辽宁鞍山市第十三中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中学情调研数学试卷

2025一2026学年度高一（下）5月中期学情调研试卷 数学学科答案及评分细则 一、单选题：1-5 ACCBB 6-8 DCC 二、多选题：9.ACD 10.AC 11.BCD 三、填空题：12.√厂 13. 14、π 四、解答题： 15.(本题满分13分) 解：(D:(a-)1五，：a--6=0, ∴ab-6=0, 2分 .cos(a.B-"=0 -3分 :=20,2cos(a)-=0 4分 .co 5分 :(a,b}e0,),∴a与5的夹角为写 -7分 (2):a+=4,a+=14, -8分 :同=2，又由1)知cos(a列= 7=14,同=2. -13分 16.（本题满分15分) 解：(1)因为a∈ u[a[ -2分 因为sin2a= 5 所以cos2a=-V-sin22a= 2W5 -4分 5 「3 ,所以B-a∈ π5π 24 5分 10 一8分 cos(a+B)=cos(2a+B-a)=cos2a cos(B-a)-sin 2asin(B-a) -一一一-10分 =25x3i0-5x05 -x( 12分 5 1075102 因为a+B=2a+(B-a）∈[元2x],所以a+B=7n -15分 4 17.(本题满分15分) 2π+a sin(-a)cos -sina(-sina)sinasina 解：(1)f(a)= cosa sin a tan a sina g+atan(-π+a) sina. 2 cosa -6分 (2)由(1)可得 g(x)=2cos2x+cos +x+2=2(1-sin'x)+sinx+2=-2sinx+sinx+4 10分 令t=sinx,x∈0， π 2 .te[0,1], .h()=g(x)=-2z2+1+4,t∈[0，， 12分 对称潍为：行 当t=1时，h(t)m=h()=-2+1+4=3, 14分 33 故函数g(x)的值域为 3 8 15分 18.(本题满分17分) 解：(1)由正弦定理得sinC-sinB_c-b 所以C-b、a-b -2分 sin A a a c+b 所以c2-6=G-h,由余弦定理，c0sC=。+-C=b-{ -4分 2ab =2ab2' 因C∈(0，)，则C=工 -5分 3 (2)由余弦定理，a2+b2-2 abcosC=c2,即a2+b2-ab=12, -7分 又s=absinC- ab,由条件知S=23,所以ab=8, 8分 4 所以a2+b2=20,（a+b)2=36,a+b=6. 9分 所以△ 周长为2V3+6. 10分 1 1 (3)由S.4c=2ch=2 absinC可得：4c=V5ab -11分 2 a b c ab ab 由正弦定理，sinA sin B sinC 4x52,即得：6=2 2 sinA sin B 2 则c=absinC=x2x2x5 1 3 2 F2×sin B sin A2 13分 sin Asin 5 5 4 v3 3 sinA cos4+- sin2 4+(1-cos2 2sin24+1 4 4 6) 0<A<π 由ABC为锐角三角形可得， <A< 0天2π-A<πS -14分 6 2 则<2A-5， 6 66’ m24君}1，成5 ≤525. -16分 即△ 面积的取值范围为 45,23 17分 19.(本题满分17分) 解：(1)①在△ 中，由正弦定理得√3sinB-sin Csin 4=√3 sin AcosC, ,B=π-(A+C),有sinB=sin(A+C), 3(sin Acos C+cos Asin C)-sin Csin A=3 sin Acos C, 2分 3cos Asin C=sin Csin 4, sinC≠0，∴tanA=3,又A∈(0，m),A= 3 -4分 ②由①知A-子，侧则△ 的三个角都小于120°， 由“T点定义知：∠APB=∠BPC=∠APC=120°， 设PA=x,PE=y,PC=z,由SAm+S,c+Se=Sc得 15,15,15_14V5 22+2 z·22 ×4× ,整理得y+z+z=4, 一一一一6分 221 所以PA.PB+PB.PC+PA.PC (》〔2引e(》子42 8分 (2)由a cos B-bcosA=c,结合正弦定理sin Acos B-sin Bcos A=sinC, 有sin(A-B)=sinC,'A,B,C均为三角形内角，A-B=C 或A-B+C=元（舍），即A=B+C=元-A,A= 2 -10分 由点P为△ 的“T点”，得∠APB=∠BPC=∠APC=120°， PB =m PA,PC=nPA,PA=x,(m>O,n>0,x>0), 由PB+PC=2tPA,得m+n=2t,由余弦定理得 -12分 AB=x2+m2x2-2mx2 cos 27=(m2+m+1）r, 3 ac=r+r-2aram号-6r+nlr, -2mm cosm) 14分 相加得AC+AB2=BC2,得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2-(m2+n2+mn)x2, 聚度得++2=m.于是m+a+2=a(0): 当且仅当m=n,即 m=n=1+V3时取等号，又m+n=2t,因为2-2t-2≥0，而t>0,解得t≥1+5， 所以实数t的最小值为1+√3. -17分2025一2026学年度高一（下)5月中期学情调研试卷 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知圆心角是2弧度的扇形的周长为4，则扇形的面积为（) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知1-z=-4+4i,则z的虚部为（) A.-2 B.-2i C.2 D.2i 3.下列各式中，值为的是 A.sin15cos15 B.cos2元-sin2 12 12 tan22.5 1+c0s30° C. D 1-tan222.5° 2 4.已知函数f(=si血(@x+p>0,<牙)图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ，将函数 2 y=f(x)的图象向左平移元个单位后，得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)的一个零点是() A. 5π C. D. 3 12 5.已知函数f()=Asn(@x+p4>0,o>0,lpk写 的图象如图所示，则f(0)=() y个 02匹 3 C.5 D.0 2 6.在△ABC中，a-b=c(cosB-cosA),则这个三角形一定是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 C☒扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP 4 7.若tan2a= 则2+2cos2a-36in20=(0 3 1-cos2a .2 1 A.-二或2 B.-2或2 C.2 8如图，△ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若 AD=2,BD=1,点M为线段CE上的动点，则MA·MC的最小值为() B D E F 25 25 25 A. B. C. D. 25 4 16 16 二、多选题：本题共3小题，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列有关复数z的叙述正确的是() A.若z=i的，则z=i B.若z=1+三，则z的虑部为-i 1 c=1,则目-1 D.若z-=1,则0≤z≤2 10.已知函数f(x)=tan 2+别， 则下列说法正确的是() A.f(x)的值域是R B.f(x)在定义域内是增函数 C.网的最小正周期是T=2 D.f(x)>1的解集是 +c+e☑ 24 1.已知函数()=os2+co,有下列四个结论，其中正确的结论为0 A.f(x)在区间 3π3π 4’2 上单调递增B.兀不是f(x)的一个周期 C.当x∈ 九3元 44 时，f(x)的值域为 「9 2’8 D.f(x)的图像关于y轴对称 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a,的夹角为5弧，a-5,同=1，则3a+=一 1a者xeo引m+}3则m2x+ 4已知函数f(闪=cos(®x+)@>0,号》当x=一普时四取得最小值，当 x-时/取得绿大信，且/四在区同（后器） 上单调.则当ω取最大值时P的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分)已知非零向量a,满足回=2l,且(a-)1万. (1)求a与b的夹角； (2)若a+=V4,求同. 1as分》脚ma5s血(g--S,aa资， (1)求cos2a的值； (2)求a+B的值. (1)化简f(a): a求属数8创=2(e+/(+小2在0引的做蚊 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP 18.(17分)在面积为S的△ABC中，内角A,B,C,所对的边分别为a,b,C,且 sinC-sin Ba-b sin A c+b (1)求角C; (2)若c=2√5，S=2W5,求△ABC的周长： (3)若△ABC为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求△ABC面积的取值范围. 19.（17分)我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊 性质意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等 边三角形的外接圆交于一点T,该点T即称为托里拆利点（以下简称“T点)，通过研究发现三角 形中的“T点”满足到三角形三个顶点的距离和TA+TB+TC最小.当△ABC的三个内角均小于 120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为“T点”；当△ABC有一个内角大于 或等于120时，最大内角的顶点为“T点”试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角 A,B,C所对的边分别为a,b,C. (1)若√3b-csiA=√3 acos C,则 ①求A: ②若bc=4,设点P为△ABC的“T点”，求PA.PB+PB.PC+PC.PA (2)若a cos B-bcosA=c,设P点为△ABC的“T点”，P丽+PC=2tPA,求实数 的最小值. C☒扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP