件下Y的条件分布列： 1 2 3 P （3）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，Y的可能取值为0，1，2，3， 设，，，，由概率的乘法公式知， ，，，，， 所以，， 当时，显然， 所以（X，Y）的联合分布列与边际分布列如表： （X，Y） 0 1 2 3 0 1 0 2 0 0 3 0 0 0 1 【变式训练9-4】若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，记表示在中出现的概率，其中． (1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量． ①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值； ②若是①中的值，求（结果用，表示）； (2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：． 【解析】（1）①该二维离散型随机变量的所有可能取值为： . ②依题意，，， 显然，则， 所以. （2）由定义及全概率公式知， . 题型10：多项式拟合函数 【典型例题】下表是2017年至2021年连续5年全国研究生在学人数的统计表： 年份序号 1 2 3 4 5 人数（万人） 263 273 286 314 334 (1)现用模型作为回归方程对变量与的关系进行拟合，发现该模型的拟合度很高.请计算该模型所表示的回归方程（与精确到0.01）； (2)已知2021年全国硕士研究生在学人数约为267.2万人，某地区在学硕士研究生人数占该地在学研究生的频率值与全国的数据近似.当年该地区要在本地区在学研究生中进行一项网络问卷调查，每位在学研究生均可进行问卷填写.某天某时段内有4名在学研究生填写了问卷，X表示填写问卷的这4人中硕士研究生的人数，求X的分布列及数学期望. 参考公式及数据：对于回归方程 【解析】（1）可令，则与成线性回归关系，则的对应关系如下图： 4 9 16 25 36 263 273 286 314 334 根据公式可得，则，， 则, , 所以，，则. （2）可求得该地区硕士研究生在学生数占总在学研究生人数的频率值为，可知，因此随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 4 （人）. 【变式训练10-1】碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内，直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放，实现二氧化碳的“零排放”.碳达峰，是指碳排放进入平台期后，进入平稳下降阶段.简单地说就是让二氧化碳排放量“收支相抵”.中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”减少碳排放，实现碳中和，人人都可出一份力．某中学数学教师组织开展了题为“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”的数学建模活动.实验假设： ①烧开一壶水有诸多因素，本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度，其他因素假设一样； ②由生活常识知，旋转角度很小或很大，一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费，因此旋转角度设定在10°到90°间，建模实验中选取5个代表性数据：18°，36°，54°，72°，90°． 某支数学建模队收集了“烧开一壶水”的实验数据，如下表： 项目 旋转角度 开始烧水时燃气表计数/dm3 水烧开时燃气表计数/dm3 18° 9080 9210 36° 8958 9080 54° 8819 8958 72° 8670 8819 90° 8498 8670 以x表示旋转角度，y表示燃气用量. (1)用列表法整理数据（x，y）； x（旋转角度：度） 18 36 54 72 90 y（燃气用量：dm3） (2)假定x，y线性相关，试求回归直线方程（注：计算结果精确到小数点后三位） (3)有队员用二次函数进行模拟，得到的函数关系为．求在该模型中，烧开一壶水燃气用量最少时的旋转角度．请用相关指数R2分析二次函数模型与线性回归模型哪种拟合效果更好？（注：计算结果精确到小数点后一位） 参考数据：，，，， 线性回归模型，二次函数模型． 参考公式：，，． 【解析】（1）整理数据如图： x（旋转角度：度） 18 36 54 72 90 y（燃气用量：dm3） 130 122 139 149 172 （2），，， ， 故回归直线方程为； （3），即旋转角约为38.7时，烧开一壶水燃气用量最少. 回归直线与二次函数拟合两者关系时，相关指数分别为，， 则，. 因为，所以二次函数拟合效果更好. 题型11：最大似然估算与大数定律 【典型例题1】为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议. (1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望. (2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了名代表，卫生监督管理部门邀请了名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.（备注:最大似然估计即最大概率估计，即当P（X=k）取值最大时，X的估计值为k） 【解析】（1）X的可能取值为2，3，4，则， ，， 则X的分布列为 X 2 3 4 P 0.1 0.6 0.3 （2）设食品药品监督管理部门邀请的代表记为集合A，人数为，卫生监督管理部门邀请的代表为集合B，人数为，则收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B.人数为Card（A∪B）. 设参加会议的群众代表的人数为Y，则. 若，则， 则， ， ， 令，得，解得， 以代替k，得， 令，得，解得， 所以， 若为整数，则当 或时，取得最大值， 所以估计参加会议的群众代表的人数为或， 若不是整数，则当时， 取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为， 其中，表示不超过的最大整数. 【典型例题2】统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策. (1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望; (2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条. （ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数. （ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数. 【解析】（1）, 故分布列为： 0 1 2 . （2）（i）设池塘乙中鱼数为,则,解得,故池塘乙中的鱼数为200. （ii）设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为” 则,由最大似然估计法,即求最大时的值,其中, 当时， 当时， 当时 所以池塘乙中的鱼数为199或200. 【变式训练11-1】在某项投资过程中，本金为，进行了次投资后，资金为，每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为r（所得利润与当次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为P，在实际问题中会有多种盈利可能（设有n种可能），记利润率为的概率为（其中），其中，由大数定律可知，当N足够大时，利润率是的次数为． (1)假设第1次投资后的利润率为，投资后的资金记为，求与的关系式； (2)当N足够大时，证明：（其中）； (3)将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为，其利润率为；输了的概率为，其利润率为，求最大时x的值（用含有的代数式表达，其中）． 【解析】（1）由题知，投入资金为，所获利润为，所以. （2）由题可知，，即， 所以 . （3）由（2）可得，, 其中，故，故. 记， 则 ， 根据实际意义知，， 则， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值，即取得最大值. 【变式训练11-2】在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为． (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则． （注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率） （ⅰ）完成下表，并写出计算过程； 0 1 2 3 （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值． (2)把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． 【解析】（1）因为袋中这两种颜色球的个数之比为，且，所以的值为或； （ⅰ）当时，，， 当时，，， 表格如下 0 1 2 3 （ⅱ）由上表可知． 当或1时，参数的概率最大；当或3时，参数的概率最大． 所以； （2）由， 则， 令， 即， 故，即当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取最大值，故， 因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的． 【变式训练11-3】为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策．为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有4位成员，两个部门分别独立地发出邀请，邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议． (1)用1，2，3，4代表专家库中的4位专家，甲、乙分别代表食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门，将两个部门邀请的专家及参会的专家人数的所有情况绘制成一个表格，请完成如下表格．    (2)最大似然估计即最大概率估计，即当时，概率取得最大值，则X的估计值为k（，，，…，），其中为X所有可能取值的最大值．请用最大似然估计法估计参加会议的专家人数． 【解析】（1）完成的表格如下： （2）记X为参加会议的专家人数，（，3，4）的概率记为． 由（1）中的表格可知出现的次数为6，出现的次数为24，出现的次数为6， 则，，， 则，， 根据最大似然估计法，可以估计出参加会议的专家人数为3． 题型12：其它定义新运算新概念 【典型例题1】定义：由个数（；）排成的行列数表称方阵，其中为方阵中第行第列的数.现有方阵，通过变换将变换为（例如通过可将变换为），其中为中第行第列的数，，. (1)经过变换为，求； (2)设集合，都有，首次变换满足，记. ①求，； ②若，从集合中任取个数，表示两数都为奇数的概率，证明：. 【解析】（1），所以 （2）①， 所以，所以， 因为，， 所以，或，， 若，，则，所以， 若，，则，所以， 综上，所以，. ②因为，所以， 即与奇偶不同，又，所以为偶数， 所以当为奇数时，为偶数，为奇数； 当为偶数时，为奇数，为偶数， 因为，， 所以， 所以在，，…，中， 共有偶数个奇数，即集合中有偶数个奇数， 当（）时，中有个奇数，不符合题意， 当（）时，中有个奇数，不符合题意， 当（）时，中有个奇数，符合题意， 当（）时，中有个奇数，符合题意， 所以当时， ，递减，所以， 当时， ，递增，所以， 综上. 【典型例题2】在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量，定义协方差为.将号码分别为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球. (1)求1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中的概率； (2)记所放小球号码与盒子号码相同的个数为，不同的个数为，求证：； (3)结合实例，解释协方差的实际含义. 【解析】（1）将号码分别为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球的所有情况有（种）， 1号球在2号盒子中时，有种情况，1号球在3或4号盒子中时，有种情况 1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中包含的情况有（种），记“1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中”为事件， 则. （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，4，且， ，， ，， 故的分布列为 0 1 2 4 所以，. 解法一：因为， 所以， 令，则的分布列为 0 则. 解法二： 因为，所以时，，时，， 则， 时，，则， 时，，则， 故. . （3）令， 可知当时，和同时大于或同时小于各自的数学期望； 当时，和相对于各自数学期望的大小情况相反. 因此，刻画了和之间的变化趋势： 如果，表示和的变化趋势相同； 如果，表示和的变化趋势相反. 在第（2）问中，表示“所放小球号码与盒子号码相同”的个数和“所放小球号码与盒子号码不同”的个数的变化趋势相反，与实际情况相吻合. 【变式训练12-1】就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个形象且精妙的比喻．对于任意数列，即用如下方法与一个函数联系起来：，则称是数列的生成函数．例如：求方程的非负整数解的个数．设此方程的生成函数为，其中x的指数代表的值．，则非负整数解的个数为．若，则，可得，于是可得函数的收缩表达式为：．故（广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式）则根据以上材料，解决下述问题：定义“规范01数列”如下：共有项，其中m项为0，m项为1，且对任意，，不同的“规范01数列”个数记为． (1)判断以下数列是否为“规范01数列”； ①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1． (2)规定，计算，，，的值，归纳数列的递推公式； (3)设数列对应的生成函数为 ①结合与之间的关系，推导的收缩表达式； ②求数列的通项公式． 【解析】（1）①，③是“规范01数列”， ②不是“规范01数列”,理由如下： ①0，1，0，1，0，1；，，， ，， ，故①为“规范01数列”， ②0，0，1，1，1，0，0，1，，不满足要求； ③0，1，0，0，0，1，1，1，满足，，③为“规范01数列”； （2）时，“规范01数列”只有0，1，故， 时，“规范01数列”有0，0，1，1和0，1，0，1，故， 时，“规范01数列”有0，0，0，1，1，1和0，1，0，1，0，1和0，0，1，0，1，1 和0，1，0，0，1，1和0，0，1，1，0，1，故， 时，“规范01数列”有0，0，0，0，1，1，1，1和0，1，0，1，0，1，0，1 和0，0，1，0，1，1，0，1和0，1，0，0，1，1，0，1和0，0，1，1，0，1，0，1 和0，0，1，1，0，0，1，1和0，1，0，0，1，1，0，1和0，0，0，1，0，1，1，1 和0，0，1，0，0，1，1，1和0，1，0，0，0，1，1，1和0，0，1，0，1，0，1，1 和0，1，0，1，0，0，1，1和0，0，0，1，1，0，1，1和0，0，0，1，1，1，0，1； 故， 方法一： “规范01数列”中，首项，若同时满足： 当时，；②当时，， 此时可将划分为两部分，即和， 由于且，则可构成一个“规范01数列”， 所以数列的递推公式为： ； 方法二：要想满足“规范01数列”，即从左向右扫描，出现0的累计个数大于等于出现1的累计个数， 先从位上选择个位置填入0，剩余的位置填入1，有个， 不合要求的情况为从左向右扫描，出现0的累计个数小于出现累计1的个数， 不合要求的数的特征是从左到右扫描时，必然在某一个奇数，位上首先出现个1的累计数和个0的累计数， 此后的位上有个0，个1， 如果把后面个0，个1，换成个1，个0， 结果得到1个由个1和个0组成的个数的数列， 即一个不合要求的数列对应一个由个1和个0组成的个数的数列， 反过来，任何一个由个1和个0组成的个数的数列，由于1的个数多2个， 为偶数，故必在某一个从左向右数奇数位上，出现1的累计数超过0的累计数， 同样，后面的部分，0和1互换，使之成为一个由个0和个1组成的个数的数列， 用上述方法，建立了由个1和个0组成的个数的数列， 和由个0和个1组成的个数的数列一一对应关系， 其中这些数列从左向右扫描出现1的累计数超过出现0的累计数， 故不满足“规范01数列”个数为个， 故， ， ， 所以； （3）①， 故 ∴， 即， 由于， 当时，（舍去）， 当时，，满足题意， 故的收缩表达式为； ② ， 故数列的通项公式为. 【变式训练12-2】设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷n次硬币后，记的概率为． (1)写出的所有可能情况，并求； (2)证明：是等比数列，并求； (3)设抛掷n次硬币后的期望为，求． 【答案】(1)答案见详解；(2)证明见详解，；(3) 【分析】（1）列出所有和的情况，再利用古典概型公式计算即可； （2）构造得，再利用等比数列公式即可； （3）由（2）得，再分，和讨论即可. 【详解】（1）当抛掷一次硬币结果为正时，； 当抛掷一次硬币结果为反时，. 当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，； 当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，； 当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，； 当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，. 所以，. （2）由题知，， 当，且掷出反面时，有，此时， 当，且掷出正面时，有，此时， 所以， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. （3）设与的概率均为，由(2)知， 显然，.若，则，当下次投掷硬币为正面朝上时，，当下次投掷硬币为反面朝上时，; 若，则当下次投掷硬币为正面朝上时，，当下次投掷硬币为反面朝上时，; 若，则， 当下次投掷硬币为正面朝上时，，当下次投掷硬币为反面朝上时，. 所以时，期望不变，概率为; 时，期望加1，概率为. 所以. 故 .经检验，当时也成立.. 【变式训练12-3】有2n朵花围绕在一个圆形花圃周围，现要将其两两配对绑上缎带作为装饰，缎带之间互不交叉，例如：时，共有4朵花，以1、2、3、4表示，绑上缎带的两朵用一条线连接，共有2种方式，如图1、2所示． (1)当时，求满足要求的绑缎带方法总数； (2)已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，如时，出现图1和图2所示方法的概率均为．记一次绑法中，共有Y对相邻的两朵花绑在一起， （i）当时，求Y的分布列和期望； （ii）已知：对任意随机变量（，2，…，m，），有．记满足条件的绑缎带方法总数为，Y的期望为．求（用n和表示）． 【答案】(1)5(2)答案见解析 【分析】（1）给6朵花合适代号，再分三类讨论即可； （2）（i）分类讨论出所有合适情况，再按步骤列出其分布列计算其期望即可； （ii）分和讨论即可. 【详解】（1）当时，有6朵花围绕在一个圆形花圃周围. 以1、2、3、4、5、6表示， 由题意可知，满足要求的绑缎带方法，任意一条缎带绑后，其同侧不能剩余奇数个点，故1必不与奇数3、5配对. 按花朵1的配对情况，分为三类： ①1与2配对：另4朵3、4、5、6的配对情况，同时共有4朵花的配对方法数相同， 故有2种方法； ②1与6配对：由对称性可知同1与2配对的方法数，故有2种方法； ③1与4配对：2必与3配对，6必与5配对，故只有1种方法. 综上，完成这件事的方法数共有种方法， 列举如下： （12）（34）（56）；（12）（36）（45）；（16）（23）（45）；（16）（25）（34）；（14）（23）（56）. 即满足要求的绑缎带方法总数为5. （2）（i）当时，有8朵花围绕在一个圆形花圃周围. 以1、2、3、4、5、6、7、8表示， 由题意可知，满足要求的绑缎带方法，任意一条缎带绑后，其同侧不能剩余奇数个点，故1不能与3、5、7配对.故按花朵1的配对情况，可分为两类： ①12或18配对： 若12配对，则另6朵3、4、5、6、7、8的配对情况， 同时共有6朵花的配对方法数相同，故有5种方法； 若18配对，由对称性可知与12配对方法相同，故也有5种方法； 故有种方法； ②14或16配对：由对称性，这两类配对方法也相同. 不妨设14配对，由题意，23必配对.而另外5、6、7、8的配对情况，即同时共有4朵花的配对方法数，有2种方法；故有种方法； 综上，完成这件事的方法数共有种方法.已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，则每一种方法的概率均为，记一次绑法中，共有Y对相邻的两朵花绑在一起，14种方法中的有种方法；的有种；的有种； 则Y的所有可能值为，；；. 故Y的分布列为： 2 3 4 ，故Y的期望为. （ii）当时，显然有，此时， 当时，若第朵花与相邻花相连，记随机变量，则 若第朵花不与相邻花相连，记随机变量，则 由于有对相邻的两朵花，则则 综上所述，. 【变式训练12-4】材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件发生的概率为，试验进行到事件第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为，其分布列为，我们称服从几何分布，记为. 材料二：求无穷数列的所有项的和，如求，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前项和，再求时的极限： 根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量. (1)证明：； (2)求随机变量的数学期望； (3)求随机变量的方差. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）依题意可得，根据等比数列求和公式求出，再取极限即可； （2）设，利用错位相减法求出，再取极限即可； （3）依题意可得 ，再利用错位相减法求出，即可得解. 【详解】（1）可知，且， 所以， 则. （2）设， 所以， 两式相减的， 所以， 则随机变量的数学期望； （3）因为 ， 而， ， 两式相减： ，从而， 那么. 【变式训练12-5】泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)设，且，求； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有. （ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率； （ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率. 【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）理解概率公式，就能用待定系数法先求出，再求出指定概率； （2）（ⅰ）理解泊松分布中的，从而再运用公式计算对应事件概率，转化为对立事件来研究即可； （ⅱ）先了解两个独立事件，同时发生总共需要水电工人数，运用积事件求和：即，这里运用到二项式展开式定理，最后再用对立事件即可解得. 【详解】（1）由得，且，解得. 故. （2）（ⅰ）设为甲地区某天需要的水电工数目，则，且. 因为，，， 所以.那么，某天至少需要2名水电工的概率约为 （ⅱ）设为乙地区某天需要的水电工数目，则，且. 因为，，， 所以.于是. 那么，某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率约为 . 【变式训练12-6】定义：为不超过的最大整数部分，如，．甲、乙两个学生高二的6次数学测试成绩（测试时间为90分钟，满分100分）如下表所示： 高二成绩 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试 甲 68 74 77 84 88 95 乙 71 75 82 84 86 94 进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的数学测试成绩预计有了大的提升．设甲或乙高二的数学测试成绩为，若，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为；若，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为100． (1)试预测：在将要进行的高三6次数学测试成绩（测试时间为90分钟，满分100分）中，甲、乙两个学生的成绩（填入下列表格内）； 高三成绩 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试 甲 乙 (2)记高三任意一次数学测试成绩估计值为，规定：，记为转换分为3分；，记为转换分为4分；，记为转换分为5分．现从乙的6次数学测试成绩中任意抽取2次，求这2次成绩的转换分之和为8分的概率． 【解析】（1）由已知，预测高三6次数学测试成绩如下： 高三成绩 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试 甲 84 90 93 93 97 100 乙 87 91 91 93 95 100 （2）在乙的高三6次数学测试预测成绩中，转换分为3分的有1次，记为A； 转换分为4分的有4次，记为；转换分为5分的有1次，记为． 现从中任意抽取2次，一共有15种结果，它们是： ， ， 其中2次成绩的转换分之和为8分有7种结果，它们是： ， 则所求概率为． 【变式训练12-7】正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的，，三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求； (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为. （ⅰ）设，证明：； （ⅱ）若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【解析】（1）由题设得，， 所以 （2）（ⅰ）由题设得： ， , 所以． （ⅱ）由（ⅰ）得， 所以第天元件，正常工作的概率均为． 为使第天系统仍正常工作，元件，必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为． 【变式训练12-8】为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6． (1)求和； (2)统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数： （ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由． ①； ②； （ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策． 【解析】（1） 由题设知服从二项分布， 所以，． （2）（ⅰ）统计量反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下： 若患者受益于新治疗方案，则其指标的值满足， 否则，会被统计量计入，且每位未受益于新治疗方案的患者恰使得统计量的数值加1． 统计量反映了未受益于新治疗方案且指标偏高的患者数量，理由如下： 若患者接受新治疗方案后指标偏低或正常，则其指标的值满足 若指标偏高，则，，会被统计量计入， 且每位未受益于新治疗方案且指标偏高的患者恰使得统计量的数值加1． （ⅱ）由题设知新治疗方案优于标准治疗方案等价于一次试验中的观测值大于的数学期望， 由（ⅰ）知的观测值， 因此当，即时，认为新治疗方案优于标准治疗方案； 当，即时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当； 当，即时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案． 【变式训练12-9】设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为．设． (1)若，求； (2)若，求的最小值； (3)对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等号的充要条件 【解析】（1）不妨设，则. 所以 . （2）当时，， 记 ， 则 ， 令，则， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，则单调递增，而， 所以在为负数，在为正数， 则在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为. （3）令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，即，当且仅当时，等号成立， 则当时，，所以，即， 故， 当且仅当对所有的时等号成立. 【变式训练12-10】某医科大学科研部门为研究退休人员是否患痴呆症与上网的关系，随机调查了市100位退休人员，统计数据如下表所示： 患痴呆症 不患痴呆症 合计 上网 16 32 48 不上网 34 18 52 合计 50 50 100 (1)依据的独立性检验，能否认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联？ (2)从该市退休人员中任取一位，记事件A为“此人患痴呆症”，为“此人上网”，则为“此人不患痴呆症”，定义事件A的强度，在事件发生的条件下A的强度． （ｉ）证明：； （ⅱ）利用抽样的样本数据，估计的值． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1） 根据列联表中的数据，得 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联， 此推断犯错误的概率不大于0.01． （2）， 所以， 故 ． （ⅱ）由样本数据可得， 所以，所以估计的值为2． 【变式训练12-11】某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表： 学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，. (1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）； (2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同.记在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数. （i）记，.证明：； （ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势. 注：参考公式与参考数据. ；；. 【解析】（1）由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为 ； （2）（i）证明：因为和都是1，2，，的一个排列，所以 ， ， 从而和的平均数都是． 因此，， 同理可得， 由于 ， 所以. （ii）这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是0.91， 答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系； 答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系． 【变式训练12-12】“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小，“难度系数”的计算公式为，其中L为难度系数，Y为样本平均失分，W为试卷总分（一般为100分或150分）．某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷（总分150分），用于对该校高二年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示： 试卷序号i 1 2 3 4 5 考前预估难度系数 0.7 0.64 0.6 0.6 0.55 测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下： 试卷序号i 1 2 3 4 5 平均分/分 102 99 93 93 87 (1)根据试卷2的预估难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分； (2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设为第i套试卷的实测难度系数，并定义统计量， 若，则认为试卷的难度系数预估合理，否则认为不合理．以样本平均分估计总体平均分，试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理． (3)聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则如下：双方轮换选题，每人每次只选1道题，先正确解答者记1分，否则计0分，先多得2分者为胜方.若在此次竞赛中，聪聪选题时聪聪得分的概率为，明明选题时聪聪得分的概率为，各题的结果相互独立，二人约定从0:0计分并由聪聪先选题，求聪聪3:1获胜的概率 . 【解析】（1）由题意， 由试卷2的难度系数， 解得平均失分：， ∴这480名学生第2套试卷的平均分为分； （2）由题意及（1）得， ，，， ，， 则 ， ∴这5套试卷难度系数的预估合理 （3）由题意及（1）（2）得， 聪聪先答对第一题： 聪聪没先答对第一题： ∴聪聪3:1获胜的概率聪聪3:1获胜的概率： 【变式训练12-13】在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： (1)求出n维“立方体”的顶点数； (2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 【解析】（1）对于n维坐标有两种选择（）． 故共有种选择，即个顶点 （2）①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同， 即，剩下个坐标值满足． 此时所对应情况数为种． 即 故分布列为： 0 1 2 … … 数学期望 倒序相加得 即． ②当n足够大时，． 设正态分布，正态分布曲线为， 由定义知该正态分布期望为，方差为． 设题中分布列所形成的曲线为． 则当与均在处取最大值，若当时， 且，则可认为方差． I．：当时，有 即． II．     当n足够大时，有 当时， 当时， 故． 综上所述，可以认为． 【变式训练12-14】为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位：只）： 发病 没发病 合计 接种疫苗 8 16 24 没接种疫苗 17 9 26 合计 25 25 50 (1)能否有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关？ (2)从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势. （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用抽样的样本数据，给出，的估计值，并给出的估计值.附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）根据联表可得， 所以有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关. （2）（ⅰ）由于, 所以，， 故,故得证. （ⅱ）由二联表中的数据可得，，所以， 【变式训练12-15】独立事件是一个非常基础但又十分重要的概念，对于理解和应用概率论和统计学至关重要．它的概念最早可以追湖到17世纪的布莱兹·帕斯卡和皮埃尔·德·费马，当时被定义为彼此不相关的事件．19世纪初期，皮埃尔·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理论》中给出了相互独立事件的概率乘法公式．对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． (1)若事件与事件相互独立，证明：与相互独立； (2)甲、乙两人参加数学节的答题活动，每轮活动由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率． 【解析】（1）证明：已知事件与事件相互独立，则 因为，且事件与事件互斥 所以 所以 由事件的独立性定义，与相互独立； （2）设分别表示甲在两轮活动中答对1道题，答对2道题的事件 分别表示乙在两轮活动中答对1道题，答对2道题的事件 根据独立性假定，得 设“甲乙两人在两轮活动中答对3道题”，则 且与互斥，与，与分别相互独立 所以 所以甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率时. 【变式训练12-16】袋中有大小、形状完全相同的2个红球，4个白球.采用放回摸球，从袋中摸出一个球，定义T变换为：若摸出的球是白球，把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来倍，（纵坐标不变）；若摸出的是红球，将函数图象上所有的点向下平移1个单位.函数经过1次T变换后的函数记为，经过2次T变换后的函数记为，…，经过n次T变换后的函数记为.现对函数进行连续的T变换. (1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求； (2)记，求随机变量的分布列及数学期望. 【解析】（1）第一次从袋子中摸出的是白球，把函数变换为； 第二次从袋子中摸出的是红球，把函数变换为； 所以. （2）经过3次T变换后有3种情况， 若摸出的3个球都是白球，则，； 若摸出的3个球为2个白球1个红球，则，； 若摸出的3个球为1个白球2个红球，则，； 若摸出的3个球都是红球，则，. 所以随机变量X的取值为， 因为一次摸球取得为红球的概率为，取得白球的概率为， 所以，， ，. 所以求随机变量的分布列为 所以. 【变式训练12-17】已知为正整数，对于给定的函数，定义一个次多项式如下: (1)当时，求; (2)当时，求; (3)当时，求. 【解析】（1）若，则, 所以. （2）若，则， 因为 , 所以 . （3）若，则 . 【变式训练12-18】通信信号利用BEC信道传输，若BEC信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同．若BEC信道传输失败，则接收端收不到任何信号．传输技术有两种：一种是传统通信传输技术，采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图1）． 另一种是华为公司5G信号现使用的土耳其通讯技术专家Erdal Arikan教授的发明的极化码技术（以两个信道为例，如图2）．传输规则如下，信号直接从信道2传输；信号在传输前先与“异或”运算得到信号，再从信道1传输．若信道1与信道2均成功输出，则两信号通过“异或”运算进行解码后，传至接收端，若信道1输出失败信道2输出成功，则接收端接收到信道2信号，若信道1输出成功信道2输出失败，则接收端对信号进行自身“异或”运算而解码后，传至接收端． （注：定义“异或”运算：）．假设每个信道传输成功的概率均为． (1)对于传统传输技术，求信号和中至少有一个传输成功的概率； (2)对于Erdal Arikan教授的极化码技术； ①求接收端成功接收信号的概率； ②若接收端接收到信号才算成功完成一次任务，求利用极化码技术成功完成一次任务的概率． 【解析】（1）设“信号和中至少有一个传输成功”为事件，“信号传输成功”为事件“信号传输成功”为事件 则 （2）若信道1和信道2都传输成功， 由可得被成功接收，概率为； 若信道1传输成功，信道2传输失败， 由可得被成功接收，接收失败，概率为； 若信道2传输成功，信道1传输失败， 可得被成功接收，接收失败，概率为； 若信道1，2都传输失败， 可得接收失败，概率为； ①接收端成功接收信号的概率为； ②接收端接收到信号的概率为 【变式训练12-19】材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，. 材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 请根据以上材料，回答下列问题. (1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001 (2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率. 【解析】（1）记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司.由全概率公式知： 故：. （2）记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子， 事件表示小球向右走一格.小球开始于第格，此时的概率为，则下一步小球向左或向右移动， 当小球向右移动，即可理解为小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于， 即.由题知， 又，故， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 即：， 即：， ， ， 故， ， 则， 故这名顾客获得代金券的概率为. 【变式训练12-20】已知编号为的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球． (1)若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率； (2)设是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量．设的一切可能取值为，记表示在中出现的概率，其中．若表示第一次摸出的是号球，表示第二次摸出的是号球． ①求； ②证明：． 【解析】（1）设第一次摸到球的事件为，第二次摸到的是3号球的事件为， 第二次在第号袋子里摸到的是3号球的事件为，， ， 于是， 所以第二次摸到的是3号球，它来自1号袋子的概率； 第二次摸到的是3号球，它来自2号袋子的概率； 第二次摸到的是3号球，它来自3号袋子的概率. （2）①依题意，，即第一次摸出1号球，并放入1号袋子，第二次从该袋子摸出2号球的概率， 所以. ②由定义及全概率公式知， ， 所以. 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过组合公式变形得，然后利用倒序相加求和即可. 【详解】由题可知通项公式， 所以， 同时， 上述两式相加得 ， 所以， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对组合公式的灵活应用，以及对倒序相加方法的灵活使用. 2．已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义得，令，可判断A，对累乘结合组合数的阶乘形式化简即可判断B，根据二项式系数和公式判断C，结合等比数列前n项和公式根据分组求和求解判断D. 【详解】因为，所以， 令，则，所以，故选项A错误； 因为， 所以累乘得， 因为，所以，故选项B错误； 因为，所以， 所以，故选项C正确； 故选项D错误. 故选：C. 【点睛】思路点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 3．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，，n，且，，定义X的信息熵，则下列判断中正确的是（    ） ①若，则 ②若，则； ③若，则当时，取得最大值 ④若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，，m，且，则 A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】对于①，计算出；对于②，由得到，故，与矛盾，②正确；对于③，若，则，，构造函数，，求导得到其单调性，得到当时最大，故③正确；对于④，表达出，作差得到，故，得到④正确. 【详解】①若，则，故①正确； ②假设，因为，，所以， 所以，所以， 这与矛盾，所以假设不成立， 而当时，易得，所以，故②正确； ③若，则， ， 设，， 则， 令，得，解得，此时函数单调递减， 令，，解得，此时函数单调递增， 所以当时最大，所以当时，取得最大值，故③正确； ④由题意知，，，，…，， ∴， 又， ∴， 又，，，， ∴，∴，故④正确． 综上，正确说法的序号为①②③④， 故选：D． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 4．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵，若，随机变量所有可能的取值为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算和作差法，随机变量的创新应用即可判断. 【详解】依题意知，，，，…，， ∴， 又， ∴，又，，…，， ∴，∴. 故选：D. 二、多选题 5．已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．是整数 C．，（是不大于x的最大整数） D．，则 【答案】ACD 【分析】对于选项A: 令时，利用二项式定理计算即可；对于选项B: 表示出，取特殊值验证即可; 对于选项C: 作差说明为正整数即可；对于选项D: 分奇偶讨论计算，，即可推理作答. 【详解】对于选项A: 由，当时，即，所以,，故，故A正确； 对于选项B:由题意可得，不妨令， 所以，此时不是整数，故B错误； 对于选项C: , 即， 所以 ， ， 易知，正整数， 为正整数， ， 所以，故C正确； 对于选项D:当为正偶数时， ， ，， 所以，即. 当为正奇数时， ， ， ，， 所以，即. 综上可得：若，则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：涉及二项式定理的问题，二项式定理的核心是通项公式，求出给定二项式的通项公式是解决问题的关键. 6．已知，，，，，，记．当，，，，中含个6时，所有不同值的个数记为．下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．对于任意奇数 D．对于任意整数 【答案】AC 【分析】对于选项A，当时写出，由，中不含6，根据题意即可求得；对于选项B，当时写出，由，，，中含有个6，可得，，解不等式即可；对于选项C，，设，，由二项式定理求解即可；对于选项D，构造二项分布，利用均值求解即可. 【详解】当，，故，A正确； 当，，， 当时，，解得，B错误； ，设，，则， 于是，C正确； 因为，构造二项分布，则， 因此，D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：本题考查计数原理、二项式定理、二项分布的均值；根据题意利用计数原理得到，根据二项式定理和二项分布求解. 7．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第行开始，第行从左至右的数字之和记为，如，，，的前项和记为，依次去掉每一行中所有的构成的新数列、、、、、、、、、、，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（    ） A． B．的前项和为 C． D． 【答案】BCD 【分析】求得，利用等比数列求和公式可判断A选项；利用裂项相消法可判断B选项；将数列数列、、、、、、、、、、变成数阵，确定的位置，结合二项式系数的性质和二项式系数之和、分组求和法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，， 所以，，A错； 对于B选项，， ， 所以，数列的前项和为 ，B对； 对于C选项，将数列、、、、、、、、、、变成以下数阵 则该数阵第有个数，第行最后一项位于原数列第项， 因为， 所以，位于该数阵第行第个数，则，C对； 对于D选项，对于C选项中的数阵， 由题意可知，该数阵第行所有数为“杨辉三角”数阵中第行去掉首、尾两个得到， 而“杨辉三角”数阵中第行所有数之和为， 所以，该数阵第行所有数之和为， 所以， ，D对. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查“杨辉三角”与数列求和问题，解题的关键是将数列与“三角数阵”联系起来，结合二项式系数的性质与等比数列求和公式求解. 8．电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作和生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制.一个十进制数n（n∈N*）可以表示为二进制数（a0a1a2…ak）2，即，其中a0=1，ai∈{0，1}，i=0，1，2，…k，k∈N*，用f（n）表示十进制数n的二进制表示1的个数，则（    ） A．f（7）=2 B．f（7）=3 C．对于任意r∈N*， D．对于任意r∈N*， 【答案】BC 【分析】将7化为二进制数，写出，设，则使得的有个，从而利用二项式定理求和得到结果. 【详解】因为，所以，所以，A错误，B正确； 设，则使得的有个， 故，C正确，D错误. 故选：BC 【点睛】对于十进制和二进制的转化问题，要能归纳出当，则使得的有个，是解题的关键. 三、填空题 9．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 ； （用含的式子表示，）. 【答案】 【分析】当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为、，根据乘法原理和加法原理得到；在维向量中，范数为奇数，则的个数为奇数，即的个数为、、、、，根据乘法原理和加法原理结合二项式定理可求得的表达式. 【详解】当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为、， 根据乘法原理和加法原理得到. 在维向量中，范数为奇数，则的个数为奇数， 即的个数为、、、、， 根据乘法原理和加法原理得到， ， ， 两式相减得到. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题考查了向量的新定义，乘法原理，加法原理，二项式定理，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用和的展开式求数列通项是解题的关键，需要灵活掌握. 10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则除以2023的余数是 . 【答案】1011 【分析】先求得每项除以2023的余数，求每项除以2023的余数时，分奇偶项进行讨论，余数求和后再求除以2023的余数即可. 【详解】， 又， 则， 又， 所以 ， 所以当， ， 其除以2023的余数为， 当时， ， 其除以2023的余数2022和3， 当且时， ， 其除以2023的余数为， 当时， ， 其除以2023的余数为， 除以2023的余数为除以2023的余数， 即除以2023的余数， 又 其除以2023的余数为1011， 故答案为：1011. 【点睛】本题的关键一是分奇偶项进行讨论，特别是偶数项时，最后两项求得结果与前面项，求得结果不同，要分开讨论；二是余数求和后要再除以2023二次求余. 四、解答题 11．某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中的A种数目为随机变量（）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立． (1)已知，，证明：，； (2)该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为（），并计算了数据（）的平均值和方差，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据． （ⅰ）请用和分别代替和，估算和； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ），；（ⅱ）15 【分析】（1）根据题意结合期望、方差的性质分析证明； （2）（ⅰ）根据（1）中结论结合二项分布的期望和方差公式运算求解；（ⅱ）根据二项分布的概率公式列式运算求解即可. 【详解】（1）由题可知（，2，…，n）均近似服从完全相同的二项分布， 则，， ， ， 所以，. （2）（ⅰ）由（1）可知， 则的均值，的方差， 所以，解得或， 由题意可知：，则， 所以，； （ⅱ）由（ⅰ）可知：，则， 则， 由题意可知：， 解得，且，则， 所以的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值为15. 【点睛】关键点睛：本题关键是利用二项分布求期望和方差，以及利用期望和方差的性质分析求解. 12．在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）. (1)若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值； (2)若，（），求此时的信息熵. 【答案】(1)，，最大值为. (2). 【分析】（1）由题意可知且，减少变量可得的信息熵关于的解析式，求导可得单调性，故而求出最大值； （2）由可知数列从第二项起，是首项为，公比为2的等比数列，故而可求出（）的通项公式，再由可得的解析式. 【详解】（1）当时，,， 令，， 则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为. （2）因为，（）， 所以（）， 故， 而， 于是， 整理得 令， 则， 两式相减得 因此， 所以. 【点睛】关键点点睛：第二问，根据等比数列定义写出，进而写出的通项公式，应用裂项相消及等比数列前n项和公式求化简. 13．品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为，并令，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分. (1)当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列； (2)当时， ①若等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率； ②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②答案见解析 【分析】（1）计算每种排序的值以及对应概率，由此可得的分布列； （2）①先计算出的值，然后可求；②先分析续三轮测试中，都有的概率，然后根据概率值的大小进行分析即可. 【详解】（1）的排序共有种，且每种排序等可能， 此时可取， 又时，的排序为， ， 时，的排序为或，， 时，的排序为或或，， 所以的分布列为： （2）①的排序共有种，且每种排序等可能， 而，故中有偶数个奇数，故必为偶数， 当时， 的排序与第一次排序无变化时， 此时仅有种排序：，则， 当时， 的排序与第一次排序相比仅有相邻两个位置变化时， 此时有种排序：、、，， 所以； ②因为各轮测试相互独立， 所以“连续三轮测试中，都有”的概率为， 所以是一个小概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小， 所以我们认为该品酒师有良好的鉴别能力，不是靠随机猜测. 【点睛】关键点点睛：本题考查离散型随机变量与概率的综合运用，着重考查学生理解问题与分析问题的能力，难度较大.解答第三问的关键在于，能通过独立事件的概率计算公式求解出目标事件的概率并能对概率值的大小进行分析，一般认为小于的概率为小概率. 14．设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为．设． (1)若，求； (2)若，求的最小值； (3)对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等号的充要条件 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用定义，结合二项分布的概率公式与对数的运算法则即可得解； （2）利用定义，结合对数的运算法则得到关于的关系式，再利用导数求得其最小值，从而得解； （3）先利用导数证得恒不等式，从而结合定义即可得证. 【详解】（1）不妨设，则. 所以 . （2）当时，， 记 ， 则 ， 令，则， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，则单调递增，而， 所以在为负数，在为正数， 则在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为. （3）令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，即，当且仅当时，等号成立， 则当时，，所以，即， 故， 当且仅当对所有的时等号成立. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义指标，熟练掌握对数的运算法则即可得解. 15．在数字的任意一个排列：中，如果对于，，有，那么就称为一个逆序对．记排列中逆序对的个数为．如时，在排列：3，2，4，1中，逆序对有，，，，则． (1)设排列：，写出两组具体的排列，分别满足：①，②； (2)对于数字1，2，…，n的一切排列，求所有的算术平均值； (3)如果把排列A：中两个数字交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列，：，求证：为奇数． 【答案】(1)①C：4，2，3，1  ②C：2，4，3，1； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义列举出符合题意的排列即可； （2）考察排列D：与排列，因为数对与中必有一个为逆序对（其中），而排列中数对共有个，即可得到，从而得解； （3）讨论当，即相邻时，当，即不相邻时，由新定义，运用调整法，可得为奇数． 【详解】（1）①，则逆序对有，，，，，则； ②，则逆序对有，，，，则； （2）考察排列D：与排列， 因为数对与中必有一个为逆序对（其中）， 且排列中数对共有个， 所以． 所以排列与的逆序对的个数的算术平均值为． 而对于数字1，2，…，n的任意一个排列：，都可以构造排列， 且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为． 所以所有的算术平均值为． （3）证明：①当，即相邻时， 不妨设，则排列为， 此时排列与排列：相比，仅多了一个逆序对， 所以， 所以为奇数． ②当，即不相邻时， 假设之间有个数字，记排列：， 先将向右移动一个位置，得到排列， 由①，知与的奇偶性不同， 再将向右移动一个位置，得到排列， 由①，知与的奇偶性不同， 以此类推，共向右移动次，得到排列， 再将向左移动一个位置，得到排列，， 以此类推，共向左移动次，得到排列，， 即为排列， 由①可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化， 而排列经过次的前后两数交换位置，可以得到排列， 所以排列与排列的逆序数的奇偶性不同， 所以为奇数． 综上，得为奇数． 【点睛】关键点睛：对于新定义问题，解答的关键是理解定义，再利用相应的数学知识进行分析. 16．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？    这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)获得冠军的概率分别为，； (2)淘汰赛赛制下获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下获得冠军的概率为，双败赛制下对强者更有利. 【分析】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求获得冠军的概率； （2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，研究哪种赛制下获得冠军的概率更大，即可得结论. 【详解】（1）获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 获得冠军的概率为， 获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 获得冠军的概率为. （2）淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为， “双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况， 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军； 若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军； 综上，获得冠军的概率. 令， 若为强队，则，故， 所以，双败赛制下对强者更有利. 【点睛】关键点点睛：第二问，根据“双败赛制”赛制的描述讨论A进入胜者组、败者组两种情况，分别求出得冠军的概率为关键. 17．一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表： 岗位 业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值 合计分值 会计（1） 2 1 5 4 12 业务员（2） 5 2 3 5 15 后勤（3） 2 3 5 3 13 管理员（4） 4 5 4 4 17 对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标. (1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数； (2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录. （i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位； （ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值. 【答案】(1) (2)（i）小刚最适合业务员岗位；（ii）小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为 【分析】（1）将合计分值从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求出结果； （2）（i）根据条件，先求出各个岗位的样本点，再根据题设定义即可求出结果；（ii）先根据条件得到的相关方程组，利用，，得到，再根据题设列出方程，利用，得出，再对三种情况分析讨论，即可求出结果. 【详解】（1）将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据， 又，所以这组数据的第三四分位数为. （2）（i）由图表知，会计岗位的样本点为，则， 业务员岗位的样本点为，则， 后勤岗位的样本点为，则， 管理员岗位的样本点为，则， 所以，故小刚最适合业务员岗位. （ii）四种职业的推荐率分别为，且， 所以，得到， 又均小于20，所以，且， 故可得到， 设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为，且，， 依题有①， ②， ③， ④， 由①③得， ， 整理得：， 故有三组正整数解， 对于第一组解，代入④式有，不成立； 对于第二组解，代入①式有， 解得或，代入②④式均不成立； 对于第三组解，代入②式有， 解得，代入①②③④均成立，故； 故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为. 【点睛】关键点点晴：本题第（2）问的（ii）问的解决关键在于，根据题设定义列出的相关方程组，分析得，进而选择合适的式子得到，从而分析得解. 18．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立 (1)若，求数学期望； (2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示.    （i）试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）； （ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：. 【答案】(1)50 (2)（i）；（ⅱ）团队B可以求出的最大似然估计， 【分析】（1）由题意可得，再根据求解即可； （2）（i）设，依题意得，化简即可； （ⅱ）记，求导分析单调性可得最大值，分别在团体A，B中提出函数模型即可得答案． 【详解】（1）由题知，随机变量服从二项分布，， 由， 即， 得，所以； （2）（i）“”， ， 所以； （ii）记， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，取得最大值，即取得最大值， 在团队提出的函数模型，中， 记函数，，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，取得最大值，则不可以估计， 在团体提出的函数模型中， 记函数，单调递增， 令，解得， 则团队B可以求出的最大似然估计，且是的最大似然估计. 【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望 （在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等， 可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 19．春节将至，又是一年万家灯火的团圆之时．方方正正的小城里，住着户人家，恰好构成了坐标平面上集合的所有点．夜里，小城的人家挂上大红灯笼，交相辉映，将小城的夜晚编织成发光的大网．在坐标平面上看，A中的每个点均独立地以概率p被点亮，或以的概率保持暗灭．若A中两个点的距离为1，则这两个点被称为是相邻的．若A中的n个被点亮的点构成一依次相邻的点列，则称这n个点组成的集合是长度为n的“相邻灯笼串”．规定空集是长度为0的“相邻灯笼串”． (1)给定A中3个依次相邻的点，记随机变量X为集合包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值，试直接写出随机变量X的分布列（用p表示）； (2)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01； (3)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99． 【答案】(1)分布列见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题干可知，随机变量X的可能取值为：0、1、2、3，并计算出对应的概率，列出分布列即可； （2）先计算出长度为1000的“相邻灯笼串”的所有点的选法可能情况，再乘以对应的概率即可判断对应的概率范围； （3）从对立面出发，找到长度为1000的“暗灭灯笼串”的所有点的选法，乘以对应的概率，再用1减去即可验证. 【详解】（1）A中3个依次相邻的点，则随机变量X为集合包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值， 随机变量X的可能取值为：0、1、2、3.则X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）长度为1000的“相邻灯笼串”的所有点的选法小于种． 因此，P(存在长度为1000的“相邻灯笼串”)． （3）现定义，若A中两个点的距离不大于，则这两个点被称为是相接的； 若A中的m个暗灭的点构成一依次相接的点列，则称这m个点组成的集合是长度为m的“暗灭灯笼串”． 若不存在长度为1000的“相邻灯笼串”，则不存在“相邻灯笼串”同时包含横坐标为1和1000的被点亮的点， 那么一定存在“暗灭灯笼串”同时包含纵坐标为1和1000的点，于是一定存在长度为1000的“暗灭灯笼串”． 长度为1000的“暗灭灯笼串”的所有点的选法小于种，故P(存在长度为1000的“暗灭灯笼串”)． 因此，存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99． 20．给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中. (1)当，时，写出所有满足的数对序列； (2)当时，证明：； (3)当为奇数时，记的最大值为，求. 【答案】(1)或 (2)证明详见解析 (3) 【分析】（1）利用列举法求得正确答案. （2）利用组合数公式求得的一个大致范围，然后根据序列满足的性质证得. （3）先证明，然后利用累加法求得. 【详解】（1）依题意，当，时有： 或. （2）当时， 因为与不同时在数对序列中， 所以，所以每个数至多出现次， 又因为， 所以只有对应的数可以出现次， 所以. （3）当为奇数时，先证明. 因为与不同时在数对序列中， 所以， 当时，构造恰有项，且首项的第个分量与末项的第个分量都为. 对奇数，如果和可以构造一个恰有项的序列，且首项的第个分量与末项的第个分量都为， 那么多奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列： 首先，对于如下个数对集合： ， ， …… ， ， 每个集合中都至多有一个数对出现在序列中， 所以， 其次，对每个不大于的偶数， 将如下个数对并为一组： ， 共得到组，将这组对数以及， 按如下方式补充到的后面， 即 . 此时恰有项，所以. 综上，当为奇数时， . 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 21．有个元素，将其中相同的元素归成一类，共有k类，这k类元素中每类分别中个，，将这个元素全部取出的排列叫做个不尽相异元素的全排列． (1)求上述个不尽相异的元素的全排列数． (2)由结论（1），回答“1个球队与10个球队各比赛1次，共有10场比赛，问五胜三负二平的可能情形有多少种？” 【答案】(1) (2)2520 【分析】（1）根据题意利用排列数的定义以及其运算方法，可得答案； （2）根据题意，利用（1）的公式，可得答案. 【详解】（1）假定个不尽相异元素的所有排列数有种，在每种排列中，如果把相同的元素， 当成不相同的元素，则个元素的所有排列数可增加为种； 另一方面，个不同的元素的全排列有种， ∴即． 即得个不尽相异元素的全排列数． （2）将比赛结果的胜、负、平看作三种元素，按题意，10场比赛的结果是五胜三负二平， 即是一个不尽相异元素的全排列，由（1）知，共有种可能情况． 22．在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： (1)求出n维“立方体”的顶点数； (2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；②证明见解析 【分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数；（2）①首先确定，再结合组合数公式求概率，即可求解分布列和数学期望；②由①可知，n足够大时，，可得正态分布，正态分布曲线为，并设题中分布列所形成的曲线为，则当与均在处取最大值，说明当时， 且，则可认为方差． 【详解】（1）对于n维坐标有两种选择（）． 故共有种选择，即个顶点 （2）①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同， 即，剩下个坐标值满足． 此时所对应情况数为种． 即 故分布列为： 0 1 2 … … 数学期望 倒序相加得 即． ②当n足够大时，． 设正态分布，正态分布曲线为， 由定义知该正态分布期望为，方差为． 设题中分布列所形成的曲线为． 则当与均在处取最大值，若当时， 且，则可认为方差．      I．：当时，有 即． II．     当n足够大时，有 当时， 当时， 故． 综上所述，可以认为． 【点睛】思路点睛：本题考查立体几何新定义和排列组合，概率，分布列，正态分布相结合的综合应用问题，属于难题，本题的关键是理解题意，能正确理解随机变量取值的意义，并能利用正态分布的意义，进行求解. 23．某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验n次； 方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次． 假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为． (1)现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率； (2)现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． ①若，求P关于k的函数关系式； ②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？ 参考数据：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体，再结合概率公式即可求解； （2）①由已知得，的所有可能取值为1，，求出相应的概率，再由可求得P关于k的函数关系式；②由得（且），构造函数，利用导数求解其单调区间，讨论可得结果. 【详解】（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件， 事件分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无抗体， 所以， 所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为， （2）①由已知得，的所有可能取值为1，， 所以， ， 所以， 若，则， 所以，， 所以，得， 所以P关于k的函数关系式（且） ②由①知，， 若，则，所以，得， 所以（且） 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，， ， 所以不等式的解是且， 所以且时，，采用方案二混合检验方式好， 且时，，采用方案一逐份检验方式好， 【点睛】关键点点睛：此题考查概率的综合应用，考查随机变量的数学期望，考查导数的应用，解题的关键是根据题意求出两随机变量的期望，再由化简，再构造函数利用导数可求出的范围，考查数学计算能力，属于难题. 24．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立. (1)若，求数学期望； (2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数的取值有关.团队A提出函数模型为.团队B提出函数模型为.现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第i组被感染的白鼠数，现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示. （ⅰ）试写出事件“，，…，”发生的概率表达式（用p表示，组合数不必计算）； （ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：. 【答案】(1) (2)（ⅰ） （ⅱ）答案见解析， 【分析】（1）易知随机变量服从二项分布，由， 得，数学期望即可求解； （2）设，依题意得 化简即可；记， 求导分析单调性可得最大值，分别在团体A，B中提出函数模型即可得答案． 【详解】（1）由题知，随机变量服从二项分布，， 由，即， 得，所以． （2）（ⅰ）， ， ． （ⅱ）记， 则， 当时，，单增； 当时，，单减； 当时，取得最大值，即取得最大值． 在团体提出的函数模型中， 记函数，， 当时，，单增； 当时，，单减． 当时，取得最大值，则不可以估计． 在团体提出的函数模型中， 记函数，单调递增， 令，解得， 则是的最大似然估计． 【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望 （在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等， 可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 25．小刚在闲暇之时设计了如下一个“数列”满足：，当为偶数时，，当为奇数时，有的几率为，有的几率为. (1)求的分布列和数学期望. (2)求的前项和的数学期望. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据题意，先求出的所有取值的概率，进而求解分布列和数学期望； （2）根据题意，可得，进而得到、和的关系，然后构造新的数列，再利用错位相减、累加法和对的分类讨论可得. 【详解】（1）由题意，， 则有的几率为2，有的几率为3； 则有的几率为1，有的几率为4，有的几率为5； 则有的几率为2，有的几率为3，有的几率为1，有的几率为6，有的几率为7； 则有的几率为1，有的几率为2，有的几率为3，有的几率为4，有的几率为5，有的几率为8，有的几率为9； 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 8 9 数学期望为. （2）当时，； 当时，； 当时，由题意可得 ， 令，① ，② ①②得： ， 故， 故， 则， 故 ， 所以， 又成立，则， 所以 ， 令，则， 即， 令，则， 即，， 故数列是以为首项，公差为的等差数列， 则，即， 所以， 则， 令，，， 所以， ， ， ， 相加得：， 令 ，① ，② ①②得： ， 故， 故当为奇数时， ， 当为偶数时，， 故， 即， 所以， 所以， 经检验时均成立， 所以. 【点睛】方法点睛：对于递推公式，常常对结构适当处理变形，借助等差数列及等比数列的定义证明构造数列为等差数列或等比数列，再结合其对应的通项公式求得通项，进而求解问题. 26．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为. (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）类比（1），结合排列组合的知识，二项式定理，求解即可； （3）类比（2）的考虑方法，可得，，由二项式定理可得，根据组合数的运算性质化简得解. 【详解】（1）范数为奇数的二元有序实数对有：， 它们的范数依次为， ； （2）当为奇数时，在向量的个坐标中， 要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数， 可按照含0个数为进行讨论： 的个坐标中含0个0，其余坐标为1或-1， 共有个，每个的范数为； 的个坐标中含2个0，其余坐标为1或-1， 共有个，每个的范数为； 的个坐标中含个0，其余坐标为1或-1， 共有个，每个的范数为1； ， ， ， 两式相加除以2得： . （3）当为偶数时，在向量的个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：进行讨论：的个坐标中含1个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为； 的个坐标中含3个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为； 的个坐标中含个0，其余坐标为1或-1， 共有个，每个的范数为1；所以， . 因为，① ，② 得，， 所以. 思路一：因为， 所以. . 思路二：得，. 又因为， 所以 【点睛】关键点点睛：本题的难点在于理解新定义，学会类比的方法从特殊到一般，其次对组合数，二项式式定理的的灵活运用，化简变形要求较高，属于难题. 27．已知，，其中，设，． (1)写出； (2)证明：对任意的，恒有． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意求出、、，即可猜想，再由数形归纳法证明，最后将代入计算可得； （2）首先得到的解析式，根据函数的奇偶性与单调性，求出得到结论即可； 【详解】（1）解：因为，， 则，， ，， 即可猜想， 显然当时上式成立， 假设时成立，即， 所以也成立， 所以，所以. （2）证明：当时，， 则，即函数为偶函数， 又，且，所以当时，， 所以在上为增函数，所以在上为减函数， 所以对任意的，，， 又 ，2，3，， 所以 ， 所以． 【点睛】思路点睛：本题解答的关键是理解题意，利用不完全归纳法得到的解析式，再利用数学归纳法证明，对于第二问主要是结合函数的奇偶性与单调性，转化为计算，再结合组合数公式及性质计算. 28．已知集合，其中．对于，，定义与之间的距离为． （1）记，写出所有使得； （2）记，、，并且，求的最大值； （3）设，中所有不同元素间的距离的最小值为，记满足条件的集合的元素个数的最大值为，求证：． 【答案】（1）的所有情形有：、、、；（2）；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据题中定义可得的所有情形； （2）分、两种情况，利用绝对值三角不等式可求得的最大值； （3）设是满足条件的最大集合，即中的元素个数为，，记集合，分析出中的元素个数为，利用反证法可得出集合有个元素，从而推出矛盾，进而可证得结论成立. 【详解】（1）已知，，且， 所以，的所有情形有：、、、； （2）设，， 因为，则， 同理可得， 当时，； 当时，. 当，时，上式等号成立. 综上所述，； （3）设是满足条件的最大集合，即中的元素个数为， 所以，、且，， ，记集合， 那么中的元素个数为， 对于中的任意元素，都存在，使得， 若不然，假设存在，都有， 那么集合中所有不同元素间的距离的最小值为， 且中有个元素，这与的最大性矛盾. 所以中的每个元素必与中某个元素间的距离不超过. 从而，所以，. 【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在； （2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质. 29．已知集合，集合，…（，）都是集合A的子集．如图，作m行列数表，其中第k行第l列的数为． 1 2 … … … … … … … … … 记，； ，； 对于m，n和，若存在集合，…满足下列条件： ①； ②； ③对任意的，的元素个数均为t． 则称有序数组是相容的． （1）求出所有相容的有序数组； （2）若是相容的，请直接给出t的值，并给出一个满足条件的数表． （3）求出所有相容的有序数组 【答案】（1）；（2）见解析；（3）不存在有序数组. 【分析】(1)由题知每个集合中的元素个数为n, 时，集合与集合的交集为空集，故可得解. (2)由题知数表是4行6列的表，每个集合的元素个数为3，即每行有三个数为1，故数表中所有数的和为12，故每列的和为2，即可得解. (3) 由题知数表是m行2n列的表，每个集合的元素个数为n，即每行有n个数为1，故数表中所有数的和为mn，故每列的和为，假设数表的第一行的前n列都为数字1，因为第一个集合与每一个集合交集的个数为2，故从n个元素中选出两个元素有多少种选择，下面就有多少行; 表左半部分按行算出数的和等于按列算出的和，由此得解. 【详解】（1），则，中每个集合中都有个元素. ，当时，，不妨设，， 则，且，因为A有两个子集，所以，. （2）当t=1时的数表 1 2 3 4 5 6 A1 1 1 1 0 0 0 A2 0 1 0 1 1 0 A3 0 0 1 0 1 1 A4 1 0 0 1 0 1 （3）由题意不妨设,当时，中有两个元素，故 ①，又， 所以=，故② 由①②得，无整数解，故不存在有序数组. 【点睛】本题是定义题， 关键是根据题中条件找到每行每列的信息，并找到m和n的关系. 30．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立． （1）若，求数学期望； （2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关．团队提出函数模型为，团队提出函数模型为．现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示．假设每组白鼠是否被感染之间相互独立． ①试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）； ②在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计．根据这一原理和团队 ，提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出估计值． 参考数据：． 【答案】（1）；（2）①；②答案见解析，. 【分析】（1）易知随机变量服从二项分布，由，得，数学期望即可求解； （2）①设，依题意得化简即可；②记，求导分析单调性可得最大值，分别在团体A，B中提出函数模型即可得答案． 【详解】解：（1）由题知，随机变量服从二项分布，， 由，得，． （2）①， ， ． ②记， 则， 当时，，单增； 当时，，单减； 当时，取得最大值，即取得最大值． 在团体提出的函数模型中， 记函数，， 当时，，单增； 当时，，单减． 当时，取得最大值，则不可以估计． 在团体提出的函数模型中， 记函数，单调递增， 令，解得， 则是的最大似然估计． 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 31．在合理分配团队合作所得时，我们往往会引入Shapley值来评判一个人在团队中的贡献值.首先，对员工编号（1，2，…，）.我们假定个人单独工作时带来的贡献是，，，考虑到在个人工作的基础上如果分出小组可能会得到更高的效率，记集合的元素为一个小组中成员的编号，例如：集合表示编号为1，2，3，4的员工结为一个小组，并记这个组为.再记为小组合力工作可产生的总贡献，并对编号为的员工引入边界贡献，表示如果员工加入小组中可以为小组带来的贡献值.那么一个员工的Shapley值为其中为其他组员（可以不是所有的其他组员）的一种成组方式，一个员工的Shapley值越大意味着它在整个团队中贡献越大，最后我们将依靠它来评定团队合作下（相当于所有人是一个组）一个人的贡献值.现在有三名淘宝带货主播，，在一次三人联动带货活动（一种直播方式，要求三个人中一个人先直播，然后加入一个人两个人联动，最后再加入一个人三个人联动）中共有50000份订单任务要完成，单独直播能完成10000份，单独直播能完成12500份，单独直播能完成5000份，如果，联动带货可以完成27000份，，联动带货能完成37500份，，联动带货能完成35000份，，，联动带货能完成50000份.现在你作为这次任务的策划，你需要考虑，，三人最终的奖金分配.请回答以下问题： （1）请你通过语言表述以及适当的数学语言解释Shapley值的合理性； （2）根据，，三人Shapley值的大小合理地给出奖金分配方案（用百分数表示，精确到小数点后一位）. 【答案】(1)见解析；(2) 分得奖金的；分得奖金的；分得奖金的 【解析】(1)由Shapley值的评判标准即可解释Shapley值的合理性； (2)根据员工边界贡献的值计算出员工的Shapley，即可合理地给出奖金分配方案. 【详解】解：(1) 由Shapley值的评判标准知：利用边界贡献计算出员工的Shapley值，使员工所得与员工的贡献率相等，相对比较公平，也可以促进员工之间工作的积极性. (2)由题意知：加入的顺序有种， ①按的顺序：，， ； ②按的顺序：， ， ； ③按的顺序：， ， ； ④按的顺序：， ， ； ⑤按的顺序：， ， ； ⑥按的顺序：， ， ； 的Shapley值为： ， 的Shapley值为：, 的Shapley值为：； 故分得奖金的； 故分得奖金的； 故分得奖金的. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，理清思路，对于题目较长的题要学会提炼关键信息. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 概率统计新定义 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 题型归纳 3 题型01：二项式定理新定义 4 题型02：排列组合新定义 7 题型03：概率新定义 11 题型04：统计方法新定义 13 题型05：信息熵问题 17 题型06：切比雪夫不等式 20 题型07：卡特兰数 22 题型08：概率密度函数 26 题型09：二维离散型随机变量 28 题型10：多项式拟合函数 32 题型11：最大似然估算与大数定律 34 题型12：其它定义新运算新概念 39 巩固提升 51 一、考情定位 属于高考概率统计模块压轴级难题，多在选填压轴/解答题后两问考查，全国卷、新高考Ⅰ/Ⅱ卷、地方自主命题卷均高频出现，核心考查信息提取、知识迁移、逻辑建模能力，分值约5~8分。 二、命题特征 1. 定义类型：以概率统计基础概念为基底，衍生新定义（如新事件、新概率模型、新统计量、新计数规则），无超纲知识，仅对教材概念做延伸。 2. 背景载体：多结合生活实际（抽奖、游戏、检测、决策）或纯数学情境，文字阅读量中等，关键信息隐蔽性较强。 3. 考查核心：不考定义记忆，考对新定义的快速理解→转化为已知概率统计模型→用公式/思想求解，侧重逻辑推理和运算求解。 4. 关联知识：常融合古典概型、互斥/独立事件、分布列与期望、二项分布、超几何分布、统计图表、数字特征，偶尔结合排列组合、不等式。 三、核心考查方向 方向1：新概率/新事件定义 给出新的概率计算规则、新事件判定条件，要求计算概率、判断事件关系，如“互赢事件”“有效事件”“条件概率变式定义”。 方向2：新统计量/新模型定义 定义新的统计量（如自定义“偏离度”“相似度”）、新的概率模型（如古典概型变式、二项分布拓展），要计算统计量、求分布列与期望。 方向3：新计数/新规则定义 结合排列组合，给出新的计数规则（如“有序抽取变式”“分组新规则”），要求计算基本事件数、进而求解概率。 一、基础认知目标 1. 能快速提取新定义题干核心信息，精准拆解定义中的限定条件、运算规则、适用范围，无理解偏差。 2. 熟练对接教材基础知识点，明确新定义与古典概型、条件概率、分布列、数字特征等核心内容的关联逻辑。 二、能力应用目标 1. 建模转化能力：能将陌生新定义转化为已学的概率统计模型，实现“新问题→旧模型”的合理转化，不强行套用模型。 2. 逻辑推理能力：能依据新定义进行分步推理，判断事件关系、确定随机变量取值、推导统计量计算方式，推理过程严谨。 3. 运算求解能力：结合新定义完成排列组合计数、概率计算、分布列与期望方差求解，保证运算准确，符合概率取值范围、分布列归一性等要求。 4. 信息整合能力：能处理含生活实际/纯数学背景的新定义问题，融合图表、文字等多类信息，快速定位解题关键。 三、解题规范目标 1. 答题时能规范体现新定义的应用过程，先说明定义适用依据，再建模、再计算，分步书写推导过程。 2. 能按高考要求规范命名事件、标注随机变量取值、验证模型合理性，避免因步骤缺失丢失分数。 四、应试实战目标 1. 能在规定时间内完成新定义问题解答（选填≤5分钟，解答题≤8分钟），实现快速读题、精准建模、高效解题。 2. 能规避理解偏差、模型误用、运算粗心等高频易错点，提升解题正确率。 3. 面对分层设问的新定义难题，能做到“会做的题不丢分，不会做的题拿步骤分”，最大化应试得分。 五、思维迁移目标 1. 形成“精读定义→拆解规则→转化建模→分步求解→验证结果”的固定解题思维流程，可迁移至各类新定义型数学问题。 2. 培养抽象概括能力，能从不同类型的新定义问题中总结共性规律，提升应对陌生数学问题的综合素养。 一．解题核心策略 步骤1：精读题干，拆解新定义 圈画定义关键词、限定条件、运算规则，用通俗语言转述新定义（如“若事件A、B满足XX，则称A、B为M事件”→ 明确M事件的充要条件），避免遗漏细节。 步骤2：转化建模，对接已知知识 将新定义转化为教材中已学的概率统计模型，核心转化方向： ①新概率→古典概型/条件概率/互斥/独立事件公式； ②新模型→分布列（超几何/二项/离散型随机变量）→求期望/方差； ③ 新统计量→结合统计图表、数字特征（均值、方差）计算。 步骤3：分步求解，验证逻辑合理性 新定义问题多为“分步设问”（先理解定义→简单计算→综合应用），按设问顺序解题，每一步结果需贴合新定义，避免脱离定义用旧模型硬解；复杂问题可举简单特例验证定义理解是否正确。 步骤4：规范运算，注意取值范围 概率值需满足0≤P≤1，随机变量的取值范围由新定义限定，分布列需验证“概率和为1”，期望/方差计算注意公式适用条件。 二．易错点规避 1. 对新定义理解偏差：未抓住核心限定条件，如忽略“有序/无序”“放回/不放回”“互斥/独立”等关键； 2. 模型强行套用：将新定义问题直接归为熟悉的模型，脱离题干规则； 3. 运算粗心失误：排列组合计数错误、分布列概率求和不为1、期望公式代入错误； 4. 答题不规范：未按新定义命名事件、未说明建模依据、直接写结果无推导过程。 三．备考建议 1. 基础夯实：熟练掌握古典概型、条件概率、分布列与期望、二项/超几何分布等核心知识，做到公式烂熟、模型能快速识别； 2. 专项训练：集中练习近5年高考新定义概率统计题，总结定义类型和转化方法，形成“读定义→转模型→解问题”的固定思维； 3. 提升信息提取能力：刻意训练快速圈画题干关键信息，缩短读题时间，避免因读题慢导致解题超时； 4. 重视解题规范：书写时先明确新定义的应用、再建模、再计算，分步得分，即使最终结果错误，也能拿到步骤分。 题型01：二项式定理新定义 【典型例题1】产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在件产品中有件不合格品，在产品中随机抽件做检查，发现件不合格品的概率为，其中是与中的较小者，在不大于合格品数（即）时取0，否则取与合格品数之差，即 根据以上定义及分布列性质，请计算当时， ；若，请计算 .（两空均用组合数表示） 【答案】 (或) 【解析】当时，, 因为， 所以. 当时， 因为, 所以, 所以 . 【典型例题2】“数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设是非零实数，对任意，定义“数”利用“数”可定义“阶乘”和“组合数”，即对任意， (1)计算：； (2)证明：对于任意， (3)证明：对于任意， 【解析】（1）由定义可知， . （2）因为， . 又 , 所以 （3）由定义得： 对任意. 结合（2）可知 即， 也即. 所以， ， …… . 上述个等式两边分别相加得： . 【变式训练1-1】莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数 (1)求； (2)若正整数互质，证明：； (3)若且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：． 【变式训练1-2】甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）. (1)比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据） (2)现单独研究棱长，记（且），其展开式中含项的系数为，含项的系数为. ①若，对成立，求实数，，的值； ②对①中的实数，，用数字归纳法证明：对任意且，都成立. 题型02：排列组合新定义 【典型例题1】由0和1组成的序列称为0－1序列，序列中数的个数称为这个序列的长度，如01011是一个长度为5的0－1序列，在长度为8的0－1序列中，所有1互不相邻的序列个数为（    ） A．20 B．54 C．55 D．280 【答案】B 【解析】当长度为8的0－1序列中，若有一个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有两个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有三个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有四个1，则有种； 当长度为8的0－1序列中，若有超过四个1，一定不满足题意； 所以共有种. 故选：B 【典型例题2】一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表： 岗位 业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值 合计分值 会计（1） 2 1 5 4 12 业务员（2） 5 2 3 5 15 后勤（3） 2 3 5 3 13 管理员（4） 4 5 4 4 17 对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标. (1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数； (2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录. （i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位； （ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值. 【解析】（1）将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据， 又，所以这组数据的第三四分位数为. （2）（i）由图表知，会计岗位的样本点为，则， 业务员岗位的样本点为，则， 后勤岗位的样本点为，则， 管理员岗位的样本点为，则， 所以，故小刚最适合业务员岗位. （ii）四种职业的推荐率分别为，且， 所以，得到， 又均小于20，所以，且， 故可得到， 设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为，且，， 依题有①， ②， ③， ④， 由①③得， ， 整理得：， 故有三组正整数解， 对于第一组解，代入④式有，不成立； 对于第二组解，代入①式有， 解得或，代入②④式均不成立； 对于第三组解，代入②式有， 解得，代入①②③④均成立，故； 故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为. 【变式训练2-1】对于各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是（   ） A．13 B．24 C．15 D．25 【变式训练2-2】设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和，定义. (1)当时，若，直接写出所有使同时成立的的元素； (2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同元素.求集合中元素个数的最大值； (3)给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由. 题型03：概率新定义 【典型例题1】混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数． (1)证明：； (2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性． 【解】（1）由题意可得满足二项分布， 由知，，当且仅当时取等号； （2）记（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性）， （混管中恰有i例阳性）=，， 令，， 则， 当时，，为单调递减， 当时，，为单调递增，所以， 且，， 所以当，即，两边取自然对数可得， 所以当，时， 所以， 则． 故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性. 【典型例题2】混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数． (1)证明：； (2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性． 【解析】（1）由题意可得满足二项分布， 由知，，当且仅当时取等号； （2）记（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性）， （混管中恰有i例阳性）=，， 令，， 则， 当时，，为单调递减， 当时，，为单调递增，所以， 且，， 所以当，即，两边取自然对数可得， 所以当，时， 所以， 则． 故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性. 【变式训练8-1】条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的期望为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率．某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p（），射击进行到击中目标两次时停止.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数． (1)求，； (2)求，． 【变式训练8-2】条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的期望为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率．某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p（），射击进行到击中目标两次时停止.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数． (1)求，； (2)求，． 【变式训练8-3】在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，发送每个信号数字之间相互独立．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0． (1)记发送信号变量为，接收信号变量为，且满足，，，求； (2)当发送信号0时，接收为0的概率为，定义随机变量的“有效值”为（其中是的所有可能的取值，），发送信号“000”的接收信号为“”，记为，，三个数字之和，求的“有效值”．（，） 题型04：统计方法新定义 【典型例题1】在学业测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第i题的难度，为答对该题的人数，N为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 16 16 14 14 8 (1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数； (2)定义统计量,其中为第i题的实测难度，为第i题的预估难度(i=1，2，…，n).规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.试据此判断本次测试的难度预估是否合理. 【解】（1）因为第5题的实测难度为 所以估计这240名学生中第5题的实测答对人数为（人）. （2）根据题干中数据可得：， 故， . 故本次测试的难度所估合理. 【典型例题2】冰雪运动是深受学生喜爱的一项户外运动，为了研究性别与学生是否喜爱冰雪运动之间的关系，从某高校男、女生中各随机抽取100名进行问卷调查，得到如下列联表． 喜爱 不喜爱 男生 女生 (1)当时，从样本中不喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调研不喜爱的原因，记这3人中女生的人数为，求的分布列与数学期望． (2)定义，其中为列联表中第行第列的实际数据，为列联表中第行与第列的总频率之积再乘以列联表的总额数得到的理论频数，如，．基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立），然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立．根据的计算公式，求解下面问题： ①当时，依据小概率值的独立性检验，分析性别与是否喜爱冰雪运动有关？ ②当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少名男生喜爱冰雪运动？ 附： 0.1 0.025 0.005 2.706 5.024 7.879 【解析】（1）当时，用分层抽样的方法抽取的不喜爱冰雪运动的6人中，男生有2人，女生有4人， 由题意可知，的可能取值为1，2，3． ，，， 的分布列为 1 2 3 P ． （2）①零假设为：性别与是否喜爱冰雪运动独立，即性别与是否喜爱冰雪运动无关联． 当时，，，，， ，，，， ． ∵， ∴根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与是否喜爱冰雪运动有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005． ②， 由题意可知，，整理得． 又，，∴，的最大值为4． 又，∴至少有76名男生喜爱冰雪运动． 【变式训练4-1】为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表： 购买新能源汽车（人数） 购买传统燃油车（人数） 男性 女性 (1)当时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X，求X的分布列与数学期望； (2)定义，其中为列联表中第i行第j列的实际数据，为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数.基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立〉，然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立.根据的计算公式，求解下面问题： （i）当时，依据小概率值的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新能源汽车有关； （ⅱ）当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车? 附： 0.1 0.025 0.005 2.706 5.024 7.879 【变式训练4-2】某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，． (1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到）． (2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同．记在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数． （i）记，．证明：． （ii）用（i）的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”（精确到）． (3)比较（1）和（2）（ii）的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势． 注：参考公式与参考数据．；；． 【变式训练4-3】在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 16 16 14 14 4 (1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数； (2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理. 题型05：信息熵问题 【典型例题】在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值的随机变量，分别记作和.条件概率，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量的平均信息量定义为：.当时，信道疑义度定义为 (1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的点数的平均信息量； (2)设某信道的输入变量与输出变量均取值0，1.满足：.试回答以下问题： ①求的值； ②求该信道的信道疑义度的最大值. 【解析】（1）设表示扔一非均匀股子点数，则 1 2 3 4 5 6 扔一次平均得到的信息量为 . （2）①由全概率公式，得 ②由题意，. 所以， ; 其中. 令 . 时时，, . 【变式训练5-1】信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵. (1)当时，计算； (2)若，判断并证明当增大时，的变化趋势； (3)若，随机变量所有可能的取值为，且，证明：. 【变式训练5-2】在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）. (1)若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值； (2)若，（），求此时的信息熵. 题型06：切比雪夫不等式 【典型例题1】切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 . 【答案】1250 【解析】由题意知，所以，， 若，则， 即，即， 由切比雪夫不等式知， 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内， 则，解， 所以估计信号发射次数n的最小值为1250. 故答案为：1250 【典型例题2】概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．马尔科夫不等式的形式如下： 设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有， 马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．当为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下： 设的分布列为其中，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和． 切比雪夫不等式的形式如下： 设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有 (1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立． (2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信． 【解析】（1）法一：对非负离散型随机变量及正数使用马尔科夫不等式， 有． 法二：设的分布列为 其中，记，则对任意， . （2）设在100名患者中治愈的人数为．假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的， 那么在此假设下，． 由切比雪夫不等式，有． 即在假设下，100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过0.04，此概率很小， 据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信． 【变式训练6-1】19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为. (1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的， ①当时，求； ②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值； (2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值. 【变式训练6-2】某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 12 18 36 30 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式： 若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立. （i）若，证明：； （ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件） 题型07：卡特兰数 【典型例题1】清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有 种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有 种不同的走法.    【答案】 35 14 【解析】 从左下角走到右上角共需要7步，其中3步向上，4步向右， 故只需确定哪3步向上走即可，共有种不同的走法； 若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线）， 则由卡特兰数可知共有种不同的走法， 又到达右上角必须最后经过，所以满足题目条件的走法种数也是14. 故答案为：35；14 【典型例题2】Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个Catalan数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，中，满足“对任意，都有”的数列的个数等于. 已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为. (1)设粒子第3秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）求及； （ii）设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为，求. 【解析】（1）依题可知，的可能取值为， ，， ，， 的分布列如下： -3 -1 1 3 . （2）（i），， （ii）设事件：粒子在第秒末第一次回到原点， 事件：粒子第1秒末向右移动一个单位. ， 记粒子往左移动一个单位为，粒子往右移动一个单位为， 以下仅考虑事件. 设第秒末粒子的运动方式为，其中；沿用（1）中对粒子位置的假设， 则粒子运动方式可用数列表示， 如：表示粒子在前4秒按照右､右､左､左的方式运动. 由粒子在第秒末第一次回到原点，可知 数列的前项中有个1和个. ，， 粒子在余下秒中运动的位置满足， 即， 粒子在余下秒中运动方式的总数为， ，又， . 【变式训练7-1】五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利. (1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望； (2)记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求，并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大； (3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的，在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的，有 【变式训练7-2】大连育明高级中学高三学生在交流2016年全国新课标Ⅲ卷单选压轴题时，各抒己见展示各自的解法. 题干：定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有[14]个. A同学发现数据较少，可以列出所有情况，得到14个； B同学在组合数学中学过卡特兰数，，所以此题是的情况，. 在一次活动课上，甲、乙俩人设计了一个游戏，抛硬币一次，若正面向上加一分，反面向上减一分.若起始分为零分，出现负分游戏立刻停止. (1)求在一次游戏中，恰好在第十一次后结束，中途只出现过两次零分的概率； (2)如果一个人在一次游戏中，连续抛了十次硬币，求此时积分的分布列和期望； (3)参与一次游戏，记总共抛硬币次数为，的期望为，求满足的最小正整数. 【变式训练7-3】卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692年-1763年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：且．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到，0≤n有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为 (1)证明是卡特兰数； (2)求的通项公式． 题型08：概率密度函数 【典型例题1】设随机变量X的概率密度函数为，则，若对X的进行三次独立的观测，事件至少发生一次的概率为； （1）对X做n次独立重复的观测，若使得事件A至少发生一次的概率超过95%，求n的最小值．（，） （2）为满足广大人民群众对接种疫苗的需求，某地区卫生防疫部门为所辖的甲、乙、丙三区提供了批号分别为1、2、3、4、5的五批次新冠疫苗以供选择，要求每个区只能从中选择一个批号的疫苗接种．由于某些原因甲区不能选择1、2、4号疫苗，且这三区所选批号互不影响．记“甲区选择3号疫苗”为事件B，且； ①求三个区选择的疫苗批号互不相同的概率； ②记甲、乙、丙三个区选择的疫苗批号最大数为K，求K的分布列． 【解析】（1） 所以解得，所以 用Y表示对X的n次独立重复观察中事件A发生的次数，则， ，则，即 解得 ，对X至少做11次独立重复观测； （2）① 记“三个区选择疫苗批号互不相同”为事件C， ②依题意的可能取值为， 则，， 所以分布列如下： K 3 4 5 P 【变式训练8-1】设随机变量X的概率密度函数为，则，若对X的进行三次独立的观测，事件至少发生一次的概率为； （1）对X做n次独立重复的观测，若使得事件A至少发生一次的概率超过95%，求n的最小值．（，） （2）为满足广大人民群众对接种疫苗的需求，某地区卫生防疫部门为所辖的甲、乙、丙三区提供了批号分别为1、2、3、4、5的五批次新冠疫苗以供选择，要求每个区只能从中选择一个批号的疫苗接种．由于某些原因甲区不能选择1、2、4号疫苗，且这三区所选批号互不影响．记“甲区选择3号疫苗”为事件B，且； ①求三个区选择的疫苗批号互不相同的概率； ②记甲、乙、丙三个区选择的疫苗批号最大数为K，求K的分布列． 【变式训练8-2】设随机变量的概率密度函数为（当为离散型随机变量时，为的概率），其中为未知参数，极大似然法是求未知参数的一种方法.在次随机试验中，随机变量的观测值分别为，，…，，定义为似然函数.若时，取得最大值，则称为参数的极大似然估计值. (1)若随机变量的分布列为 1 2 3 其中.在3次随机试验中，的观测值分别为1，2，1，求的极大似然估计值. (2)某鱼池中有鱼尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求的极大似然估计值. (3)随机变量的概率密度函数为，.若，，…，是的一组观测值，证明：参数的极大似然估计值为. 【变式训练8-3】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间（样本数据），经数据分析得到如下结果： 坐公交车：平均用时30min，方差为36 骑自行车：平均用时34min，方差为4 (1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由. (2)分别用X和Y表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X和Y的概率密度曲线如图（a）所示，如果某天有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由. （提示：（2）中X和Y的概率密度曲线分别反映的是X和Y的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图（b）中阴影部分的面积表示的就是X取值不大于38min时的概率.） 题型09：二维离散型随机变量 【典型例题1】已知是二维离散型随机变量，其中X、Y是两个相互独立的离散型随机变量，的分布列用表格表示如下： X 0 3 6 0 5 (1)求和； (2)“”表示在条件下的的取值，求“”的分布列； (3)为的数学期望，为“”的分布的期望，证明：. 【解析】（1）由已知. （2）法一：“”可取的值为， 因为 所以， ， ， 所以“”分布列为 0 3 6 法二：“”可取的值为，由已知，随机变量相互独立， 故，其中， 由已知，， 所以得“”分布列为 0 3 6 （3）法一：因为，所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以. 法二： . 【变式训练9-1】设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式； 现有个球等可能的放入编号为的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为，落入第2号盒子中的球的个数为． (1)当时，求的联合分布列，并写成分布表的形式； (2)设且，求的值． （参考公式：若，则） 【变式训练9-2】如果离散型随机变量的取值为，离散型随机变量的取值为，，则称为二维离散型随机变量.称取，的概率为的联合分布律.记分别称为关于和关于的边缘分布律.用表格形式表示如下： 边缘分布律 边缘分布律 1 (1)现袋中有质地大小均相同的2只白球，3只黑球，现先后随机摸球两次，定义分别求有放回和不放回取球下的联合分布律和边缘分布律（表格形式表示）； (2)若二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律满足则称随机变量与相互独立. （i）那么（1）中有放回和不放回取球下的（）是否相互独立并说明理由； （ii）证明：若与相互独立，则分布律中任意两行（或任意两列）对应成比例. 【变式训练9-3】设是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为，其中，，则称为二维随机变量的联合分布列．定义：，称（，，…）为关于X的边际分布列，，称（，，…）为关于Y的边际分布列；对于固定的j，称（）为给定条件下的离散型随机变量的条件分布列，则二维离散型随机变量的联合分布列与边际分布列如表： … … … … … … … … … … … 1 (1)求证：对于，； (2)若的联合分布列与边际分布列如表： 1 2 3 1 0.3 0.1 0.1 0.5 2 0.05 0.1 0.15 0.3 3 0.05 0.1 0.05 0.2 0.4 0.3 0.3 1 求给定条件下Y的条件分布列； (3)把三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中．记放入1号盒子的球的个数为，放入2号盒子的球的个数为，则是一个二维离散型随机变量．列出的联合分布列与边际分布列． 【变式训练9-4】若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，记表示在中出现的概率，其中． (1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量． ①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值； ②若是①中的值，求（结果用，表示）； (2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：． 题型10：多项式拟合函数 【典型例题】下表是2017年至2021年连续5年全国研究生在学人数的统计表： 年份序号 1 2 3 4 5 人数（万人） 263 273 286 314 334 (1)现用模型作为回归方程对变量与的关系进行拟合，发现该模型的拟合度很高.请计算该模型所表示的回归方程（与精确到0.01）； (2)已知2021年全国硕士研究生在学人数约为267.2万人，某地区在学硕士研究生人数占该地在学研究生的频率值与全国的数据近似.当年该地区要在本地区在学研究生中进行一项网络问卷调查，每位在学研究生均可进行问卷填写.某天某时段内有4名在学研究生填写了问卷，X表示填写问卷的这4人中硕士研究生的人数，求X的分布列及数学期望. 参考公式及数据：对于回归方程 【解析】（1）可令，则与成线性回归关系，则的对应关系如下图： 4 9 16 25 36 263 273 286 314 334 根据公式可得，则，， 则, , 所以，，则. （2）可求得该地区硕士研究生在学生数占总在学研究生人数的频率值为，可知，因此随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 4 （人）. 【变式训练10-1】碳中和，是指企业、团体或个人测算在一定时间内，直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放，实现二氧化碳的“零排放”.碳达峰，是指碳排放进入平台期后，进入平稳下降阶段.简单地说就是让二氧化碳排放量“收支相抵”.中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”减少碳排放，实现碳中和，人人都可出一份力．某中学数学教师组织开展了题为“家庭燃气灶旋钮的最佳角度”的数学建模活动.实验假设： ①烧开一壶水有诸多因素，本建模的变量设定为燃气用量与旋钮的旋转角度，其他因素假设一样； ②由生活常识知，旋转角度很小或很大，一壶水甚至不能烧开或造成燃气浪费，因此旋转角度设定在10°到90°间，建模实验中选取5个代表性数据：18°，36°，54°，72°，90°． 某支数学建模队收集了“烧开一壶水”的实验数据，如下表： 项目 旋转角度 开始烧水时燃气表计数/dm3 水烧开时燃气表计数/dm3 18° 9080 9210 36° 8958 9080 54° 8819 8958 72° 8670 8819 90° 8498 8670 以x表示旋转角度，y表示燃气用量. (1)用列表法整理数据（x，y）； x（旋转角度：度） 18 36 54 72 90 y（燃气用量：dm3） (2)假定x，y线性相关，试求回归直线方程（注：计算结果精确到小数点后三位） (3)有队员用二次函数进行模拟，得到的函数关系为．求在该模型中，烧开一壶水燃气用量最少时的旋转角度．请用相关指数R2分析二次函数模型与线性回归模型哪种拟合效果更好？（注：计算结果精确到小数点后一位） 参考数据：，，，， 线性回归模型，二次函数模型． 参考公式：，，． 题型11：最大似然估算与大数定律 【典型例题1】为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议. (1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望. (2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了名代表，卫生监督管理部门邀请了名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.（备注:最大似然估计即最大概率估计，即当P（X=k）取值最大时，X的估计值为k） 【解析】（1）X的可能取值为2，3，4，则， ，， 则X的分布列为 X 2 3 4 P 0.1 0.6 0.3 （2）设食品药品监督管理部门邀请的代表记为集合A，人数为，卫生监督管理部门邀请的代表为集合B，人数为，则收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B.人数为Card（A∪B）. 设参加会议的群众代表的人数为Y，则. 若，则， 则， ， ， 令，得，解得， 以代替k，得， 令，得，解得， 所以， 若为整数，则当 或时，取得最大值， 所以估计参加会议的群众代表的人数为或， 若不是整数，则当时， 取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为， 其中，表示不超过的最大整数. 【典型例题2】统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策. (1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望; (2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条. （ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数. （ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数. 【解析】（1）, 故分布列为： 0 1 2 . （2）（i）设池塘乙中鱼数为,则,解得,故池塘乙中的鱼数为200. （ii）设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为” 则,由最大似然估计法,即求最大时的值,其中, 当时， 当时， 当时 所以池塘乙中的鱼数为199或200. 【变式训练11-1】在某项投资过程中，本金为，进行了次投资后，资金为，每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为r（所得利润与当次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为P，在实际问题中会有多种盈利可能（设有n种可能），记利润率为的概率为（其中），其中，由大数定律可知，当N足够大时，利润率是的次数为． (1)假设第1次投资后的利润率为，投资后的资金记为，求与的关系式； (2)当N足够大时，证明：（其中）； (3)将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为，其利润率为；输了的概率为，其利润率为，求最大时x的值（用含有的代数式表达，其中）． 【变式训练11-2】在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为． (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则． （注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率） （ⅰ）完成下表，并写出计算过程； 0 1 2 3 （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值． (2)把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． 【变式训练11-3】为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策．为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有4位成员，两个部门分别独立地发出邀请，邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议． (1)用1，2，3，4代表专家库中的4位专家，甲、乙分别代表食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门，将两个部门邀请的专家及参会的专家人数的所有情况绘制成一个表格，请完成如下表格．    (2)最大似然估计即最大概率估计，即当时，概率取得最大值，则X的估计值为k（，，，…，），其中为X所有可能取值的最大值．请用最大似然估计法估计参加会议的专家人数． 题型12：其它定义新运算新概念 【典型例题1】定义：由个数（；）排成的行列数表称方阵，其中为方阵中第行第列的数.现有方阵，通过变换将变换为（例如通过可将变换为），其中为中第行第列的数，，. (1)经过变换为，求； (2)设集合，都有，首次变换满足，记. ①求，； ②若，从集合中任取个数，表示两数都为奇数的概率，证明：. 【解析】（1），所以 （2）①， 所以，所以， 因为，， 所以，或，， 若，，则，所以， 若，，则，所以， 综上，所以，. ②因为，所以， 即与奇偶不同，又，所以为偶数， 所以当为奇数时，为偶数，为奇数； 当为偶数时，为奇数，为偶数， 因为，， 所以， 所以在，，…，中， 共有偶数个奇数，即集合中有偶数个奇数， 当（）时，中有个奇数，不符合题意， 当（）时，中有个奇数，不符合题意， 当（）时，中有个奇数，符合题意， 当（）时，中有个奇数，符合题意， 所以当时， ，递减，所以， 当时， ，递增，所以， 综上. 【典型例题2】在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量，定义协方差为.将号码分别为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球. (1)求1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中的概率； (2)记所放小球号码与盒子号码相同的个数为，不同的个数为，求证：； (3)结合实例，解释协方差的实际含义. 【解析】（1）将号码分别为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球的所有情况有（种）， 1号球在2号盒子中时，有种情况，1号球在3或4号盒子中时，有种情况 1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中包含的情况有（种），记“1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中”为事件， 则. （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，4，且， ，， ，， 故的分布列为 0 1 2 4 所以，. 解法一：因为， 所以， 令，则的分布列为 0 则. 解法二： 因为，所以时，，时，， 则， 时，，则， 时，，则， 故. . （3）令， 可知当时，和同时大于或同时小于各自的数学期望； 当时，和相对于各自数学期望的大小情况相反. 因此，刻画了和之间的变化趋势： 如果，表示和的变化趋势相同； 如果，表示和的变化趋势相反. 在第（2）问中，表示“所放小球号码与盒子号码相同”的个数和“所放小球号码与盒子号码不同”的个数的变化趋势相反，与实际情况相吻合. 【变式训练12-1】就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个形象且精妙的比喻．对于任意数列，即用如下方法与一个函数联系起来：，则称是数列的生成函数．例如：求方程的非负整数解的个数．设此方程的生成函数为，其中x的指数代表的值．，则非负整数解的个数为．若，则，可得，于是可得函数的收缩表达式为：．故（广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式）则根据以上材料，解决下述问题：定义“规范01数列”如下：共有项，其中m项为0，m项为1，且对任意，，不同的“规范01数列”个数记为． (1)判断以下数列是否为“规范01数列”； ①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1． (2)规定，计算，，，的值，归纳数列的递推公式； (3)设数列对应的生成函数为 ①结合与之间的关系，推导的收缩表达式； ②求数列的通项公式． 【变式训练12-2】设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷n次硬币后，记的概率为． (1)写出的所有可能情况，并求； (2)证明：是等比数列，并求； (3)设抛掷n次硬币后的期望为，求． 【变式训练12-3】有2n朵花围绕在一个圆形花圃周围，现要将其两两配对绑上缎带作为装饰，缎带之间互不交叉，例如：时，共有4朵花，以1、2、3、4表示，绑上缎带的两朵用一条线连接，共有2种方式，如图1、2所示． (1)当时，求满足要求的绑缎带方法总数； (2)已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，如时，出现图1和图2所示方法的概率均为．记一次绑法中，共有Y对相邻的两朵花绑在一起， （i）当时，求Y的分布列和期望； （ii）已知：对任意随机变量（，2，…，m，），有．记满足条件的绑缎带方法总数为，Y的期望为．求（用n和表示）． 【变式训练12-4】材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件发生的概率为，试验进行到事件第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为，其分布列为，我们称服从几何分布，记为. 材料二：求无穷数列的所有项的和，如求，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前项和，再求时的极限： 根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量. (1)证明：； (2)求随机变量的数学期望； (3)求随机变量的方差. 【变式训练12-5】泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作. (1)设，且，求； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有. （ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率； （ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率. 【变式训练12-6】定义：为不超过的最大整数部分，如，．甲、乙两个学生高二的6次数学测试成绩（测试时间为90分钟，满分100分）如下表所示： 高二成绩 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试 甲 68 74 77 84 88 95 乙 71 75 82 84 86 94 进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的数学测试成绩预计有了大的提升．设甲或乙高二的数学测试成绩为，若，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为；若，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为100． (1)试预测：在将要进行的高三6次数学测试成绩（测试时间为90分钟，满分100分）中，甲、乙两个学生的成绩（填入下列表格内）； 高三成绩 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试 甲 乙 (2)记高三任意一次数学测试成绩估计值为，规定：，记为转换分为3分；，记为转换分为4分；，记为转换分为5分．现从乙的6次数学测试成绩中任意抽取2次，求这2次成绩的转换分之和为8分的概率． 【变式训练12-7】正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的，，三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立． (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求； (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为. （ⅰ）设，证明：； （ⅱ）若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【变式训练12-8】为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6． (1)求和； (2)统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数： （ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由． ①； ②； （ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策． 【变式训练12-9】设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为．设． (1)若，求； (2)若，求的最小值； (3)对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等号的充要条件 【变式训练12-10】某医科大学科研部门为研究退休人员是否患痴呆症与上网的关系，随机调查了市100位退休人员，统计数据如下表所示： 患痴呆症 不患痴呆症 合计 上网 16 32 48 不上网 34 18 52 合计 50 50 100 (1)依据的独立性检验，能否认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联？ (2)从该市退休人员中任取一位，记事件A为“此人患痴呆症”，为“此人上网”，则为“此人不患痴呆症”，定义事件A的强度，在事件发生的条件下A的强度． （ｉ）证明：； （ⅱ）利用抽样的样本数据，估计的值． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【变式训练12-11】某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表： 学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，. (1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）； (2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同.记在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数. （i）记，.证明：； （ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势. 注：参考公式与参考数据. ；；. 【变式训练12-12】“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小，“难度系数”的计算公式为，其中L为难度系数，Y为样本平均失分，W为试卷总分（一般为100分或150分）．某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷（总分150分），用于对该校高二年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示： 试卷序号i 1 2 3 4 5 考前预估难度系数 0.7 0.64 0.6 0.6 0.55 测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下： 试卷序号i 1 2 3 4 5 平均分/分 102 99 93 93 87 (1)根据试卷2的预估难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分； (2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设为第i套试卷的实测难度系数，并定义统计量， 若，则认为试卷的难度系数预估合理，否则认为不合理．以样本平均分估计总体平均分，试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理． (3)聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则如下：双方轮换选题，每人每次只选1道题，先正确解答者记1分，否则计0分，先多得2分者为胜方.若在此次竞赛中，聪聪选题时聪聪得分的概率为，明明选题时聪聪得分的概率为，各题的结果相互独立，二人约定从0:0计分并由聪聪先选题，求聪聪3:1获胜的概率 . 【变式训练12-13】在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： (1)求出n维“立方体”的顶点数； (2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 【变式训练12-14】为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位：只）： 发病 没发病 合计 接种疫苗 8 16 24 没接种疫苗 17 9 26 合计 25 25 50 (1)能否有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关？ (2)从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势. （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用抽样的样本数据，给出，的估计值，并给出的估计值.附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【变式训练12-15】独立事件是一个非常基础但又十分重要的概念，对于理解和应用概率论和统计学至关重要．它的概念最早可以追湖到17世纪的布莱兹·帕斯卡和皮埃尔·德·费马，当时被定义为彼此不相关的事件．19世纪初期，皮埃尔·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理论》中给出了相互独立事件的概率乘法公式．对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． (1)若事件与事件相互独立，证明：与相互独立； (2)甲、乙两人参加数学节的答题活动，每轮活动由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率． 【变式训练12-16】袋中有大小、形状完全相同的2个红球，4个白球.采用放回摸球，从袋中摸出一个球，定义T变换为：若摸出的球是白球，把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来倍，（纵坐标不变）；若摸出的是红球，将函数图象上所有的点向下平移1个单位.函数经过1次T变换后的函数记为，经过2次T变换后的函数记为，…，经过n次T变换后的函数记为.现对函数进行连续的T变换. (1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求； (2)记，求随机变量的分布列及数学期望. 【变式训练12-18】通信信号利用BEC信道传输，若BEC信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同．若BEC信道传输失败，则接收端收不到任何信号．传输技术有两种：一种是传统通信传输技术，采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图1）． 另一种是华为公司5G信号现使用的土耳其通讯技术专家Erdal Arikan教授的发明的极化码技术（以两个信道为例，如图2）．传输规则如下，信号直接从信道2传输；信号在传输前先与“异或”运算得到信号，再从信道1传输．若信道1与信道2均成功输出，则两信号通过“异或”运算进行解码后，传至接收端，若信道1输出失败信道2输出成功，则接收端接收到信道2信号，若信道1输出成功信道2输出失败，则接收端对信号进行自身“异或”运算而解码后，传至接收端． （注：定义“异或”运算：）．假设每个信道传输成功的概率均为． (1)对于传统传输技术，求信号和中至少有一个传输成功的概率； (2)对于Erdal Arikan教授的极化码技术； ①求接收端成功接收信号的概率； ②若接收端接收到信号才算成功完成一次任务，求利用极化码技术成功完成一次任务的概率． 【变式训练12-19】材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，. 材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 请根据以上材料，回答下列问题. (1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001 (2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率. 【变式训练12-20】已知编号为的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球． (1)若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率； (2)设是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量．设的一切可能取值为，记表示在中出现的概率，其中．若表示第一次摸出的是号球，表示第二次摸出的是号球． ①求； ②证明：． 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 3．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，，n，且，，定义X的信息熵，则下列判断中正确的是（    ） ①若，则 ②若，则； ③若，则当时，取得最大值 ④若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，，m，且，则 A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 4．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵，若，随机变量所有可能的取值为，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．是整数 C．，（是不大于x的最大整数） D．，则 6．已知，，，，，，记．当，，，，中含个6时，所有不同值的个数记为．下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．对于任意奇数 D．对于任意整数 7．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第行开始，第行从左至右的数字之和记为，如，，，的前项和记为，依次去掉每一行中所有的构成的新数列、、、、、、、、、、，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（    ） A． B．的前项和为 C． D． 8．电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作和生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制.一个十进制数n（n∈N*）可以表示为二进制数（a0a1a2…ak）2，即，其中a0=1，ai∈{0，1}，i=0，1，2，…k，k∈N*，用f（n）表示十进制数n的二进制表示1的个数，则（    ） A．f（7）=2 B．f（7）=3 C．对于任意r∈N*， D．对于任意r∈N*， 三、填空题 9．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 ； （用含的式子表示，）. 10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则除以2023的余数是 . 四、解答题 11．某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中的A种数目为随机变量（）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立． (1)已知，，证明：，； (2)该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为（），并计算了数据（）的平均值和方差，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据． （ⅰ）请用和分别代替和，估算和； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值． 12．在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）. (1)若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值； (2)若，（），求此时的信息熵. 13．品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为，并令，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分. (1)当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列； (2)当时， ①若等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率； ②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由. 14．设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为．设． (1)若，求； (2)若，求的最小值； (3)对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等号的充要条件 15．在数字的任意一个排列：中，如果对于，，有，那么就称为一个逆序对．记排列中逆序对的个数为．如时，在排列：3，2，4，1中，逆序对有，，，，则． (1)设排列：，写出两组具体的排列，分别满足：①，②； (2)对于数字1，2，…，n的一切排列，求所有的算术平均值； (3)如果把排列A：中两个数字交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列，：，求证：为奇数． 16．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？    这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 17．一般地，元有序实数对称为维向量.对于两个维向量，定义：两点间距离，利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值､管理能力分值､计算机能力分值､沟通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表： 岗位 业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值 合计分值 会计（1） 2 1 5 4 12 业务员（2） 5 2 3 5 15 后勤（3） 2 3 5 3 13 管理员（4） 4 5 4 4 17 对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标. (1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数； (2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录. （i）小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位； （ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为，试求小明的各项能力分值. 18．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立 (1)若，求数学期望； (2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示.    （i）试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）； （ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：. 19．春节将至，又是一年万家灯火的团圆之时．方方正正的小城里，住着户人家，恰好构成了坐标平面上集合的所有点．夜里，小城的人家挂上大红灯笼，交相辉映，将小城的夜晚编织成发光的大网．在坐标平面上看，A中的每个点均独立地以概率p被点亮，或以的概率保持暗灭．若A中两个点的距离为1，则这两个点被称为是相邻的．若A中的n个被点亮的点构成一依次相邻的点列，则称这n个点组成的集合是长度为n的“相邻灯笼串”．规定空集是长度为0的“相邻灯笼串”． (1)给定A中3个依次相邻的点，记随机变量X为集合包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值，试直接写出随机变量X的分布列（用p表示）； (2)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01； (3)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99． 20．给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中. (1)当，时，写出所有满足的数对序列； (2)当时，证明：； (3)当为奇数时，记的最大值为，求. 21．有个元素，将其中相同的元素归成一类，共有k类，这k类元素中每类分别中个，，将这个元素全部取出的排列叫做个不尽相异元素的全排列． (1)求上述个不尽相异的元素的全排列数． (2)由结论（1），回答“1个球队与10个球队各比赛1次，共有10场比赛，问五胜三负二平的可能情形有多少种？” 22．在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： (1)求出n维“立方体”的顶点数； (2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． （已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 23．某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验n次； 方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次． 假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为． (1)现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率； (2)现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． ①若，求P关于k的函数关系式； ②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？ 参考数据：． 24．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立. (1)若，求数学期望； (2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数的取值有关.团队A提出函数模型为.团队B提出函数模型为.现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第i组被感染的白鼠数，现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示. （ⅰ）试写出事件“，，…，”发生的概率表达式（用p表示，组合数不必计算）； （ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：. 25．小刚在闲暇之时设计了如下一个“数列”满足：，当为偶数时，，当为奇数时，有的几率为，有的几率为. (1)求的分布列和数学期望. (2)求的前项和的数学期望. 26．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为. (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，证明：. 27．已知，，其中，设，． (1)写出； (2)证明：对任意的，恒有． 28．已知集合，其中．对于，，定义与之间的距离为． （1）记，写出所有使得； （2）记，、，并且，求的最大值； （3）设，中所有不同元素间的距离的最小值为，记满足条件的集合的元素个数的最大值为，求证：． 29．已知集合，集合，…（，）都是集合A的子集．如图，作m行列数表，其中第k行第l列的数为． 1 2 … … … … … … … … … 记，； ，； 对于m，n和，若存在集合，…满足下列条件： ①； ②； ③对任意的，的元素个数均为t． 则称有序数组是相容的． （1）求出所有相容的有序数组； （2）若是相容的，请直接给出t的值，并给出一个满足条件的数表． （3）求出所有相容的有序数组 30．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立． （1）若，求数学期望； （2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关．团队提出函数模型为，团队提出函数模型为．现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示．假设每组白鼠是否被感染之间相互独立． ①试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）； ②在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计．根据这一原理和团队 ，提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出估计值． 参考数据：． 31．在合理分配团队合作所得时，我们往往会引入Shapley值来评判一个人在团队中的贡献值.首先，对员工编号（1，2，…，）.我们假定个人单独工作时带来的贡献是，，，考虑到在个人工作的基础上如果分出小组可能会得到更高的效率，记集合的元素为一个小组中成员的编号，例如：集合表示编号为1，2，3，4的员工结为一个小组，并记这个组为.再记为小组合力工作可产生的总贡献，并对编号为的员工引入边界贡献，表示如果员工加入小组中可以为小组带来的贡献值.那么一个员工的Shapley值为其中为其他组员（可以不是所有的其他组员）的一种成组方式，一个员工的Shapley值越大意味着它在整个团队中贡献越大，最后我们将依靠它来评定团队合作下（相当于所有人是一个组）一个人的贡献值.现在有三名淘宝带货主播，，在一次三人联动带货活动（一种直播方式，要求三个人中一个人先直播，然后加入一个人两个人联动，最后再加入一个人三个人联动）中共有50000份订单任务要完成，单独直播能完成10000份，单独直播能完成12500份，单独直播能完成5000份，如果，联动带货可以完成27000份，，联动带货能完成37500份，，联动带货能完成35000份，，，联动带货能完成50000份.现在你作为这次任务的策划，你需要考虑，，三人最终的奖金分配.请回答以下问题： （1）请你通过语言表述以及适当的数学语言解释Shapley值的合理性； （2）根据，，三人Shapley值的大小合理地给出奖金分配方案（用百分数表示，精确到小数点后一位）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $