第15讲 双曲线的新定义题型-2026届高考数学二轮复习双曲线专题（新高考通用）

**基本信息** 聚焦双曲线新定义问题，构建“定义转化-参数运算-几何建模”三阶方法体系，串联斜率轨迹、黄金双曲线、数列交汇等题型，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |斜率和差积商轨迹|1典例+5变式|斜率关系坐标化→轨迹方程推导|从斜率关系切入，结合函数奇偶性与单调性分析轨迹性质| |双曲线其它定义|2典例+2变式|第二定义转化+几何模型建系|通过射影、折叠等几何情境，深化双曲线定义的多元表征| |黄金双曲线|2典例+4变式|离心率关联黄金比+点差法|以离心率为核心，联结渐近线、弦中点斜率等几何性质| |双曲线与数列|1典例+4变式|直线与双曲线联立→韦达定理证等比|将数列递推关系嵌入双曲线交点问题，体现数学建模思想| |其它新定义|1典例+4变式|新定义“等线”转化→距离和相等|通过“等线”“旋转变换”等创新情境，强化知识迁移能力|

第15讲 双曲线新定义题型归纳 题型01：与斜率和，差，积，商有关的轨迹问题与应用 2 题型02：双曲线的其它定义 6 题型03：黄金双曲线 8 题型04: 双曲线与数列 15 题型05：双曲线其它新定义 26 1、常见圆锥曲线新定义问题处理思路 （1）将新定义问题转化为常规问题.例如“分隔线”问题转化为直线与曲线位置关系的判定. （2）反客为主：若直接求解困难，可逆向分析.例如黄金椭圆中通过切线斜率之积反推离心率. （3）新定义曲线建立方程→分类讨论→验证性质 （4）新定义交汇题联立方程→参数法→几何性质转化 （5）几何模型应用题识别模型（如阿基米德三角形）→应用性质（如中线平行、面积最小值） 2、核心原则 （1）定义优先：紧扣新定义的数学表达，避免套用常规套路. （2）参数为王：复杂问题引入参数简化运算，如双曲线有理参数法. （3）图形辅助：动态绘制示意图，直观捕捉对称性、范围等关键信息. 3、解题技巧与思想方法 （1）分类讨论与特殊化验证 当新定义涉及范围限制时，需分区间讨论. 特殊点验证：代入特殊点（如原点、顶点）快速判断选项. （2）数形结合与动态分析 绘制示意图辅助理解.例如“双扭线”（新定义曲线）的对称性分析. 动态轨迹：若问题涉及动点轨迹（如阿基米德三角形顶点轨迹），可结合参数方程与几何性质推导. 题型01：与斜率和，差，积，商有关的轨迹问题与应用 【典型例题】（多选）已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹关于轴对称 B．点的轨迹关于原点对称 C．若且，则恒成立 D．若且，则恒成立 解析：因直线的斜率存在，故.由可得，，整理可得，因，故得，即点的轨迹方程为：. 如上作出函数的图象，由图易得A错误； 对于B，由，可得， 即函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； 对于C，当且时，因，即得恒成立，故C正确； 对于D，当且时，设，因，，故在且时不能恒大于0，即不能恒成立,故D错误.故选：BC. 【变式训练1-1】已知函数，则下列说法中不正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域内为增函数 C．曲线上任意一点与两点连线的斜率之和为定值 D．曲线的切线的斜率的最大值为2 【变式训练1-2】（多选）已知点，直线相交于点，且它们的斜率之和是2．设动点的轨迹为曲线，则（    ） A．曲线关于原点对称 B．的范围是的范围是 C．曲线与直线无限接近，但永不相交 D．曲线上两动点，其中，则 【变式训练1-3】（多选）设，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为常数，则下列结论正确的是（    ） A．时，点的轨迹为焦点在轴的双曲线（不含与轴的交点） B．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点） C．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点） D．时，点的轨迹为椭圆（不含与轴的交点） 【变式训练1-4】（多选）已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是（    ） A．当时，点的轨迹是双曲线. B．当时，点在圆上运动. C．当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大. D．无论n如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形. 【变式训练1-5】（多选）设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（    ） A．当时，点的轨迹是椭圆的一部分 B．当时，点的轨迹是双曲线的一部分 C．当时，点的轨迹是抛物线的一部分 D．当时，点的轨迹是椭圆的一部分 题型02：双曲线的其它定义 【典型例题1】已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，与双曲线的右准线相交于点，点为右焦点，若，，则实数的值为_________. 解析：记、在右准线上的射影分别为点、，由及双曲线第二定义知：，又，所以，从而，则. 【典型例题2】如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？    解析：设，取所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设第组对应直线与的交点为，且点在第一象限， 则，，，，直线的方程为，①直线的方程为，② 点坐标满足方程①②，①②相乘得，即（点在第一象限），所以点在双曲线的右支上半部分上运动.     . 【变式训练2-1】如图，将一张长方形纸片ABCD的一只角斜折，使点D总是落在对边AB上，然后展开纸片，得到一条折痕l．这样继续下去，得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？ 【变式训练2-2】如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上， ，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为_______________. 题型03：黄金双曲线 【典型例题1】（多选题）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．过右焦点且斜率为1的直线与双曲线右支有2个交点 D．直线与双曲线的一条渐近线垂直 【答案】ABD 【分析】根据黄金分割比计算可得A正确，利用点差法计算可得，即B正确，确定一条渐近线的斜率为，可判断C错误.由斜率之积可判断D. 【详解】对于A，设线段长度为1，较大部分为，则较小部分为， 由题黄金分割比为，且 若为黄金双曲线， 则离心率为，即A正确； 对于B，设，其中， 又在双曲线线上，所以， 两式相减可得， 即，可得， 所以，可得B正确； 对于C，由离心率为可得，解得， 可得一条渐近线的斜率为，因为， 根据渐近线性质可知过右焦点且斜率为1的直线与双曲线左、右两支各有1个交点，即C错误. 对于D，易知，， 则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以 ， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故D正确. 故选：ABD 【典型例题2】已知双曲线的渐近线方程为，点在上．按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记． (1)求； (2)求数列的通项公式，并说明理由； (3)记的面积为，证明：． 【答案】(1)，， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知双曲线的焦点在轴，且双曲线的渐近线方程为， 则， 又点在上，则， 联立，解得，则双曲线方程为， 由题意得，的斜率， 则，解得， 同理，由题意得，的斜率， 则，解得， 因为， 所以， ， . （2）因为，所以，因为， 所以， 于是，① 由于，， 所以．且， 两式作差可得，② 把①代入②可得，③ 由③+①得， 即， 因为，所以， 由（1）知，故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． （3）由（2）知，， 又，所以，， ， ， 所以 ， 即为定值， 所以. 【变式训练3-1】（多选题）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”）.若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D．直线与双曲线的左支有两个不同的交点 【变式训练3-2】（多选题）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线的左，右顶点分别为，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（    ） A． B． C．顶点到渐近线的距离为 D．的外接圆的面积为 【变式训练3-3】（多选题） “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【变式训练3-4】我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为 ． 题型04:双曲线与数列 【典型例题】已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求的坐标； (2)证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，公比为； (3)证明见解析. 【详解】（1）∵渐近线为．又过点， 代入双曲线的方程得，，即双曲线的方程为， 若，则过对应的直线方程为，与双曲线联立得： 或（舍去）． 代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点． （2）过斜率为直线为：， 与双曲线联立得：， 因为，则， 由韦达定理得， . 将代入直线方程，并取相反数得 ， ①， ②， 得，由条件可知首项为， 所以数列是公比为的等比数列． （3）要证明为定值，只需证明． 与求面积时，都看作以为底， 则原问题转化为高相等，即需证明两点到直线的距离相等， 进而转化为证明，即只需证明，以下为其证明. 将点的坐标代入双曲线方程得到两式作差并整理得： ，由合比的性质得，③， 同理可得④， 由第（2）问的①②可知数列是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列. ④式可化为⑤， 由③⑤两式得到：. 故，所以为定值. 【变式训练4-1】双曲线冷却塔模型的外形如图1，是由双曲线的右支的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图2），其中双曲线冷却塔模型的上、下口是分别由的右支上的点、点旋转成的圆，的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为，高为. (1)如图3所示，在所在的平面内，以的实轴所在的直线为轴，虚轴所在的直线为轴，建立直角坐标系，求的方程； (2)按照如下方式依次构造点，为点关于轴的对称点，过作与平行的直线与的右支交于点，记的坐标为. ①求证：数列为等比数列. ②求数列的前项和. 【变式训练4-2】已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为. (1)求点，的坐标； (2)记，证明：数列为等比数列； (3)为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值. 【变式训练4-3】在矩形中，，以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，点、满足，直线与直线交于点，记点及其关于轴、轴和原点的对称点的轨迹为． (1)求的方程； (2)点在上，按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与交于另一点为关于轴对称点． （Ⅰ）证明为等比数列； （Ⅱ）记为的面积，求数列的通项公式． 【变式训练4-4】已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于另一点，当（为坐标原点）的面积为1时，求直线的方程； (3)若对，点都在双曲线上，且，设.证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式. 题型05：双曲线其它新定义 【典型例题】在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线. (1)求的方程; (2)若是四边形的等线，求四边形的面积; (3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线 【答案】(1) (2)12 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知，显然点在直线的上方， 因为直线为的等线，所以， 解得，所以的方程为 （2）设，切线，代入得: 故， 该式可以看作关于的一元二次方程， 所以，即方程为 当的斜率不存在时，也成立 渐近线方程为，不妨设在上方， 联立得，故， 所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等， 则过点的等线必定满足:到该等线距离相等， 且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为， 由，解得，故 . 所以， 所以， 所以，所以 （3） 设，由，所以， 故曲线的方程为 由（*）知切线为，也为，即，即 易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为， 由（2）知， 所以 由得 因为， 所以直线为的等线 . 【变式训练5-1】已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”． (1)证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式． (2)证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． (3)若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求． 【变式训练5-2】已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． (1)写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； (2)已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； (3)若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 【变式训练5-3】定义：在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为2，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，判断：在点处的切线是否为的等线，并说明理由． 【变式训练5-4】在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点绕原点逆时针旋转后得点，且旋转变换的表达式为，曲线的旋转变换也如此． (1)将点绕原点逆时针旋转得到点，求点坐标； (2)已知曲线，绕原点逆时针旋转得到曲线． （ⅰ）求曲线的方程； （ⅱ）P为曲线上一点，P不在x轴上，过P作交曲线于B，D两点，求证：BD与曲线在P点处的切线垂直． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 双曲线新定义题型归纳 题型01：与斜率和，差，积，商有关的轨迹问题与应用 2 题型02：双曲线的其它定义 6 题型03：黄金双曲线 8 题型04: 双曲线与数列 15 题型05：双曲线其它新定义 26 1、常见圆锥曲线新定义问题处理思路 （1）将新定义问题转化为常规问题.例如“分隔线”问题转化为直线与曲线位置关系的判定. （2）反客为主：若直接求解困难，可逆向分析.例如黄金椭圆中通过切线斜率之积反推离心率. （3）新定义曲线建立方程→分类讨论→验证性质 （4）新定义交汇题联立方程→参数法→几何性质转化 （5）几何模型应用题识别模型（如阿基米德三角形）→应用性质（如中线平行、面积最小值） 2、核心原则 （1）定义优先：紧扣新定义的数学表达，避免套用常规套路. （2）参数为王：复杂问题引入参数简化运算，如双曲线有理参数法. （3）图形辅助：动态绘制示意图，直观捕捉对称性、范围等关键信息. 3、解题技巧与思想方法 （1）分类讨论与特殊化验证 当新定义涉及范围限制时，需分区间讨论. 特殊点验证：代入特殊点（如原点、顶点）快速判断选项. （2）数形结合与动态分析 绘制示意图辅助理解.例如“双扭线”（新定义曲线）的对称性分析. 动态轨迹：若问题涉及动点轨迹（如阿基米德三角形顶点轨迹），可结合参数方程与几何性质推导. 题型01：与斜率和，差，积，商有关的轨迹问题与应用 【典型例题】（多选）已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹关于轴对称 B．点的轨迹关于原点对称 C．若且，则恒成立 D．若且，则恒成立 解析：因直线的斜率存在，故.由可得，，整理可得，因，故得，即点的轨迹方程为：. 如上作出函数的图象，由图易得A错误； 对于B，由，可得， 即函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； 对于C，当且时，因，即得恒成立，故C正确； 对于D，当且时，设，因，，故在且时不能恒大于0，即不能恒成立,故D错误.故选：BC. 【变式训练1-1】已知函数，则下列说法中不正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域内为增函数 C．曲线上任意一点与两点连线的斜率之和为定值 D．曲线的切线的斜率的最大值为2 解析：A.函数的定义域是， ，所以函数是奇函数，故A正确； B.设，且，，因为，所以，因为，，所以，则，即， 即，所以，即，所以函数在定义域内是增函数，故B正确； C.设函数上任一点，，，故C正确； D.，，根据导数的几何意义可知，曲线的切线的斜率的范围是，故D错误.故选：D 【变式训练1-2】（多选）已知点，直线相交于点，且它们的斜率之和是2．设动点的轨迹为曲线，则（    ） A．曲线关于原点对称 B．的范围是的范围是 C．曲线与直线无限接近，但永不相交 D．曲线上两动点，其中，则 解析：设，由题意，即，化简得， 即且， 对于A，将代入得，即，所以曲线关于原点对称，故A正确； 对于B，由A选项知，的范围是且，故B错误； 对于C，由，得，当时，，即，当时，，即，所以曲线与直线无限接近，但永不相交，故C正确； 对于D，要使最小，则曲线在两点的切线平行，由，得，则，所以，因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 【变式训练1-3】（多选）设，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为常数，则下列结论正确的是（    ） A．时，点的轨迹为焦点在轴的双曲线（不含与轴的交点） B．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点） C．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点） D．时，点的轨迹为椭圆（不含与轴的交点） 解析：设，则，，则， 即得，整理可得，当时，易知点的轨迹为焦点在轴的双曲线（不含与轴的交点），故A正确； 当时，可化为，因为，以点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点），故B正确； 当时，可化为，因为，所以点的轨迹为焦点在轴，以，为短轴端点的椭圆（除去点，），故C错误； 若，则，表示以原点为圆心，为半径的圆（除去点，），故D错误；故选：AB． 【变式训练1-4】（多选）已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于且斜率之差等于，则正确的是（    ） A．当时，点的轨迹是双曲线. B．当时，点在圆上运动. C．当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大. D．无论n如何变化，点的运动轨迹是轴对称图形. 解析：设，则 ，所以，，整理得， 所以对于A选项，时，点的轨迹是去除了两个点的双曲线上，故A选项错误； 对于B选项，当时，点的轨迹为圆，故在圆上运动，故B选项正确； 对于C选项，当时，点的轨迹为表示焦点在轴上的椭圆，离心率为，故当时，椭圆的离心率随着的增大而减小，故C选项错误； 对于D选项，由于，点的运动轨迹，对任意的点与均在，故曲线关于轴对称，点的运动轨迹为，可能为椭圆，双曲线，圆，但均为轴对称图形，故D选项正确.故选：BD 【变式训练1-5】（多选）设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（    ） A．当时，点的轨迹是椭圆的一部分 B．当时，点的轨迹是双曲线的一部分 C．当时，点的轨迹是抛物线的一部分 D．当时，点的轨迹是椭圆的一部分 解析：设，则，当时，即， 有，故A正确； 当时，有，故B正确；当时，， 即，故C正确； 当时，，即显然不是椭圆，故D错误. 故选：ABC 题型02：双曲线的其它定义 【典型例题1】已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，与双曲线的右准线相交于点，点为右焦点，若，，则实数的值为_________. 解析：记、在右准线上的射影分别为点、，由及双曲线第二定义知：，又，所以，从而，则. 【典型例题2】如图，在矩形中，把边AB分成n等份．在边的延长线上，的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P在什么曲线上运动？    解析：设，取所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设第组对应直线与的交点为，且点在第一象限， 则，，，，直线的方程为，①直线的方程为，② 点坐标满足方程①②，①②相乘得，即（点在第一象限），所以点在双曲线的右支上半部分上运动.     . 【变式训练2-1】如图，将一张长方形纸片ABCD的一只角斜折，使点D总是落在对边AB上，然后展开纸片，得到一条折痕l．这样继续下去，得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？ 解析：设点折后落到边上的点，则线段被折痕垂直平分，在折痕上取一点，且，则可得，，即折痕围成的轮廓上的任意一点到定直线的距离与它到定点的距离相等，∴根据抛物线的定义可知折痕围成的轮廓曲线是以为焦点，为准线的抛物线. 【变式训练2-2】如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上， ，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为_______________. 解析：以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（见右图）. 因为，所以， 所以，又因为， 所以，所以. 因为，所以直线的方程为①， 因为，所以直线的方程为②.由①可得 ，代入②化简可得，结合图象易知点可到达，但不可到达，所以点轨迹方程为， 故答案为：. 题型03：黄金双曲线 【典型例题1】（多选题）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．过右焦点且斜率为1的直线与双曲线右支有2个交点 D．直线与双曲线的一条渐近线垂直 【答案】ABD 【分析】根据黄金分割比计算可得A正确，利用点差法计算可得，即B正确，确定一条渐近线的斜率为，可判断C错误.由斜率之积可判断D. 【详解】对于A，设线段长度为1，较大部分为，则较小部分为， 由题黄金分割比为，且 若为黄金双曲线， 则离心率为，即A正确； 对于B，设，其中， 又在双曲线线上，所以， 两式相减可得， 即，可得， 所以，可得B正确； 对于C，由离心率为可得，解得， 可得一条渐近线的斜率为，因为， 根据渐近线性质可知过右焦点且斜率为1的直线与双曲线左、右两支各有1个交点，即C错误. 对于D，易知，， 则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以 ， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故D正确. 故选：ABD 【典型例题2】已知双曲线的渐近线方程为，点在上．按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记． (1)求； (2)求数列的通项公式，并说明理由； (3)记的面积为，证明：． 【答案】(1)，， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知双曲线的焦点在轴，且双曲线的渐近线方程为， 则， 又点在上，则， 联立，解得，则双曲线方程为， 由题意得，的斜率， 则，解得， 同理，由题意得，的斜率， 则，解得， 因为， 所以， ， . （2）因为，所以，因为， 所以， 于是，① 由于，， 所以．且， 两式作差可得，② 把①代入②可得，③ 由③+①得， 即， 因为，所以， 由（1）知，故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． （3）由（2）知，， 又，所以，， ， ， 所以 ， 即为定值， 所以. 【变式训练3-1】（多选题）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”）.若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D．直线与双曲线的左支有两个不同的交点 【答案】AC 【分析】根据黄金分割比计算可得A正确，利用点差法计算可得，即B错误，由两直线的斜率关系可判断C正确，易知一条渐近线的斜率为，可判断D错误. 【详解】对于A，设线段长度为1，较大部分为，则较小部分为， 由题黄金分割比为，且 若为黄金双曲线， 则离心率为，即A正确； 对于B，设，其中， 又在双曲线线上，所以， 两式相减可得， 即，可得， 所以，可得B错误； 对于C，易知，所以， 易知双曲线的一条渐近线斜率为， 则， 因此直线与双曲线的一条渐近线垂直，即C正确； 对于D，由离心率为可得，解得， 可得一条渐近线的斜率为， 而直线的斜率， 根据渐近线性质可知直线与双曲线的左右两支各有一个交点，即D错误. 故选：AC 【变式训练3-2】（多选题）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线的左，右顶点分别为，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（    ） A． B． C．顶点到渐近线的距离为 D．的外接圆的面积为 【答案】ABD 【分析】利用双曲线的几何性质，结合图形进行计算即可. 【详解】 设双曲线的半焦距为，则， 由题意知，A正确. ，B正确. 对于C，双曲线的渐近线方程为， 所以顶点到渐近线距离，C错误. 对于D，因为，所以，所以为直角三角形，且， 所以的外接圆半径为，故外接球面积，D正确. 故选：ABD. 【变式训练3-3】（多选题） “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【答案】ACD 【分析】A由黄金分割比定义可判断选项正误；B由点差法可判断选项正误；C判断是否等于可判断选项正误；D由，计算，，可判断选项正误. 【详解】对于 A，由题得离心率，故A正确； 对于B，设，，则点， 则，，两式作差得， 则，故B不正确； 对于C，易知，，则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确； 对于D，，， 由C选项可知有，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. . 【变式训练3-4】我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为 ． 【答案】 【分析】根据条件及离心率的定义，得到，即可求解. 【详解】因为，即，解得，所以的虚轴长为， 故答案为：. 题型04:双曲线与数列 【典型例题】已知双曲线（，）的渐近线方程为，且过点.按照如下方式依次构造点：过作斜率为（为常数且）的直线与的下支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求的坐标； (2)证明：数列是等比数列，并求其公比（用表示）； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，公比为； (3)证明见解析. 【详解】（1）∵渐近线为．又过点， 代入双曲线的方程得，，即双曲线的方程为， 若，则过对应的直线方程为，与双曲线联立得： 或（舍去）． 代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点． （2）过斜率为直线为：， 与双曲线联立得：， 因为，则， 由韦达定理得， . 将代入直线方程，并取相反数得 ， ①， ②， 得，由条件可知首项为， 所以数列是公比为的等比数列． （3）要证明为定值，只需证明． 与求面积时，都看作以为底， 则原问题转化为高相等，即需证明两点到直线的距离相等， 进而转化为证明，即只需证明，以下为其证明. 将点的坐标代入双曲线方程得到两式作差并整理得： ，由合比的性质得，③， 同理可得④， 由第（2）问的①②可知数列是公比为的等比数列； 数列是公比为的等比数列. ④式可化为⑤， 由③⑤两式得到：. 故，所以为定值. 【变式训练4-1】双曲线冷却塔模型的外形如图1，是由双曲线的右支的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图2），其中双曲线冷却塔模型的上、下口是分别由的右支上的点、点旋转成的圆，的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为，高为. (1)如图3所示，在所在的平面内，以的实轴所在的直线为轴，虚轴所在的直线为轴，建立直角坐标系，求的方程； (2)按照如下方式依次构造点，为点关于轴的对称点，过作与平行的直线与的右支交于点，记的坐标为. ①求证：数列为等比数列. ②求数列的前项和. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）设的方程为, 因的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为， 则，设，，则 代入方程可得，且，解得， 故该双曲线的标准方程为. （2）（i）因为，可得，，， 则,直线，即， 联立方程组，整理得， 则恒成立 所以，即① 又因为满足直线方程， 所以，即② 设， 由①、②得，所以，解得， 当时，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. （ii）由（i）知③ 当时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 又由④ 由③减去④整理得到， 所以， 整理得. 【变式训练4-2】已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为. (1)求点，的坐标； (2)记，证明：数列为等比数列； (3)为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题知，所以双曲线， 又过点斜率为的直线方程为， 由双曲线与直线的对称性可知，所以， 又过，且斜率为的直线方程为， 即， 由，解得或， 当时，， 所以，所以； （2） 设， 则过，且斜率为的直线方程为， 联立， 消得到， 由题有，得到， 由题知点在直线上， 即有，所以， 因为， 则 ， 由（1）知， 所以数列是以3为首项，为公比的等比数列； （3）由（2）知，由， 即， 即， 则， ， 故，， ，， 从而， ， 即，则， 则，， 从而. 【变式训练4-3】在矩形中，，以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，点、满足，直线与直线交于点，记点及其关于轴、轴和原点的对称点的轨迹为． (1)求的方程； (2)点在上，按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与交于另一点为关于轴对称点． （Ⅰ）证明为等比数列； （Ⅱ）记为的面积，求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 【详解】（1）由题意可知，， 则， 因为，所以， 故，即①， ，即②， 则①式乘以得，将②式代入得，即， 由结合图形可知，点的轨迹在第一象限， 又双曲线关于轴、轴和原点对称，故的方程为； （2）（Ⅰ）因为,且关于轴对称，所以， 则， 因为，所以， 令，则， 则 ， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， 又，所以， 得， 则， ， 则， ， 先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 因为， 故 故数列的通项公式为. 【变式训练4-4】已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于另一点，当（为坐标原点）的面积为1时，求直线的方程； (3)若对，点都在双曲线上，且，设.证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)或. (3)证明见解析， 【详解】（1）由题意知：，且，求解可得：， 所以双曲线的标准方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为：， 此时，点的坐标分别为，， 则的面积为，满足题意， 故此时直线的方程为：；   当直线的斜率存在时，设其为，则直线的方程为：， 由（1）可知双曲线的渐近线方程为，而直线与双曲线交右支于点，， 则直线的斜率应满足：或，联立直线与双曲线的方程：， 消去得：. 设点，，则有： ， 而点到直线的距离为：.   ， 因此：，化简得：， 即：，其中：或，且.   当时，解得不满足题意，舍去； 当时，解得（舍去）或， 此时直线的方程为：， 综上可得直线的方程为：或. （3）证明：由题意有，作差得：， 即有：.   又，所以， 所以，解得， 由， 且，所以数列是首项，的等比数列， 故. 题型05：双曲线其它新定义 【典型例题】在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线. (1)求的方程; (2)若是四边形的等线，求四边形的面积; (3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线 【答案】(1) (2)12 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意知，显然点在直线的上方， 因为直线为的等线，所以， 解得，所以的方程为 （2）设，切线，代入得: 故， 该式可以看作关于的一元二次方程， 所以，即方程为 当的斜率不存在时，也成立 渐近线方程为，不妨设在上方， 联立得，故， 所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等， 则过点的等线必定满足:到该等线距离相等， 且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为， 由，解得，故 . 所以， 所以， 所以，所以 （3） 设，由，所以， 故曲线的方程为 由（*）知切线为，也为，即，即 易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为， 由（2）知， 所以 由得 因为， 所以直线为的等线 . 【变式训练5-1】已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”． (1)证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式． (2)证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． (3)若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求． 【答案】(1)证明见解析，（或）． (2)证明见解析 (3)． 【详解】（1）由题，在旋转变换公式中取，旋转变换后的坐标为． 得 则，将其代入，得， 化简得， 故曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为； 或在旋转变换公式中取，旋转变换后的坐标为． 得 则，将其代入，得， 化简得， 故曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为， 综上，反比例函数图象的表达式为或. （2）必要性：根据旋转的坐标变换公式，得，所以， 代入得， 化简得， “双曲线是‘反比例曲线’”， 所以，解得，故该双曲线是等轴双曲线，必要性成立； 充分性：由等轴双曲线定义可知，即， 代入（1）中的旋转变换公式，得，化简得， 故该双曲线是“反比例曲线”． 综上所述，“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． （3）由（2）可知，双曲线的方程可进一步表示为， 因为旋转变换的角度不影响最终的结果，故本题取， 且旋转变换后得到的反比例函数图象的表达式为，即． 设经过旋转变换后， 因为是等腰三角形，所以， 根据反比例函数定义可得． 故且． 从点向轴作垂线交于点，向轴作垂线交于点， 设矩形的面积为，因为， 当时，． 由于，，故当时， ， 因为，所以，从而． 以此类推， ， 因为， 所以，可得． 【变式训练5-2】已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． (1)写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； (2)已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； (3)若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 【答案】(1)，，（答案不唯一）； (2)是，理由见解析； (3)证明过程见解析. 【分析】（1）先根据渐近线方程得出，再取切点为即可根据条件求出； （2）分直线斜率不存在，和斜率存在两种情况讨论，设直线方程，联立方程组，求，进而利用的面积为，即可发现直线与曲线相切； （3）切点为容易求出，切点不为时，先根据直线与曲线相切得出，再将直线与联立得出韦达定理，进而求出、，即可求出，进而得出为定值. 【详解】（1）由题意可得，双曲线的渐近线方程为，故， 则，且在点处的切线方程为， 不妨取切点为，则切线方程为，此时， 则. （2）若直线斜率不存在，不妨设，则， 则，得， 此时直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 若直线斜率存在，设， 联立，得， 则，即， 则， 又点到直线的距离， 则， 得， 联立，得， 则， 则直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”， 综上可得，若的面积为，则是的“渐切三角形”. （3）若切点为时，直线的方程为，此时， 因，则，即， 利用对称性可知； 若切点不为，可设切点为，则直线， 联立，得， 则由，可得， 联立，得，即， 设点，，则， 则， ， 则 ， （说明：由图知，与始终同号，故成立） ， 则 ， 因，则，故为定值. 【变式训练5-3】定义：在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为2，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，判断：在点处的切线是否为的等线，并说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)直线为的等线，理由见解析 【分析】（1）在双曲线的方程中，令，结合已知条件求出点的坐标，根据“等线”的定义可得出关于的方程组，解出的值，即可得出双曲线的方程； （2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可. （3）利用给定条件和新定义证明即可. 【详解】（1）在双曲线的方程中，令，解得，因为直线为的等线，显然点在直线的上方，故有， 又、，有，，解得，，所以的方程为； （2）设，由题意有方程为①， 双曲线渐近线方程为，联立得，， 故，所以是线段的中点， 因为、到过原点的直线距离相等，则过原点点的等线必定满足：、到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点，即直线的方程为， 由，解得，故． 所以，所以， 所以，所以； （3）设，由，所以，， 故曲线的方程为，由①知切线为，也为， 即，易知与在的右侧，在的左侧， 分别记、，到的距离为、、， 由（2）知，， 所以， 由得，， 因为， 所以直线为的等线． 【点睛】关键点点睛：理解“等线”的定义，利用过双曲线上一点的切线方程，求出相关点的坐标，再结合定义求解即可． 【变式训练5-4】在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点，如此产生的变换称为平面上的旋转变换，已知点绕原点逆时针旋转后得点，且旋转变换的表达式为，曲线的旋转变换也如此． (1)将点绕原点逆时针旋转得到点，求点坐标； (2)已知曲线，绕原点逆时针旋转得到曲线． （ⅰ）求曲线的方程； （ⅱ）P为曲线上一点，P不在x轴上，过P作交曲线于B，D两点，求证：BD与曲线在P点处的切线垂直． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）由题意可得，，则； （2）（ⅰ）设曲线上任意一点为，且，将其绕原点逆时针旋转得到点， 则，得， 则，即， 故曲线的方程为； （ⅱ）设，且，， 由题意可知，过点的切线斜率存在，故设切线方程为， 联立，得， 则， 即 ， 则， 当直线的斜率存在时，设直线，， 联立，得， 则， 则， ， 因为，所以 ， 则， 即，即， 因为直线不过点，所以， 则，得， 则，此时BD与曲线在P点处的切线垂直； 当直线的斜率不存在时，设直线，其中或，， 联立，得，则， 则 ，不符合题意.    综上，BD与曲线在P点处的切线垂直． 1 学科网（北京）股份有限公司 $